मान लीजिए a_n = (1^2 + 2^2 + ldots + n^2)^n औ | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।$n=1$ के लिए,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$,इसलिए $a_1 = b_1$ है।$n

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$a_n > b_n$ सभी $n$ के लिए

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।$n=1$ के लिए,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$,इसलिए $a_1 = b_1$ है।$n=2$ के लिए,$a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ और $b_2 = 2^2(2!) = 4 	imes 2 = 8$ है। अतः $a_2 > b_2$ है।$n=3$ के लिए,$a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ और $b_3 = 3^3(3!) = 27 	imes 6 = 162$ है। अतः $a_3 > b_3$ है।गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह सिद्ध किया जा सकता है कि सभी $n \geq 2$ के लिए $a_n > b_n$ होता है।

मान लीजिए $a_n = (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2)^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है। तो

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यदि $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ क्रमशः प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं,उनके वर्गों और उनके घनों का योग हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$।

श्रेणी $\frac{3 \times 1}{1^2} + \frac{5 \times (1^3 + 2^3)}{1^2 + 2^2} + \frac{7 \times (1^3 + 2^3 + 3^3)}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $10$ वें पद तक का योग क्या है?

श्रेणी $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

यदि $3 + \frac{1}{4} (3 + d) + \frac{1}{4^2} (3 + 2d) + \dots \infty = 8$ है,तो $d$ का मान ज्ञात कीजिए:

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