मान लीजिए $f$ एक फलन है जो अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{\pi}{x} & \text{के लिए } x > 0 \\ 0 & \text{के लिए } x = 0 \end{cases}$ पर विचार करें। तो $(0, 1)$ में उन बिंदुओं की संख्या क्या है जहाँ अवकलज $f'(x)$ शून्य हो जाता है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ अंतराल $[1, 2]$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ पर $x = \frac{7}{4}$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,वक्र के $x = 1$ और $x = 2$ पर स्थित बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें,जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ और मान लीजिए $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
कथन $1:$ द्विघात समीकरण का अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन $2:$ अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।

यदि $2a + 3b + 6c = 0$ और $a, b, c \in \mathbb{R}$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $0$ और $1$ के बीच कम से कम एक मूल है।