एक वक्र बिंदु (3,2) से होकर गुजरता है जिसके ल | vedclass

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Question

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{dy}{dx}$ है।चूँकि निर्देशांक अक

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$xy=6$

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(C) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{dy}{dx}$ है।चूँकि निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्श रेखा का खंड $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए स्पर्श रेखा अक्षों को $(2x_1, 0)$ और $(0, 2y_1)$ पर मिलती है।स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2y_1 - 0}{0 - 2x_1} = -\frac{y_1}{x_1}$ है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ मिलता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln y = -\ln x + C_0$,जिसका अर्थ है $\ln(xy) = C_0$,या $xy = C$ है।चूँकि वक्र $(3, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $3 	imes 2 = C$,जिससे $C = 6$ प्राप्त होता है।अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ है।

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मान लीजिए $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0$,$y(0)=0$ है। तो $x=2$ पर,$y^{\prime \prime}+y+1$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ का हल बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला एक शांकव (conic) है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

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