cos^{6} theta + sin^{6} theta के अधिकतम और न् | vedclass

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Question

(A) माना $f(	heta) = \sin^{6} 	heta + \cos^{6} 	heta$.सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:$f(	heta) = (\sin^{

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$1$ और $\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(	heta) = \sin^{6} 	heta + \cos^{6} 	heta$.सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:$f(	heta) = (\sin^{2} 	heta + \cos^{2} 	heta)(\sin^{4} 	heta - \sin^{2} 	heta \cos^{2} 	heta + \cos^{4} 	heta)$.चूंकि $\sin^{2} 	heta + \cos^{2} 	heta = 1$,यह सरल होकर मिलता है:$f(	heta) = (\sin^{2} 	heta + \cos^{2} 	heta)^{2} - 3 \sin^{2} 	heta \cos^{2} 	heta$.$f(	heta) = 1 - 3(\sin 	heta \cos 	heta)^{2}$.$\sin 2	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ का उपयोग करने पर,$\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$ प्राप्त होता है।$f(	heta) = 1 - 3 \left(\frac{1}{2} \sin 2	hetaight)^{2} = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2	heta$.चूंकि $0 \leq \sin^{2} 2	heta \leq 1$,$f(	heta)$ का परिसर है:$\sin^{2} 2	heta = 0$ के लिए,$f(	heta) = 1 - 0 = 1$ (अधिकतम)।$\sin^{2} 2	heta = 1$ के लिए,$f(	heta) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (न्यूनतम)।अतः,अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $1$ और $\frac{1}{4}$ हैं।

$\cos^{6} \theta + \sin^{6} \theta$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः हैं

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