मान लीजिए exp(x) चरघातांकी फलन e^x को दर्शाता | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$। मान लीजिए $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$। चूँकि $\exp(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का न्यून

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$\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$। मान लीजिए $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$। चूँकि $\exp(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान वहाँ होगा जहाँ $g(x)$ न्यूनतम है।$g(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\ln x}{x}$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$।$g'(x) = 0$ रखने पर $1 - \ln x = 0$,अतः $x = e \approx 2.718$।$x  0$ (वर्धमान) और $x > e$ के लिए $g'(x) चूँकि $e \in [2, 5]$,फलन $g(x)$ अंतराल $[2, e]$ में बढ़ता है और $[e, 5]$ में घटता है।$[2, 5]$ पर $g(x)$ का न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $x = 2$ या $x = 5$ पर प्राप्त होगा।$g(2) = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ और $g(5) = 5^{1/5} \approx 1.3797$ की तुलना करने पर।चूँकि $g(5) अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$ है।

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