परवलय y=x^{2}-4x+5 और सीधी रेखा y=x+1 द्वारा | vedclass

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Question

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों की तुलना

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(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:$x^{2}-4x+5 = x+1$$x^{2}-5x+4 = 0$$(x-1)(x-4) = 0$अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=4$ पर हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:$	ext{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$$	ext{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$$	ext{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x ight]_{1}^{4}$सीमाओं को रखने पर:$	ext{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) ight) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) ight)$$	ext{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 ight) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 ight)$$	ext{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} ight) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} ight)$$	ext{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} ight) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} ight) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

परवलय $y=x^{2}-4x+5$ और सीधी रेखा $y=x+1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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परवलय $y = x^2 - 1$,बिंदु $(2, 3)$ पर इसकी स्पर्श रेखा और $y$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

क्षेत्र $\{(x, y) \in R^{2} | 4 x^{2} \leq y \leq 8 x+12\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

$x = 0$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ के बीच वक्रों $y = \cos x$ और $y = \sin x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है:

वक्रों $y=2x-x^2$ और $y=x^2-2x-6$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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