किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए,हम | vedclass

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Question

(D) संबंध $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ के रूप में परिभाषित है।$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin ^{2} a +

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एक तुल्यता संबंध है

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(D) संबंध $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ के रूप में परिभाषित है।$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin ^{2} a + \cos ^{2} a = 1$ होता है। अतः,$(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2.$ सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R$,तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ है। $\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ और $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ का उपयोग करने पर,हमें $(1 - \cos ^{2} a) + (1 - \sin ^{2} b) = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\sin ^{2} b + \cos ^{2} a = 1$ हो जाता है। अतः,$(b, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ और $\sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1$ है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b + \sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sin ^{2} b + \cos ^{2} b = 1$,इसलिए $\sin ^{2} a + 1 + \cos ^{2} c = 2$,जिसका अर्थ है $\sin ^{2} a + \cos ^{2} c = 1$ है। अतः,$(a, c) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,हम $a R b$ को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि $\sin ^{2} a+\cos ^{2} b=1$ हो। संबंध $R$ है

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