रेखाएँ $x+y=1$ और $3y=x+3$ दीर्घवृत्त $x^{2}+9y^{2}=9$ को बिंदुओं $P, Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$,जहाँ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $T$ पर और $y$-अक्ष को $T_1$ पर काटती है। तो $\min_{0 < \theta < \frac{\pi}{2}} (OT)(OT_1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 - 36y + 4 = 0$ के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश में स्थित बिंदु $L$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ के नाभिलंब का एक सिरा है। मान लीजिए $P$ और $Q$ वे बिंदु हैं जहाँ $L$ पर खींचा गया अभिलंब इस दिए गए दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष से मिलता है। तो $P$ और $Q$ के बीच की दूरी है

$P$ शांकव $a^2 x^2+b^2 y^2=a^2(a^2+b^2-y^2)$ पर एक बिंदु है और $S$ उस शांकव की नाभि है। $M$,$P$ से $S$ के निकटतम नियता पर डाले गए लंब का पाद है। यदि $PM = K SP$ है,तो $K=$

माना दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ की उत्केंद्रता समान $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि उनके नाभिलंब की लंबाई का गुणनफल $\frac{32}{\sqrt{3}}$ है,और $E_1$ की नाभियों के बीच की दूरी $4$ है। यदि $E_1$ और $E_2$ बिंदु $A, B, C$ और $D$ पर मिलते हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल क्या होगा?