समीकरणों की प्रणाली पर विचार करेंbegin{cases} | vedclass

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Question

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है,जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 &

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अनंत हल,यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ में से कोई भी दो समान हैं।

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(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है,जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ है।गुणांक आव्यूह का सारणिक $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ है।यह एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ होता है।$(i)$ यदि $\alpha, \beta, \gamma$ अलग-अलग हैं,तो $|A| 
eq 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली का केवल तुच्छ हल $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ होता है,जो एक अद्वितीय हल है।(ii) यदि $\alpha, \beta, \gamma$ में से कोई भी दो समान हैं,तो $|A| = 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली के अनंत हल होते हैं क्योंकि आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होती है।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\frac{q}{r}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(P)$ हल के रूप में $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ है
$(II)$ यदि $\frac{p}{r} \neq 100$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(Q)$ हल के रूप में $x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0$ है
$(III)$ यदि $\frac{p}{q} \neq 10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(R)$ अनंत हल हैं
$(IV)$ यदि $\frac{p}{q}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(S)$ कोई हल नहीं है
	$(T)$ कम से कम एक हल है

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें
$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$
तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है

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दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। यदि $A - \lambda I$ एक सिंगुलर (अव्युत्क्रमणीय) आव्यूह है,तो:

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समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है