यदि $z=x+iy$,जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i=\sqrt{-1}$,तो वे बिंदु $(x, y)$ जिनके लिए $\frac{z-1}{z-i}$ वास्तविक है,स्थित हैं

मान लीजिए ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ वृत्त $|z| = \frac{1}{2}$ के परिगत एक समबाहु त्रिभुज के तीन शीर्ष हैं। यदि ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2}$ है और ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ वामावर्त दिशा में हैं,तो ${z_2}$ है

समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} : \arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}\}$ (जहाँ $\mathbb{C}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) के बिंदु जिस वक्र पर स्थित हैं,वह है

$z_1$ और $z_2$,$3z^2 + 3z + b = 0$ के मूल हैं। यदि मूल बिंदु,$A(z_1)$ और $B(z_2)$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो $b$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$,जहाँ $z \in \mathbb{C}$,$C$ केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण है। यदि $(0,0)$,$C$ और $(\alpha, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $11$ वर्ग इकाई है,तो $\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{|3z - i|}{|4z - 2 + 3i|} = K$ $(K \in \mathbb{R}^+)$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है,तो $K$ का मान क्या है?