यदि $\frac{d}{dx}\{f(x)\} = g(x)$ है,तो $\int_a^b f(x) g(x) dx$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_2 \log_4 \log_6(3 + 4x - x^2)$ का प्रांत $(a, b)$ है। यदि $\int_0^{b-a} [x^2] dx = p - \sqrt{q} - \sqrt{r}$,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{N}$,$\gcd(p, q, r) = 1$,और $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $p + q + r$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए समाकलन $\int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$ का मान $60$ से अधिक हो।

मान लीजिए $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ जहाँ $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$ और $t \in (1, 2]$ के लिए $0 \le f(t) \le \frac{1}{2}$ है,तो $g(2)$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_{-1}^{2} {|x|\,dx} =$ ($/2$ में)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$