अंतराल [0, 2pi] में वह बिंदु,जहाँ f(x) = e^x | vedclass

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Question

(B) वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ ढाल अधिकतम है,हमें $f'(x)$ को अधिकतम करना होगा। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।$g(x)$ के अधिकत

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ ढाल अधिकतम है,हमें $f'(x)$ को अधिकतम करना होगा। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।$g(x)$ के अधिकतम होने के लिए,हम $g'(x) = f''(x) = 0$ रखते हैं।$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ है।$f''(x) = 0$ रखने पर $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e^x 
eq 0$,इसलिए $\cos x = 0$ होगा।अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।हम $g(x)$ का द्वितीय अवकलज जाँचते हैं,जो $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ है।$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ है।$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} $x = \frac{3\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।अतः,ढाल $x = \frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम है।

अंतराल $[0, 2\pi]$ में वह बिंदु,जहाँ $f(x) = e^x \sin x$ की ढाल अधिकतम है,है

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