TS EAMCET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया है,$R = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $P+Q+R = \pi$,इसलिए $P+Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$3$ से भाग देने पर,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर,$\tan(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan(\frac{P}{3}) + \tan(\frac{Q}{3})}{1 - \tan(\frac{P}{3})\tan(\frac{Q}{3})} = 1$.
चूंकि $\tan(\frac{P}{3})$ और $\tan(\frac{Q}{3})$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ और गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$.
यह $\frac{-b}{a-c} = 1$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $-b = a - c$,या $a+b = c$.

(A) दिया गया समीकरण $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ है।
माना $|x|^{3/5} = t$ है।
तब समीकरण $t^2 - 26t - 27 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 27)(t + 1) = 0$।
इससे $t = 27$ या $t = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x|^{3/5} \geq 0$ है,इसलिए $t = 27$ होगा।
अतः,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$।
दोनों पक्षों की घात $5/3$ करने पर: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$।
इस प्रकार,$x = 3^5$ या $x = -3^5$।
वास्तविक मूलों का गुणनफल $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ है।

(A) दिया गया है,$(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|a+ib|^2 = |c+id|^2 |x+iy|$
चूंकि $|z|^2 = a^2+b^2$ होता है,इसलिए:
$a^2+b^2 = (c^2+d^2) \sqrt{x^2+y^2}$
दिए गए मान $a^2+b^2=4$ और $c^2+d^2=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 2 \sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+y^2 = 4$

(D) दिया गया है,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका $|a+b| \leq |a|+|b|$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \left|z-\frac{4}{z} + \frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
दिया गया मान रखने पर: $|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर: $|z|^2 \leq 2|z| + 4$.
$|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(|z|-1)^2 - 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow (|z|-1)^2 \leq 5$.
वर्गमूल लेने पर: $|z|-1 \leq \sqrt{5}$.
अतः,$|z| \leq \sqrt{5}+1$.
$|z|$ का अधिकतम मान $\sqrt{5}+1$ है.

(D) दिया गया समीकरण $x^6-1=0$ है,जिसका अर्थ है $x^6=1$.
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^6=1$.
साथ ही,$\alpha \neq 1$ क्योंकि $\alpha$ अवास्तविक है।
अंश को $\alpha^2(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha^6-1 = (\alpha-1)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1) = 0$ और $\alpha \neq 1$ होने के कारण,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$ है।
अतः $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = -(\alpha+1)$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-(\alpha+1)}{\alpha+1} = -1$।

(C) चूंकि $a, b$ और $c$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ है।
रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में इनका मान रखने पर,$ax + ary + ar^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),$x + ry + r^2 = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = -ry - r^2$।
$x = -ry - r^2$ को वक्र $x + 2y^2 = 0$ में रखने पर,$-ry - r^2 + 2y^2 = 0$ या $2y^2 - ry - r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $A = 2, B = -r, C = -r^2$ है।
कोटियों का योग (द्विघात समीकरण के मूलों का योग) $= -\frac{B}{A} = -\frac{-r}{2} = \frac{r}{2}$ है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_r = \frac{1}{(2r)(2r+2)} = \frac{1}{4r(r+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_r = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
दिए गए समीकरण $\frac{kn}{4(n+1)}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(B) हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।
माना $a = 27 \tan^2 \theta$ और $b = 3 \cot^2 \theta$ है।
तब,$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{27 \tan^2 \theta \cdot 3 \cot^2 \theta}$।
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta}$।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \cdot 1}$।
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq 9$।
$27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta \geq 18$।
अतः,न्यूनतम मान $18$ है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $8x^2-6xy+y^2=0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8x^2-4xy-2xy+y^2=0$ $\Rightarrow 4x(2x-y)-y(2x-y)=0$ $\Rightarrow (4x-y)(2x-y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $y=4x$ और $y=2x$ हैं।
तीसरी रेखा $2x+3y=a$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $y=4x$ और $y=2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $y=4x$ और $2x+3y=a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x+3(4x)=a$ $\Rightarrow 14x=a$ $\Rightarrow x=a/14, y=2a/7$. यानी,$A(a/14, 2a/7)$.
$3$. $y=2x$ और $2x+3y=a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x+3(2x)=a$ $\Rightarrow 8x=a$ $\Rightarrow x=a/8, y=a/4$. यानी,$B(a/8, a/4)$.
शीर्षों $(0,0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(\frac{a}{14})(\frac{a}{4}) - (\frac{a}{8})(\frac{2a}{7})| = \frac{1}{2} |\frac{a^2}{56} - \frac{2a^2}{56}| = \frac{1}{2} |-\frac{a^2}{56}| = \frac{a^2}{112}$.
दिया गया क्षेत्रफल $7$ है,इसलिए $\frac{a^2}{112} = 7$ $\Rightarrow a^2 = 784$ $\Rightarrow a = 28$।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण है:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों से $x^2 \cos^2 \theta$ घटाने पर:
$y^2 \cos^2 \theta = y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के सामान्य रूप में व्यवस्थित करने पर:
$0x^2 + (2 \sin \theta \cos \theta)xy + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)y^2 = 0$
रेखाओं के युग्म के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$A + B = 0$
$0 + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = 0$
$\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
$\tan^2 \theta = 1$
$\tan \theta = \pm 1$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\frac{3\pi}{4}$।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ होता है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} (2^k)$
$= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2/3$ और सार्व अनुपात $r = 2/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

(B) आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x(x+1)\ldots(x+n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x+r}$.
$A_r$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करें और $x \to -r$ की सीमा लें:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x+r}{x(x+1)\ldots(x+n)}$.
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1)\ldots(-1) \cdot (1)(2)\ldots(n-r)}$.
हर में पहले भाग में $r$ ऋणात्मक पद हैं,जो $(-1)^r \cdot r!$ देते हैं,और दूसरा भाग $(n-r)!$ है।
अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r! (n-r)!}$.

(A) सबसे पहले,$A$,$C$,और $D$ के मान ज्ञात करें:
$A = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
समीकरण $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ में मान रखने पर।
मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -B$ है।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma = -B$ है।
अतः,$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$.
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0 \Rightarrow B = -2$.

(A) दिया है,$R = \frac{\pi}{4}$। चूँकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $P + Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
$3$ से भाग देने पर,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan \left(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan(P/3) + \tan(Q/3)}{1 - \tan(P/3)\tan(Q/3)} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan(P/3)$ और $\tan(Q/3)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ और गुणनफल $\frac{c}{a}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$।
$\Rightarrow \frac{-b}{a - c} = 1$।
$\Rightarrow -b = a - c$।
$\Rightarrow a + b = c$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,और $\alpha\beta\gamma = -r$।
माना नए मूल $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,और $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ हैं।
यहाँ $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$।
समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ से,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$।
$\alpha$ से भाग देने पर,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$।
अतः,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$।
इसी प्रकार,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ और $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$।
माना $y = q + \frac{r}{x}$,तो $x = \frac{r}{y-q}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$।
$r$ से भाग देने पर: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$।
$r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$।
विस्तार करने पर: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$।
अतः $y$ का गुणांक $q^2+pr$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ है।
माना $|x|^{3/5} = t$ है।
चूँकि $|x|^{3/5} \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ होगा।
समीकरण $t^2 - 26t - 27 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 27)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $t = 27$ या $t = -1$ है।
चूँकि $t \ge 0$,इसलिए $t = -1$ को छोड़ देंगे।
अतः,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$ है।
दोनों पक्षों की घात $5/3$ करने पर: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = 3^5$ या $x = -3^5$ है।
वास्तविक मूलों का गुणनफल $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ है।

(D) दिया गया है,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = \left|z-\frac{4}{z}+\frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर ($|z| > 0$ होने के कारण),हमें $|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $|z|^2 - 2|z| - 4 = 0$ को हल करने पर,$|z| = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.
चूंकि $|z| > 0$,इसलिए $0 < |z| \leq 1 + \sqrt{5}$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1 + \sqrt{5}$ है.

(C) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि पहले $6$ प्रश्नों में से कम से कम $5$ प्रश्न हों। इसके लिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: पहले $6$ में से $5$ प्रश्न और शेष $7$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} = 6 \times 21 = 126$.
स्थिति $II$: पहले $6$ में से $6$ प्रश्न और शेष $7$ में से $4$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{6} \times {}^{7}C_{4} = 1 \times 35 = 35$.
कुल तरीकों की संख्या $= 126 + 35 = 161$.

(B) $12$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि महिलाएं बहुमत में हों। चूंकि $9$ महिलाएं और $8$ पुरुष हैं,इसलिए महिलाओं के बहुमत में होने के संभावित मामले हैं:
स्थिति $I$: $9$ महिलाएं और $3$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_9} \times {^8C_3} = 1 \times 56 = 56$
स्थिति $II$: $8$ महिलाएं और $4$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_8} \times {^8C_4} = 9 \times 70 = 630$
स्थिति $III$: $7$ महिलाएं और $5$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_7} \times {^8C_5} = 36 \times 56 = 2016$
कुल तरीकों की संख्या $= 56 + 630 + 2016 = 2702$

(C) हम जानते हैं कि $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $170$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n^2 - 20n + 17n - 340 = 0$
$n(n - 20) + 17(n - 20) = 0$
$(n - 20)(n + 17) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$।

(B) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{5 \cdot 2^4} + \frac{1}{7 \cdot 2^6} + \ldots$ है।
हम जानते हैं कि $\log _e \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = 2 \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots \right)$ जहाँ $|x| < 1$ है।
श्रेणी को इस प्रकार लिखने पर: $S = 2 \left[ \frac{1}{2} + \frac{(1/2)^3}{3} + \frac{(1/2)^5}{5} + \ldots \right]$
$x = 1/2$ रखने पर:
$S = \log _e \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = \log _e \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = \log _e 3$.

(A) दी गई श्रेणी $S_n = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r)(2r+2)}$ है।
सामान्य पद को $\frac{1}{4} \times \frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
इसे $\frac{k n}{n+1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) $\left(\frac{x^2}{a}-\frac{b}{x}\right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r \left(\frac{x^2}{a}\right)^{11-r} \left(-\frac{b}{x}\right)^r = {}^{11}C_r \left(\frac{1}{a}\right)^{11-r} (-b)^r x^{22-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$ अर्थात $r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक $C_1 = {}^{11}C_5 \left(\frac{1}{a}\right)^6 (-b)^5$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 4$ रखने पर,$3r = 18$ अर्थात $r = 6$ प्राप्त होता है। गुणांक $C_2 = {}^{11}C_6 \left(\frac{1}{a}\right)^5 (-b)^6$ है।
दी गई शर्त $C_1 + C_2 = 0$ के अनुसार,${}^{11}C_5 \frac{(-b)^5}{a^6} + {}^{11}C_6 \frac{(-b)^6}{a^5} = 0$ है।
चूँकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$,सरल करने पर $ab = 1$ प्राप्त होता है।

(D) हमें व्यंजक $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ का उपयोग करके,हम आंतरिक योग को सरल बना सकते हैं:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \left( \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$3 \sin x + 4 \cos x = 5$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ और $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) + 4 \left( \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) = 5$.
दोनों पक्षों को $(1 + \tan^2(x/2))$ से गुणा करने पर:
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5(1 + \tan^2(x/2))$.
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5 + 5 \tan^2(x/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 5 - 4$.
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 1$.

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3 \tan 3x$ होती है।
दिया गया है कि $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर,हमें $3 \tan 3x = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan 3x = 1$।

(B) सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = -2 \sin \left(\frac{36^{\circ}+72^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{36^{\circ}-72^{\circ}}{2}\right)$
$= -2 \sin 54^{\circ} \sin (-18^{\circ})$
$= 2 \sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ का मान रखने पर:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$
$= 2 \times \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = 2 \times \frac{5-1}{16} = 2 \times \frac{4}{16} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(C) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
$A + B = 180^{\circ} - C$
दोनों पक्षों में $\cot$ लेने पर:
$\cot(A + B) = \cot(180^{\circ} - C)$
$\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ और $\cot(180^{\circ} - C) = -\cot C$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C(\cot A + \cot B)$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C \cot A - \cot C \cot B$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$

(A) चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$ होता है,इसलिए:
$\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$
$\Rightarrow \alpha = \frac{2 \Delta}{a}, \beta = \frac{2 \Delta}{b}, \gamma = \frac{2 \Delta}{c}$
अब,व्यंजक:
$\frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{a^2}{4 \Delta^2} + \frac{b^2}{4 \Delta^2} + \frac{c^2}{4 \Delta^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2} \cdot \frac{1}{4 \Delta^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$:
$= \frac{1}{4 R^2} ((2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (4R^2 \sin^2 A + 4R^2 \sin^2 B + 4R^2 \sin^2 C)$
$= \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$

(C) दिया गया बिंदु $(3, 2)$ है।
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $(3, 2)$ का परावर्तन $(2, 3)$ है।
(ii) $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई का स्थानांतरण करने पर $(2+1, 3) = (3, 3)$ प्राप्त होता है।
(iii) बिंदु $(3, 3)$ का मूल बिंदु के चारों ओर $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर वामावर्त घूर्णन:
$X = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) - 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = 0$
$Y = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) + 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{18}$
अतः,अंतिम स्थिति $(0, \sqrt{18})$ है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $(y - 2) = m(x - 1)$ है।
दिया गया है कि इस रेखा और $y = 2x + 1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
दी गई रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
$1 = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = 1$ $\Rightarrow m - 2 = 1 + 2m$ $\Rightarrow m = -3$.
समीकरण $(y - 2) = -3(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -3x + 3$ $\Rightarrow 3x + y = 5$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = -1$ $\Rightarrow m - 2 = -1 - 2m$ $\Rightarrow 3m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{3}$.
समीकरण $(y - 2) = \frac{1}{3}(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = x - 1$ $\Rightarrow x - 3y + 5 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3x + y = 5$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया समीकरण $(x+7y)^2 + 4\sqrt{2}(x+7y) - 42 = 0$ है।
माना $x+7y = t$।
तब समीकरण $t^2 + 4\sqrt{2}t - 42 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 168}}{2} = \frac{-4\sqrt{2} \pm 10\sqrt{2}}{2}$।
अतः,$t = 3\sqrt{2}$ या $t = -7\sqrt{2}$।
दो समांतर रेखाएँ $x+7y - 3\sqrt{2} = 0$ और $x+7y + 7\sqrt{2} = 0$ हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $A = 1, B = 7, C_1 = -3\sqrt{2}, C_2 = 7\sqrt{2}$।
$d = \frac{|-3\sqrt{2} - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 7^2}} = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$।

(B) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएं $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $5$ है,इसलिए $|x| + |y| = 5$ है।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(5, 0), (0, 5), (-5, 0),$ और $(0, -5)$ हैं।
इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई $(5, 0)$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
विकर्ण $d$ वाले वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} d^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ वर्ग इकाई।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $r=12 \cos \theta+5 \sin \theta$ है।
$\cos \theta=\frac{x}{r}$ और $\sin \theta=\frac{y}{r}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r = 12 \left(\frac{x}{r}\right) + 5 \left(\frac{y}{r}\right)$
$r^2 = 12x + 5y$
चूंकि $r^2 = x^2 + y^2$,इसलिए:
$x^2 + y^2 - 12x - 5y = 0$
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -6$ और $f = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है:
त्रिज्या $= \sqrt{(-6)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 0}$
त्रिज्या $= \sqrt{36 + \frac{25}{4}}$
त्रिज्या $= \sqrt{\frac{144 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ है,जिसका केंद्र $A(2,1)$ है।
सबसे पहले,हम दूरी $AP$ की गणना करते हैं:
$AP = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.
चूंकि $Q$,रेखाखंड $PA$ पर स्थित है और $PQ=5$ है,इसलिए दूरी $AQ = AP - PQ = 10 - 5 = 5$.
अतः,$Q$,$AP$ का मध्य-बिंदु है क्योंकि $AQ = PQ = 5$.
$Q$ के निर्देशांक $\left(\frac{10+2}{2}, \frac{7+1}{2}\right) = (6,4)$ हैं।
चूंकि $Q(6,4)$ वृत्त पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$6^2 + 4^2 - 4(6) - 2(4) + c = 0$
$36 + 16 - 24 - 8 + c = 0$
$20 + c = 0$
$c = -20$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$(1, \sqrt{3})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + \sqrt{3}y = 4$ हो जाता है।
यह स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B(4, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ है।
$(1, \sqrt{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = \sqrt{3}x$ हो जाता है।
यह अभिलंब मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
धनात्मक $x$-अक्ष,स्पर्शरेखा और अभिलंब द्वारा निर्मित त्रिभुज $\triangle OAB$ है,जहाँ $O(0, 0)$,$A(1, \sqrt{3})$,और $B(4, 0)$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OB \times AD$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $AD$ बिंदु $A$ का $y$-निर्देशांक है।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$।

(D) रेखा $x+3y=0$ वृत्त पर $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा है। वृत्त की त्रिज्या $r=1$ है।
वृत्त का केंद्र $(h,k)$ स्पर्श रेखा के $(0,0)$ पर अभिलंब पर स्थित है।
स्पर्श रेखा $x+3y=0$ की ढाल $m_t = -\frac{1}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = 3$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y-0 = 3(x-0)$ है,जो $y=3x$ है।
अतः,केंद्र $(x, 3x)$ के रूप में है।
केंद्र $(x, 3x)$ से $(0,0)$ तक की दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\sqrt{(x-0)^2 + (3x-0)^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + 9x^2} = 1$
$\sqrt{10x^2} = 1$
$|x|\sqrt{10} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$.
यदि $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$,तो $y = 3x = \frac{3}{\sqrt{10}}$. अतः केंद्र $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही उत्तर $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ है।

(A) दी गई कोएक्सियल वृत्त प्रणाली $4x^2 + 4y^2 - 12x + 6y - 3 + \lambda(x + 2y - 6) = 0$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} + \frac{\lambda}{4}(x + 2y - 6) = 0$ प्राप्त होता है।
रेडिकल अक्ष $x + 2y - 6 = 0$ है। केंद्रों की रेखा रेडिकल अक्ष के लंबवत होती है,इसलिए यह $2x - y + k = 0$ के रूप में है।
आधार वृत्त $x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} = 0$ का केंद्र $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ है।
चूंकि केंद्रों की रेखा इस बिंदु से गुजरती है,हम इसे $2x - y + k = 0$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\frac{3}{2}) - (-\frac{3}{4}) + k = 0 \implies 3 + \frac{3}{4} + k = 0 \implies k = -\frac{15}{4}$.
अतः,केंद्रों की रेखा का समीकरण $2x - y - \frac{15}{4} = 0$ है,जिसे सरल करने पर $8x - 4y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
यह $(3, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$,जिसका अर्थ है $h^2 + k^2 - 6h - 8k + 25 = r^2$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 6h + 8k - 25 = 0$ है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ $g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 6h + 8k - 25$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
अतः,$6h + 8k - 25 - a^2 = 0$.
केंद्र $(h, k)$ का बिंदु पथ $6x + 8y - (25 + a^2) = 0$ है।
इस रेखा की $(0, 0)$ से दूरी $\frac{|-(25 + a^2)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 25$ है।
$\frac{25 + a^2}{10} = 25$ $\Rightarrow 25 + a^2 = 250$ $\Rightarrow a^2 = 225$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2=12x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
दिया गया अभिलंब $x+y=k$ है,जिसे $y=-x+k$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m=-1$ है।
$m=-1$ और $a=3$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - 3(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$y = -x + 9$ की तुलना $x+y=k$ से करने पर,$k=9$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=12x$ की नाभि $S(a, 0) = (3, 0)$ है।
नाभि $(3, 0)$ से रेखा $x+y-9=0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $p$:
$p = \frac{|1(3) + 1(0) - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$p^2 = \frac{36}{2} = 18$.
अब,$4k - 2p^2$ की गणना करने पर:
$4(9) - 2(18) = 36 - 36 = 0$.

(D) दी गई रेखा $2x + 5y = 12$ है और दीर्घवृत्त $4x^2 + 5y^2 = 20$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $x = \frac{12 - 5y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4\left(\frac{12 - 5y}{2}\right)^2 + 5y^2 = 20$
$(12 - 5y)^2 + 5y^2 = 20$
$144 - 120y + 25y^2 + 5y^2 = 20$
$30y^2 - 120y + 124 = 0$
$15y^2 - 60y + 62 = 0$
विविक्तकर $D = (-60)^2 - 4(15)(62) = 3600 - 3720 = -120$.
चूंकि $D < 0$,रेखा दीर्घवृत्त को किसी भी वास्तविक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त पूरी नहीं होती है,और उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $5 x^2-y^2=5$ है,जिसे $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{5}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=5$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=m x \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2}$ है,जो $y=m x \pm \sqrt{m^2-5}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(2,8)$ से गुजरती है,इसलिए $8=2 m \pm \sqrt{m^2-5}$,या $(8-2 m)^2 = m^2-5$ है।
इसका विस्तार करने पर,$64+4 m^2-32 m = m^2-5$,जो $3 m^2-32 m+69=0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(3 m-23)(m-3)=0$,जिससे $m=3$ या $m=\frac{23}{3}$ प्राप्त होता है।
$m=3$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y=3 x \pm \sqrt{3^2-5} \Rightarrow y=3 x \pm 2$ है।
अतः,$3 x-y+2=0$ या $3 x-y-2=0$ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ लिखा जा सकता है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 - 3 y y_1 = 3$ है।
$(\sqrt{3}, 0)$ रखने पर,$x(\sqrt{3}) - 3y(0) = 3$ प्राप्त होता है,जो $x = \sqrt{3}$ में सरल हो जाता है।
अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{3} - y^2 = 0$ अर्थात $x = \pm \sqrt{3}y$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$ और $(\sqrt{3}, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + \sqrt{3}(-1 - 0) + \sqrt{3}(0 - 1)| = \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
दिया गया व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$.
आधार को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x+6}{x+1} = \frac{x+1+5}{x+1} = 1 + \frac{5}{x+1}$.
अतः,सीमा इस प्रकार हो जाती है: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$.
गुणधर्म $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ का उपयोग करने पर:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}}$.
$= e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 4/x}{1 + 1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.

(A) $A_r$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करते हैं और $x \rightarrow -r$ पर सीमा (limit) लेते हैं।
$A_r = \lim_{x \rightarrow -r} \frac{x+r}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)}$
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1) \ldots (-1) \cdot (1) \cdot (2) \ldots (n-r)}$
हर (denominator) में $-r$ से $-1$ तक के पदों का गुणनफल $(-1)^r \cdot r!$ है और $1$ से $n-r$ तक के पदों का गुणनफल $(n-r)!$ है।
अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r \cdot r! \cdot (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(D) दिया गया है,$x = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}} \right)$.
हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसेकेंट फलन की परिभाषा $\operatorname{cosech}^{-1} y = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{\frac{1}{y^2} + 1} \right)$ होती है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $x = \operatorname{cosech}^{-1} y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में हाइपरबोलिक कोसेकेंट लेने पर,हमें $y = \operatorname{cosech} x$ प्राप्त होता है।

(C) माना खंभे की ऊँचाई $2h$ है,जहाँ $B$ मध्य बिंदु है ताकि $AB = BC = h$ हो। माना $PA = x$ है। पूरे खंभे द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{2h}{x} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 4h$।
अब,$\tan \beta = \frac{h}{x} = \frac{h}{4h} = \frac{1}{4}$।
दिया है कि $\theta = \alpha + \beta$,इसलिए $\alpha = \theta - \beta$।
सूत्र $\tan \alpha = \tan(\theta - \beta) = \frac{\tan \theta - \tan \beta}{1 + \tan \theta \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{1 + (\frac{1}{2})(\frac{1}{4})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{8}} = \frac{2}{9}$।
अतः,$(\tan \alpha, \tan \beta) = \left(\frac{2}{9}, \frac{1}{4}\right)$।

(B) माना कि $P$,बिंदुओं $Q(2,2,1)$ और $R(5,1,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{5m+2}{m+1}, \frac{m+2}{m+1}, \frac{-2m+1}{m+1} \right)$.
दिया गया है कि $P$ का $x$-निर्देशांक $4$ है,इसलिए:
$\frac{5m+2}{m+1} = 4$.
दोनों पक्षों को $(m+1)$ से गुणा करने पर:
$5m + 2 = 4(m + 1) \Rightarrow 5m + 2 = 4m + 4$.
$m$ के लिए हल करने पर,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$z$-निर्देशांक के व्यंजक में $m = 2$ रखने पर:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
अतः,$P$ का $z$-निर्देशांक $-1$ है।

(C) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$.
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए $A$ की कोटि $3$ से कम है। हम एक $2 \times 2$ माइनर की जाँच करते हैं: $\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 5 & 6\end{array}\right| = 24 - 25 = -1 \neq 0$.
अतः,$A$ की कोटि $a = 2$ है।
दिया गया है,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
चूंकि $|B| = 0$ और कम से कम एक अवयव शून्य नहीं है,इसलिए $B$ की कोटि $b = 1$ है।
दिया गया है,$C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
$C$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|C| = 2(4-0) = 8 \neq 0$.
चूंकि $C$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और इसका सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $C$ की कोटि $c = 3$ है।
मानों की तुलना करने पर: $b = 1, a = 2, c = 3$.
अतः,$b < a < c$.

(A) दिया गया है कि $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
हम जानते हैं कि $(x^2+y^2)^2 = x^4+y^4+2x^2y^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(t+\frac{1}{t})^2 = (t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$t^2 + 2(t)(\frac{1}{t}) + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
$t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
दोनों पक्षों से $t^2 + \frac{1}{t^2}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 = 2x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 = 1$.
अतः,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^3}$.
दोनों पक्षों को $\frac{x^3}{2}$ से गुणा करने पर:
$x^3 y \frac{dy}{dx} = -1$.

(A) दिया गया है,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} \right)$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} \right)$.
चूंकि $my - nx \neq 0$,इसलिए यह पद कट जाएगा:
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} (\alpha + \frac{\sin [x]}{x})$। $0 < x < 1$ के लिए $[x] = 0$ है,इसलिए सीमा $\alpha + 0 = \alpha$ है। अतः,$\alpha = 2$।
इसके बाद,बाईं ओर की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (\beta + \frac{\sin x - x}{x^3})$। टेलर श्रेणी $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta - \frac{1}{6} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{13}{6}$।

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$V = 288 \pi$ दिया गया है,अतः त्रिज्या $r$ का मान होगा:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow 216 = r^3 \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$.
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$2 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 4 \pi (36) \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 144 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{2 \pi}{144 \pi} = \frac{1}{72} \text{ cm}/\text{s}$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$ हो जाता है।
चूंकि $\sqrt{4(1 + \tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,इसलिए $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ रखने पर,$du = \cos \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है। अतः $I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{x}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ होता है।
अतः,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(D) माना $I = \int \sec^2 x \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
हम $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ और $\operatorname{cosec}^4 x = \frac{1}{\sin^4 x}$ लिख सकते हैं।
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx$.
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx + \int \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx + \int \operatorname{cosec}^2 x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x) \, dx + \int (1 + \cot^2 x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \tan x - \cot x + \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx + \int \cot^2 x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
माना $u = \cot x$,तो $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \tan x - \cot x - \cot x - \int u^2 \, du$.
$I = \tan x - 2 \cot x - \frac{u^3}{3} + C = \tan x - 2 \cot x - \frac{1}{3} \cot^3 x + C$.
दिए गए समीकरण $-\frac{1}{3} \cot^3 x + k \tan x - 2 \cot x + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$.
हम हर को $\sqrt{x(1-x)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
माना $\sqrt{x} = \sin \theta$. तब $x = \sin^2 \theta$.
दोनों पक्षों का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}}$
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$I = \int 2 \, d\theta = 2\theta + C$.
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{x}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
अतः,$I = 2 \sin^{-1} \sqrt{x} + C$.

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। रेखा $l_1$ पर कोई भी बिंदु $(1+t, -6+2t, 2+t)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $l_2$ पर कोई भी बिंदु $(2u, 4+u, 1+2u)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$1+t = 2u$ $(i)$
$-6+2t = 4+u$ $(ii)$
$2+t = 1+2u$ $(iii)$
$(i)$ से,$t = 2u - 1$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-6 + 2(2u - 1) = 4 + u$
$-6 + 4u - 2 = 4 + u$
$3u = 12 \Rightarrow u = 4$.
$u = 4$ को $t = 2u - 1$ में रखने पर,हमें $t = 2(4) - 1 = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$l_1$ में $t = 7$ का उपयोग करके बिंदु $P$ ज्ञात करें:
$P = (1+7, -6+2(7), 2+7) = (8, 8, 9)$.

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए रेखा द्वारा $x, y, z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण $\alpha, \beta, \gamma$ समान हैं,अर्थात $\alpha = \beta = \gamma$।
इसलिए,दिक्कोसाइन समान हैं: $l = m = n$।
हम जानते हैं कि दिक्कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = m = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3l^2 = 1$।
अतः,$l^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
रेखा द्वारा $y$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\beta$,$\cos \beta = m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
मुख्य मान लेने पर,$\beta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(D) माना सदिश $r$,$a$ और $b$ के समतल में स्थित है। अतः,$r$ को $r = a + tb$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
$r$ का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{r \cdot c}{|c|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k)}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,$1 = (1 + t)(1) + (2 - t)(1) + (1 + t)(-1)$.
$1 = 1 + t + 2 - t - 1 - t$.
$1 = 2 - t$.
$t = 1$.
$t = 1$ का मान $r$ में रखने पर:
$r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(A) मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(1,2,3)$ दिया गया है।
चूँकि मूल बिंदु $(0,0,0)$ और लंब के पाद $(1,2,3)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल के अभिलंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ होंगे।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ दिक्-अनुपात वाले अभिलंब के समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ और अभिलंब सदिश $(1, 2, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(A) माना बिंदु $A(1,0,0), B(0,1,0)$ और $C(1,1,1)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले सबसे छोटी त्रिज्या वाले गोले का केंद्र त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक पर स्थित होता है।
केंद्र $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
त्रिज्या $R$ केंद्र $C'$ से किसी भी बिंदु,जैसे $A(1,0,0)$ तक की दूरी है:
$R^2 = \left(\frac{2}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{2}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
गोले का समीकरण $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + \frac{9}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.
$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

(B) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F_1, F_2$ खराब हैं और $M_1, M_2$ सही हैं।
हमें दोनों खराब मशीनों की पहचान करनी है। चार में से दो मशीनों को एक विशिष्ट क्रम में चुनने के कुल तरीके $4 \times 3 = 12$ हैं।
केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने के लिए,पहले दो परीक्षण किए गए मशीनें दोनों खराब होनी चाहिए ($F_1, F_2$ या $F_2, F_1$)।
पहले परीक्षण में खराब मशीन चुनने की प्रायिकता $\frac{2}{4}$ है।
यदि पहली मशीन खराब थी,तो दूसरे परीक्षण में दूसरी खराब मशीन चुनने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
इसलिए,दोनों खराब मशीनों के ठीक दो परीक्षणों में पहचाने जाने की प्रायिकता $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
दिया गया है $P(E_1) = 9/10$,इसलिए $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$।
माना $E$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो $4$ विकल्पों में से $1$ सही होने के कारण,सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1/4$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उत्तर सही है तो छात्र द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{36/40 + 1/40} = \frac{1/40}{37/40} = \frac{1}{37}$।

(A) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण का पालन करता है,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$
चूंकि ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$,व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होता है:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^r \left(\frac{q}{p}\right)^{n-r} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$
इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$n$ वाले घातांक का आधार $1$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{q}{p} = 1$,जिसका अर्थ है $q = p$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p + p = 1$,जिससे हमें $2p = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = \frac{1}{2}$।

(A) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को $100$ बार उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 100$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
$k$ बार चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ द्वारा दी जाती है।
हमें विषम संख्या में चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ है।
यह योग $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि विषम-क्रम वाले द्विपद गुणांकों का योग ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ होता है।
$n=100$ के लिए,यह योग $2^{100-1} = 2^{99}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(B) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $x^2=4y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 4$.
जब $x = 0, y = 0$. जब $x = 4, y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $A(4,4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12} \right) - (0)$
$\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \right)$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिया गया समाकलन $\int_0^4 f(x) d x$ है जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ और $h=1$ है।
$x = 0, 1, 2, 3, 4$ पर $f(x)$ के मान इस प्रकार हैं:
$y_0 = f(0) = 1$
$y_1 = f(1) = \frac{1}{2}$
$y_2 = f(2) = \frac{1}{5}$
$y_3 = f(3) = \frac{1}{10}$
$y_4 = f(4) = \frac{1}{17}$
ट्रेपेज़ॉइडल नियम का उपयोग करने पर:
$\int_0^4 f(x) d x = \frac{h}{2} [ (y_0 + y_4) + 2(y_1 + y_2 + y_3) ]$
$= \frac{1}{2} [ (1 + \frac{1}{17}) + 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + 2(\frac{5+2+1}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + 2(\frac{8}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + \frac{8}{5} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{90 + 136}{85} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{226}{85} ] = \frac{113}{85}$

(D) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}i^2+i^2 & -i^2-i^2 \\ -i^2-i^2 & i^2+i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ 2 & -2\end{array}\right] = -2 \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = -2B$।
अब,$A^2 = -2B$ का उपयोग करके $A^8$ ज्ञात करें:
$A^8 = (A^2)^4 = (-2B)^4 = (-2)^4 B^4 = 16 B^4$।
आगे,$B^2$ की गणना करें:
$B^2 = \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right] = 2B$।
अतः $B^4 = (B^2)^2 = (2B)^2 = 4B^2 = 4(2B) = 8B$।
अंत में,$A^8 = 16(8B) = 128B$।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए $A$ की कोटि $3$ से कम है।
उपसारणिक $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 24 - 25 = -1 \neq 0$ पर विचार करें।
अतः,$A$ की कोटि $a = 2$ है।
दिया गया है,$B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
चूंकि $|B| = 0$ है और कम से कम एक अशून्य अवयव मौजूद है (जैसे,$1 \neq 0$),इसलिए $B$ की कोटि $b = 1$ है।
दिया गया है,$C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|C| = 2(4 - 0) = 8 \neq 0$.
चूंकि $C$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|C| \neq 0$,इसलिए $C$ की कोटि $c = 3$ है।
कोटियों की तुलना करने पर: $b = 1, a = 2, c = 3$.
अतः,सही क्रम $b < a < c$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$.
$R_2$ से $x$ और $R_3$ से $x(x-1)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$f(x) = x \cdot x(x-1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2 & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{array}\right|$.
$C_3$ से $(x+1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 3 & x-2 & 1 \end{array}\right|$.
अब,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = x^2(x^2-1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right|$.
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = x^2(x^2-1) \cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{array}\right| = x^2(x^2-1) \cdot (-2 - (-2)) = x^2(x^2-1) \cdot 0 = 0$.
अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$ है।
इसलिए,$f(2012) = 0$।

(B) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$(a \alpha+b) x+a y+b z=0$
$(b \alpha+c) x+b y+c z=0$
$(a \alpha+b) y+(b \alpha+c) z=0$
गैर-तुच्छ हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}a \alpha+b & a & b \\ b \alpha+c & b & c \\ 0 & a \alpha+b & b \alpha+c\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - \alpha R_1 - R_2$ लागू करने पर:
तीसरी पंक्ति इस प्रकार होगी: $0 - \alpha(a \alpha+b) - (b \alpha+c) = -(a \alpha^2+2 b \alpha+c)$,$a \alpha+b - \alpha(a) - b = 0$,और $b \alpha+c - \alpha(b) - c = 0$.
अतः,सारणिक होगा:
$\left|\begin{array}{ccc}a \alpha+b & a & b \\ b \alpha+c & b & c \\ -(a \alpha^2+2 b \alpha+c) & 0 & 0\end{array}\right|=0$
तीसरी पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$-(a \alpha^2+2 b \alpha+c)(ac - b^2) = 0$
चूंकि यह दिया गया है कि $a \alpha^2+2 b \alpha+c \neq 0$,इसलिए:
$ac - b^2 = 0 \Rightarrow b^2 = ac$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(B) माना $x = \cos \theta$ है। चूँकि $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos \theta) + \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{1}{2}$ और $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ लेने पर,$A = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\theta + \cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3}))$ हो जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$,इसलिए $-\frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq 0$,जिसका अर्थ है कि $0 \leq \frac{\pi}{3} - \theta \leq \frac{\pi}{3}$।
चूँकि $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \theta)$,इसलिए $\cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3} - \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का मान $\theta + (\frac{\pi}{3} - \theta) = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है,$g\{f(x)\}=|\sin x|$ और $f\{g(x)\}=(\sin \sqrt{x})^2$।
आइए विकल्प $f(x)=\sin ^2 x$ और $g(x)=\sqrt{x}$ की जाँच करें।
सबसे पहले,$f\{g(x)\}$ की गणना करें:
$f\{g(x)\} = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$।
यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
अगला,$g\{f(x)\}$ की गणना करें:
$g\{f(x)\} = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$।
यह भी दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $f(x)=\sin ^2 x$ और $g(x)=\sqrt{x}$ है।

(A) दिया गया है,$f: Z \rightarrow Z$,$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$.
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$। दोनों विषम हैं,इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$।
चूंकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $Z$ के बराबर होना चाहिए।
यदि $x$ सम है,तो $x = 2k$ लें जहाँ $k \in Z$। तब $f(2k) = \frac{2k}{2} = k$।
चूंकि $k$,$Z$ में कोई भी पूर्णांक हो सकता है,इसलिए $f$ का परिसर $Z$ है।
अतः,$f$ आच्छादक है।
इसलिए,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \left( \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} \right] \right)$.
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$,इसलिए $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-x^3/6 + x^5/120}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120}$.
जैसे $x \to 0^-$,$\frac{\sin x - x}{x^3} \to -\frac{1}{6}$. अतः,$\text{LHL} = \beta + [-1/6] = \beta - 1$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \left( \alpha + \frac{\sin [x]}{x} \right)$.
$0 < x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\sin [x] = \sin 0 = 0$.
अतः,$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} (\alpha + 0) = \alpha$.
दिया गया है कि $f(0) = 2$,इसलिए $\beta - 1 = 2 = \alpha$.
अतः,$\beta = 3$ और $\alpha = 2$.
इसलिए,$\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ हैं।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
यह दिया गया है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\tan(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{4})$,जिसका अर्थ है $\theta/2 = \frac{\pi}{4}$,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ का मान $x$ और $y$ के समीकरणों में रखने पर:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$.
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left[a\left(\frac{\pi}{2}+1\right), a\right]$ हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \log(e^x) + \log \left(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right)$
$f(x) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-2)) - \frac{d}{dx}(\log(x+2)) \right]$
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल बनाने पर:
$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$.
इस मान को अवकलज में वापस रखने पर:
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
अंत में,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(0) = 1 + \frac{3}{0^2-4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

(D) दिया गया है,$f(x) = (x^2 - 1)^7$.
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$f(x) = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} (x^2)^{7-k} (-1)^k$.
इस प्रसार में $x$ की उच्चतम घात $x^{14}$ है,जो $k=0$ के लिए प्राप्त होती है।
$x^{14}$ वाला पद $\binom{7}{0} (x^2)^7 (-1)^0 = 1 \cdot x^{14} \cdot 1 = x^{14}$ है।
$x^n$ का $n$-वां अवकलज $n!$ होता है।
अतः,$x^{14}$ का $14$-वां अवकलज $14!$ होगा।
प्रसार के अन्य सभी पदों में $x$ की घात $14$ से कम है,इसलिए उनका $14$-वां अवकलज $0$ होगा।
अतः,$f^{(14)}(x) = 14!$.

(C) दिया गया है,$u=f(r)$ और $r^2=x^2+y^2$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ और $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$u_x = f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f^{\prime}(r) \frac{x}{r}$.
अतः,$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( f^{\prime}(r) \frac{x}{r} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \left( \frac{r - x(x/r)}{r^2} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - x^2}{r^3}$.
इसी प्रकार,$u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \frac{y^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - y^2}{r^3}$.
इन दोनों को जोड़ने पर:
$u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{x^2+y^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - (x^2+y^2)}{r^3} \right)$.
चूंकि $x^2+y^2 = r^2$ है:
$u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{r^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - r^2}{r^3} \right) = f^{\prime \prime}(r) + f^{\prime}(r) \frac{r^2}{r^3} = f^{\prime \prime}(r) + \frac{1}{r} f^{\prime}(r)$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$.
चूंकि $\sqrt{4(1+\tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,इसलिए:
$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ लेने पर,$du = \cos \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
यहाँ $\tan \theta = \frac{x}{2}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ होगा।
अतः,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $-\pi + \pi - x = -x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \sin^2 x}{a^x+1} dx$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x + a^x \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1+a^x) \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$
चूंकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$
$2I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ है।
मान लीजिए $t = x - y$ है। तब $\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dt}{dx}$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \frac{dt}{dx} + 2x \tan(t) = 1$
$\Rightarrow \frac{dt}{dx} = 2x \tan(t)$
$\Rightarrow \cot(t) dt = 2x dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot(t) dt = \int 2x dx$
$\ln|\sin(t)| = x^2 + C$।
मान लीजिए $C = \ln|A|$,तो $\ln|\sin(t)| = x^2 + \ln|A|$।
$\ln|\sin(t)| - \ln|A| = x^2$
$\ln|\frac{\sin(t)}{A}| = x^2$
$\sin(t) = A e^{x^2}$।
$t = x - y$ वापस रखने पर,हमें $\sin(x-y) = A e^{x^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ है।
दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{x^4 (1-x^2)^{3/2}}{(1+x^5)(1-x^2)} = \frac{x^4 \sqrt{1-x^2}}{1+x^5}$.
यह $\frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $u = 1-x^2$,तब $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(B) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $u$ और सार्व अनुपात $z$ है।
अतः,$T_p = u z^{p-1} = a$,$T_q = u z^{q-1} = b$,और $T_r = u z^{r-1} = c$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log a = \log u + (p-1) \log z$
$\log b = \log u + (q-1) \log z$
$\log c = \log u + (r-1) \log z$
माना $\vec{A} = (\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k = 2(\log a) i + 2(\log b) j + 2(\log c) k$.
माना $\vec{B} = (q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$.
अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 [(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)]$.
$\log a, \log b, \log c$ के मान रखने पर:
$(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q) = [\log u + (p-1)\log z](q-r) + [\log u + (q-1)\log z](r-p) + [\log u + (r-1)\log z](p-q)$.
$= \log u (q-r+r-p+p-q) + \log z [(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$.
$= \log u (0) + \log z [0] = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया है,$\vec{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{BC} = \hat{i} - 2\hat{k}$.
माना विकर्ण $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ हैं।
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ और $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB}$ होते हैं।
$\vec{AC} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{BD} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
विकर्णों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 = -12$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{9}{30}} = \sqrt{\frac{3}{10}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{10}}\right)$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है कि $p = \frac{b \times c}{[a b c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a b c]}$,और $r = \frac{a \times b}{[a b c]}$।
हम जानते हैं कि $[a b c] = a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$।
अब,$(a+b) \cdot p$ की गणना करें:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} = \frac{[a b c]}{[a b c]} + 0 = 1$।
इसी प्रकार,$(b+c) \cdot q$ की गणना करें:
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} = \frac{[b c a]}{[a b c]} + 0 = 1$।
इसी प्रकार,$(c+a) \cdot r$ की गणना करें:
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} = \frac{[c a b]}{[a b c]} + 0 = 1$।
अतः,$(a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r = 1 + 1 + 1 = 3$।

(B) दिया गया है,$a = i + j - 2k$.
हमें $\sum \{(a \times i) \times j\}^2$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(A \times B) \times C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times i) \times j = (a \cdot j)i - (i \cdot j)a$.
चूंकि $i \cdot j = 0$,यह $(a \cdot j)i$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\sum \{(a \times i) \times j\}^2 = \sum \{(a \cdot j)i\}^2 = \sum (a \cdot j)^2 |i|^2$.
चूंकि $|i|^2 = 1$,यह $\sum (a \cdot j)^2$ हो जाता है।
मान लीजिए $a = a_x i + a_y j + a_z k$. तब $a \cdot i = a_x$,$a \cdot j = a_y$,और $a \cdot k = a_z$.
योग $\sum (a \cdot j)^2$ घटकों के वर्गों का योग दर्शाता है,जो $|a|^2$ है।
$|a|^2 = |i + j - 2k|^2 = 1^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(D) चूंकि सदिश $r$,$a$ और $b$ के समतल में स्थित है,इसे $r = a + tb$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
दिया गया है कि $r$ का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए हम सूत्र $\frac{r \cdot c}{|c|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल $r \cdot c = ((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k) = (1 + t) + (2 - t) - (1 + t) = 2 - t$.
इन मानों को प्रक्षेप सूत्र में रखने पर: $\frac{2 - t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसका अर्थ है $2 - t = 1$,जिससे $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को $r$ के समीकरण में रखने पर: $r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर लंब का पाद $(1,2,3)$ है।
यह बिंदु $(1,2,3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए यह $(x_1, y_1, z_1)$ के रूप में कार्य करता है।
मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के रूप में कार्य करता है।
अतः,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$।
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(A) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F$ खराब मशीन को दर्शाता है और $M$ काम करने वाली मशीन को दर्शाता है।
$4$ मशीनों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं।
हमें ठीक $2$ परीक्षणों में दोनों खराब मशीनों की पहचान करनी है।
यह तब होता है यदि पहले दो परीक्षण किए गए मशीनें दोनों खराब हों ($F_1, F_2$ या $F_2, F_1$) या यदि पहले दो परीक्षण किए गए मशीनें दोनों सही हों ($M_1, M_2$ या $M_2, M_1$)।
स्थिति $1$: पहले दो खराब हैं। तरीकों की संख्या $2! \times 2! = 4$ है।
स्थिति $2$: पहले दो सही हैं। तरीकों की संख्या $2! \times 2! = 4$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 4 = 8$.
प्रायिकता $= \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

(B) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
दिया गया है $P(E_1) = 9/10$ और $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो चूंकि $4$ विकल्प हैं और $1$ सही है,इसलिए सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1/4$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उत्तर सही है तो छात्र द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{(36+1)/40} = \frac{1}{37}$।

(B) दिया गया है कि $X$ एक पॉइसन चर है जिसका प्राचल $\lambda$ है,तो प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
दिया है $\alpha = P(X=1) = P(X=2)$:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \Rightarrow \lambda = 2$ (चूंकि $\lambda > 0$)।
अब,$\alpha$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\alpha = P(X=1) = \frac{e^{-2} \times 2^1}{1!} = 2e^{-2}$।
हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} \times 2^4}{24} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3} e^{-2}$।
चूंकि $\alpha = 2e^{-2}$,इसलिए $e^{-2} = \frac{\alpha}{2}$ है।
इस मान को $P(X=4)$ के व्यंजक में रखने पर:
$P(X=4) = \frac{2}{3} \times \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{3}$।