frac{1}{x(x+1)(x+2) ldots(x+n)} = frac{A_0}{x | vedclass

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Question

(A) $A_r$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करते हैं और $x \rightarrow -r$ पर सीमा (limit) लेते हैं।$A_r = \lim_{x \rightarrow -r}

Vedclass · Accepted Answer

$(-1)^r \frac{1}{r!(n-r)!}$

Vedclass · Answer

(A) $A_r$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करते हैं और $x \rightarrow -r$ पर सीमा (limit) लेते हैं।$A_r = \lim_{x \rightarrow -r} \frac{x+r}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)}$$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1) \ldots (-1) \cdot (1) \cdot (2) \ldots (n-r)}$हर (denominator) में $-r$ से $-1$ तक के पदों का गुणनफल $(-1)^r \cdot r!$ है और $1$ से $n-r$ तक के पदों का गुणनफल $(n-r)!$ है।अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r \cdot r! \cdot (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

$\frac{1}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)} = \frac{A_0}{x} + \frac{A_1}{x+1} + \ldots + \frac{A_n}{x+n}$. $0 \leq r \leq n$ के लिए,$A_r$ का मान ज्ञात कीजिए:

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