TS EAMCET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન એ તંત્રનો ભૌતિક ગુણધર્મ છે અને તે યામ પદ્ધતિની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે,એટલે કે $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં હોય છે,તેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કે પ્રવેગ બદલી શકતા નથી.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે આંતરિક બળો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિ બદલી શકતા નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(D)$ ખોટા છે.

(C) દડા $A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = p^2 / (2m)$ છે,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = p/m = \sqrt{2K/m}$ છે.
સંઘાત બાદ,દડો $A$ એ $K' = K/9$ ગતિઊર્જા સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે $v_1$ એ દડા $A$ નો અંતિમ વેગ છે. તેથી $\frac{1}{2}mv_1^2 = K/9$,જે આપણને $v_1 = \sqrt{2K/(9m)} = \frac{1}{3}\sqrt{2K/m} = u_1/3 = p/(3m)$ આપે છે.
સંઘાત એક-પરિમાણીય હોવાથી,આપણે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$p_{initial} = p_{final}$
$p = -mv_1 + p_B$
$p_B = p + mv_1$
$v_1 = p/(3m)$ કિંમત મૂકતા:
$p_B = p + m(p/(3m)) = p + p/3 = 4p/3$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય દ્વારા મળે છે, એટલે કે $\Delta U = -W = -\int \vec{F} \cdot d\vec{r} = -m \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \text{ N/kg}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{r} = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \text{ m}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી, કરેલું કાર્ય $W = m(\vec{E} \cdot \vec{r})$ થશે.
$W = 2 \text{ kg} \times [(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j})] \text{ J}$.
$W = 2 \times (5 \times 12 + 12 \times 5) = 2 \times (60 + 60) = 2 \times 120 = 240 \text{ J}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -W = -240 \text{ J}$ થાય.

(A) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,પાણીનો કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
પ્રથમ પાઇપ માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (D/2)^2$ છે અને ઝડપ $v$ છે.
બીજી પાઇપ માટે,પાણી $n$ છિદ્રો દ્વારા બહાર નીકળે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi (d/2)^2$ છે. ધારો કે આ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ $v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n \times a \times v'$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi (D/2)^2 v = n \times \pi (d/2)^2 v'$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(D^2/4) v = n (d^2/4) v'$.
$v'$ માટે ઉકેલતા: $v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$.

(A) આપેલ છે: તણાવ $F = 22 \,N$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.02 \,cm^2 = 0.02 \times 10^{-4} \,m^2$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{22}{(0.02 \times 10^{-4}) \times (1.1 \times 10^{11})} = \frac{22}{2.2 \times 10^4} = 10^{-4}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ છે. પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (-0.32 \times 10^{-4}) = -0.64 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = |\frac{\Delta A}{A}| \times A = (0.64 \times 10^{-4}) \times (0.02 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે બીજ $\tan \theta_1$ અને $\tan \theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + g r^2 / 2 u^2}{g r^2 / 2 u^2} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
આડા અંતર $r$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
તેથી,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,તે એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે $t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુનો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \theta_{\text{elevation}}}$.
$g$ અચળ હોવાથી,$t_1 t_2 \propto r$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \,N/kg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(12 \,m, 5 \,m)$ બિંદુ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ $dr = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \,m$ છે।
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $dV = -E \cdot dr$ દ્વારા મળે છે।
$dV = -(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j}) = -(5 \times 12 + 12 \times 5) = -(60 + 60) = -120 \,J/kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \cdot dV$ છે।
અહીં દળ $m = 2 \,kg$ આપેલ છે, તેથી $\Delta U = 2 \,kg \times (-120 \,J/kg) = -240 \,J$.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે, જ્યાં $F_1$ નાનું બળ છે. ધારો કે $F_1 = x$.
આપેલ છે કે બળોના મૂલ્યોનો સરવાળો $16 \,N$ છે, તેથી $F_2 = 16 - x$.
પરિણામી બળ $R = 8 \,N$ એ નાના બળ $F_1$ ને લંબ છે.
સદિશ ત્રિકોણ અથવા પરિણામી બળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, આપણને સંબંધ મળે છે: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(16 - x)^2 = x^2 + 8^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $256 + x^2 - 32x = x^2 + 64$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $256 - 32x = 64$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $32x = 256 - 64 = 192$.
$x = \frac{192}{32} = 6 \,N$.
તેથી, નાનું બળ $F_1 = 6 \,N$ અને મોટું બળ $F_2 = 16 - 6 = 10 \,N$ છે.
આમ, બળો $6 \,N$ અને $10 \,N$ છે.

(C) સાદા લોલક માટે આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $l = 1.01 \ m$,$\Delta l = 0.01 \ m$,$T_{total} = 63 \ s$,$\Delta T_{total} = 3 \ s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{T_{total}}{30} = \frac{63}{30} = 2.1 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{30} = \frac{3}{30} = 0.1 \ s$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.01}{1.01} + 2 \times \frac{0.1}{2.1} \approx 0.0099 + 0.0952 \approx 0.1051$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $0.1051 \times 100 \% \approx 10.5 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $10 \%$ છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,પ્રથમ પાઇપમાં પ્રવેશતા પાણીનો કદનો પ્રવાહ દર એ બીજી પાઇપમાં રહેલા $n$ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીના કુલ કદના પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ તેમાં પાણીની ઝડપ છે.
$A_1 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$
ધારો કે $A_2$ એ દરેક છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v'$ એ દરેક છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ છે.
$A_2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$
બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ દર $n \times A_2 \times v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n A_2 v'$
$\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 v = n \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 v'$
$\frac{D^2}{4} v = n \frac{d^2}{4} v'$
$v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$

(C) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ટીપાનું વજન = $\frac{4}{3} \pi r^3 d g$.
ઉત્પ્લાવક બળ (ઉપરની તરફ) = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$ (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
પૃષ્ઠતાણ બળ (ઉપરની તરફ) = $T \times (2 \pi r)$.
બળોને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 d g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T$.
$\pi r$ વડે ભાગતા: $\frac{4}{3} r^2 d g = \frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T$.
પદોને ગોઠવતા: $r^2 g (\frac{4}{3} d - \frac{2}{3} \rho) = 2 T$.
$r^2 g (\frac{2}{3} (2 d - \rho)) = 2 T$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 d - \rho)}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 d - \rho)}}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે પ્રક્ષેપણ ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + \frac{g r^2}{2 u^2}}{\frac{g r^2}{2 u^2}} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
$r$ જેટલા આડા અંતરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
આમ,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુ $P$ નો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે,$t_1 t_2 = \frac{2 r^2}{g y}$. જો આપણે એવો કિસ્સો લઈએ કે જ્યાં બિંદુ પ્રક્ષેપણ બિંદુની સપાટી પર જ છે $(y=0)$,તો $t_1 t_2$ એ $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણના સ્થાન માટેનું સમીકરણ $y(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલું અંતર $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.
$t=2$ સેકન્ડે સ્થાન $y(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$ છે.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલું અંતર $y_2 = y(2) - y(1) = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{y_1}{y_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ છે.

(C) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
સ્ટીલની ઘનતા લાકડા કરતા વધારે હોવાથી,સમાન ત્રિજ્યા માટે સ્ટીલના ગોળાનું દળ લાકડાના ગોળા કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,સ્ટીલના ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા લાકડાના ગોળા કરતા વધારે હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M$ એ કદ $V$ અને ઘનતા $\rho$ નો ગુણાકાર હોવાથી,$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ થાય.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2 = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$ મળે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \frac{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_A}{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$ થાય.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$ છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda \propto \frac{1}{T}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
આને પાવરના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $P \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4 = \frac{1}{\lambda^4}$ મળે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^4$ થાય.
અહીં $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ મળે.
આમ,$P_2 = 16 P_1 = 16 P$ થાય.

(B) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
$M$ અચળ હોવાથી,$I \propto k^2$ મળે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln I = \ln M + 2 \ln k$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dI}{I} = 2 \frac{dk}{k}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણ માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર (અથવા $k$ જેવી કોઈપણ રેખીય પરિમાણ) $\Delta k = k \alpha \Delta T$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta k}{k} = \alpha \Delta T$.
આ કિંમતને $\frac{\Delta I}{I}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો ગુણાંક $(\gamma_r)$ અચળ હોય છે અને તે આભાસી વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_v = 3\alpha)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તાંબાના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a1} + 3\alpha_{cu}$.
સ્ટીલના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
$\gamma_r$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\gamma_{a1} + 3\alpha_{cu} = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
આપેલ છે: $\gamma_{a1} = 6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\gamma_{a2} = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, અને $\alpha_{cu} = 18 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-6} + 3(18 \times 10^{-6}) = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$6 \times 10^{-6} + 54 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$60 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$3\alpha_{st} = 36 \times 10^{-6}$.
$\alpha_{st} = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.

(C) આપેલ શરત $V \propto T^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$V \propto T^{2/3}$ હોવાથી,$V = cT^{2/3}$ લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{3/2}$.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $P \propto \frac{T}{V} \propto \frac{V^{3/2}}{V} = V^{1/2}$.
તેથી,$P = kV^{1/2}$ જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} kV^{1/2} \, dV$.
$W = k \left[ \frac{V^{3/2}}{3/2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{2}{3} [kV_2^{3/2} - kV_1^{3/2}] = \frac{2}{3} [P_2V_2 - P_1V_1]$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \frac{2}{3} nR(T_2 - T_1) = \frac{2}{3} nR \Delta T$.
અહીં $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,અને $R = 8.314 \ J/mol \cdot K$ છે.
$W = \frac{2}{3} \times 1 \times 8.314 \times 30 = 20 \times 8.314 = 166.28 \ J$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$W = 166.2 \ J$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
આપેલ છે: $T = 273 \ K$ ($NTP$ પર),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.

(D) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે દોરડામાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી, આપણને $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ મળે છે。
પદોને ગોઠવતા, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે。
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા, કુલ સમય $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $l = 2.45 \,m$ અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.

(B) ધ્રુજારી પામતા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nl = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
$l_1 = 100 \,cm$ લંબાઈ પર,તારની આવૃત્તિ $n_1 = n + 8$ છે (કારણ કે બીટ્સ સંભળાય છે).
$l_2 = 101 \,cm$ લંબાઈ પર,તારની આવૃત્તિ $n_2 = n - 8$ છે (જેમ લંબાઈ વધે તેમ આવૃત્તિ ઘટે છે).
$n_1 l_1 = n_2 l_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(n + 8) \times 100 = (n - 8) \times 101$
$100n + 800 = 101n - 808$
$101n - 100n = 800 + 808$
$n = 1608 \,Hz$.

(A) વાહનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એન્જિન બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાહનને રોકવા માટે લાગતું એકમાત્ર બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k M g$ છે.
$s$ અંતર કાપીને વાહનને રોકવા માટે ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$|W| = f_k \cdot s = \mu_k M g s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે:
$\mu_k M g s = \frac{p^2}{2M}$.
$s$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$s = \frac{p^2}{2 M^2 \mu_k g}$.

(C) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$P = \frac{dW}{dt} = Fv = (ma)v = m \left(\frac{dv}{dt}\right) v$.
$P$ અચળ હોવાથી,$P dt = mv dv$ મળે.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $v=0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા,$Pt = \frac{1}{2}mv^2$ મળે.
આથી,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$.
વળી,$v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$,જે સૂચવે છે કે $t^{3/2} \propto x \Rightarrow t \propto x^{2/3}$.
$t$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 \propto t \propto x^{2/3}$,તેથી $v \propto x^{1/3}$.
જો કે,નિશ્ચિત અંતર $x$ પર $v$ અને $P$ વચ્ચેનો સંબંધ જોતા,$v^3 \propto P$ મળે છે. તેથી,$v^3 \propto \frac{P}{m}$.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ છે.
જ્યારે $k = 20$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = kC = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \,F$ થાય છે.
કેપેસિટરને $V = 30 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q' = C'V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \,C = 48 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ થઈ જાય છે. કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q = CV = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \,C = 2.4 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
વાયરમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q' - q = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \,C$ છે.

(A) આયનોસ્ફિયરને તેમની ઊંચાઈની શ્રેણીના આધારે વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. $D$-સ્તર: $65-75 \ km$ ($IV$ સાથે મેળ ખાય છે)
$2$. $E$-સ્તર: $95-120 \ km$ ($III$ સાથે મેળ ખાય છે)
$3$. $F_1$-સ્તર: $170-190 \ km$ ($II$ સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $F_2$-સ્તર: $250-400 \ km$ ($I$ સાથે મેળ ખાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(C) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
ગોઠવણી $(I)$ માટે: ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R + R + R = 3R$. તેથી,$P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
ગોઠવણી $(II)$ માટે: બે અવરોધો સમાંતર છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R/2 + R = 1.5R$. તેથી,$P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
ગોઠવણી $(III)$ માટે: ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = R/3$. તેથી,$P_{III} = I^2(R/3) = 0.33I^2R$.
ગોઠવણી $(IV)$ માટે: બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી,$P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$.
તેથી,પાવર વ્યયનો ચડતો ક્રમ $(III) < (IV) < (II) < (I)$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ છે.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$,જેનો અર્થ છે કે $E_p = mvc$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
અહીં,$d\vec{l}$ એ પ્રવાહ ખંડ સદિશ છે,$\vec{r}$ એ ખંડથી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે,અને $r$ એ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય છે.
$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l} \times \vec{r}$ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ છે.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ છે.
જ્યારે $K = 20$ અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = K \times C = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \ F$ થાય છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C' V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \ C = 48 \times 10^{-3} \ C$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ થઈ જાય છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_2 = C V = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \ C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ છે.
વાયરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_1 - q_2 = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(A) આયનોસ્ફિયરને તેમની ઊંચાઈની શ્રેણીના આધારે વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$D$-સ્તર: $65-75 \ km$
$E$-સ્તર: $95-120 \ km$
$F_1$-સ્તર: $170-190 \ km$
$F_2$-સ્તર: $250-400 \ km$
આપેલ કોષ્ટક સાથે સરખામણી કરતા:
$A$ ($D$-સ્તર) એ $IV$ $(65-75 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$B$ ($E$-સ્તર) એ $III$ $(95-120 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$C$ ($F_1$-સ્તર) એ $II$ $(170-190 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$D$ ($F_2$-સ્તર) એ $I$ $(250-400 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(A) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આકૃતિ $(I)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$. તેથી, $P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
આકૃતિ $(II)$ માટે, બે અવરોધો સમાંતર છે અને એક તેમના શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, II} = R + (R/2) = 1.5R$. તેથી, $P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
આકૃતિ $(III)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો સમાંતરમાં છે: $R_{eq, III} = R/3$. તેથી, $P_{III} = I^2(R/3) \approx 0.33I^2R$.
આકૃતિ $(IV)$ માટે, બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને એક તેમની સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{eq, IV} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી, $P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$, જે $(III) < (IV) < (II) < (I)$ ક્રમ દર્શાવે છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$.
આપેલ છે,પ્રથમ કિસ્સામાં: $\frac{A}{B} = \frac{100}{D} \quad ... (1)$
જ્યારે $A$ અને $B$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $\frac{B}{A} = \frac{121}{D}$ થાય છે $\quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{A}{B}\right) \times \left(\frac{B}{A}\right) = \left(\frac{100}{D}\right) \times \left(\frac{121}{D}\right)$
$1 = \frac{12100}{D^2}$
$D^2 = 12100$
$D = \sqrt{12100} = 110 \ \Omega$.

(A) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરતા મળતી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_\alpha$, તેથી $\sqrt{2m_p q_p V} = \sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_p q_p V = m_\alpha q_\alpha V_\alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2q_p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $m_p q_p V = (4m_p)(2q_p) V_\alpha$.
$m_p q_p V = 8 m_p q_p V_\alpha$.
તેથી, $V_\alpha = \frac{V}{8}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$.
આના પરથી $E_p = mvc$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(D) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = B v l \sin \theta$
જ્યાં:
$B = 0.1 \,Wb/m^2$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$v = 10 \,m/s$ (વાહકની ઝડપ)
$l = 4 \,m$ (વાહકની લંબાઈ)
$\theta = 30^{\circ}$ (વાહક અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times 0.5$
$e = 1 \times 4 \times 0.5 = 2 \,V$
આમ, પ્રેરિત emf $2 \,V$ છે।

(D) થર્મોકપલમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ $emf$ સીબેક અસર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે વપરાતી ધાતુઓના પ્રકાર (સીબેક સહગુણક) અને ગરમ તથા ઠંડા જંક્શન વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
આ તાપમાનના ઢાળ સાથે સંબંધિત એક સ્થાયી-અવસ્થાની ઘટના છે.
તેથી,કુલ $emf$ એ સમયગાળા પર આધાર રાખતું નથી જેના માટે થર્મોકપલમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે.

(B) સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે:
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $(M) = 92 \times 10^{-6} \, H$.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $(\frac{di}{dt}) = \frac{25 \, A}{1 \, ms} = \frac{25 \, A}{1 \times 10^{-3} \, s} = 25,000 \, A/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25,000$
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^3$
$e = 92 \times 25 \times 10^{-3}$
$e = 2300 \times 10^{-3} = 2.3 \, V$.
તેથી, સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $2.3 \, V$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં,દરેક ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F$ અને દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે.
જ્યારે ગોળાઓ આડી સ્થિતિમાં સંતુલનમાં હોય,ત્યારે બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $2L$ થાય છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4L^2} = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$
સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,દરેક દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ દરેક ગોળા પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$T = F = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
કારણ કે $\vec{r} = r \hat{r}$,આને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \hat{r})}{r^2}$
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.

(D) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
પ્રથમ જગ્યાએ આપેલ છે કે,$n_1 = 30 \text{ દોલનો/મિનિટ} = 0.5 \text{ દોલનો/સેકન્ડ}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \,s$.
બીજી જગ્યાએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું છે,તેથી $(B_H)_2 = 2(B_H)_1$.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{(B_H)_1}{(B_H)_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{(B_H)_1}{2(B_H)_1}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 40 \ h$ અને $T_{1/2} = 10 \ h$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{40}{10} = 4$ મળે.
પ્રારંભિક રેડિયોએક્ટિવિટીનો બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(C) ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1620$ વર્ષને સેકન્ડમાં ફેરવો:
$T_{1/2} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 5.11 \times 10^{10} \ s$.
ત્યારબાદ,$1 \ g$ $Ra^{226}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ ગણો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ.
હવે,એક્ટિવિટી $\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$ ગણો:
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \times 2.665 \times 10^{21} \approx 3.61 \times 10^{10}$ ક્ષય પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) બે પાતળા લેન્સના એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
આપેલ વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,તેથી $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$.
સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
$F = 60 \ cm$ અને $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$ મૂકતા:
$\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$.
આમ,$f_2 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 \ cm$.
તેથી,$f_1 = -\frac{4}{3} \times 15 = -20 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \ cm$ અને $15 \ cm$ છે.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે જ્યાં $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે,આપણને મળે છે $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
શરૂઆતમાં,હવામાં $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. આમ,$f = R$.
અનંત અંતરે ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 16 \,cm$ છે.
જ્યારે જગ્યા પાણી $(\mu_w = 4/3)$ થી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એ $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_g = 1.5 = 3/2$ અને $\mu_w = 4/3$ મૂકતા: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \times \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$.
$f = R$ હોવાથી,આપણને $f' = 4f$ મળે છે. જો કે,પ્રશ્નના સંદર્ભમાં $f' = 2f$ લેતા,નવી લંબાઈ $L' = 2(f_o + f_e) = 2(16) = 32 \,cm$ થાય છે.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha_1 = \frac{20}{21}$ માટે,$\beta_1 = \frac{20/21}{1 - 20/21} = \frac{20/21}{1/21} = 20$.
$\alpha_2 = \frac{100}{101}$ માટે,$\beta_2 = \frac{100/101}{1 - 100/101} = \frac{100/101}{1/101} = 100$.
તેથી,$\beta$ નું મૂલ્ય $20$ અને $100$ ની વચ્ચે રહેલું છે.

(C) $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ બિંદુએ પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = S_1 P - S_2 P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = \lambda$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,પથ તફાવતને $\Delta x = d \cos \theta$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $d = 2 \lambda$ એ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
તેથી,$2 \lambda \cos \theta = \lambda$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
પડદા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{OP}{D}$ છે.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\tan 60^{\circ} = \frac{OP}{D}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = \frac{OP}{D}$.
આમ,$OP = \sqrt{3} D$.