यदि u=f(r),जहाँ r^2=x^2+y^2 है,तो left(frac{p | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$u=f(r)$ और $r^2=x^2+y^2$. सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें: $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ और $\frac{\p

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$f^{\prime \prime}(r)+\frac{1}{r} f^{\prime}(r)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$u=f(r)$ और $r^2=x^2+y^2$. सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें: $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ और $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$u_x = f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f^{\prime}(r) \frac{x}{r}$. अतः,$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( f^{\prime}(r) \frac{x}{r} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \left( \frac{r - x(x/r)}{r^2} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - x^2}{r^3}$. इसी प्रकार,$u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \frac{y^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - y^2}{r^3}$. इन दोनों को जोड़ने पर: $u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{x^2+y^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - (x^2+y^2)}{r^3} \right)$. चूंकि $x^2+y^2 = r^2$ है: $u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{r^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - r^2}{r^3} \right) = f^{\prime \prime}(r) + f^{\prime}(r) \frac{r^2}{r^3} = f^{\prime \prime}(r) + \frac{1}{r} f^{\prime}(r)$.

यदि $u=f(r)$,जहाँ $r^2=x^2+y^2$ है,तो $\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$ का मान क्या होगा?

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यदि $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}$ है,तो $\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2 = $

यदि $u = x^2 + y^2$ और $x = s + 3t, y = 2s - t$ है,तो $\frac{d^2u}{ds^2} = $

यदि $u = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $u^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2$ है,तो $\sum \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = $

यदि $F(u) = f(x, y, z)$, $x, y, z$ में $n$ घात का एक समघात फलन है, तो $x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} + z\frac{\partial u}{\partial z} = $

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