MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में विकिरित ऊष्मा (उत्सर्जक शक्ति) $E = \epsilon \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\epsilon$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में समान ऊष्मा विकिरित करते हैं,इसलिए $E_A = E_B$ है।
अतः,$\epsilon_A \sigma T_1^4 = \epsilon_B \sigma T_2^4$ होगा।
उत्सर्जकता का अनुपात $\frac{\epsilon_A}{\epsilon_B} = \frac{16}{1}$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $16 \sigma T_1^4 = 1 \sigma T_2^4$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $16 T_1^4 = T_2^4$ मिलता है।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $2 T_1 = T_2$,जिसका अर्थ है $T_1 = 0.5 T_2$।
इसकी तुलना $T_1 = x T_2$ से करने पर,हमें $x = 0.5$ प्राप्त होता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ जिस पर एक कृष्णिका अधिकतम ऊर्जा का विकिरण करती है,उसके निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m T = b$ (स्थिरांक)।
मान लीजिए $\lambda_A$ और $\lambda_B$ क्रमशः वस्तुओं $A$ और $B$ के लिए अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_A$ और $T_B$ उनके तापमान हैं।
दिया गया है: $T_A = 3T_B$।
वीन के नियम से: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
$T_A$ का मान रखने पर: $\lambda_A (3T_B) = \lambda_B T_B$,जिसका अर्थ है $\lambda_B = 3\lambda_A$।
तरंगदैर्ध्य का अंतर दिया गया है: $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$।
$\lambda_B = 3\lambda_A$ रखने पर: $3\lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$,इसलिए $2\lambda_A = 4 \mu m$,जिससे $\lambda_A = 2 \mu m$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$A$ सतह क्षेत्र और $T$ तापमान वाले एक कृष्ण पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
गोलाकार कृष्ण पिंड के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,विकिरित शक्ति $P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः,$\sigma (4 \pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi R_2^2) T_2^4$ होगा।
समीकरण को सरल करने पर,$R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{R_1}{R_2}$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{T_2^4}{T_1^4}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{T_2^4}{T_1^4}} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ प्राप्त होता है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{80 - 50}{5} = K \left( \frac{80 + 50}{2} - 20 \right) \implies 6 = K(65 - 20) \implies 6 = 45K \implies K = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 30}{t} = K \left( \frac{50 + 30}{2} - 20 \right) \implies \frac{20}{t} = K(40 - 20) \implies \frac{20}{t} = 20K \implies \frac{1}{t} = K$.
$K = \frac{2}{15}$ रखने पर, $\frac{1}{t} = \frac{2}{15} \implies t = 7.5 \text{ min}$.
कुल लगा समय $5 \text{ min} + 7.5 \text{ min} = 12.5 \text{ min}$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरण की दर $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$A_1 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$,$E_1 = E = \sigma A_1 T_1^4$.
अंतिम स्थिति: $T_2 = T_1 + 400 = 400 + 400 = 800 \ K$,$A_2 = A_1 / 2 = 4 \ cm^2$.
नई विकिरण दर $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$.
अनुपात लेने पर: $E_2 / E_1 = (A_2 / A_1) \times (T_2 / T_1)^4$.
$E_2 / E = (1/2) \times (800 / 400)^4 = (1/2) \times (2)^4 = 16 / 2 = 8$.
अतः,$E_2 = 8E$.

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$,या $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = \lambda$,$T_1 = T$,और $T_2 = 1.5 \ T = \frac{3}{2} \ T$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\lambda \cdot T = \lambda_2 \cdot (1.5 \ T)$
$\lambda_2 = \frac{\lambda \cdot T}{1.5 \ T} = \frac{\lambda}{1.5} = \frac{\lambda}{3/2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\frac{2 \lambda}{3}$ होगी।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_P}{\lambda_Q} = \frac{4}{5}$ दिया गया है, इसलिए तापमान का अनुपात $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{\lambda_Q}{\lambda_P} = \frac{5}{4}$ होगा।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार विकिरित शक्ति $E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ है।
अतः, विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{4}{3}$ और $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{5}{4}$।
$\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \times \left( \frac{5}{4} \right)^4 = \frac{16}{9} \times \frac{625}{256} = \frac{625}{9 \times 16} = \frac{625}{144}$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से विकिरण की दर (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ परम तापमान है।
गोले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ है।
जब त्रिज्या $R' = R/2$ और तापमान $T' = 3T$ हो जाता है,तो विकिरण की नई दर $E'$ होगी:
$E' = \sigma (4 \pi (R/2)^2) (3T)^4$
$E' = \sigma (4 \pi R^2 / 4) (81 T^4)$
$E' = \frac{81}{4} \sigma (4 \pi R^2) T^4$
चूंकि $E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$,इसलिए $E' = \frac{81}{4} E$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$A$ सतह क्षेत्र और $T$ तापमान वाले एक कृष्ण पिंड द्वारा विकीर्ण शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
गोलाकार पिंड के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,विकीर्ण शक्ति $P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः,$\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4$।
समीकरण को सरल करने पर,$r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r_2}{r_1}$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{T_1^4}{T_2^4}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर $A$ क्षेत्रफल वाली एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल शक्ति $P = A \sigma T^4$ होती है।
$r$ त्रिज्या वाले गोलाकार तारे के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
अतः,तारे द्वारा विकिरित कुल शक्ति $P = (4 \pi r^2) \sigma T^4$ है।
यह शक्ति तारे के केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित $R$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह पर समान रूप से वितरित होती है।
$R$ दूरी पर तीव्रता $I$ (प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में प्राप्त विकिरण ऊर्जा) $I = \frac{P}{4 \pi R^2}$ द्वारा दी जाती है।
$P$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{4 \pi r^2 \sigma T^4}{4 \pi R^2} = \frac{\sigma r^2 T^4}{R^2}$ प्राप्त होता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,तापमान $T$ और अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_{m} T = b$ (नियतांक)
दिया गया है:
$T_1 = 2000 \ K$
$T_2 = 3000 \ K$
मान लीजिए कि $T_2$ पर तरंगदैर्ध्य $\lambda'_{m}$ है।
अतः,$\lambda_{m} T_1 = \lambda'_{m} T_2$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{T_1}{T_2}$
$\lambda'_{m} = \lambda_{m} \times \frac{2000}{3000}$
$\lambda'_{m} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर दो छड़ों की लंबाई $\ell_1(T)$ और $\ell_2(T)$ है।
तापमान $T + \Delta T$ पर,नई लंबाई $\ell_1' = \ell_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ और $\ell_2' = \ell_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ होगी।
लंबाइयों के बीच का अंतर $\Delta \ell = \ell_1 - \ell_2$ है।
यदि यह अंतर तापमान से स्वतंत्र है,तो दोनों छड़ों में लंबाई का परिवर्तन समान होना चाहिए,अर्थात $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$।
इसलिए,$\ell_1 \alpha_1 \Delta T = \ell_2 \alpha_2 \Delta T$।
इसे सरल करने पर $\ell_1 \alpha_1 = \ell_2 \alpha_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ प्राप्त होता है।

(C) केल्विन पैमाने $(K)$ और फारेनहाइट पैमाने $(F)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{K - 273.15}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
यह दिया गया है कि दोनों पैमानों पर तापमान $x$ है,इसलिए समीकरण में $K = x$ और $F = x$ रखने पर:
$\frac{x - 273.15}{5} = \frac{x - 32}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9(x - 273.15) = 5(x - 32)$.
$9x - 2458.35 = 5x - 160$.
$4x = 2458.35 - 160$.
$4x = 2298.35$.
$x = \frac{2298.35}{4} \approx 574.58$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$x \approx 574$ प्राप्त होता है।

(B) पारे के आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V_0 = 10^{-6} \,m^3$, $\gamma = 18 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$, और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
मान रखने पर: $\Delta V = (10^{-6} \,m^3) \times (18 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (100^{\circ} C) = 18 \times 10^{-9} \,m^3$.
स्टेम का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.002 \,cm^2 = 0.002 \times 10^{-4} \,m^2 = 2 \times 10^{-7} \,m^2$.
आयतन में परिवर्तन क्षेत्रफल और पारे के स्तंभ की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: $\Delta V = A \times L$.
अतः, $L = \frac{\Delta V}{A} = \frac{18 \times 10^{-9} \,m^3}{2 \times 10^{-7} \,m^2} = 9 \times 10^{-2} \,m = 9 \,cm$.

(A) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ से सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ $\frac{\Delta V}{V} = 0.33 \% = 0.0033$ और $\Delta T = 50^{\circ} C$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $0.0033 = \gamma \times 50$.
अतः,$\gamma = \frac{0.0033}{50} = 0.000066 = 6.6 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
इसलिए,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.6 \times 10^{-5}}{3} = 2.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए कि $0^{\circ}C$ पर छड़ों $A$ और $B$ की लंबाई क्रमशः $\ell_A$ और $\ell_B$ है।
यह दिया गया है कि लंबाई का अंतर सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों में लंबाई का परिवर्तन समान होना चाहिए।
$\Delta \ell_A = \Delta \ell_B$
$\ell_A \alpha_A \Delta T = \ell_B \alpha_B \Delta T$
$\ell_A \alpha_A = \ell_B \alpha_B$
$\ell_A (18 \times 10^{-6}) = \ell_B (27 \times 10^{-6})$
$\ell_A / \ell_B = 27 / 18 = 3 / 2$
अतः,$\ell_A = 1.5 \ell_B$.
यह दिया गया है कि लंबाई का अंतर $60 \ cm$ है,इसलिए $\ell_A - \ell_B = 60 \ cm$.
समीकरण में $\ell_A = 1.5 \ell_B$ रखने पर:
$1.5 \ell_B - \ell_B = 60 \ cm$
$0.5 \ell_B = 60 \ cm$
$\ell_B = 120 \ cm$.
तब,$\ell_A = 1.5 \times 120 \ cm = 180 \ cm$.
इस प्रकार,लंबाई $\ell_A = 180 \ cm$ और $\ell_B = 120 \ cm$ है।

(C) बर्तन का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v)$ उसके रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ से $\gamma_v = 3\alpha$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\gamma}{3}$,इसलिए $\gamma_v = 3 \times (\frac{\gamma}{3}) = \gamma$ होगा।
चूंकि द्रव का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_l = \gamma)$ बर्तन के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v = \gamma)$ के बराबर है,इसलिए तापमान में परिवर्तन के लिए द्रव और बर्तन दोनों समान आयतन अंश से फैलेंगे।
अतः,बर्तन में द्रव का स्तर लगभग समान रहेगा।

(B) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर स्टील और तांबे की छड़ की लंबाई क्रमशः $L_s$ और $L_c$ है।
यह दिया गया है कि सभी तापमानों पर $L_s - L_c = 5 \ cm$,इसलिए तापमान में किसी भी परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ का उपयोग करने पर:
$L_s \alpha_s \Delta T = L_c \alpha_c \Delta T$.
$L_s \alpha_s = L_c \alpha_c$.
दिए गए मानों को रखने पर: $L_s (1.1 \times 10^{-5}) = L_c (1.7 \times 10^{-5})$.
$L_s / L_c = 1.7 / 1.1 = 17 / 11$.
मान लीजिए $L_s = 17x$ और $L_c = 11x$.
चूंकि $L_s - L_c = 5 \ cm$,इसलिए $17x - 11x = 5$,जिससे $6x = 5$ प्राप्त होता है,अतः $x = 5/6 \approx 0.833$.
इस प्रकार,$L_s = 17 \times (5/6) \approx 14.16 \ cm$ और $L_c = 11 \times (5/6) \approx 9.16 \ cm$.
ये मान लगभग $14 \ cm$ और $9 \ cm$ हैं।

(B) सेल्सियस $(C)$ और फारेनहाइट $(F)$ पैमानों के बीच तापमान का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$.
दिया गया फारेनहाइट तापमान $F = 140^{\circ} F$ है।
सूत्र में $F$ का मान रखने पर:
$\frac{C}{5} = \frac{140 - 32}{9}$
$\frac{C}{5} = \frac{108}{9}$
$\frac{C}{5} = 12$
$C = 12 \times 5 = 60^{\circ} C$.
अतः,सेंटीग्रेड थर्मामीटर द्वारा दर्ज किया गया तापमान $60^{\circ} C$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
$\Delta U = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि गैस को दी गई सभी ऊष्मा का उपयोग बाह्य कार्य करने में किया जाता है।

(C) एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{5}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
जब गैस को नियत दाब पर गर्म किया जाता है,तो दी गई कुल ऊष्मा $dQ = n C_p dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT = n (\frac{3}{2}R) dT$ होता है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = dQ - dU = n (C_p - C_v) dT = n R dT$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा के लिए प्रयुक्त ऊष्मा का अंश $A = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (3/2) R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{3}{5}$ है।
बाह्य कार्य के लिए प्रयुक्त ऊष्मा का अंश $B = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,अनुपात $A: B = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3: 2$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$n R \Delta T = P \Delta V$ होता है।
चूंकि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$,हम लिख सकते हैं कि $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$।
$n R \Delta T = P \Delta V$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
अतः,$\Delta U = \frac{P(V)}{\gamma-1} = \frac{PV}{\gamma-1}$।

(B) एक कठोर द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P = \frac{7}{2}R$ होती है।
सिलिंडर $B$ में,पिस्टन स्थिर है,इसलिए प्रक्रिया सम-आयतनिक (constant volume) है। दी गई ऊष्मा $Q = n C_V \Delta T_B$ है।
यहाँ $\Delta T_B = 49 \ K$ दिया गया है,इसलिए $Q = n (\frac{5}{2}R) (49)$।
सिलिंडर $A$ में,पिस्टन स्वतंत्र है,इसलिए प्रक्रिया समदाबी (constant pressure) है। दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T_A$ है।
चूंकि $Q$ समान है,इसलिए $n (\frac{5}{2}R) (49) = n (\frac{7}{2}R) \Delta T_A$।
दोनों पक्षों से $n$,$R$ और $2$ को हटाने पर: $5 \times 49 = 7 \times \Delta T_A$।
$\Delta T_A = \frac{5 \times 49}{7} = 5 \times 7 = 35 \ K$।

(D) नियत दाब पर होने वाली प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ है।
बाह्य कार्य करने में उपयोग की गई ऊष्मा ऊर्जा का अंश $\frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p}$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$।
यह मान रखने पर,$\frac{dW}{dQ} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{\gamma}$।
यहाँ $\gamma = \frac{5}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dW}{dQ} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$।

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ स्थिर रहता है।
निकाय को दी गई ऊष्मा $Q = n C_{P} \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए,$P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
इसलिए,$W = nR \Delta T$।
दी गई ऊष्मा और किए गए कार्य का अनुपात $\frac{Q}{W} = \frac{n C_{P} \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_{P}}{R}$ है।
हम जानते हैं कि $C_{P} - C_{V} = R$,इसलिए $R = C_{P} - C_{V}$।
अनुपात में $R$ का मान रखने पर: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}}{C_{P} - C_{V}}$।
अंश और हर को $C_{V}$ से विभाजित करने पर: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}/C_{V}}{(C_{P}/C_{V}) - 1}$।
चूंकि $\frac{C_{P}}{C_{V}} = \gamma$,इसलिए हमें $\frac{Q}{W} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $n = 2 \text{ मोल}$,$T_3 = 2400 \text{ K}$,$2 T_4 = 2400 \implies T_4 = 1200 \text{ K}$,$3 T_2 = 2400 \implies T_2 = 800 \text{ K}$,$6 T_1 = 2400 \implies T_1 = 400 \text{ K}$.
ग्राफ से,प्रक्रिया $1 \to 2$ समआयतनिक $(P = \text{स्थिर})$,$2 \to 3$ समदाबी $(P \propto T)$,$3 \to 4$ समआयतनिक,और $4 \to 1$ समदाबी है।
चक्र में किया गया कार्य $W = \oint P \, dV$ है। समदाबी प्रक्रियाओं के लिए $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$W = \oint nR \, dT$ होगा।
$W_{12} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{23} = nR(T_3 - T_2) = 2R(2400 - 800) = 3200R$।
$W_{34} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{41} = nR(T_1 - T_4) = 2R(400 - 1200) = -1600R$।
कुल कार्य $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + 3200R + 0 - 1600R = 1600R$।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U) = 0$ होता है क्योंकि तापमान स्थिर रहता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ है।
यहाँ,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -150 \ J$ है (चूंकि गैस परिवेश के विरुद्ध कार्य करती है,इसलिए निकाय ऊर्जा खो देता है)।
समीकरण में मान रखने पर: $\Delta Q = 0 + (-150 \ J) = -150 \ J$।
$\Delta Q$ के लिए ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि निकाय से ऊष्मा निकाली गई है।
अतः,गैस से $150 \ J$ ऊष्मा निकाली गई है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,जहाँ $dW = P dV$ है।
समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $dV = 0$ है।
परिणामस्वरूप,किया गया कार्य $dW = P dV = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $dQ = dU + 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $dQ = dU$ हो जाता है।
अतः,शर्त $dQ = dU$ समआयतनिक प्रक्रिया के लिए सत्य है।

(C) स्थिर दाब पर गर्म की गई आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $(Q_p)$ का सूत्र $Q_p = n C_p \Delta T = 100 \ J$ है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = n R \Delta T$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर: $Q_p = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = 100 \ J$।
अतः,$n R \Delta T = Q_p \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)$।
दिया गया है कि $\gamma = 5/3$,इसलिए $\frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{5/3 - 1}{5/3} = \frac{2/3}{5/3} = 2/5$।
इस प्रकार,$W = 100 \ J \times (2/5) = 40 \ J$।

(B) स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ का सूत्र $Q = n C_p \Delta T$ है।
सबसे पहले,नाइट्रोजन $(N_2)$ के मोलों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक भार}} = \frac{14 \ g}{28 \ g/mol} = 0.5 \ mol$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 48^{\circ} C$ और स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{7}{2} R$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2} R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
अतः,दी गई ऊष्मीय ऊर्जा $84 R$ है।

(B) चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W_{net}$। दिया गया है $\Delta Q = 5 \ J$,इसलिए $W_{net} = 5 \ J$।
एक चक्र में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (10 - 5) \times (2 - 1) = 2.5 \ J$ है।
प्रक्रिया $C$ से $A$ के लिए,कार्य $W_{CA} = \text{रेखा } CA$ के नीचे का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (P_C + P_A) \times (V_A - V_C) = \frac{1}{2} \times (5 + 10) \times (1 - 2) = -7.5 \ J$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-10 \ J$ है।

(D) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
नियत दाब पर,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = n R \Delta T$ है।
संबंध $C_p = \frac{f+2}{2} R$ और $C_v = \frac{f}{2} R$ का उपयोग करने पर:
$\Delta Q = n \left( \frac{5+2}{2} \right) R \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$.
$\Delta U = n \left( \frac{5}{2} \right) R \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
$\Delta W = n R \Delta T = \frac{2}{2} n R \Delta T$.
अतः,अनुपात $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
दिया गया है कि $\eta = \frac{1}{5}$,इसलिए $\frac{1}{5} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{5}$ या $T_2 = 0.8 T_1$ है।
जब $T_2$ को $45 \ K$ कम किया जाता है,तो नया तापमान $T_2' = T_2 - 45$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta' = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 45}{T_1}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{T_2 - 45}{T_1} = \frac{1}{2}$ या $T_2 - 45 = 0.5 T_1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $T_2 = 0.8 T_1$ का मान रखने पर: $0.8 T_1 - 45 = 0.5 T_1$ है।
$0.3 T_1 = 45$,जिससे $T_1 = \frac{45}{0.3} = 150 \ K$ प्राप्त होता है।
अब,$T_2$ ज्ञात करें: $T_2 = 0.8 \times 150 = 120 \ K$ है।
अतः,तापमान $150 \ K$ और $120 \ K$ हैं।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
स्थिति $1$: $\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
स्थिति $2$: $\eta_2 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 57}{T_1} \implies \frac{T_2 - 57}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies T_2 - 57 = \frac{2}{3} T_1$.
दूसरे समीकरण में $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ रखने पर:
$\frac{5}{6} T_1 - 57 = \frac{2}{3} T_1$
$\frac{5}{6} T_1 - \frac{4}{6} T_1 = 57$
$\frac{1}{6} T_1 = 57$
$T_1 = 57 \times 6 = 342 \ K$.
अतः,स्रोत का तापमान $342 \ K$ है।

(B) ऊष्मा इंजन की दक्षता $(\eta)$ को आउटपुट पावर $(P_{\text{out}})$ और इनपुट पावर $(P_{\text{in}})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$
यहाँ,$\eta = 20 \% = 0.20$ और $P_{\text{in}} = 2 \text{ kW} = 2000 \text{ W}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.20 = \frac{P_{\text{out}}}{2000 \text{ W}}$
$P_{\text{out}} = 0.20 \times 2000 \text{ W} = 400 \text{ W}$.
अतः,इंजन का आउटपुट पावर $400 \text{ W}$ है।

(A) $T_1$ (स्रोत) और $T_2$ (सिंक) तापमान के बीच कार्य करने वाले कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
समान तापमान के बीच कार्य करने वाले रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
रेफ्रिजरेटर के समीकरण से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{\beta} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{T_1}{T_2} - 1$।
इसलिए,$\frac{T_1}{T_2} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$।
इस मान को दक्षता के सूत्र में रखने पर: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{\beta}{1 + \beta} = \frac{1 + \beta - \beta}{1 + \beta} = \frac{1}{1 + \beta}$।
अतः,सही संबंध $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ है।

(C) सिलेंडर $A$ में,पिस्टन स्वतंत्र है,इसलिए गैस स्थिर दबाव पर फैलती है। दी गई ऊष्मा $Q_{A} = n C_{P} dT_{A}$ है।
सिलेंडर $B$ में,पिस्टन स्थिर है,इसलिए गैस को स्थिर आयतन पर गर्म किया जाता है। दी गई ऊष्मा $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों सिलेंडरों को समान मात्रा में ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $Q_{A} = Q_{B}$ है।
अतः,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$।
$dT_{B}$ के लिए हल करने पर,हमें $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए सिलेंडर $B$ में तापमान में वृद्धि $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ होगी।

(B) मान लीजिए कि नमूनों $X, Y$ और $Z$ का प्रारंभिक दबाव क्रमशः $P_X, P_Y$ और $P_Z$ है। प्रारंभिक आयतन $V$ है। सभी के लिए अंतिम आयतन $2V$ है।
नमूने $X$ के लिए (समतापीय प्रक्रिया): $P_X V = P_{X,f} (2V) \implies P_{X,f} = P_X / 2$.
नमूने $Y$ के लिए (रुद्धोष्म प्रक्रिया): $P_Y V^{\gamma} = P_{Y,f} (2V)^{\gamma} \implies P_{Y,f} = P_Y / 2^{\gamma}$. दिया गया है $\gamma = 3/2$,अतः $P_{Y,f} = P_Y / 2^{3/2} = P_Y / (2\sqrt{2})$.
नमूने $Z$ के लिए (समदाबी प्रक्रिया): $P_Z = P_{Z,f}$.
दिया गया है कि $P_{X,f} = P_{Y,f} = P_{Z,f} = P_0$,इसलिए:
$P_X / 2 = P_0 \implies P_X = 2P_0$.
$P_Y / (2\sqrt{2}) = P_0 \implies P_Y = 2\sqrt{2} P_0$.
$P_Z = P_0$.
अतः,अनुपात $P_X : P_Y : P_Z = 2P_0 : 2\sqrt{2} P_0 : P_0 = 2 : 2\sqrt{2} : 1$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम गैस के प्रारंभिक और अंतिम मोलों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
प्रारंभिक मोलों की संख्या,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
अंतिम मोलों की संख्या,$n_2 = \frac{P^{\prime}V}{RT}$.
बाहर निकली गैस के मोलों की संख्या प्रारंभिक और अंतिम मोलों का अंतर है: $\Delta n = n_1 - n_2$.
मान रखने पर,$\Delta n = \frac{PV}{RT} - \frac{P^{\prime}V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P^{\prime})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए किया गया कार्य धनात्मक होता है और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए यह ऋणात्मक होता है।
दिया गया चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ है।
तीरों की दिशा को देखते हुए, चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है।
इसलिए, किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = -\text{त्रिभुज } ABC \text{ का क्षेत्रफल} = -\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $AB = 3V - V = 2V$
ऊंचाई $BC = 4P - P = 3P$
$W = -\frac{1}{2} \times (2V) \times (3P) = -3 PV$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
दिया गया है $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,और $\gamma = \frac{7}{5}$.
तब $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
मान रखने पर: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ की तुलना $T_f = 4T_i$ से करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 270 \text{ kPa}$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
अंतिम तापमान $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \text{ K}$.
यह मानते हुए कि टायर का आयतन स्थिर रहता है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{270}{300} = \frac{P_2}{310}$.
$P_2 = \frac{270 \times 310}{300} = 0.9 \times 310 = 279 \text{ kPa}$.
अतः,अंतिम दाब $279 \text{ kPa}$ है।

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है। इसलिए,निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है,अर्थात $\Delta U = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए हमें $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि एक चक्रीय प्रक्रिया में निकाय द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा,निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हमारे पास $PV = \frac{m}{M} RT$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \varrho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\varrho$ घनत्व है।
अतः,$\varrho = \frac{PM}{RT}$।
प्रारंभिक अवस्था के लिए: $\varrho_0 = \frac{P_0 M}{R T_0}$।
अंतिम अवस्था के लिए: $\varrho' = \frac{P' M}{R T'} = \frac{(3 P_0) M}{R (2 T_0)}$।
$\varrho'$ के व्यंजक में $\varrho_0$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\varrho' = \frac{3}{2} \left( \frac{P_0 M}{R T_0} \right) = \frac{3}{2} \varrho_0$ प्राप्त होता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(P)$ और तापमान $(T)$ के बीच संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे $P \propto T^{c}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$ है।
$c$ के व्यंजक में $\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$c = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$ है।
अतः,$c$ का मान $3.5$ है।

(C) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,जो $U = f(n, R, T)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया में $T$ स्थिर है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
अतः,गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^{n} = \text{constant}$ के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C$ का सूत्र $C = C_{V} + \frac{R}{1-n}$ है।
दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्मा $C = 0$, इसलिए: $0 = C_{V} + \frac{R}{1-n}$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $0 = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{R}{n-1} = \frac{R}{\gamma-1}$.
इसका अर्थ है कि $n-1 = \gamma-1$, जो सरल होकर $n = \gamma$ हो जाता है।
अतः, यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है और $n$ का मान $\gamma$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गैस मोनोएटॉमिक है, इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 5/3$ है।
अतः, $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$ है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाले सिलेंडर में गैस का आयतन $V = A \times L$ होता है।
इस प्रकार, $T_1 (A L_1)^{2/3} = T_2 (A L_2)^{2/3}$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $(T_2 / T_1) = (L_1 / L_2)^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P_0$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ का उपयोग करने पर:
$P_0 V^{\gamma} = P_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\gamma}$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\gamma} = P_0 (8)^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$P_2 = P_0 (8)^{4/3} = P_0 (2^3)^{4/3} = P_0 (2^4) = 16 P_0$.
अतः,नया दाब $16 P_0$ होगा।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ को $\Delta U = Q + W$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय पर किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि निकाय पर किए गए कार्य के बराबर है, इसलिए $\Delta U = W$ है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण के साथ तुलना करने पर, हमें $Q = 0$ प्राप्त होता है।
एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(Q = 0)$, उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) तार की लंबाई $L$ वृत्ताकार कुंडली की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,$r = \frac{L}{2 \pi}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में धारावाही कुंडली पर लगने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$ होता है।
इसलिए,$\tau_{max} = M B = \left( \frac{I L^2}{4 \pi} \right) B = \frac{L^2 IB}{4 \pi}$।

(D) माना प्रत्येक तार की लंबाई $L$ है।
वर्गाकार लूप के लिए, परिधि $4a = L$, इसलिए $a = L/4$। क्षेत्रफल $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$।
वृत्ताकार लूप के लिए, परिधि $2\pi r = L$, इसलिए $r = L/(2\pi)$। क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$, $I$, $B$ और $\theta$ दोनों लूप के लिए समान हैं, इसलिए टॉर्क सीधे क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है।
चूंकि $A_c > A_s$, इसलिए वृत्ताकार लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क वर्गाकार लूप की तुलना में अधिक है।

(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे एक एकल मोड़ वाली वर्गाकार कुंडली में बदला जाता है,तो वर्ग का परिमाप $L$ होता है।
मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। तब $4a = L$,जिसका अर्थ है $a = \frac{L}{4}$।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$।
चूंकि $N = 1$ दिया गया है,अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = IAB = I \times (\frac{L^2}{16}) \times B = \frac{IBL^2}{16}$ होगा।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक स्थिति स्थिर संतुलन स्थिति है,अर्थात $\theta_1 = 0^{\circ}$।
पहले मामले के लिए,$\theta_2 = 90^{\circ}$:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
दूसरे मामले के लिए,$\theta_2 = 60^{\circ}$:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB$.
प्रश्न के अनुसार,$W_1 = n \times W_2$.
मान रखने पर: $MB = n \times (0.5MB)$.
$1 = n \times 0.5$.
$n = 1 / 0.5 = 2$.

(D) मान लीजिए कि तार $z$-अक्ष पर हैं। चूंकि $P$ से तारों तक की रेखाएं लंबवत हैं और $P$ समान दूरी पर है,इसलिए प्रत्येक तार से $P$ की दूरी $r = d / \sqrt{2} = 5 / \sqrt{2} \ cm = 0.05 / \sqrt{2} \ m$ है।
लंबे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 I / (2 \pi r)$ होता है।
$B_1 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 4) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
$B_2 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 3) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं और रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2 + (1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.

(D) आवेश $q = 1000e = 1000 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-16} \ C$.
घूर्णन की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$.
तुल्य धारा $I = qf = 1.6 \times 10^{-16} \times 1 = 1.6 \times 10^{-16} \ A$.
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
दिया गया है $B = x \mu_0$,जहाँ $x = 2 \times 10^{-16}$.
अतः,$x \mu_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \implies x = \frac{I}{2r}$.
मान रखने पर: $2 \times 10^{-16} = \frac{1.6 \times 10^{-16}}{2r}$.
$2 = \frac{0.8}{r} \implies r = \frac{0.8}{2} = 0.4 \ m$.

(C) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। एक फेरे के लिए,त्रिज्या $R$ का मान $L = 2 \pi R$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R = L / (2 \pi)$। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r_1$ का मान $L = n(2 \pi r_1)$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $r_1 = L / (2 \pi n) = R / n$।
$n$ फेरों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ है।
$r_1 = R / n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 (R / n)} = n^2 \frac{\mu_0 I}{2 R} = n^2 B$ प्राप्त होता है।

(A) तार तीन खंडों से बना है: $(i)$ एक सीधा अर्ध-अनंत तार,(ii) $R$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्ताकार चाप,और (iii) एक और सीधा अर्ध-अनंत तार।
खंड $(i)$ के लिए,बिंदु '$O$' तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0$ होगा।
खंड (iii) के लिए,बिंदु '$O$' भी तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_3 = 0$ होगा।
खंड (ii) के लिए,अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,'$O$' पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 + B_3 = 0 + \frac{\mu_0 I}{4 R} + 0 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ होगा।

(C) मान लीजिए तारों के बीच की दूरी $2d$ है। एक लंबे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ होता है।
जब धाराएं एक ही दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र एक-दूसरे के विपरीत होते हैं: $B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 - I_2) = 8 \times 10^{-6} \ T$ (समीकरण $1$)।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो क्षेत्र जुड़ जाते हैं: $B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 + I_2) = 3.2 \times 10^{-5} \ T$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{8 \times 10^{-6}}{32 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4}$।
तिर्यक गुणा करने पर $4I_1 - 4I_2 = I_1 + I_2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3I_1 = 5I_2$ मिलता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{5}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो तार $W_1$ और $W_2$ हैं। उनके बीच की दूरी $2r$ है। बिंदु $P$, $W_2$ से $r$ दूरी पर और $W_1$ से $3r$ दूरी पर है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $W_1$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ कागज के तल के अंदर की ओर (क्रॉस) है और इसका परिमाण $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ है।
$W_2$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ कागज के तल के बाहर की ओर (डॉट) है और इसका परिमाण $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
यदि हम दोनों क्षेत्रों का योग करें (जैसा कि विकल्प $A$ में संकेत दिया गया है), तो $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 3 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{4 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{2}{3} \frac{\mu_0 I}{\pi r}$।

(A) मान लीजिए कि दो तारों के बीच की दूरी $d$ है। मध्य बिंदु की प्रत्येक तार से दूरी $r = d/2$ है।
एक लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
मध्य बिंदु के लिए,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ होगा।
स्थिति $1$: धाराएं एक ही दिशा में हैं। मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं। परिणामी क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ है।
स्थिति $2$: $I_2$ की दिशा उलट दी गई है। अब चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं। परिणामी क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-6}} = \frac{30}{6} = 5$.
$I_1 + I_2 = 5 I_1 - 5 I_2 \implies 4 I_1 = 6 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
अतः,$I_1 : I_2$ का अनुपात $3 : 2$ है।

(A) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ होता है।
मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। पहली कुंडली के लिए,$L = N_1 (2\pi R_1)$,जहाँ $N_1 = 9$ है। अतः,$R_1 = \frac{L}{18\pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 (9) I}{2(L/18\pi)} = \frac{81 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए,$N_2 = 3$ है। अतः,$R_2 = \frac{L}{2\pi N_2} = \frac{L}{6\pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 (3) I}{2(L/6\pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
$B_1$ और $B_2$ की तुलना करने पर,$\frac{B_2}{B_1} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{9}$।

(A) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार तार के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले बड़े अर्धवृत्त के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,बाहर की ओर)।
$R_2$ त्रिज्या वाले छोटे अर्धवृत्त के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,अंदर की ओर)।
सीधे खंड $PQ$ और $SR$ केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं क्योंकि बिंदु $O$ उनकी अक्ष पर स्थित है।
अतः,$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} - \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ होगा।

(C) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 n I}{2R}$।
दिए गए मान:
$B = 3.14 \times 10^{-4} \ T$
$I = 0.4 \ A$
$R = 8 \ cm = 0.08 \ m$
$\mu_0 = 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times n \times 0.4}{2 \times 0.08}$
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times n \times 0.4}{0.16}$
$3.14 \times 10^{-4} = (78.5 \times 10^{-7}) \times 0.4 \times n$
$3.14 \times 10^{-4} = 31.4 \times 10^{-7} \times n$
$n = \frac{3.14 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-7}} = 100$।

(B) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
दिए गए चित्र में,दोनों कुंडलियाँ समान हैं और परस्पर लंबवत तलों में (एक $xy$-तल में और दूसरी $yz$-तल में) रखी गई हैं।
मान लीजिए $B_1$ कुंडली $1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है और $B_2$ कुंडली $2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है। दोनों का परिमाण $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ है।
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए सामान्य केंद्र $O$ पर उनके चुंबकीय क्षेत्र सदिश भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
$B$ का मान रखने पर:
$B_{net} = \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \sqrt{2} = \frac{\mu_0 NI}{\sqrt{2}R}$.

(B) $r$ त्रिज्या वाले एक लंबे सीधे तार के लिए जिसमें धारा $I$ समान रूप से वितरित है:
$1$. तार के अंदर $(x < r)$,अक्ष से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. $x = \frac{r}{2}$ दूरी पर,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I (r/2)}{2 \pi r^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. तार के बाहर $(x > r)$,अक्ष से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. $x = 3r$ दूरी पर,चुंबकीय क्षेत्र $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ है।
$5$. अनुपात $\frac{B}{B^1} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi r}{\mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के लिए,केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \mu_0 nI$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ और मुक्त स्थान में चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध $B = \mu_0 H$ होता है।
$B$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu_0 H = \mu_0 nI$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ है।

(C) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,उसके केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
यहाँ $x = 2\sqrt{2}r$ दिया गया है।
सूत्र में $x$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + (2\sqrt{2}r)^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + 8r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(9r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r)^3}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(27r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{54r}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के तीन भागों के कारण है: दो सीधे अर्ध-अनंत खंड और एक चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप।
$1$. सीधे तार खंड $1$ (अर्ध-अनंत) के लिए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$2$. सीधे तार खंड $3$ (अर्ध-अनंत) के लिए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. $r$ त्रिज्या वाले चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप $2$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I}{2 r} \right) = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के आधार पर सबसे उपयुक्त उत्तर $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 r}$ है।

(C) चालक तीन भागों से बना है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और एक वृत्ताकार चाप।
$1$. दो अर्ध-अनंत सीधे तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र: प्रत्येक तार केंद्र '$o$' पर $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ का क्षेत्र उत्पन्न करता है। दो तारों के लिए कुल क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र: यदि हम चाप को एक पूर्ण वृत्त के रूप में मानें,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होगा।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{straight} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}(\pi + 1)$।

(A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
दिया गया है कि $B_1 = \frac{B_2}{8}$,अतः:
$\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
$8R^3 = (R^2 + x^2)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर:
$(8R^3)^{2/3} = R^2 + x^2$.
$4R^2 = R^2 + x^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = R \sqrt{3}$.

(D) मान लीजिए कि दो चालकों के बीच की दूरी $2d$ है। $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ होता है।
जब धाराएं समान दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। अतः,कुल क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 - I_2) = 20 \mu T$ है।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। अतः,कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 + I_2) = 50 \mu T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर: $2(I_1 + I_2) = 5(I_1 - I_2) \implies 2I_1 + 2I_2 = 5I_1 - 5I_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7I_2 = 3I_1$,जिससे $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{27} B_{centre}$.
मान रखने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27R}$.
यह $\frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27}$ में बदल जाता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{9}$.
$9R^2 = R^2 + x^2$,जिससे $x^2 = 8R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \sqrt{8}R = 2\sqrt{2}R$.

(B) $I$ धारा वाली $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ दिया गया है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{A}}$.
धारा $I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर: $M = \left( \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.

(C) वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ सूत्र $M = I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,तार की लंबाई $L$ परिधि के बराबर होती है,इसलिए $L = 2\pi r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ होता है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $M = I \cdot \left(\frac{L^2}{4\pi}\right)$।
चूंकि $I$ और $4\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto L^2$ प्राप्त होता है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ सूत्र $\mu = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' लूप का क्षेत्रफल है।
'$r$' त्रिज्या की कक्षा में '$v$' चाल से घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,आवर्तकाल '$T$' का मान $T = \frac{2\pi r}{v}$ होता है।
तुल्य धारा '$I$' का मान $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{V}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
यहाँ $\vec{V} = a \hat{i}$ और $\vec{B} = b \hat{j} + c \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{V} \times \vec{B} = (a \hat{i}) \times (b \hat{j} + c \hat{k}) = ab(\hat{i} \times \hat{j}) + ac(\hat{i} \times \hat{k})$.
इकाई सदिश गुणनफल के नियमों $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{V} \times \vec{B} = ab \hat{k} - ac \hat{j}$.
अतः,$\vec{F} = q(ab \hat{k} - ac \hat{j})$.
बल का परिमाण $|\vec{F}| = q \sqrt{(ab)^2 + (-ac)^2} = q \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2} = qa \sqrt{b^2 + c^2}$ है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान $e$ आवेश से जुड़ी धारा $I = \frac{e}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से चलता है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
धारा के सूत्र में $T$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r}{v}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{r}{v} = \frac{e}{2 \pi I}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आवेशित कण पर कार्य करने वाला लॉरेंज चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$,वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल है,इसलिए बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W$ डॉट प्रोडक्ट $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} \perp \vec{v}$ है,इसलिए डॉट प्रोडक्ट $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
अतः,चुंबकीय बल द्वारा आवेशित कण पर किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(C) एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और ऋणात्मक होती है।
यह पदार्थ के तापमान $(T)$ से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,$(\chi)$ बनाम $(T)$ का ग्राफ तापमान अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,जो $(\chi)$ अक्ष के ऋणात्मक क्षेत्र में स्थित है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $(A)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) चुंबकीय हिस्टेरेसिस एक ऐसी घटना है जिसमें किसी पदार्थ का चुंबकन (magnetization) लागू किए गए चुंबकीय क्षेत्र से पीछे रहता है।
यह व्यवहार लौहचुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों का एक विशिष्ट गुण है।
लौहचुंबकीय पदार्थों में,चुंबकीय डोमेन की उपस्थिति के कारण जब उन्हें चक्रीय चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो एक हिस्टेरेसिस लूप ($B-H$ वक्र) बनता है।
अनुचुंबकीय और प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय हिस्टेरेसिस प्रदर्शित नहीं करते हैं क्योंकि उनमें स्वतःस्फूर्त चुंबकन या डोमेन संरचना नहीं होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) किसी उपकरण को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से बचाने के लिए,चुंबकीय परिरक्षण (magnetic shielding) की घटना का उपयोग किया जाता है।
चुंबकीय परिरक्षण उच्च चुंबकीय पारगम्यता (permeability) वाली सामग्री,जैसे कि नरम लोहा (एक नरम फेरोमैग्नेटिक पदार्थ),से उपकरण को घेरकर प्राप्त किया जाता है।
जब इसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हवा या उपकरण के अंदर की जगह के बजाय उच्च पारगम्यता वाली सामग्री से गुजरना पसंद करती हैं।
परिणामस्वरूप,आंतरिक क्षेत्र बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से मुक्त रहता है,जो उपकरण को प्रभावी ढंग से सुरक्षित करता है।

(D) चुंबकीय पदार्थ के अंदर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$,बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $H$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र और पदार्थ के प्रेरित चुंबकन $M$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का योग होता है।
गणितीय रूप से,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \mu_0(H + M)$
यहाँ,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,और $M$ चुंबकन है।

(C) सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r)$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi_m)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
दिया गया है कि लोहे की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 5499$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\mu_r = 1 + 5499$
$\mu_r = 5500$
अतः,लोहे की सापेक्ष पारगम्यता $5500$ है।

(C) मान लीजिए कि चुंबक $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण क्रमशः $M_A = 2M$ और $M_B = M$ हैं। उनके जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_B = I$ हैं (क्योंकि वे ज्यामितीय रूप से समान हैं)।
जब समान ध्रुवों को एक साथ रखा जाता है,तो कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net1} = M_A + M_B = 2M + M = 3M$ होता है। कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = I_A + I_B = 2I$ होता है।
आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{M_{net}B_H}}$ है।
अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB_H}}$.
जब असमान ध्रुवों को एक साथ रखा जाता है,तो कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net2} = M_A - M_B = 2M - M = M$ होता है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = 2I$ ही रहता है।
अतः,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$.
अनुपात लेने पर,$T_1 / T_2 = \sqrt{\frac{2I}{3MB_H} / \frac{2I}{MB_H}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 1 : \sqrt{3}$.

(D) वायु-क्रोड वाले टोरोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
जब इस स्थान को $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाले पदार्थ से भर दिया जाता है,तो सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi$ हो जाती है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0 = (1 + \chi) B_0$ हो जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृद्धि $\Delta B = B - B_0 = (1 + \chi) B_0 - B_0 = \chi B_0$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \frac{\chi B_0}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ द्वारा दी जाती है।

(D) चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ यह मापती है कि कोई पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र में कितनी आसानी से चुंबकित हो सकता है।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए, परमाणुओं में स्थायी चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण होता है।
जब इन्हें बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो ये द्विध्रुव क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप क्षेत्र की दिशा में एक कमजोर चुंबकन उत्पन्न होता है।
इसलिए, अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ धनात्मक और छोटी होती है (आमतौर पर $10^{-5}$ से $10^{-3}$ की सीमा में)।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) चुंबकन की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = M/V$.
दिया गया चुंबकीय आघूर्ण $M = 2.4 \text{ Am}^2$.
छड़ का द्रव्यमान $m = 66 \text{ g} = 0.066 \text{ kg}$.
घनत्व $\rho = 7700 \text{ kg/m}^3$.
छड़ का आयतन $V = m / \rho = 0.066 / 7700 \text{ m}^3$.
अब,चुंबकन की तीव्रता $I = M / V = 2.4 / (0.066 / 7700)$ की गणना करें।
$I = (2.4 \times 7700) / 0.066$.
$I = 18480 / 0.066 = 280000 \text{ Am}^{-1}$.
$I = 2.8 \times 10^5 \text{ Am}^{-1}$.

(C) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\chi \propto \frac{1}{T}$ या $\chi T = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,तापमान $T_1, T_2$ और $T_3$ के लिए,हमारे पास $\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2 = \chi_3 T_3$ है।
$\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$ से,हमें $\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\chi_1 : \chi_2 = T_2 : T_1$.
$\chi_2 T_2 = \chi_3 T_3$ से,हमें $\frac{\chi_2}{\chi_3} = \frac{T_3}{T_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\chi_2 : \chi_3 = T_3 : T_2$.
अतः,सही संबंध $\chi_1 : \chi_2 = T_2 : T_1$ और $\chi_2 : \chi_3 = T_3 : T_2$ है।

(A) वायु क्रोड वाली लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाला पदार्थ परिनालिका के अंदर रखा जाता है,तो पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi$ होती है।
क्रोड के साथ परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0$ हो जाता है।
मान रखने पर,हमें $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए $A$ की परमाणु संख्या $Z$ है और इसका द्रव्यमान संख्या $A_{mass}$ है।
$1$. पहले क्षय में: $A \rightarrow B + {}_{2}^{4}He$. तत्व $B$ की परमाणु संख्या $(Z-2)$ और द्रव्यमान संख्या $(A_{mass}-4)$ होगी।
$2$. दूसरे क्षय में: $B \rightarrow C + 2e^{-}$. दो इलेक्ट्रॉनों (बीटा कणों) के उत्सर्जन से परमाणु संख्या में $2$ की वृद्धि होती है लेकिन द्रव्यमान संख्या नहीं बदलती है।
$3$. इसलिए,$C$ की परमाणु संख्या $(Z-2) + 2 = Z$ है और इसकी द्रव्यमान संख्या $(A_{mass}-4)$ है।
$4$. $A$ (परमाणु संख्या $Z$,द्रव्यमान संख्या $A_{mass}$) और $C$ (परमाणु संख्या $Z$,द्रव्यमान संख्या $A_{mass}-4$) की तुलना करने पर,उनकी परमाणु संख्या समान है लेकिन द्रव्यमान संख्या अलग-अलग है। अतः,$A$ और $C$ समस्थानिक (isotopes) हैं।

(B) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया में, एक कार्बन-$11$ नाभिक पॉज़िट्रॉन $(\beta^{+})$ उत्सर्जित करके बोरॉन-$11$ नाभिक में क्षयित होता है।
इस प्रक्रिया को $\beta^{+}$ क्षय के रूप में जाना जाता है।
लेप्टॉन संख्या के संरक्षण के नियम के अनुसार, अभिक्रिया से पहले और बाद में कुल लेप्टॉन संख्या स्थिर रहनी चाहिए।
पॉज़िट्रॉन $(\beta^{+})$ की लेप्टॉन संख्या $-1$ होती है।
समीकरण को संतुलित करने के लिए, $+1$ लेप्टॉन संख्या वाला एक कण उत्सर्जित होना चाहिए।
यह कण न्यूट्रिनो ($\nu_{e}$) है।
अतः, अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{6}^{11}C \longrightarrow{ }_{5}^{11}B+\beta^{+}+\nu_{e}$.

(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
अनुपात को सरल करने पर: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
घातांकों की तुलना करने पर: $6 \lambda t = 1$.
अतः,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.

(A) माना $n_{\alpha}$ अल्फा कणों की संख्या है और $n_{\beta}$ बीटा कणों की संख्या है।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ के लिए: $226 = 206 + 4n_{\alpha} + 0n_{\beta}$
$20 = 4n_{\alpha} \implies n_{\alpha} = 5$.
परमाणु क्रमांक $(Z)$ के लिए: $88 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$
$88 = 82 + 2(5) - n_{\beta}$
$88 = 82 + 10 - n_{\beta}$
$88 = 92 - n_{\beta}$
$n_{\beta} = 92 - 88 = 4$.
अतः,अल्फा कणों की संख्या $5$ है और बीटा कणों की संख्या $4$ है।

(C) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है $A(0) = N_0$ और $A(3) = \frac{N_0}{e}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$।
इसका अर्थ है $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,इसलिए $3\lambda = 1$,जिससे क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है।
$\lambda = \frac{1}{3}$ रखने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ मिनट प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक नाभिक ${ }_{92}^{242} X$ है।
$\alpha$ कण ${ }_{2}^{4} He$ है,इलेक्ट्रॉन (बीटा-माइनस) ${ }_{-1}^{0} e$ है,और पॉज़िट्रॉन (बीटा-प्लस) ${ }_{1}^{0} e$ है।
उत्सर्जन प्रक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{92}^{242} X \rightarrow 2({ }_{2}^{4} He) + 1({ }_{-1}^{0} e) + 2({ }_{1}^{0} e) + { }_{P}^{234} Y$.
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: $92 = 2(2) + 1(-1) + 2(1) + P$.
$92 = 4 - 1 + 2 + P$.
$92 = 5 + P$.
$P = 92 - 5 = 87$.

(A) किसी भी समय $t$ पर विघटन की दर $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक दर $R_0 = 9000 \text{ विघटन/मिनट}$.
$t = 2 \text{ मिनट}$ के बाद दर $R = 3000 \text{ विघटन/मिनट}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
दोनों पक्षों को $9000$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
अतः, क्षय नियतांक $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ है।

(C) किसी भी समय $t$ पर विघटन दर $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $R_0 = 8000$ विघटन प्रति मिनट है।
$4$ मिनट बाद,$R = 2000$ विघटन प्रति मिनट है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
दोनों पक्षों को $8000$ से विभाजित करने पर: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ प्रति मिनट।
अतः,क्षय नियतांक $0.5 \log _e 2$ प्रति मिनट है।

(D) मान लीजिए कि $M_1$ और $M_2$ दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ है।
$M_2$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
$M_1$ और $M_2$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
यह सरल होकर $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ हो जाता है।
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-8 \lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.

(C) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ का अंश ज्ञात करने का सूत्र है: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$ और कुल समय $t = 90 \ min$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
अतः,रेडियोधर्मी तत्व का अविघटित अंश $\frac{1}{8}$ है।