MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $n$-वें क्रम की उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = x_0 + n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x_0$ शून्य क्रम की उच्चिष्ठ की स्थिति है और $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
$\lambda_1 = 6000 \ Å$ के लिए दिया गया है:
$x_1 = x_0 + 1 \beta_1 = 14.50 \ mm$
$x_{10} = x_0 + 10 \beta_1 = 16.75 \ mm$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $9 \beta_1 = 16.75 - 14.50 = 2.25 \ mm$,अतः $\beta_1 = 0.25 \ mm$.
इसलिए $x_0 = 14.50 - 0.25 = 14.25 \ mm$.
अब,$\lambda_2 = 5500 \ Å$ के लिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \beta_1 \times (\frac{\lambda_2}{\lambda_1}) = 0.25 \times (\frac{5500}{6000}) = 0.25 \times (\frac{11}{12}) \approx 0.229 \ mm$.
शून्य क्रम की उच्चिष्ठ $x_0$ की स्थिति समान रहती है,जो $14.25 \ mm$ है।
$10$-वें क्रम की उच्चिष्ठ की नई स्थिति $x'_{10} = x_0 + 10 \beta_2 = 14.25 + 10 \times (0.25 \times \frac{11}{12}) = 14.25 + 2.29 = 16.54 \ mm \approx 16.55 \ mm$.
अतः,स्थितियाँ $14.25 \ mm$ और $16.55 \ mm$ हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिए गए मान हैं: $\lambda = 6000 \, \text{\AA} = 6000 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 6 \times 10^{-5} \, \text{cm}$, $D = 40 \, \text{cm}$, और $\beta = 0.012 \, \text{cm}$.
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(6 \times 10^{-5} \, \text{cm}) \times (40 \, \text{cm})}{0.012 \, \text{cm}}$.
$d = \frac{240 \times 10^{-5}}{0.012} \, \text{cm} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-2}} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-1} \, \text{cm} = 0.2 \, \text{cm}$.
अतः, दोनों स्लिट्स के बीच की दूरी $0.2 \, \text{cm}$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ है,इसलिए $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,तीव्रता के सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $I = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = I_0 \times \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2:1$ है।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहां $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(2\pi / 2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है। अतः,$I_{max} = I$.
पथ अंतर $\Delta x = \lambda / 6$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I' = I_{max} \cos^2(\phi_2 / 2) = I \cos^2((\pi / 3) / 2) = I \cos^2(\pi / 6)$ है।
दिया गया है कि $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,इसलिए $I' = I \times (\sqrt{3} / 2)^2 = I \times (3 / 4) = 3I / 4$।

(D) बाईप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
दिया गया है $\lambda_1 = 5000 \ Å$ और $\lambda_2 = 6400 \ Å$.
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ और प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1$ का अनुपात $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{6400}{5000} = 1.28$ है।
इसका अर्थ है कि $\beta_2 = 1.28 \beta_1$.
फ्रिंज की चौड़ाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\beta_2 - \beta_1}{\beta_1} \times 100\% = (1.28 - 1) \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\%$ है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $28\%$ बढ़ जाएगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{पथ अंतर} \Delta x)$.
बिंदु $P$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_P = 0$,इसलिए $\phi_P = 0$. तीव्रता $I_P = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
बिंदु $Q$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_Q = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\phi_Q = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
तीव्रता $I_Q = I_{max} \cos^2(\frac{90^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(45^{\circ}) = I_{max} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$.
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2: 1$ होगा।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1 \ m$,$n = 3$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_1 = \frac{3 \lambda_1 D}{d}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = \frac{3 \lambda_2 D}{d}$ है।
दिया गया है $\lambda_2 = 1.5 \lambda_1$,इसलिए $y_2 = \frac{3(1.5 \lambda_1) D}{d} = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d}$.
फ्रिंजों के बीच की दूरी $\Delta y = |y_2 - y_1| = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d} - \frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{1.5 \lambda_1 D}{d}$.
मान रखने पर: $\Delta y = \frac{1.5 \times \lambda_1 \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 0.75 \times 10^3 \lambda_1 \ m$.

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_m = (m - 1/2) \beta$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज और $m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरियों का अनुपात:
$\text{अनुपात} = \frac{y_n}{y_m} = \frac{n \beta}{(m - 1/2) \beta} = \frac{n}{m - 1/2}$.
अतः,अनुपात $n : (m - 1/2)$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दूसरा निम्निष्ठ $n = 2$ के लिए प्राप्त होता है,इसलिए $\Delta x = (2(2) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ है।
यह बिंदु ठीक एक स्लिट के सामने है,इसलिए केंद्र से दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
पथ अंतर के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{(\frac{d}{2})d}{D} = \frac{3\lambda}{2}$।
$\frac{d^2}{2D} = \frac{3\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{d^2}{3D}$ प्राप्त होता है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $(X)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों से पर्दे की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = X$ और $x = D$,हमें प्राप्त होता है:
$X = (\frac{\lambda}{d}) D$
ग्राफ का ढाल (slope) $m = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\lambda = \text{slope} \times d$.

(A) केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = (n - 1/2) \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दूसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 2)$:
$y_2 = (2 - 1/2) \beta = 1.5 \beta = 3 \ mm$.
अतः,$\beta = 3 / 1.5 = 2 \ mm$.
केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है।
छठी दीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 6)$:
$y_6 = 6 \times \beta = 6 \times 2 \ mm = 12 \ mm$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $D' = 2D$ और नई स्लिट दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुना बढ़ जाती है।

(D) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.
दिया गया है कि $I_1 = \frac{K}{4}$,इसलिए $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{4}$,जिसका अर्थ है $I_0 = \frac{K}{2}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$\Delta x = \lambda$,इसलिए $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
तीव्रता $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (-1)^2 = I_0$.
$I_0 = \frac{K}{2}$ रखने पर,हमें $I_2 = \frac{K}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है,$\lambda$ वास्तविक तरंगदैर्ध्य है,$v$ तारे का वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है कि आभासी तरंगदैर्ध्य वास्तविक तरंगदैर्ध्य से $0.02 \%$ अधिक है,इसलिए $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.02 \% = \frac{0.02}{100} = 2 \times 10^{-4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $2 \times 10^{-4} = \frac{v}{3 \times 10^8 \ m/s}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = (2 \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^8 \ m/s) = 6 \times 10^4 \ m/s$।
$km/s$ में बदलने पर: $v = \frac{6 \times 10^4}{10^3} \ km/s = 60 \ km/s$।