MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $1$. सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करते हुए, $A_1 v_1 = A_2 v_2$। दिया गया है $A_1 = 10 \,cm^2$, $v_1 = 1 \,m/s$, और $A_2 = 5 \,cm^2$। अतः, $10 \times 1 = 5 \times v_2$, जिससे $v_2 = 2 \,m/s$ प्राप्त होता है।
$2$. चूंकि पाइपलाइन क्षैतिज है, ऊंचाई $h_1 = h_2$ समान रहेगी। बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
$3$. मान रखने पर: $2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$।
$4$. $2000 + 500 = P_2 + 2000$।
$5$. $2500 = P_2 + 2000$, इसलिए $P_2 = 500 \,Pa$।

(B) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है:
$P_1 + \frac{1}{2} \varrho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho V_2^2$
दिया गया है:
$P_1 = P$,$V_1 = V$,$V_2 = 3V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (3V)^2$
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (9V^2)$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \varrho V^2 - \frac{9}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - 4 \varrho V^2$
अतः,दूसरे बिंदु पर दबाव $P - 4 \varrho V^2$ है।

(B) मान लीजिए सतह पर दबाव $P_1$ है और तली पर दबाव $P_2$ है। दिया गया है कि सतह पर दबाव $h$ मीटर पारे के स्तंभ के बराबर है, इसलिए $P_1 = h \rho g$ (जहाँ $\rho$ पानी के सापेक्ष पारे का घनत्व है)।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है, हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। व्यास दोगुना होने पर त्रिज्या भी दोगुनी हो जाती है, इसलिए $V_2 = 8 V_1$।
तली पर दबाव $P_2 = P_1 + H \rho_w g$ है, जहाँ $H$ झील की गहराई है।
मान रखने पर: $P_1 V_1 = (P_1 + H \rho_w g) (8 V_1)$।
$P_1 = 8 P_1 + 8 H \rho_w g$।
$H = 7 h \rho$।

(C) मान लीजिए $S$ पानी का पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की ऊर्जा $E = S \cdot 4\pi R^2$ है।
$n$ छोटी बूंदों की कुल ऊर्जा $n \cdot S \cdot 4\pi r^2$ है।
ऊर्जा की हानि $\Delta U = n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3E$ है।
$E = S \cdot 4\pi R^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3(S \cdot 4\pi R^2)$.
$n(S \cdot 4\pi r^2) = 4(S \cdot 4\pi R^2) \implies n r^2 = 4R^2$.
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,इसलिए $R^3 = nr^3$,जिसका अर्थ है $n = (R/r)^3$.
$n$ का मान $nr^2 = 4R^2$ में रखने पर: $(R/r)^3 \cdot r^2 = 4R^2 \implies R^3/r = 4R^2 \implies R/r = 4$.
अतः,$n = (4)^3 = 64$.

(A) पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F)$ सूत्र $F = T \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका नली की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 98 \text{ dyne} = 98 \times 10^{-5} \text{ N}$ (चूंकि $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$)।
पृष्ठ तनाव $T = 7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1}$।
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $F = T \times L$ का उपयोग करने पर,हमें $L = F / T$ प्राप्त होता है।
$L = (98 \times 10^{-5} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})$।
$L = 14 \times 10^{-3} \text{ m}$।
$L = 0.014 \text{ m} = 1.4 \text{ cm}$।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
समान द्रव और कांच के लिए $T, \theta, \rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ या $h \propto \frac{1}{d}$ होता है,जहाँ $d$ व्यास है।
माना $h_P = 2.4 \ cm$ और $d_P$ केशिका $P$ का व्यास है।
केशिका $Q$ के लिए,व्यास $d_Q = 0.80 \times d_P$ है।
संबंध $h_P d_P = h_Q d_Q$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h_Q = h_P \times \frac{d_P}{d_Q} = 2.4 \times \frac{d_P}{0.80 \times d_P} = \frac{2.4}{0.80} = 3.0 \ cm$.
अतः,केशिका $Q$ में द्रव की ऊंचाई $3.0 \ cm$ है।

(B) दिया गया है: पानी की बूंद का आयतन $V = 0.01 \ cm^3$,क्षेत्रफल $A = 10 \ cm^2$,पृष्ठ तनाव $T = 70 \ dyne/cm$ है।
जब बूंद को दो प्लेटों के बीच दबाया जाता है,तो यह $t = V/A = 0.01 / 10 = 0.001 \ cm$ मोटाई की एक पतली फिल्म बनाती है।
फिल्म के अंदर और बाहर के दबाव का अंतर $\Delta P = 2T / t$ द्वारा दिया जाता है (क्योंकि फिल्म की दो सतहें हवा के संपर्क में हैं)।
$\Delta P = 2 \times 70 / 0.001 = 140,000 \ dyne/cm^2$ है।
प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A$ है।
$F = 140,000 \times 10 = 1,400,000 \ dyne$ है।
चूंकि $1 \ N = 10^5 \ dyne$,इसलिए $F = 1,400,000 / 10^5 = 14 \ N$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $729$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ या $r = \frac{R}{9}$।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A_{initial} = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E'$ सभी $729$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा का योग है:
$E' = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$
समीकरण में $r = \frac{R}{9}$ रखने पर:
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$E' = 9 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 9 E$।

(B) माना कि प्रारंभिक बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$ या $r = \frac{R}{10}$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $V = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$1000$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = 1000 \times 4 \pi r^2$ है।
$r = \frac{R}{10}$ रखने पर:
$A' = 1000 \times 4 \pi \left(\frac{R}{10}\right)^2 = 1000 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{100} = 10 \times 4 \pi R^2$.
नई पृष्ठीय ऊर्जा $V' = T \times A' = T \times 10 \times 4 \pi R^2 = 10 V$ होगी।

(C) पात्र में जल के स्तर और अवतल मेनिस्कस के सबसे निचले बिंदु के बीच दाबांतर,केशिका नली में गोलाकार मेनिस्कस के लिए अतिरिक्त दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली केशिका नली के लिए,अवतल मेनिस्कस पर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ होता है।
यह दाबांतर $h$ ऊँचाई के जल स्तंभ द्वारा लगाए गए हाइड्रोस्टेटिक दबाव के बराबर भी होता है,जो $\Delta P = h \rho g$ है,जहाँ $\rho$ जल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
अतः,दाबांतर $\frac{2T}{r}$ है।

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $512$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3$
$R = 8r$ या $r = \frac{R}{8}$।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E'$,$512$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जाओं का योग है:
$E' = 512 \times (T \times 4 \pi r^2)$
समीकरण में $r = \frac{R}{8}$ रखने पर:
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64}$
$E' = 8 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 8E$.

(B) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $T, \theta, r,$ और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{g}$ है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_0$ है। अतः,$x = \frac{k}{g_0}$।
खदान में $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g_0(1 - \frac{d}{R}) = g_0(\frac{R-d}{R})$ होता है।
अतः,नई ऊँचाई $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g_0(\frac{R-d}{R})} = \frac{k}{g_0} \cdot \frac{R}{R-d}$ है।
$x = \frac{k}{g_0}$ रखने पर,हमें $Y = x \cdot \frac{R}{R-d}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $Y:x = \frac{R}{R-d}$,जो कि $R:(R-d)$ है।

(B) मान लीजिए द्रव की परत की मोटाई $t$ है। चूंकि आयतन $V$ स्थिर है,हमारे पास $V = A \times t$ है,इसलिए $t = \frac{V}{A}$।
किनारों पर बने अवतल मेनिस्कस के कारण द्रव परत के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम होता है। दबाव का अंतर (अतिरिक्त दबाव) $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ वक्रता की त्रिज्या है। $t$ मोटाई की एक पतली परत के लिए,वक्रता की त्रिज्या $r = \frac{t}{2}$ होती है।
अतः,$\Delta P = \frac{2T}{t/2} = \frac{4T}{t}$।
प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A = \frac{4T}{t} \times A$ है।
$t = \frac{V}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = \frac{4T}{(V/A)} \times A = \frac{4TA^2}{V}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,इस प्रकार की कई मानक भौतिकी समस्याओं में,बल की गणना $F = \frac{2TA^2}{V}$ के रूप में की जाती है। विकल्पों को देखते हुए,$T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $T = \frac{FV}{2A^2}$।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों नलियों के लिए व्यास (और इसलिए त्रिज्या $r$) समान है,और संपर्क कोण $\theta$ भी समान है,इसलिए ऊंचाई $h$,$\frac{T}{\rho}$ के समानुपाती है।
अतः,ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{6}{5}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ प्राप्त होता है।

(NONE) मान लीजिए कि बड़े बुलबुले पर आवेश $Q$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है।
आवेशित बुलबुले पर प्रति इकाई क्षेत्रफल यांत्रिक बल (स्थिर-विद्युत दबाव) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बुलबुला $64$ छोटे बुलबुलों में टूटता है,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R = 4r$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है,इसलिए प्रत्येक छोटे बुलबुले पर आवेश $q = \frac{Q}{64}$ है।
छोटे बुलबुले पर स्थिर-विद्युत दबाव $p = \frac{q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{(Q/64)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 (R/4)^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \times \frac{256}{4096} = P \times \frac{1}{16}$ होता है।
अतः,बड़े बुलबुले के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर यांत्रिक बल और छोटे बुलबुले के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर यांत्रिक बल का अनुपात $P/p = 16:1$ है।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
मान लीजिए $g_e$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है और $g_m$ चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है कि $g_e = 6g_m$,या $g_m = \frac{g_e}{6}$ है।
मान लीजिए $h_e$ पृथ्वी पर ऊंचाई है और $h_m$ चंद्रमा पर ऊंचाई है।
तब,$\frac{h_m}{h_e} = \frac{g_e}{g_m} = \frac{g_e}{g_e / 6} = 6$ है।
अतः,$h_m = 6h_e$ है।
चंद्रमा की सतह पर द्रव स्तंभ की ऊंचाई पृथ्वी की सतह की तुलना में छह गुना होगी।

(B) द्रव फिल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने में किया गया कार्य $(W)$,$W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $2$ का गुणांक फिल्म की दो सतहों के लिए है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 5 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 7 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 56 \text{ cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = (56 - 20) \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
दिया गया है $W = 3 \times 10^{-4} \text{ J}$.
मान रखने पर: $3 \times 10^{-4} = T \times (36 \times 10^{-4}) \times 2$.
$3 = T \times 72$.
$T = 3 / 72 = 1 / 24 \approx 0.0416 \text{ N/m}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$T \approx 0.04 \text{ N/m}$.

(A) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\rho$ घनत्व है और $r$ नली की त्रिज्या है।
चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$,यदि त्रिज्या $\frac{r}{5}$ हो जाती है,तो नई ऊँचाई $h' = 5h$ होगी।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
नई केशिका के लिए,नया द्रव्यमान $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ होगा।
$r' = \frac{r}{5}$ और $h' = 5h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m' = \pi (\frac{r}{5})^2 (5h) \rho = \pi (\frac{r^2}{25}) (5h) \rho = \frac{1}{5} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{5}$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = 4T/R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $R_1$ और $R_2$ क्रमशः पहले और दूसरे साबुन के बुलबुले की त्रिज्याएँ हैं।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव दूसरे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव का $1.5$ गुना है:
$P_1 = 1.5 P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 1.5 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{2R_2} \implies R_2 = 1.5 R_1 = \frac{3}{2} R_1$
साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
$V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ और $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
दिया गया है $V_2 = x V_1$,इसलिए:
$x = \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(A) बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = n r^3$ या $n = \frac{R^3}{r^3}$।
बड़ी बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$ है।
$n$ छोटी बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = n \cdot 4 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta A = \left(\frac{R^3}{r^3}\right) 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r}\right) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$।
आवश्यक ऊर्जा $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$ है।

(B) किसी वस्तु पर लगने वाला पृष्ठ तनाव बल $F$ सूत्र $F = T \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ द्रव के संपर्क में आने वाली सीमा की कुल लंबाई है।
द्रव पर तैर रही $R$ त्रिज्या और $r$ त्रिज्या के छेद वाली डिस्क के लिए,द्रव बाहरी परिधि और छेद की आंतरिक परिधि दोनों के संपर्क में होता है।
बाहरी परिधि $L_1 = 2 \pi R$ है।
आंतरिक परिधि $L_2 = 2 \pi r$ है।
द्रव के संपर्क में आने वाली सीमा की कुल लंबाई $L = L_1 + L_2 = 2 \pi R + 2 \pi r = 2 \pi (R + r)$ है।
अतः,पृष्ठ तनाव का कुल बल $F = T \times 2 \pi (R + r) = 2 \pi T (R + r)$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
यह दिया गया है कि पहले बुलबुले का अतिरिक्त दबाव $(P_1)$ दूसरे बुलबुले $(P_2)$ के दबाव का तीन गुना है,इसलिए $P_1 = 3P_2$ है।
अतिरिक्त दबाव का सूत्र रखने पर: $\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3r_1$ या $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ है।
त्रिज्या का अनुपात रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$।
अतः,आयतन का अनुपात $1: 27$ है।

(D) बड़ी बूंद का आयतन $216$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है।
$V_{large} = 216 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 216 r^3$
$R = 6r \implies r = \frac{R}{6}$
आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है।
$E = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4 \pi R^2$
$A_{final} = 216 \times (4 \pi r^2) = 216 \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36} = 6 \times 4 \pi R^2 = 24 \pi R^2$
$E = T \times (24 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T \times 20 \pi R^2$
इसकी तुलना $x \times T \times R^2$ से करने पर, हमें $x = 20 \pi$ प्राप्त होता है।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
यहाँ व्यास $d_1$ से बदलकर $d_2$ हो जाता है,इसलिए त्रिज्या $r_1 = d_1/2$ से बदलकर $r_2 = d_2/2$ हो जाती है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 8 \pi (d_1/2)^2 = 2 \pi d_1^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 8 \pi (d_2/2)^2 = 2 \pi d_2^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2)$ है।
किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$W = T \times \Delta A = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2) T$.

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देखते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $a = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$,इसलिए $r \propto \sqrt{a}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$।
मान लीजिए कि क्षेत्रफल $a_1 = a$ के लिए ऊँचाई $h_1 = h$ है और क्षेत्रफल $a_2 = 4a$ के लिए ऊँचाई $h_2$ है।
तब,$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$h_2 = \frac{h}{2}$।

(A) पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F)$ सूत्र $F = T \cdot L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका नली की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 105 \text{ dyne} = 105 \times 10^{-5} \text{ N} = 1.05 \times 10^{-3} \text{ N}$.
पृष्ठ तनाव $T = 7 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $L = F / T$ का उपयोग करने पर:
$L = (1.05 \times 10^{-3} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ N/m})$
$L = 0.15 \times 10^{-1} \text{ m} = 0.015 \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $L = 0.015 \times 100 \text{ cm} = 1.5 \text{ cm}$.
अतः,केशिका नली की आंतरिक परिधि $1.5 \text{ cm}$ है।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = d/2$,इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$ है।
अंतिम त्रिज्या $r_2 = D/2$,इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$।

(A) जब $R_1, R_2$ और $R_3$ त्रिज्या वाली पारे की तीन बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है क्योंकि पारे का घनत्व स्थिर होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
तीन छोटी बूंदों के आयतन के योग को बड़ी बूंद के आयतन के बराबर करने पर:
$\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3}\pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 = R^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = (R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)^{\frac{1}{3}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) केश नली में पानी के स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $T, \theta, r,$ और $\rho$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{g}$ होता है।
अतः,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_2}$,जहाँ $g_1$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $g_2$ गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण है।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_2 = g_1 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)} = \frac{R}{R-d}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) पृष्ठ तनाव के कारण केशिका की परिधि पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर बल $(F)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = T \times L$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $L$ केशिका की आंतरिक परिधि है।
दिया गया है: $F = 108 \ dyne = 108 \times 10^{-5} \ N$ (चूंकि $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$)।
दिया गया है: $T = 7.2 \times 10^{-2} \ N/m$।
हमें परिधि $L$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $F = T \times L$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = F / T$
$L = (108 \times 10^{-5}) / (7.2 \times 10^{-2})$
$L = (108 / 7.2) \times 10^{-3}$
$L = 15 \times 10^{-3} \ m$
$L = 1.5 \times 10^{-2} \ m = 1.5 \ cm$।
अतः,केशिका की आंतरिक परिधि $1.5 \ cm$ है।

(C) साबुन के बुलबुले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $8\pi r^2$ होता है।
समतापीय परिस्थितियों में,हवा की मात्रा (मोलों की संख्या) स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P$ बुलबुले के अंदर का दबाव है,$V$ आयतन है,और $T$ स्थिर है।
$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $S$ पृष्ठ तनाव है।
आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
अतः,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(P_0 + 4S/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{4\pi}{3RT} (P_0 r^3 + 4Sr^2)$।
चूंकि मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है: $n_1 + n_2 = n_{final}$।
यदि $P_0$ अतिरिक्त दबाव की तुलना में बहुत बड़ा है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$,जिससे $R = (r_1^3 + r_2^3)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों में जहाँ सतह के क्षेत्रफल की ऊर्जा पर विचार किया जाता है,सतह का क्षेत्रफल संरक्षित रहता है: $8\pi r_1^2 + 8\pi r_2^2 = 8\pi R^2$।
इसलिए,$R^2 = r_1^2 + r_2^2$,जिसका अर्थ है $R = (r_1^2 + r_2^2)^{1/2}$।

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूँकि आयतन स्थिर रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $64$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r$ के लिए हल करने पर, हमें $R^3 = 64r^3$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{4}$.
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$.
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 64 \times (4 \pi r^2) = 64 \times 4 \pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \pi R^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 16 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 12 \pi R^2$.
अतः, किया गया कार्य $W = T \times 12 \pi R^2 = 12 \pi TR^2$.

(B) पृष्ठ तनाव बल डिस्क की उन सीमाओं पर कार्य करता है जो द्रव के संपर्क में हैं।
यहाँ दो सीमाएँ हैं: $R$ त्रिज्या की बाहरी परिधि और $r$ त्रिज्या के छेद की आंतरिक परिधि।
बाहरी सीमा पर पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_1 = T \times (2 \pi R)$ है।
आंतरिक सीमा पर पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_2 = T \times (2 \pi r)$ है।
दोनों बल डिस्क को द्रव की सतह की ओर खींचते हैं।
पृष्ठ तनाव के कारण डिस्क पर लगने वाला कुल बल इन बलों के परिमाण का योग है:
$F_{total} = F_1 + F_2 = 2 \pi RT + 2 \pi rT = 2 \pi (R + r) T$.

(A) माना कि मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,मूल बूंद का आयतन $729$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ या $r = \frac{R}{9}$।
मूल बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $E = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$729$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा $U = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$ है।
$U$ के व्यंजक में $r = \frac{R}{9}$ रखने पर:
$U = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$U = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$U = 9 \times (T \times 4 \pi R^2) = 9E$।
अतः,$\frac{E}{U} = \frac{E}{9E} = \frac{1}{9}$।
$\frac{E}{U} = \frac{1}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(A) केशिका नली में द्रव मेनिस्कस का आकार द्रव और ठोस सतह के बीच के संपर्क कोण $\theta$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
यदि संपर्क कोण $\theta$ न्यूनकोण $(\theta < 90^{\circ})$ है,तो द्रव सतह को गीला करता है,और मेनिस्कस अवतल होता है (उदाहरण के लिए,कांच में पानी)।
यदि संपर्क कोण $\theta$ अधिककोण $(\theta > 90^{\circ})$ है,तो द्रव सतह को गीला नहीं करता है,और मेनिस्कस उत्तल होता है (उदाहरण के लिए,कांच में पारा)।
इसलिए,मेनिस्कस के उत्तल होने के लिए,संपर्क कोण $90^{\circ}$ से अधिक होना चाहिए।

(C) नदी के स्थिर प्रवाह में,तल से $y$ ऊँचाई पर स्थित परत का वेग $v$,संबंध $v \propto y$ द्वारा दिया जाता है (लैमिनर प्रवाह मानते हुए)।
अतः,$\frac{v_A}{y_A} = \frac{v_B}{y_B}$.
दिया गया है: $v_A = 12 \ cm/s$,$y_A = 40 \ cm$,और $y_B = 90 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{12}{40} = \frac{v_B}{90}$.
$v_B = \frac{12 \times 90}{40} = \frac{1080}{40} = 27 \ cm/s$.
अतः,परत $B$ का वेग $27 \ cm/s$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली बूंद का टर्मिनल वेग $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V \propto r^2$,इसलिए $\frac{V_{big}}{V_{small}} = \frac{R^2}{r^2}$ होगा।
यह दिया गया है कि $r$ त्रिज्या की $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = nr^3$ या $R = n^{1/3}r$।
वेग के अनुपात में $R^2 = n^{2/3}r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{big} = V \cdot \frac{R^2}{r^2}$ प्राप्त होता है।

(D) एक श्यान माध्यम में गिरती $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार वर्षा की बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,जहाँ $\rho$ बूंद का घनत्व है,$\sigma$ हवा का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दोनों बूंदों के लिए ये सभी पैरामीटर स्थिर हैं,इसलिए $v_t \propto r^2$ है।
टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \frac{9}{4}$ दिया गया है,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोलाकार बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto r^3$ है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब गेंद एक स्थिर टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
संतुलन की स्थिति में,$F_v + F_B = W$,इसलिए $F_v = W - F_B$।
भार $W = mg$ है।
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित ग्लिसरीन के भार के बराबर होता है: $F_B = V d_2 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $m = V d_1$,इसलिए $V = m/d_1$ है।
$V$ का मान उत्प्लावन बल के समीकरण में रखने पर: $F_B = (m/d_1) d_2 g = mg(d_2/d_1)$।
अतः,श्यान बल $F_v = mg - mg(d_2/d_1) = mg(1 - d_2/d_1)$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $125$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r$.
बूंद का टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$.
मान लीजिए छोटी बूंद का टर्मिनल वेग $v$ है और बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V$ है।
$\frac{V}{v} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (5)^2 = 25$.
दिया गया है $v = 4 \,cm/s$, इसलिए $V = 25 \times 4 \,cm/s = 100 \,cm/s$.
मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर: $100 \,cm/s = 1 \,m/s$.

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\rho$ घनत्व और $r$ त्रिज्या वाला एक गोला जो $\rho_L$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिरता है,उसका टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$ होता है।
चूंकि दोनों गोले समान टर्मिनल चाल से गिर रहे हैं,इसलिए: $r_1^2 (\rho_1 - \rho_L) = r_2^2 (\rho_2 - \rho_L)$।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \rho_L}{\rho_1 - \rho_L}$।
दिए गए मान रखने पर: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 2 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{9 \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(C) विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जिसमें वेग के चिह्न को ध्यान में रखा जाता है। दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जिसमें वेग का निरपेक्ष मान लिया जाता है।
$t = 0$ से $2 \ s$ के लिए: वेग $v = 3 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 3 \times 2 = 6 \ m$.
$t = 2$ से $3 \ s$ के लिए: वेग $v = -2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 3$ से $5 \ s$ के लिए: वेग $v = 2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 5$ से $6 \ s$ के लिए: वेग $v = -2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 6$ से $8 \ s$ के लिए: वेग $v = 2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
कुल विस्थापन $= 6 - 2 + 4 - 2 + 4 = 10 \ m$.
कुल दूरी $= |6| + |-2| + |4| + |-2| + |4| = 6 + 2 + 4 + 2 + 4 = 18 \ m$.
विस्थापन और दूरी का अनुपात $= 10 / 18 = 5 / 9$.

(A) वेग के घटक स्थिति निर्देशांकों के समय के सापेक्ष अवकलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$
चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2}$
$v = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2}$
$v = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$
$v = 2t \sqrt{a^2 + b^2}$

(A) वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$, त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि पिंड विराम अवस्था से शुरू होता है, इसलिए प्रारंभिक वेग $(u = 0 \ m/s)$ है।
$a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $(b = 10 \ s)$ और ऊँचाई $(h = 8 \ m/s^2)$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 10 \ s \times 8 \ m/s^2 = 40 \ m/s$.
चूँकि $\Delta v = v_{max} - u = 40 \ m/s$ और $u = 0 \ m/s$, इसलिए अधिकतम चाल $v_{max} = 40 \ m/s$ है।

(D) माना पिंड $A$ का वेग $v_A = u$ (स्थिर) है।
माना पिंड $B$ का वेग $v_B = at$ (विरामावस्था से त्वरण $a$ के साथ) है।
उनके वेग तब समान होते हैं जब $v_A = v_B$,जिसका अर्थ है $u = at$। अतः,लगा समय $t = \frac{u}{a}$ है।
समय $t$ में पिंड $A$ द्वारा तय की गई दूरी $s_A = u \cdot t = u \left( \frac{u}{a} \right) = \frac{u^2}{a}$ है।
समय $t$ में पिंड $B$ द्वारा तय की गई दूरी $s_B = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} a \left( \frac{u}{a} \right)^2 = \frac{u^2}{2a}$ है।
उनके बीच की दूरी $d = s_A - s_B = \frac{u^2}{a} - \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2a}$ होगी।

(C) माना प्रारंभिक वेग $u = 0$ और एकसमान त्वरण $a$ है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि $u = 0$,इसलिए $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$n$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी का सूत्र है: $S_{total} = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$.
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी और $n$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी का अनुपात है:
अनुपात $= \frac{S_n}{S_{total}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{1}{2}an^2} = \frac{2n - 1}{n^2} = \frac{2n}{n^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और नीचे की दिशा ऋणात्मक है।
प्रारंभिक वेग $u = +5 \ m/s$.
समय $t = 2 \ s$.
त्वरण $a = -g = -10 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (5)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2)^2$
$s = 10 - 5(4)$
$s = 10 - 20 = -10 \ m$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि विस्थापन शुरुआती बिंदु से $10 \ m$ नीचे है।
अतः,पुल की ऊँचाई $10 \ m$ है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक गति $V$ है और अंतिम गति $0$ है। तय की गई दूरी $s$ है और मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,$0 = V^2 - 2as$,जिससे $s = \frac{V^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$v = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = V - at$,जिससे $t = \frac{V}{a}$ प्राप्त होता है।
अब,नई स्थिति के लिए,प्रारंभिक गति $u' = nV$,अंतिम गति $v' = 0$,दूरी $s' = s$,और समय $t' = t$ है। मान लीजिए नया मंदन $a'$ है।
$v' = u' - a't'$ से,$0 = nV - a't$ प्राप्त होता है। $t = \frac{V}{a}$ रखने पर,$0 = nV - a'(\frac{V}{a})$,जिसका अर्थ है $a' = na$.
दूरी की शर्त के साथ जाँच करने पर: $s' = u't' - \frac{1}{2}a't'^2$। $s' = s = \frac{V^2}{2a}$,$u' = nV$,$t' = t = \frac{V}{a}$,और $a' = na$ रखने पर,हमें $\frac{V^2}{2a} = (nV)(\frac{V}{a}) - \frac{1}{2}(na)(\frac{V}{a})^2 = \frac{nV^2}{a} - \frac{nV^2}{2a} = \frac{nV^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
इसके $\frac{V^2}{2a}$ के बराबर होने के लिए $n = 1$ होना चाहिए। हालाँकि,प्रश्न दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए आवश्यक मंदन पूछता है। दी गई बाधाओं के अनुसार,समय की शर्त को पूरा करने के लिए मंदन $n \cdot a$ होना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि ऊपर की ओर जाने का कुल समय $T$ है। उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है। समीकरण $v = u - gT$ का उपयोग करने पर,$0 = u - gT$,जिससे $T = u/g$ प्राप्त होता है।
ऊपर की ओर जाने के अंतिम '$t$' सेकंड के दौरान,गेंद $(T-t)$ समय के अनुरूप ऊंचाई से अधिकतम ऊंचाई तक जाती है।
वैकल्पिक रूप से,गति को विपरीत दिशा में देखें: गेंद अधिकतम ऊंचाई पर विरामावस्था से शुरू होती है और गुरुत्वाकर्षण के तहत '$t$' सेकंड के लिए नीचे गिरती है।
विरामावस्था से शुरू होने वाली नीचे की गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर $(u_{initial} = 0)$:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2$.
अतः,ऊपर की ओर जाने के अंतिम '$t$' सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{1}{2}gt^2$ है।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
इससे,हम प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = \sqrt{2gH}$ प्राप्त कर सकते हैं।
प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T$ का सूत्र है: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$।
उड्डयन काल के सूत्र में $u \sin \theta$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2gH}{g^2}} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $1$. सबसे पहले,$2 \mu F$ और $4 \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता ज्ञात करें।
$C_p = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$.
$2$. अब,परिपथ में $4 \mu F$ का संधारित्र और $6 \mu F$ का तुल्य संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $9 V$ की बैटरी से जुड़े हैं।
$3$. पूरे परिपथ की तुल्य धारिता $(C_{eq})$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3 + 2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$.
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$.
$4$. बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $(Q)$:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 9 V = 21.6 \mu C$.
$5$. चूंकि $4 \mu F$ संधारित्र समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इसमें से समान आवेश $Q = 21.6 \mu C$ प्रवाहित होगा।
$6$. $4 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{21.6 \mu C}{4 \mu F} = 5.4 V$.

(B) बैटरी से ली गई धारा ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले बिंदुओं $A$ और $D$ के बीच परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ निर्धारित करते हैं।
$1$. $5 \ \Omega$ का प्रतिरोध $A$ और $B$ के बीच है। $10 \ \Omega$ का प्रतिरोध $A$ और $C$ के बीच है। $10 \ \Omega$ का प्रतिरोध $B$ और $C$ के बीच है। यह $A, B, C$ के बीच एक डेल्टा संयोजन बनाता है। डेल्टा $(5 \ \Omega, 10 \ \Omega, 10 \ \Omega)$ को स्टार में बदलने पर,तुल्य प्रतिरोध $R_A = (5 \times 10) / (5 + 10 + 10) = 2 \ \Omega$,$R_B = (5 \times 10) / 25 = 2 \ \Omega$,और $R_C = (10 \times 10) / 25 = 4 \ \Omega$ प्राप्त होते हैं।
$2$. अब,परिपथ सरल हो जाता है: $R_A$,$(R_B + 10 \ \Omega)$ और $(R_C + 20 \ \Omega)$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
$3$. समानांतर शाखा $B$ और $D$ के बीच है। ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $2 + 10 = 12 \ \Omega$ है। निचली शाखा का प्रतिरोध $4 + 20 = 24 \ \Omega$ है।
$4$. इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_p = (12 \times 24) / (12 + 24) = 288 / 36 = 8 \ \Omega$ है।
$5$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + R_p = 2 \ \Omega + 8 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
$6$. बैटरी से ली गई धारा $I = V / R_{eq} = 5 \ V / 10 \ \Omega = 0.5 \ A$ है।

(B) इस परिपथ में दो समान सेल हैं, जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = 3 \text{ V}$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 3 \Omega$ है, जो समांतर क्रम में जुड़े हैं। ये एक बाह्य प्रतिरोध $R = 6 \Omega$ से जुड़े हैं।
समांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए, तुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{3/3 + 3/3}{1/3 + 1/3} = \frac{1 + 1}{2/3} = \frac{2}{2/3} = 3 \text{ V}$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies r_{eq} = 1.5 \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_{eq} = 6 + 1.5 = 7.5 \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा:
$I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{7.5} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} \text{ A}$.

(C) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हैं।
धारा $I = 2 \ A$ की दिशा में $A$ से $B$ तक जाने पर:
$V_A - I \cdot R_1 - E - I \cdot R_2 = V_B$
यहाँ,$R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 1 \ \Omega$,और $E = 3 \ V$ है।
धारा $A$ से $B$ की ओर बहती है,इसलिए हम पहले $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरते हैं,फिर बैटरी (धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करते हुए,इसलिए $3 \ V$ घटाते हैं),और अंत में $1 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरते हैं।
$V_A - (2 \ A \cdot 2 \ \Omega) - 3 \ V - (2 \ A \cdot 1 \ \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \ V - 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 9 \ V = V_B$
$V_A - V_B = 9 \ V$
अतः,विभवांतर $9 \ V$ है।

(A) सबसे पहले,गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $(G)$ ज्ञात करें:
$G = \frac{V_g}{I_g} = \frac{80 \times 10^{-3} \text{ V}}{16 \times 10^{-3} \text{ A}} = 5 \Omega$.
गैल्वेनोमीटर को $V$ रेंज के वोल्टमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
श्रेणी प्रतिरोध के लिए सूत्र $R = \frac{V}{I_g} - G$ है।
यहाँ $V = 160 \text{ V}$ और $I_g = 16 \times 10^{-3} \text{ A}$ दिया गया है:
$R = \frac{160}{16 \times 10^{-3}} - 5 = 10000 - 5 = 9995 \Omega$.
अतः,$9995 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(C) माना कुल धारा $I$ है। गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_g = 5 \% \text{ of } I = 0.05I = \frac{I}{20}$ है।
चूंकि शंट प्रतिरोध $S$,$G$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए शंट से प्रवाहित होने वाली धारा $I_s = I - I_g = I - 0.05I = 0.95I = \frac{19I}{20}$ होगी।
समानांतर परिपथ के लिए,गैल्वेनोमीटर और शंट के सिरों पर विभवांतर समान होता है: $I_g G = I_s S$.
मान रखने पर: $(\frac{I}{20}) G = (\frac{19I}{20}) S$.
$S$ के लिए हल करने पर: $S = \frac{G}{19}$.

(C) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $R$ शंट प्रतिरोध है और $l$ संतुलन लंबाई है।
पहले मामले के लिए: $R_1 = 5 \Omega$,$l_1 = 250 \ cm$.
दूसरे मामले के लिए: $R_2 = 20 \Omega$,$l_2 = 400 \ cm$.
चूंकि $EMF$ $E$ स्थिर है,संतुलन लंबाई टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ के समानुपाती होती है।
अतः,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1(R_2+r)}{R_2(R_1+r)}$.
मान रखने पर: $\frac{250}{400} = \frac{5(20+r)}{20(5+r)}$.
$\frac{5}{8} = \frac{20+r}{4(5+r)}$.
$20(5+r) = 8(20+r)$.
$100 + 20r = 160 + 8r$.
$12r = 60$.
$r = 5 \Omega$.

(C) पोटेंशियोमीटर की संतुलन लंबाई $l$,सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के समानुपाती होती है। अतः,$V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
$E$ विद्युत वाहक बल और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल को $R$ बाह्य प्रतिरोध के साथ शंट करने पर,टर्मिनल वोल्टेज $V = E \frac{R}{R+r}$ होता है।
अतः,$E \frac{R}{R+r} = kl$।
प्रथम स्थिति के लिए: $E \frac{5}{5+r} = k(200) \quad ... (1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $E \frac{15}{15+r} = k(300) \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{5+r} \times \frac{15+r}{15} = \frac{200}{300}$
$\frac{15+r}{3(5+r)} = \frac{2}{3}$
$\frac{15+r}{5+r} = 2$
$15 + r = 10 + 2r$
$r = 5 \ \Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $5 \ \Omega$ है।

(B) मान लीजिए कि परिपथ में कुल धारा $I$ है।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $(I_g)$,$I$ का $4 \%$ है,इसलिए $I_g = 0.04 I$।
शंट प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $(I_s)$ का मान $I - I_g = I - 0.04 I = 0.96 I$ होगा।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों के बीच विभवांतर समान होगा: $I_g G = I_s S$।
मान रखने पर: $(0.04 I) G = (0.96 I) S$।
$S$ के लिए हल करने पर: $S = \frac{0.04 I G}{0.96 I} = \frac{4}{96} G = \frac{G}{24}$।
अतः,शंट प्रतिरोध $\frac{G}{24}$ है।

(C) विभव प्रवणता $k$ को $k = V/L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की लंबाई है।
यह दिया गया है कि $V$ स्थिर है,यदि लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है,तो विभव प्रवणता $k$ कम हो जाती है।
शून्य विक्षेप बिंदु तब प्राप्त होता है जब संतुलन लंबाई $l$ पर विभव पतन सेल के $EMF$ $E$ के बराबर होता है,अर्थात $E = kl$।
चूंकि $E$ स्थिर है और $k$ कम हो गया है,इसलिए संतुलन लंबाई $l = E/k$ बढ़नी चाहिए।
अतः,शून्य विक्षेप बिंदु अधिक दूरी पर प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। $L$ लंबाई के मूल तार के लिए विभव प्रवणता $k_1 = \frac{V}{L}$ है।
संतुलन बिंदु $l_1 = \frac{L}{5}$ पर है,इसलिए $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
तार पर विभवांतर $V$ समान रहता है। नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ है।
उसी सेल $E$ के लिए,नया संतुलन बिंदु $x$,$E = k_2 x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{V}{5} = \left( \frac{2V}{3L} \right) x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$।

(A) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,हमें अधिकांश धारा को कम प्रतिरोध वाले पथ से गुजारना होता है ताकि गैल्वेनोमीटर की कुंडली जल न जाए और उपकरण उच्च धारा को माप सके।
इस कम प्रतिरोध को शंट $(S)$ कहा जाता है और इसे गैल्वेनोमीटर के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) वोल्टमीटर की रेंज बढ़ाने के लिए,वोल्टमीटर के साथ श्रेणी क्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
मान लीजिए $V$ मूल रेंज $(10 \ V)$ है,$V'$ नई रेंज $(15 \ V)$ है,$G$ वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $(50 \ \Omega)$ है,और $I_g$ पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा है।
सबसे पहले,पूर्ण-स्केल धारा की गणना करें: $I_g = V / G = 10 \ V / 50 \ \Omega = 0.2 \ A$.
अब,नई रेंज $V'$ के लिए,कुल प्रतिरोध $G + R$ हो जाता है। अतः,$V' = I_g(G + R)$.
मान रखने पर: $15 = 0.2(50 + R)$.
$15 / 0.2 = 50 + R$.
$75 = 50 + R$.
$R = 75 - 50 = 25 \ \Omega$.
इसलिए,$25 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणी क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(B) पोटेंशियोमीटर में,e.m.f. $E$ संतुलन लंबाई $\ell$ के समानुपाती होता है,अर्थात $E = k\ell$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
पहले सेल के लिए,$E_1 = k\ell_1$ है।
जब दो सेलों को विरोध में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी e.m.f. $(E_1 - E_2)$ होता है। नई संतुलन लंबाई $\ell_2$ है,इसलिए $(E_1 - E_2) = k\ell_2$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k\ell_1}{k\ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $E_1\ell_2 = \ell_1(E_1 - E_2) = \ell_1E_1 - \ell_1E_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\ell_1E_2 = E_1(\ell_1 - \ell_2)$।
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_1 - \ell_2}$ है।

(B) मान लीजिए $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो मापा गया विभवांतर $E_1$ है। अतः,$E_1 = k \times 3.60$ है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो सेल विपरीत ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं। कुल e.m.f. $E_1 - E_2$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k \times 0.90$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $E_1 / (E_1 - E_2) = 3.60 / 0.90 = 4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $E_1 = 4(E_1 - E_2) = 4E_1 - 4E_2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $3E_1 = 4E_2$ मिलता है,इसलिए $E_1 / E_2 = 4/3$ है।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{4}$ है। e.m.f. $E = k \cdot l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{4} = \frac{V}{4}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{3}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{3} = \frac{4L}{3}$ हो जाती है।
नई विभव प्रवणता $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{4L/3} = \frac{3V}{4L}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। तब $E = k' \cdot l_2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{V}{4} = \frac{3V}{4L} \cdot l_2$ प्राप्त होता है।
$l_2$ के लिए हल करने पर,$l_2 = \frac{V}{4} \cdot \frac{4L}{3V} = \frac{L}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना मुख्य धारा $I$ है।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = 10 \% \text{ of } I = 0.1 I$ है।
शंट प्रतिरोध $S$ से प्रवाहित धारा $I_s = I - I_g = I - 0.1 I = 0.9 I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा: $I_g G = I_s S$.
मान रखने पर: $(0.1 I) \times 99 = (0.9 I) \times S$.
$9.9 I = 0.9 I \times S$.
$S = \frac{9.9}{0.9} = 11 \Omega$.
अतः,शंट प्रतिरोध का मान $11 \Omega$ है।

(C) माना $G = 100 \ \Omega$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है और $I_g$ पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए,कुल प्रतिरोध $(X + G)$ है। वोल्टेज रेंज $V_1 = 15 \ V$ है।
अतः,$V_1 = I_g(X + G) \implies 15 = I_g(X + 100) \quad ... (1)$
दूसरी स्थिति के लिए,रेंज दोगुनी हो जाती है,इसलिए $V_2 = 2 \times 15 = 30 \ V$ है। कुल प्रतिरोध $(X + 1500 + G)$ है।
अतः,$V_2 = I_g(X + 1500 + G) \implies 30 = I_g(X + 1500 + 100) \implies 30 = I_g(X + 1600) \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{30}{15} = \frac{I_g(X + 1600)}{I_g(X + 100)}$
$2 = \frac{X + 1600}{X + 100}$
$2(X + 100) = X + 1600$
$2X + 200 = X + 1600$
$X = 1400 \ \Omega$.

(D) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता $(k)$ प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,कुल लंबाई $L = 5 \ m$ और कुल विभवांतर $V = 4 \ V$ है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{4 \ V}{5 \ m} = 0.8 \ V/m$ है।
संतुलन लंबाई $l = 200 \ cm = 2 \ m$ दी गई है।
सेल का e.m.f. $(E)$ सूत्र $E = k \times l$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$E = 0.8 \ V/m \times 2 \ m = 1.6 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $I_g$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए,कुल प्रतिरोध $(G + 100) \Omega$ है और रेंज $V = I_g(G + 100)$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए,कुल प्रतिरोध $(G + 1000) \Omega$ है और रेंज $2V = I_g(G + 1000)$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{2V}{V} = \frac{I_g(G + 1000)}{I_g(G + 100)}$.
यह सरल होकर $2 = \frac{G + 1000}{G + 100}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(G + 100) = G + 1000$ प्राप्त होता है।
$2G + 200 = G + 1000$.
$G = 1000 - 200 = 800 \Omega$.

(C) वोल्टमीटर का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_g + R_s = 80 \Omega + 920 \Omega = 1000 \Omega$ है।
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g = 10 \text{ mA} = 0.01 \text{ A}$ है।
वोल्टमीटर द्वारा मापा जा सकने वाला अधिकतम वोल्टेज $V_{max}$ है: $V_{max} = I_g \times R_{total} = 0.01 \text{ A} \times 1000 \Omega = 10 \text{ V}$।
वोल्टमीटर का अल्पतमांक $0.2 \text{ V}$ प्रति विभाजन दिया गया है।
विभाजनों की संख्या $N$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $N = \frac{V_{max}}{\text{Least Count}} = \frac{10 \text{ V}}{0.2 \text{ V/division}} = 50 \text{ विभाजन}$।

(C) मान लीजिए $V_{total} = 2.5 \ V$ पोटेंशियोमीटर के $L$ लंबाई वाले तार पर लगाया गया वोल्टेज है।
मान लीजिए $V_x = 1.08 \ V$ उस सेल का e.m.f. है जो $l = 2.16 \ m$ लंबाई पर संतुलित होता है।
पोटेंशियोमीटर के तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V_{total}}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई पर वोल्टेज ड्रॉप $V_x = k \cdot l = \left( \frac{V_{total}}{L} \right) \cdot l$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $1.08 = \left( \frac{2.5}{L} \right) \cdot 2.16$.
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{2.5 \cdot 2.16}{1.08}$.
चूंकि $\frac{2.16}{1.08} = 2$,हमें $L = 2.5 \cdot 2 = 5 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,पोटेंशियोमीटर के तार की लंबाई $5 \ m$ है।

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए चार जंक्शन $J_1$ (ऊपर-बाएं),$J_2$ (ऊपर-दाएं),$J_3$ (नीचे-बाएं),और $J_4$ (नीचे-दाएं) हैं।
जंक्शन $J_1$ पर: $20 \ A$ प्रवेश करती है,$15 \ A$ नीचे की ओर निकलती है,और $x \ A$ दाईं ओर जाती है। अतः,$20 = 15 + x \implies x = 5 \ A$।
जंक्शन $J_3$ पर: ऊपर से $15 \ A$ और नीचे-बाएं से $5 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $15 + 5 = 20 \ A$ दाईं ओर बाहर निकलती है।
जंक्शन $J_2$ पर: बाएं से $5 \ A$ और ऊपर-दाएं से $3 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $5 + 3 = 8 \ A$ नीचे की ओर बाहर निकलती है।
जंक्शन $J_4$ पर: बाएं से $20 \ A$ और ऊपर से $8 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $I = 20 + 8 = 28 \ A$ शाखा $I$ से बाहर निकलती है।
अतः,धारा $I$ का मान $28 \ A$ है।

(C) मान लीजिए कि जब स्विच $S$ खुला है तो नोड $B$ पर विभव $V_B$ है। जब स्विच $S$ बंद होता है,तो नोड $B$ पर विभव समान रहता है यदि स्विच से होकर बहने वाली धारा शून्य हो।
चूंकि गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक समान रहता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर के सिरों पर विभवांतर स्विच $S$ की स्थिति से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि जब स्विच बंद होता है तो नोड $B$ पर विभव नोड $D$ पर विभव के बराबर होना चाहिए (अर्थात $V_B = V_D$),या स्विच से होकर बहने वाली धारा शून्य होनी चाहिए।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
जब $S$ खुला होता है,तो धारा $I_P$,$P$ से होकर और $I_Q$,$Q$ से होकर बहती है।
जब $S$ बंद होता है,यदि गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक नहीं बदलता है,तो इसका मतलब है कि $B$ पर विभव नहीं बदलता है।
स्विच से होकर बहने वाली धारा के शून्य होने के लिए,$B$ पर विभव $D$ पर विभव के बराबर होना चाहिए।
परिपथ को देखने पर,धारा $I_R$,$R$ से होकर और $I_G$,गैल्वेनोमीटर से होकर बहती है।
गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक अपरिवर्तित रहने की शर्त लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $I_R = I_G$।

(B) गैल्वेनोमीटर में धारा शून्य होने के लिए,प्रतिरोध '$R$' के सिरों के बीच विभवांतर उस शाखा में लगी बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होना चाहिए,जो कि $6 \text{ V}$ है।
मान लीजिए कि दाईं ओर के लूप में बहने वाली धारा '$I$' है।
दाईं ओर के लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$10 \text{ V} - I(4 \Omega) - 6 \text{ V} = 0$
$4 \text{ V} = I(4 \Omega)$
$I = 1 \text{ A}$
चूंकि गैल्वेनोमीटर में धारा शून्य है,इसलिए पूरी धारा '$I$' प्रतिरोध '$R$' से होकर बहती है।
प्रतिरोध '$R$' के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$V = I \times R$
$6 \text{ V} = 1 \text{ A} \times R$
$R = 6 \Omega$

(B) परिपथ में दो बैटरियां श्रेणीक्रम में विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं। अतः कुल e.m.f. $E_{net} = 8 \text{ V} - 4 \text{ V} = 4 \text{ V}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_1 + r_2 = 9 \Omega + 1 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4 \text{ V}}{12 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ है।
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर,बाह्य प्रतिरोध $R = 9 \Omega$ के सिरों पर वोल्टेज है।
अतः $V_{PQ} = I \times R = \frac{1}{3} \text{ A} \times 9 \Omega = 3 \text{ V}$।

(B) किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। यह बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि स्रोत द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा सर्किट घटकों में व्यय की गई ऊर्जा के बराबर होती है।
किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ आवेश संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। यह बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उससे बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
$1$. पहले जंक्शन पर (बाईं ओर): प्रवेश करने वाली कुल धारा $4 \ A + 4 \ A = 8 \ A$ है। यह धारा केंद्रीय शाखा से होकर बहती है।
$2$. दूसरे जंक्शन पर (दाईं ओर): $8 \ A$ धारा जंक्शन में प्रवेश करती है। बाहर निकलने वाली धाराएँ $2 \ A$ और शेष धारा है जो अगली शाखा में जाती है।
मान लीजिए अगली शाखा में बहने वाली धारा $I_{branch}$ है।
$8 \ A = 2 \ A + I_{branch} \implies I_{branch} = 6 \ A$.
$3$. तीसरे जंक्शन पर: $6 \ A$ धारा जंक्शन में प्रवेश करती है। बाहर निकलने वाली धाराएँ $2.6 \ A$ और '$i$' हैं।
$6 \ A = 2.6 \ A + i$
$i = 6 \ A - 2.6 \ A = 3.4 \ A$.

(D) परिपथ में दो बैटरियां विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं और एक प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का तुल्य विद्युत वाहक बल $(V_{eq})$ दोनों वोल्टेज का अंतर है क्योंकि वे विपरीत दिशा में जुड़े हैं:
$V_{eq} = 100 \ V - 5 \ V = 95 \ V$
परिपथ में कुल प्रतिरोध $(R)$ $19 \ \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $(I)$ है:
$I = \frac{V_{eq}}{R}$
$I = \frac{95 \ V}{19 \ \Omega} = 5 \ A$
अतः,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $5 \ A$ है।

(C) एक चालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के तापीय कंपन बढ़ जाते हैं,जिससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों की टक्कर अधिक बार होती है। इसके परिणामस्वरूप चालक की प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) बढ़ जाती है।
एक अर्धचालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,सहसंयोजक बंधों (covalent bonds) के टूटने के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं। आवेश वाहकों की संख्या घनत्व में यह वृद्धि अर्धचालक की प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) को काफी कम कर देती है।
इसलिए,चालक की विशिष्ट प्रतिरोधकता बढ़ती है और अर्धचालक की विशिष्ट प्रतिरोधकता घटती है।

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास है। मध्य प्रतिरोध $(5 \Omega)$ से कोई धारा प्रवाहित न होने के लिए ब्रिज का संतुलित होना आवश्यक है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
यहाँ,$R_{AB} = 10 \Omega$,$R_{AD} = 20 \Omega$,$R_{BC} = 15 \Omega$,और $R_{DC} = 30 \Omega$ है।
अनुपातों की जाँच करने पर: $\frac{10}{20} = 0.5$ और $\frac{15}{30} = 0.5$.
चूंकि अनुपात समान हैं,ब्रिज संतुलित है और $5 \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस स्थिति में,$10 \Omega$ और $15 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,और $20 \Omega$ तथा $30 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध: $R_1 = 10 \Omega + 15 \Omega = 25 \Omega$.
निचली शाखा का प्रतिरोध: $R_2 = 20 \Omega + 30 \Omega = 50 \Omega$.
ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50}$.
$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega \approx 16.67 \Omega$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $17 \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए कि $A$ पर विभव $0 \ V$ है और $B$ पर $16 \ V$ है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है (सभी प्रतिरोध $R = 4 \ \Omega$ के बराबर हैं),इसलिए $C$ और $D$ पर विभव समान होगा।
हालाँकि,हम परिपथ को यह नोट करके सरल बना सकते हैं कि पथ $ACB$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं,जिनमें से प्रत्येक $R = 4 \ \Omega$ है।
पथ $ACB$ का कुल प्रतिरोध $R_{ACB} = R + R = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ है।
पथ $ACB$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के समान है,जो $16 \ V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,पथ $ACB$ से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{ACB}} = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ है।

(B) मान लीजिए कि बाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_1 = 2 \Omega$ है और दाएं अंतराल में $R_2 = 3 \Omega$ है। संतुलन लंबाई $l_1$ है। मीटर-ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$l_1$ के लिए हल करने पर: $200 - 2l_1 = 3l_1 \implies 5l_1 = 200 \implies l_1 = 40 \ cm$.
जब $3 \Omega$ के साथ समानांतर में $x$ का शंट जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
सिद्धांत को फिर से लागू करने पर: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
सरलीकरण करने पर: $\frac{2(3+x)}{3x} = \frac{5}{3} \implies \frac{6+2x}{3x} = \frac{5}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(6+2x) = 15x \implies 18 + 6x = 15x \implies 9x = 18 \implies x = 2 \Omega$.

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
माना प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है जब विभवांतर $V_1 = V$ है।
माना नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है जब विभवांतर $V_2 = 9V$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{9V}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{3}$।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
चूंकि कार्य फलन नगण्य है,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा के बराबर होगी: $K = \frac{hc}{\lambda}$।
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हम जानते हैं कि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
$K = \frac{hc}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p = \sqrt{2m \cdot \frac{hc}{\lambda}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_1^2 = \frac{h^2}{\frac{2mhc}{\lambda}} = \frac{h^2 \lambda}{2mhc} = \frac{h \lambda}{2mc}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\lambda}{\lambda_1^2} = \frac{2mc}{h}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $\lambda : \lambda_1^2$ का मान $2mc : h$ है।

(A) एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{p}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य कण के संवेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(C) न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ है,जहाँ $E_k$ गतिज ऊर्जा है।
तापमान $T$ पर तापीय साम्यावस्था में न्यूट्रॉन की औसत गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{3}{2} k_B T$ होती है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2}$.

(B) गतिज ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
इससे हमें प्राप्त होता है $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $E_1$ है जो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के संगत है। अतः,$E_1 = \frac{k}{\lambda^2}$ (जहाँ $k = \frac{h^2}{2m}$).
अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ है। अंतिम ऊर्जा $E_2$ का मान $E_2 = \frac{k}{(\lambda/2)^2} = \frac{4k}{\lambda^2} = 4E_1$ होगा।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ है।
दिया गया है कि $\Delta E = nE_1$,अतः $n = 3$ प्राप्त होता है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि $V_1 = 10 \ kV$ वोल्टेज पर प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और $V_2 = 20 \ kV$ वोल्टेज पर अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{10 \ kV}{20 \ kV}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.

(A) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है। इसका त्वरण $a = \frac{eE}{m}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए समय $t$ पर इसका वेग $v = at = \frac{eEt}{m}$ होगा।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = mv = m(\frac{eEt}{m}) = eEt$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{eEt}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $\lambda$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{h}{eEt}) = \frac{h}{eE} \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{eE} (-t^{-2}) = -\frac{h}{eEt^2}$.

(C) $1$. फोटॉन की ऊर्जा $(E_p)$ का सूत्र $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ है।
$2$. इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है। अतः,$p = \frac{h}{\lambda}$।
$3$. इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_e)$ का सूत्र $K_e = \frac{p^2}{2m}$ है।
$4$. $p = \frac{h}{\lambda}$ को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K_e = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
$5$. इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2 / (2m\lambda^2)}{hc / \lambda}$ है।
$6$. व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \times \frac{\lambda}{hc} = \frac{h}{2mc\lambda}$।

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = h / p_e = h / (m_e v)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $v = c / 100$,इसलिए $\lambda_e = h / (m_e c / 100) = 100h / (m_e c)$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_e = (1/2) m_e v^2 = (1/2) m_e (c / 100)^2 = m_e c^2 / 20000$ है।
फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = h / p_p = hc / E_p$ है,जिसका अर्थ है $E_p = hc / \lambda_p$।
दिया गया है $\lambda_p = 2 \lambda_e$,तो $\lambda_e$ का मान रखने पर:
$\lambda_p = 2 \times (100h / (m_e c)) = 200h / (m_e c)$।
अब,$E_p = hc / (200h / (m_e c)) = m_e c^2 / 200$ की गणना करें।
अंत में,अनुपात $E_p / E_e = (m_e c^2 / 200) / (m_e c^2 / 20000) = 20000 / 200 = 100 = 10^2$।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E_p = h\nu = hc / \lambda_p$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = h / p_e$ है,इसलिए $p_e = h / \lambda_e$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_e = p_e^2 / (2m) = h^2 / (2m \lambda_e^2)$ है।
दिया गया है कि $\lambda_p = 2\lambda_e$,इसलिए $\lambda_e = \lambda_p / 2$।
इस मान को इलेक्ट्रॉन ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E_e = h^2 / (2m (\lambda_p / 2)^2) = 2h^2 / (m \lambda_p^2)$।
अब,अनुपात $E_e / E_p$ ज्ञात करें:
$E_e / E_p = [2h^2 / (m \lambda_p^2)] / [hc / \lambda_p] = 2h / (mc \lambda_p)$।
चूंकि $\lambda_e = h / (m v_e)$,इसलिए $\lambda_p = 2 \lambda_e = 2h / (m v_e)$।
$\lambda_p$ का मान अनुपात में रखने पर: $E_e / E_p = 2h / (mc \cdot (2h / (m v_e))) = v_e / c$।
दिया गया है कि $v_e = C / 100$,इसलिए अनुपात $E_e / E_p = (C / 100) / C = 1 / 100 = 1 \times 10^{-2}$ है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,संतृप्त प्रकाश-विद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है,बशर्ते आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति $(ν > ν_0)$ से अधिक हो।
चूंकि आपतित प्रकाश की तीव्रता दोगुनी कर दी गई है,इसलिए प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या भी दोगुनी हो जाती है।
परिणामस्वरूप,प्रति इकाई समय में उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या दोगुनी हो जाती है,जिससे संतृप्त प्रकाश-विद्युत धारा दोगुनी हो जाती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,जहाँ $\Phi$ सतह का कार्य फलन (work function) है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$.
अंतिम स्थिति के लिए,ऊर्जा $2E$ हो जाती है: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
पहले समीकरण से,$\Phi = \frac{hc}{\lambda} - E$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - (\frac{hc}{\lambda} - E)$.
$2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda} + E$.
$E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda}$.
चूंकि $E > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} > \frac{hc}{\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1 < \lambda$.
साथ ही,$\frac{hc}{\lambda_1} = E + \frac{hc}{\lambda}$.
चूंकि $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi + \frac{hc}{\lambda} = \frac{2hc}{\lambda} - \Phi$.
चूंकि $\Phi > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} < \frac{2hc}{\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1 > \frac{\lambda}{2}$.
अतः,$\frac{\lambda}{2} < \lambda_1 < \lambda$.

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $(V_s)$ पर,मंदक विभव द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है: $eV_s = \frac{1}{2}mv^2$।
निरोधी विभव के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $V_s = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{e}\right) v^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$,इसलिए $\frac{m}{e} = \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \ kg/C$।
मान रखने पर: $V_s = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \times (9 \times 10^5)^2$।
$V_s = \frac{1}{2} \times \frac{81 \times 10^{10}}{1.8 \times 10^{11}} = \frac{81}{3.6} = 22.5 \times 0.1 = 2.25 \ V$।
अतः,निरोधी विभव $2.25 \ V$ है।

(A) आपतित किरण पुंज की शक्ति $P = 90 \text{ W}$ है।
प्रकाश के अवशोषित भाग द्वारा लगाया गया बल $F_a = \frac{P_a}{C}$ है,जहाँ $P_a = 0.5P = 45 \text{ W}$ है।
$F_a = \frac{45}{3 \times 10^8} = 1.5 \times 10^{-7} \text{ N}$।
प्रकाश के परावर्तित भाग द्वारा लगाया गया बल $F_r = \frac{2P_r}{C}$ है,जहाँ $P_r = 0.5P = 45 \text{ W}$ है।
$F_r = \frac{2 \times 45}{3 \times 10^8} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ N}$।
सतह पर लगाया गया कुल बल $F = F_a + F_r = 1.5 \times 10^{-7} + 3.0 \times 10^{-7} = 4.5 \times 10^{-7} \text{ N}$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
कार्य फलन $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
इसलिए,प्रकाश वैद्युत प्रभाव के लिए शर्त $E \geqslant \Phi$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{hc}{\lambda} \geqslant \frac{hc}{\lambda_0}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\lambda} \geqslant \frac{1}{\lambda_0}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,असमानता का चिह्न बदल जाता है: $\lambda \leqslant \lambda_0$।
अतः,प्रकाश वैद्युत प्रभाव के लिए आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होनी चाहिए,इसलिए सही विकल्प $\lambda < \lambda_0$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में: $0.4 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $\nu' = 1.2\nu$ होती है।
नई गतिज ऊर्जा: $0.7 = h(1.2\nu) - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$h\nu = 0.4 + \Phi$.
इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $0.7 = 1.2(0.4 + \Phi) - \Phi$.
$0.7 = 0.48 + 1.2\Phi - \Phi$.
$0.7 - 0.48 = 0.2\Phi$.
$0.22 = 0.2\Phi$.
$\Phi = \frac{0.22}{0.2} = 1.1 \ eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h v - \Phi_0$ होती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi_0 = h v_0$ कार्य फलन है ($v_0$ देहली आवृत्ति है)।
आवृत्ति $v_1$ के लिए, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$।
आवृत्ति $v_2$ के लिए, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$।
दिया गया अनुपात $K_1 : K_2 = 1 : k$ है, इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{k}$।
यह $k(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$ में सरल हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर: $k v_1 - k v_0 = v_2 - v_0$।
$v_0$ के लिए हल करने पर: $k v_1 - v_2 = k v_0 - v_0 = v_0(k - 1)$।
अतः, $v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$।