MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $1$. प्रारंभिक स्थिति: दबाव = $P$,आयतन = $V$।
$2$. $V$ से $3V$ तक समतापीय प्रसार: समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$।
$P \cdot V = P_2 \cdot (3V) \implies P_2 = P/3$।
$3$. $3V$ से $24V$ तक रुद्धोष्म प्रसार: रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$।
बहुपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 1 + 2/f$। $f = 6$ के साथ,$\gamma = 1 + 2/6 = 4/3$।
$(P/3) \cdot (3V)^{4/3} = P_3 \cdot (24V)^{4/3}$।
$P_3 = (P/3) \cdot (3V / 24V)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/8)^{4/3}$।
$P_3 = (P/3) \cdot (1/2^3)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/2^4) = (P/3) \cdot (1/16) = P/48$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
इसलिए, $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ होगा।
दिया गया है कि प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1) = (T, V)$ और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2) = (xT, V/27)$ है।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करने पर: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T(V)^{2/3} = (xT) \left(\frac{V}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\left(\frac{1}{3^3}\right)^{1/3}\right)^2 = x \left(\frac{1}{3^2}\right) = x \left(\frac{1}{9}\right)$.
अतः, $x = 9$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के अणुओं का r.m.s. वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, $v_{rms}$ को $4$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ को $4^2 = 16$ गुना कम करना होगा।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{16}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
इस प्रकार, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$।
मान रखने पर, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{16} V_f^{1.5-1}$।
$V_i^{0.5} = \frac{1}{16} V_f^{0.5}$।
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{16} \sqrt{V_f}$।
$\sqrt{\frac{V_f}{V_i}} = 16$।
$\frac{V_f}{V_i} = 16^2 = 256$।
इसलिए, गैस का $256$ गुना प्रसार करना होगा।

(C) मुक्त प्रसार एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है जिसमें किया गया कार्य $W = 0$ और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
चूंकि यह प्रक्रिया तीव्र और अनियंत्रित होती है, इसलिए निकाय साम्यावस्था की अवस्थाओं की एक श्रृंखला से नहीं गुजरता है।
चूंकि $p-V$ आरेख के लिए यह आवश्यक है कि निकाय प्रत्येक बिंदु पर ऊष्मागतिक साम्यावस्था में हो ताकि दबाव और आयतन को परिभाषित किया जा सके, इसलिए मुक्त प्रसार को $p-V$ आरेख पर एक निरंतर पथ के रूप में आलेखित नहीं किया जा सकता है।
अतः, यह कथन कि मुक्त प्रसार को $p-V$ आरेख पर आलेखित किया जा सकता है, गलत है।

(C) समआयतनिक प्रक्रिया में, निकाय का आयतन स्थिर रहता है, न कि दाब। इसलिए, 'समआयतनिक प्रक्रिया में, दाब स्थिर रहता है' कथन गलत है।
- समतापीय प्रक्रिया: तापमान $(T)$ स्थिर रहता है।
- रुद्धोष्म प्रक्रिया: निकाय और परिवेश के बीच कोई ऊष्मा विनिमय $(Q = 0)$ नहीं होता है, और यह $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ संबंध का पालन करता है।
- समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन $(V)$ स्थिर रहता है।
- समदाबी प्रक्रिया: दाब $(P)$ स्थिर रहता है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि गैस मोनोएटॉमिक है,इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
इसलिए,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$।
अंतिम आयतन $V_2 = 12.5 \% \text{ of } V_1 = 0.125 V_1 = (1/8) V_1$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $T_1 V_1^{2/3} = T_2 (V_1/8)^{2/3}$।
$T_2 = T_1 \times (V_1 / (V_1/8))^{2/3} = T_1 \times (8)^{2/3}$।
$T_2 = T_1 \times (2^3)^{2/3} = T_1 \times 2^2 = 4T_1$।
इसे $T_2 = xT_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 360 \text{ c.c.}$,अंतिम आयतन $V_2 = 90 \text{ c.c.}$,प्रारंभिक दाब $P_1 = P$,और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$P \times (360)^{5/2} = P_2 \times (90)^{5/2}$
$P_2 = P \times \left( \frac{360}{90} \right)^{5/2}$
$P_2 = P \times (4)^{5/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \times 2^5$
$P_2 = 32P$
अतः,अंतिम दाब $32P$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए, $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 500 \,m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$.
$P_2 = 0.5 \,atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \,K$.
हमें $V_2$ ज्ञात करना है।
सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $V_2 = V_1 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$.
मान रखने पर: $V_2 = 500 \times \frac{1}{0.5} \times \frac{270}{300}$.
$V_2 = 500 \times 2 \times 0.9 = 900 \,m^3$.

(A) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.06 \sin \left( \frac{2 \pi}{3} x \right) \cos (120 \pi t)$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{3} \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 120 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120 \pi}{2 \pi / 3} = 120 \pi \times \frac{3}{2 \pi} = 180 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है $\mu = 4 \times 10^{-2} \ kg/m$,इसलिए $180 = \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $180^2 = \frac{T}{4 \times 10^{-2}}$.
$32400 = \frac{T}{0.04}$.
$T = 32400 \times 0.04 = 1296 \ N$.

(B) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $f$ कंपन करने वाली लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto 1/l$।
मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
दिया गया है कि $f_1 \propto 1/0.70$ और $f_2 \propto 1/0.69$।
चूंकि $f_2 > f_1$,इसलिए $f_2 - f_1 = 6 \ Hz$।
मान लीजिए $f_1 = k/0.70$ और $f_2 = k/0.69$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
बीट आवृत्ति समीकरण में मान रखने पर: $k/0.69 - k/0.70 = 6$।
$k(0.70 - 0.69) / (0.69 \times 0.70) = 6$।
$k(0.01) / 0.483 = 6$।
$k = 6 \times 0.483 / 0.01 = 6 \times 48.3 = 289.8$।
अब,$f_1 = 289.8 / 0.70 = 414 \ Hz$।
और $f_2 = 289.8 / 0.69 = 420 \ Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $414 \ Hz$ और $420 \ Hz$ हैं।

(C) अनुनाद तब होता है जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति या उसके हार्मोनिक्स (पूर्णांक गुणज) से मेल खाती है।
दी गई आवृत्ति $f = 256 \ Hz$ है।
हार्मोनिक्स $n \times f$ होते हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
$1st \ harmonic = 1 \times 256 = 256 \ Hz$.
$2nd \ harmonic = 2 \times 256 = 512 \ Hz$.
$3rd \ harmonic = 3 \times 256 = 768 \ Hz$.
विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 256 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
$B) 512 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
$C) 754 \ Hz$ (अनुनाद नहीं होता है)
$D) 768 \ Hz$ (अनुनाद होता है)
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $754 \ Hz$ के साथ अनुनाद नहीं करेगा।

(B) खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2L}$ है।
बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{closed} = \frac{v}{4L}$ है।
बीट आवृत्ति $|f_{open} - f_{closed}| = |\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = \frac{v}{4L} = 3 \text{ Hz}$ है।
अतः,$\frac{v}{L} = 12 \text{ Hz}$ है।
अब,नई लंबाई $L' = \frac{L}{3}$ और $L'' = 3L$ है।
नए खुले पाइप की आवृत्ति $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = \frac{3v}{2L} = 6 \times 3 = 18 \text{ Hz}$ है।
नए बंद पाइप की आवृत्ति $f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{v}{12L} = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \text{ Hz}$ है।
नई बीट आवृत्ति $|18 - 1| = 17 \text{ Hz}$ है।

(C) दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(710 \pi t)$ और $y_2 = 3 \sin(702 \pi t)$ हैं।
इन्हें $y = A \sin(2 \pi f t)$ से तुलना करने पर:
$2 \pi f_1 = 710 \pi \implies f_1 = 355 \text{ Hz}$
$2 \pi f_2 = 702 \pi \implies f_2 = 351 \text{ Hz}$
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या $n = |f_1 - f_2| = |355 - 351| = 4 \text{ beats/s}$ है।
आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 3$ हैं।
अधिकतम तीव्रता (waxing) $(A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$ के समानुपाती है।
न्यूनतम तीव्रता (waning) $(A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$ के समानुपाती है।
अतः,तीव्रता का अनुपात $49:1$ है।
सही उत्तर $4, 49:1$ है।

(B) बीट आवृत्ति $|f_X - f_Y| = 6 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $f_X = 300 \ Hz$,इसलिए $f_Y$ के लिए संभावित आवृत्तियाँ $300 - 6 = 294 \ Hz$ या $300 + 6 = 306 \ Hz$ हैं।
जब किसी तार का तनाव बढ़ाया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f$ बढ़ जाती है क्योंकि $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
स्थिति $1$: यदि $f_Y = 294 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f_Y$ बढ़ता है। नई बीट आवृत्ति $|300 - (294 + \Delta f)|$ होगी। चूँकि बीट आवृत्ति घटकर $4 \ Hz$ हो जाती है,इसलिए मान को $300 \ Hz$ के करीब होना चाहिए। अतः,$300 - (294 + \Delta f) = 4$,जिससे $\Delta f = 2 \ Hz$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
स्थिति $2$: यदि $f_Y = 306 \ Hz$ है,तो तनाव बढ़ाने पर $f_Y$ और अधिक $300 \ Hz$ से दूर हो जाएगा। नई बीट आवृत्ति $|300 - (306 + \Delta f)| = 6 + \Delta f$ होगी,जो $6 \ Hz$ से अधिक होगी।
चूँकि बीट आवृत्ति कम हो गई है,इसलिए मूल आवृत्ति $294 \ Hz$ होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति पहली चट्टान से $d_1$ दूरी पर और दूसरी चट्टान से $d_2$ दूरी पर है।
पहली प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_1 = 1 \ s$ है। ध्वनि चट्टान तक जाती है और वापस आती है,इसलिए $2d_1 = v \times t_1$।
$2d_1 = 340 \times 1 = 340 \ m$,जिससे $d_1 = 170 \ m$ प्राप्त होता है।
दूसरी प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_2 = 3 \ s$ है। इसी प्रकार,$2d_2 = v \times t_2$।
$2d_2 = 340 \times 3 = 1020 \ m$,जिससे $d_2 = 510 \ m$ प्राप्त होता है।
दोनों चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2$ है।
$D = 170 \ m + 510 \ m = 680 \ m$।

(D) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तार समान हैं,$L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है $T_1 > T_2$,आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ इस प्रकार हैं कि $f_1 > f_2$। बीट आवृत्ति $f_1 - f_2 = 6$ है।
यदि हम तनाव को थोड़ा बदलते हैं,तो बीट आवृत्ति $6$ बनी रहती है यदि आवृत्तियों के बीच का अंतर समान रहता है।
मान लीजिए $f_1 = k\sqrt{T_1}$ और $f_2 = k\sqrt{T_2}$।
यदि $T_1$ को घटाया जाता है,तो $f_1$ कम हो जाता है,जो $f_2$ के करीब आता है। यदि $T_2$ को बढ़ाया जाता है,तो $f_2$ बढ़ जाता है,जो $f_1$ के करीब आता है। दोनों ही मामलों में,अंतर $f_1 - f_2$ कम हो जाता है।
हालाँकि,यदि हम $T_1$ को इस तरह घटाते हैं कि $f_1$,$f_2$ से कम हो जाए,तो बीट आवृत्ति $|f_2 - f_1|$ $6$ बनी रह सकती है यदि नया अंतर मूल अंतर के बराबर हो।
विशेष रूप से,यदि $T_1$ को घटाया जाता है या $T_2$ को बढ़ाया जाता है,तो आवृत्तियाँ एक-दूसरे के करीब आती हैं और फिर क्रॉस हो जाती हैं। थोड़े बदलाव के बाद बीट आवृत्ति के अपरिवर्तित रहने की शर्त यह है कि नया अंतर $|f_1' - f_2'|$ मूल अंतर $6$ के बराबर हो।

(B) तरंग की आवृत्ति $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
पहली तरंग के लिए,$\omega_1 = 50 \pi$,इसलिए $f_1 = \frac{50 \pi}{2 \pi} = 25 \text{ Hz}$.
दूसरी तरंग के लिए,$\omega_2 = 46 \pi$,इसलिए $f_2 = \frac{46 \pi}{2 \pi} = 23 \text{ Hz}$.
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2| = |25 - 23| = 2 \text{ Hz}$.
बीट आवृत्ति यह दर्शाती है कि प्रति सेकंड तीव्रता कितनी बार अधिकतम होती है।
इसलिए,श्रोता एक सेकंड में $2$ बार अधिकतम तीव्रता की ध्वनि सुनता है।

(D) बीट आवृत्ति $f_b$ दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों के बीच का अंतर है।
$f_b = |f_1 - f_2| = |258 \ Hz - 256 \ Hz| = 2 \ Hz$.
बीट आवृत्ति प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले उच्चिष्ठों (बीट्स) की संख्या को दर्शाती है।
दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समयांतराल बीट्स का आवर्तकाल है,जिसे $T_b$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{2 \ Hz} = 0.5 \ s$.
अतः,दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समयांतराल $0.5 \ s$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत $v_s$ वेग के साथ एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $f$ वास्तविक आवृत्ति है।
चूंकि हर $(v - v_s)$,$v$ से कम है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$,वास्तविक आवृत्ति $f$ से अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि आवृत्ति बढ़ती है।
स्थिर प्रेक्षक द्वारा देखी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का सूत्र $\lambda' = \frac{v - v_s}{f}$ है। चूंकि $(v - v_s) < v$,इसलिए आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$,वास्तविक तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/f$ से कम होती है। अतः,तरंगदैर्ध्य घटती है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब एक प्रेक्षक $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1$ इस प्रकार दी जाती है: $F_1 = F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)$,जहाँ $F_0$ स्रोत की वास्तविक आवृत्ति है।
जब प्रेक्षक $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2$ इस प्रकार दी जाती है: $F_2 = F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)$.
दिया गया अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = 2$ है,इसलिए: $\frac{F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)}{F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)} = 2$.
इसे सरल करने पर: $\frac{v + V_1}{v - V_1} = 2$.
तिर्यक गुणा करने पर: $v + V_1 = 2(v - V_1) = 2v - 2V_1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3V_1 = v$.
अतः,$\frac{v}{V_1} = 3$.

(A) मान लीजिए $v_s = 0$ स्रोत (सायरन) की गति है और $v_o$ प्रेक्षक (वाहन) की गति है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति: $f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$, जहाँ $v = 330 \,m/s$ ध्वनि की गति है।
दिया गया है $f' = 0.94 f_0$, इसलिए $0.94 = \frac{330 - v_o}{330}$.
$v_o$ के लिए हल करने पर: $330 \times 0.94 = 330 - v_o \implies 310.2 = 330 - v_o \implies v_o = 19.8 \,m/s$.
वाहन विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होता है। गति के समीकरण $v_o^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2(2)s \implies 392.04 = 4s$.
$s = \frac{392.04}{4} = 98.01 \,m$.
अतः, वाहन लगभग $98 \,m$ की दूरी तय कर चुका होगा।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर गति करते हैं,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
चूंकि अंश $(v + v_o)$,$v$ से बड़ा है और हर $(v - v_s)$,$v$ से छोटा है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$,वास्तविक आवृत्ति $f$ से अधिक होगी।
चूंकि माध्यम में ध्वनि की गति $v$ स्थिर रहती है,आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ या $\lambda = v/f$ है।
जैसे-जैसे आभासी आवृत्ति $f'$ बढ़ती है,ध्वनि की गति को स्थिर रखने के लिए आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ को कम होना चाहिए।
इसलिए,प्रेक्षक उच्च आवृत्ति और कम तरंगदैर्ध्य सुनता है।

(C) माना ध्वनि का वेग $v$ है और स्रोत की आवृत्ति $f$ है। प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $v_o = v/5$ के वेग से गति करता है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f' = f \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2f$।
आवृत्ति में वृद्धि $\Delta f = f' - f = 1.2f - f = 0.2f$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{\Delta f}{f} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2f}{f} \right) \times 100 = 20 \%$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के लिए सामान्य सूत्र $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
दिया गया है:
स्रोत का वेग $v_s = V/3$ (प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है,इसलिए हर कम हो जाएगा)।
प्रेक्षक का वेग $v_o = V/4$ (स्रोत से दूर गति कर रहा है,इसलिए अंश कम हो जाएगा)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = F \left( \frac{V - V/4}{V - V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3V/4}{2V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} \right)$
$f' = \frac{9}{8} F$
अतः,आभासी आवृत्ति $9/8 F$ होगी।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ $f$ वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की चाल है और $v_s$ स्रोत की चाल है।
दिया गया है कि $v_s = \frac{1}{10} v$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v}{v - \frac{v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{v}{\frac{9v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{10}{9} \right)$
अतः,आभासी आवृत्ति और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात $\frac{f'}{f} = \frac{10}{9}$ है।

(D) जब स्रोत $v_s$ वेग के साथ दूर जा रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $f$ मूल आवृत्ति है।
यह दिया गया है कि आभासी आवृत्ति मूल आवृत्ति की आधी है,इसलिए $f' = \frac{f}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{f}{2} = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$।
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर: $\frac{1}{2} = \frac{V}{V + v_s}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $V + v_s = 2V$।
$v_s$ के लिए हल करने पर: $v_s = 2V - V = V$।
अतः,स्रोत को ध्वनि की गति $V$ के बराबर गति से चलना चाहिए।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ है।
यहाँ,$V$ ध्वनि का वेग है,$v_s = \frac{V}{3}$ स्रोत का प्रेक्षक की ओर वेग है,और $v_o = \frac{V}{5}$ प्रेक्षक का स्रोत से दूर जाने का वेग है।
चूंकि स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है,हर $(V - v_s) = (V - \frac{V}{3}) = \frac{2V}{3}$ हो जाएगा।
चूंकि प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है,अंश $(V - v_o) = (V - \frac{V}{5}) = \frac{4V}{5}$ हो जाएगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{4V/5}{2V/3} \right) = f \left( \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} \right) = f \left( \frac{12}{10} \right) = \frac{6}{5} f$.
अतः,आभासी आवृत्ति $\frac{6}{5} f$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर हो और प्रेक्षक $V_1$ वेग से गति करे,तो आभासी आवृत्ति $F$ का सूत्र $F = F_0 \left( \frac{V \pm V_1}{V} \right)$ होता है,जहाँ $F_0$ वास्तविक आवृत्ति है और $V$ ध्वनि का वेग है।
स्थिति $1$: प्रेक्षक स्रोत की ओर गति करता है।
आभासी आवृत्ति $F_1 = F_0 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ होगी।
स्थिति $2$: प्रेक्षक स्रोत से दूर गति करता है।
आभासी आवृत्ति $F_2 = F_0 \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$ होगी।
दिए गए अनुपात $F_1 / F_2 = 2$ से:
$\frac{F_0 (V + V_1) / V}{F_0 (V - V_1) / V} = 2$
$\frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
$\frac{V}{V_1} = 3$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब स्रोत $v_s$ गति से चल रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{V}{V \mp v_s} \right)$.
गुजरने से पहले,स्रोत प्रेक्षक के करीब आता है: $f_1 = f \left( \frac{V}{V - v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V - v_s} \right)$.
गुजरने के बाद,स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है: $f_2 = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$.
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 / f_2 = 7/5$ दिया गया है।
व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V + v_s}{V - v_s} = \frac{7}{5}$.
वज्र गुणन करने पर: $5(V + v_s) = 7(V - v_s) \implies 5V + 5v_s = 7V - 7v_s$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $12v_s = 2V \implies v_s = \frac{2V}{12} = \frac{V}{6}$.

(C) डॉप्लर प्रभाव के कारण प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है। यहाँ,$v = 330 \ m/s$,$v_s = 30 \ m/s$,$v_o = 0$,और $f = 300 \ Hz$ है।
स्टेशन की ओर आने वाली ट्रेन (पहली ट्रेन) के लिए,आभासी आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330 \ Hz$ है।
स्टेशन से दूर जाने वाली ट्रेन (दूसरी ट्रेन) के लिए,आभासी आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275 \ Hz$ है।
व्यक्ति द्वारा सुनी गई आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = f_1 - f_2 = 330 \ Hz - 275 \ Hz = 55 \ Hz$ है।

(D) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
दिए गए आयाम $A_1 = 3$ और $A_2 = 5$ हैं।
अधिकतम आयाम $A_{max} = A_1 + A_2 = 3 + 5 = 8$ होगा।
न्यूनतम आयाम $A_{min} = |A_1 - A_2| = |3 - 5| = 2$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{A_{max}}{A_{min}} \right)^2$
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$।
अतः,अनुपात $16:1$ है।

(B) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
मूल मोड $f_1 = f_0$ है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक है: $f_{o1} = 3f_0$।
दूसरा ओवरटोन पांचवां हार्मोनिक है: $f_{o2} = 5f_0$।
तीसरा ओवरटोन सातवां हार्मोनिक है: $f_{o3} = 7f_0$।
प्रश्न के अनुसार,पहले तीन ओवरटोन की आवृत्तियों का योग $3930 \ Hz$ है:
$3f_0 + 5f_0 + 7f_0 = 3930 \ Hz$।
$15f_0 = 3930 \ Hz$।
$f_0 = \frac{3930}{15} \ Hz = 262 \ Hz$।
अतः,मूल मोड की आवृत्ति $262 \ Hz$ है।

(C) $L$ लंबाई के एक खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
अतः,$L_1 = \frac{v}{2f_1}$ और $L_2 = \frac{v}{2f_2}$ है।
जब दो पाइपों को श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $L = L_1 + L_2$ होती है।
संयुक्त पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ है।
$L_1$ और $L_2$ के मान रखने पर:
$f = \frac{v}{2(L_1 + L_2)} = \frac{v}{2(\frac{v}{2f_1} + \frac{v}{2f_2})} = \frac{v}{v(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2})} = \frac{1}{\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$.

(A) $L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप में,मूलभूत मोड तरंगदैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होता है,अर्थात $L = \lambda / 4$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 4L$ है।
ध्वनि तरंग को खुले सिरे से बंद सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t$,ध्वनि की गति $v$ से $L$ दूरी तय करने में लगा समय है। अतः,$t = L / v$,या $L = vt$ है।
$L = vt$ को तरंगदैर्ध्य के समीकरण में रखने पर,हमें $\lambda = 4vt$ प्राप्त होता है।
कंपन की आवृत्ति $f$ को $f = v / \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $f = v / (4vt) = 1 / (4t) = (4t)^{-1}$ Hz प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{open}} = (n+1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$L$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{closed}} = (2n+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
बंद पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन और खुली पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति का अनुपात:
$\text{Ratio} = \frac{f_{\text{closed}}}{f_{\text{open}}} = \frac{(2n+1) \frac{v}{4L}}{(n+1) \frac{v}{2L}}$
$\text{Ratio} = \frac{(2n+1)}{4L} \times \frac{2L}{(n+1)} = \frac{2n+1}{2(n+1)}$.

(C) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 80 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
बंद ऑर्गन पाइप में उत्पन्न आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज (odd harmonics) होती हैं,जो $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$ है।
$f_1 = 80 \ Hz$ का मान रखने पर:
$f_1 = 1 \times 80 = 80 \ Hz$
$f_3 = 3 \times 80 = 240 \ Hz$
$f_5 = 5 \times 80 = 400 \ Hz$
$f_7 = 7 \times 80 = 560 \ Hz$
अतः,उत्पन्न होने वाली आवृत्तियाँ $80, 240, 400, 560, \ldots \ Hz$ हैं।

(D) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $l$ पाइप की लंबाई है।
$L$ लंबाई वाली पहली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ है।
$(L+L_1)$ लंबाई वाली दूसरी पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2(L+L_1)}$ है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L+L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L+L_1) - L}{L(L+L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \cdot \frac{L_1}{L(L+L_1)} = \frac{v L_1}{2 L(L+L_1)}$.

(A) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ $n^{th}$ हार्मोनिक को दर्शाता है।
मूल आवृत्ति $(n=1)$ पहला हार्मोनिक है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है।
दूसरा ओवरटोन पांचवां हार्मोनिक $(n=3)$ है।
एक बंद पाइप में,$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए निस्पंदों $(N)$ और प्रस्पंदों $(A)$ की संख्या $N = n$ और $A = n$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे ओवरटोन के लिए,$n = 3$ है।
इसलिए,निस्पंदों की संख्या $3$ है और प्रस्पंदों की संख्या $3$ है।

(A) माना पाइप की लंबाई $L$ है। एक खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L}$ होती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप का $\frac{3}{4}$ भाग पानी में डूबा होता है,तो पानी के ऊपर शेष वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{1}{4}L$ होती है।
यह पाइप अब एक बंद पाइप के रूप में कार्य करती है (पानी द्वारा एक सिरे पर बंद)। $L'$ लंबाई की बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4L'}$ होती है।
$n_2$ के व्यंजक में $L' = \frac{1}{4}L$ रखने पर,हमें $n_2 = \frac{v}{4(\frac{1}{4}L)} = \frac{v}{L}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{n_1}{n_2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप के हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (n+1)f_0$ होती हैं,जहाँ $n=0, 1, 2, ...$ है।
खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $n=2$ के संगत है,इसलिए $f_{open, 2nd} = 3f_0$ है।
समान लंबाई $L$ की बंद पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f'_m = (2m+1) \frac{v}{4L} = (2m+1) \frac{f_0}{2}$ होती हैं,जहाँ $m=0, 1, 2, ...$ है।
बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $m=3$ के संगत है,इसलिए $f_{closed, 3rd} = (2(3)+1) \frac{f_0}{2} = 7 \frac{f_0}{2} = 3.5f_0$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f_{closed, 3rd} - f_{open, 2nd} = 200 \ Hz$ है।
$3.5f_0 - 3f_0 = 200 \ Hz$।
$0.5f_0 = 200 \ Hz$।
$f_0 = 400 \ Hz$।

(B) $L$ लंबाई के बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \text{ Hz}$ है।
जब पाइप का $\frac{1}{3}$ भाग पानी से भर दिया जाता है, तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
इस बंद पाइप की नई मूल आवृत्ति $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{3}{2} \times 400 = 600 \text{ Hz}$ है।
एक बंद पाइप केवल विषम हार्मोनिक्स $(1^{\text{st}}, 3^{\text{rd}}, 5^{\text{th}}, \dots)$ उत्पन्न करता है।
हालाँकि, प्रश्न में पाइप के $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के बारे में पूछा गया है। ऑर्गन पाइप के संदर्भ में, $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक को $n \times f_1$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए, $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक आवृत्ति $f_2 = 2 \times f'_1 = 2 \times 600 = 1200 \text{ Hz}$ होगी।

(A) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,सीमा शर्तों के अनुसार दोनों खुले सिरों पर प्रस्पंद (antinodes) बनते हैं।
मूल विधा (प्रथम हार्मोनिक) उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ पाइप की लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर होती है,अर्थात $L = \frac{\lambda}{2}$,इसलिए $\lambda = 2L$।
तरंग समीकरण $V = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{\lambda} = \frac{V}{2L}$ प्राप्त होती है।
एक खुली ऑर्गन पाइप में,सभी हार्मोनिक्स (मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणज) मौजूद होते हैं,जिसका अर्थ है कि विषम और सम दोनों प्रकार के हार्मोनिक्स उत्पन्न होते हैं।

(B) $L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम लिख सकते हैं कि $n_1 = 2 \times (\frac{v}{4L})$.
इस समीकरण में $n_2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n_1 = 2n_2$ प्राप्त होता है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L} = 150 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\frac{v}{L} = 150 \times 4 = 600 \ Hz$ है।
जब वही पाइप दोनों सिरों पर खुली होती है,तो मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ होती है।
$\frac{v}{L}$ का मान रखने पर,हमें $f_o = \frac{600}{2} = 300 \ Hz$ प्राप्त होता है।
खुली पाइप के लिए,सभी हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं,इसलिए उत्पन्न आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणज होती हैं: $f_n = n \times f_o$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
अतः,आवृत्तियाँ $300 \times 1, 300 \times 2, 300 \times 3, \ldots$ अर्थात $300, 600, 900, 1200, \ldots \ Hz$ होंगी।

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है और एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $2$ है,इसलिए $|f_o - f_c| = 2$.
$|\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = 2 \implies \frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
अब,खुली पाइप की लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है और बंद पाइप की लंबाई $L'' = 2L$ हो जाती है।
खुली पाइप की नई मूल आवृत्ति $f_o' = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$ है।
बंद पाइप की नई मूल आवृत्ति $f_c' = \frac{v}{4L''} = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{2} \times (\frac{v}{4L}) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले बीट्स की संख्या $|f_o' - f_c'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ है।

(B) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$,उसके आयाम $A$ के वर्ग और आवृत्ति $n$ के वर्ग के समानुपाती होती है। गणितीय रूप से,$E \propto A^2 n^2$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है,इसलिए $E_P = E_Q$ होगा।
इसका अर्थ है $A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$।
यहाँ $n_P = n$ और $n_Q = \frac{n}{4}$ दिया गया है,इसलिए:
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n}{4})^2$।
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n^2}{16})$।
दोनों पक्षों को $n^2$ से विभाजित करने पर,$A_P^2 = \frac{A_Q^2}{16}$ प्राप्त होता है।
$A_Q^2 = 16 A_P^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$A_Q = 4 A_P$ प्राप्त होता है।

(D) जब समान आवृत्ति और वेग की दो तरंगें एक ही पथ पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) बनाती हैं।
दी गई आवृत्ति $n$ है और वेग $v = 12 \ m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ संबंध $v = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{12}{n}$।
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $d = \frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \frac{1}{2} \times \frac{12}{n} = \frac{6}{n}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है:
आवृत्ति $f = 400 \ Hz$
वेग $v = 336 \ m/s$
कलांतर $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
सबसे पहले,$v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
$\Delta x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta x = \frac{\Delta \phi \cdot \lambda}{2\pi}$.
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{(\pi/3) \cdot 0.84}{2\pi} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $0.14 \ m$ है।

(B) तरंगों की आवृत्ति $f$,प्रति इकाई समय में तरंगों की संख्या होती है।
यह दिया गया है कि प्रेक्षक $1$ मिनट ($60$ सेकंड) में $45$ तरंगें गिनता है,इसलिए आवृत्ति है:
$f = \frac{45 \text{ तरंगें}}{60 \text{ s}} = 0.75 \text{ Hz}$.
तरंग का वेग $v$,उसकी आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$v = f \times \lambda$.
यहाँ $\lambda = 7 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$v = 0.75 \text{ Hz} \times 7 \ m = 5.25 \ m/s$.
अतः,तरंगों का वेग $5.25 \ m/s$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin \left( \omega t - kx + \phi \right)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 3 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{3} - \frac{x}{5} \right) + \frac{\pi}{4} \right]$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$Y = 3 \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi x}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
यहाँ,आयाम $A = 3 \ m$ है (क्योंकि $x$ और $y$ मीटर में हैं)।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{5} \ rad/m$ है।
$1$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \ m$.
$2$. वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/3}{\pi/5} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \ m/s$.
$3$. आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \ Hz$.
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है और आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होता है।
$1$. गर्मियों के दिनों में मृगतृष्णा जमीन के पास हवा की परतों के अपवर्तनांक में भिन्नता के कारण $TIR$ से होती है।
$2$. हीरे की चमक $TIR$ के कारण होती है क्योंकि इसका क्रांतिक कोण बहुत छोटा $(24.4^{\circ})$ होता है,जिससे प्रकाश कई बार आंतरिक रूप से परावर्तित होता है।
$3$. तालाब की आभासी और वास्तविक गहराई के बीच का अंतर प्रकाश के अपवर्तन के कारण होता है जब यह पानी से हवा में जाता है,न कि $TIR$ के कारण।
$4$. ऑप्टिकल फाइबर लंबी दूरी तक प्रकाश संकेतों को भेजने के लिए $TIR$ के सिद्धांत पर काम करते हैं।
अतः,वह घटना जो $TIR$ के कारण नहीं है,वह तालाब की आभासी और वास्तविक गहराई के बीच का अंतर है।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +\frac{1}{3} \ m$। आवर्धन $m = -2$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $-2 = \frac{v}{u}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = -2u$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{1/3} = \frac{1}{-2u} - \frac{1}{u}$
$3 = \frac{-1 - 2}{2u}$
$3 = \frac{-3}{2u}$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$।
लेंस से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $0.5 \ m$ है।

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है, जिसे शक्ति के संदर्भ में $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है: कुल शक्ति $P = P_1 + P_2 = +2 \text{ D}$।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = +5 \text{ D}$।
इसलिए, $P_2 = P - P_1 = 2 - 5 = -3 \text{ D}$।
एक्रोमैटिक शर्त में मान रखने पर: $\omega_1(5) + \omega_2(-3) = 0$।
इसका अर्थ है $5\omega_1 = 3\omega_2$।
विक्षेपण शक्तियों का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{3}{5}$ है।

(D) $n_1$ अपवर्तनांक वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता के सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_1$ है: $\frac{1}{f_1} = (n_1 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n_1 - 1}{R}$.
$n_2$ अपवर्तनांक वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $\frac{1}{f_2} = (n_2 - 1) \left( -\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{n_2 - 1}{R}$.
जब इन दो लेंसों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = \frac{n_1 - 1}{R} - \frac{n_2 - 1}{R} = \frac{n_1 - 1 - n_2 + 1}{R} = \frac{n_1 - n_2}{R}$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = \frac{R}{n_1 - n_2}$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,एक पतले लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
जब दो पतले लेंसों को समाक्षीय रूप से संपर्क में रखा जाता है,तो उनकी तुल्य शक्ति $P_{eq}$ व्यक्तिगत शक्तियों का योग होती है: $P_{eq} = P_1 + P_2$.
प्रत्येक शक्ति $P_i$ पद $\left( \frac{1}{R_{i,1}} - \frac{1}{R_{i,2}} \right)$ के समानुपाती होती है।
लेंस शक्ति के सामान्य रूप को देखते हुए,यह वक्रता त्रिज्याओं के व्युत्क्रमों के योग के समानुपाती होती है,जो वक्रता की योगात्मक प्रकृति को ध्यान में रखते हुए $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ के रूप में सरल हो जाती है।
अतः,शक्ति $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ के समानुपाती है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
अतः,$f = 3.5 R$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस एक उत्तल लेंस की तरह कार्य करेगा।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार लेंस की शक्ति: $P = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $n_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
हवा में लेंस के लिए $(n_a = 1)$: $P_a = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 3D$.
जब लेंस को $n_m = 2$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो नई शक्ति $P_m = \left( \frac{n_l}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
दोनों शक्तियों का अनुपात लेने पर: $\frac{P_m}{P_a} = \frac{(\frac{n_l}{n_m} - 1)}{(n_l - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{P_m}{3} = \frac{(\frac{1.5}{2} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(0.75 - 1)}{0.5} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$.
अतः,$P_m = 3 \times (-0.5) = -1.5D$. ध्यान दें: दिए गए विकल्पों में चिह्न की त्रुटि हो सकती है; लेंस अपसारी (diverging) हो जाता है और शक्ति का मान $-1.5D$ होता है।

(C) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +40 \ cm$ और $R_2 = -40 \ cm$ है।
हवा में $(n_a = 1)$: $P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
द्रव में $(n_l = 1.25)$: सापेक्ष अपवर्तनांक $n_{rel} = \frac{n_g}{n_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ है।
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times \frac{2}{40} = \frac{0.4}{40} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
द्रव में शक्ति और हवा में शक्ति का अनुपात $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{1/100}{1/40} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +1/3 \ m$। आवर्धन $m = -2$ (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
लेंस के लिए आवर्धन सूत्र $m = v/u$ का उपयोग करने पर,$-2 = v/u$,जिसका अर्थ है $v = -2u$।
लेंस सूत्र $1/f = 1/v - 1/u$ का उपयोग करने पर,मान रखने पर:
$1/(1/3) = 1/(-2u) - 1/u$
$3 = (-1 - 2)/(2u)$
$3 = -3/(2u)$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$।
लेंस से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $|-0.5 \ m| = 0.5 \ m$ है।

(D) उत्तल दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $R = 20 \ m$,अतः फोकस दूरी $f = +10 \ m$ है। दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/f$ है।
दिया गया है $v_1 = 25/3 \ m$ और $v_2 = 50/7 \ m$।
$v_1 = 25/3$ के लिए: $1/u_1 = 1/10 - 3/25 = (5-6)/50 = -1/50$,अतः $u_1 = -50 \ m$।
$v_2 = 50/7$ के लिए: $1/u_2 = 1/10 - 7/50 = (5-7)/50 = -2/50 = -1/25$,अतः $u_2 = -25 \ m$।
वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta u = |u_2 - u_1| = |-25 - (-50)| = 25 \ m$ है।
लिया गया समय $t = 30 \ s$ है।
वस्तु की चाल $v_{obj} = \Delta u / t = 25 / 30 = 5/6 \ m/s$ है।
$km/hr$ में बदलने के लिए,$18/5$ से गुणा करें: $v_{obj} = (5/6) \times (18/5) = 3 \ km/hr$।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के लिए,शिथिल नेत्र के लिए आवर्धन क्षमता $M = m_o \times m_e$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_o = \frac{v_o}{u_o}$ और $m_e = \frac{D}{f_e}$ है।
दिया गया है $M = 25$,$f_e = 6 \ cm$,और $D = 25 \ cm$ (मानक निकट बिंदु)।
$m_e = \frac{25}{6} \approx 4.167$.
अतः,$m_o = \frac{M}{m_e} = \frac{25}{25/6} = 6$.
चूँकि $m_o = \frac{v_o}{u_o} = 6$,इसलिए $v_o = 6u_o$.
सूक्ष्मदर्शी नली की लंबाई $L = v_o + f_e = 15 \ cm$.
$v_o = 6u_o$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $6u_o + 6 = 15$.
$6u_o = 9 \implies u_o = 1.5 \ cm$.

(D) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता को दो वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरदर्शी द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है। यह सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है। इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता अभिदृश्यक लेंस के व्यास $(D)$ के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,अभिदृश्यक का व्यास बढ़ाने से दूरदर्शी की विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
जब प्रिज्म हवा में होता है,तो अपवर्तनांक ${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$ होता है। अतः,$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$।
जब प्रिज्म को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
अतः,$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$।
अनुपात $\delta_2 : \delta_1 = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$।
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(A) मान लीजिए कि विरल माध्यम में प्रकाश का वेग $v_1$ है और कांच के स्लैब में $v_2$ है। यह दिया गया है कि वेग $20 \%$ कम हो जाता है,इसलिए $v_2 = v_1 - 0.20v_1 = 0.8v_1 = \frac{4}{5}v_1$.
स्नेल के नियम से,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$। चूंकि $n = \frac{c}{v}$,हमारे पास $\frac{c}{v_1} \sin i = \frac{c}{v_2} \sin r$ है।
यह $\frac{\sin i}{v_1} = \frac{\sin r}{v_2}$ में सरल हो जाता है,इसलिए $\sin r = \frac{v_2}{v_1} \sin i$।
$v_2 = 0.8v_1$ दिया गया है,इसलिए $\sin r = 0.8 \sin i$।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $r = 0.8i = \frac{4}{5}i$।
विचलन कोण $\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$\delta = i - 0.8i = 0.2i = \frac{1}{5}i$ प्राप्त होता है।

(A) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि निर्गत किरण आसन्न फलक को छूते हुए निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरी सतह पर अपवर्तन की स्थिति के अनुसार,$r_2 = C$,जहाँ $C$ क्रांतिक कोण है।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e \implies \sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1$.
अतः,$\sin r_2 = 1/\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 45^{\circ}$।
चूँकि $A = r_1 + r_2$,हमारे पास $60^{\circ} = r_1 + 45^{\circ}$ है,इसलिए $r_1 = 15^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
इसलिए,$i = \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(A) माना कांच के घन की भुजा $L = 21 \ cm$ है। माना पहले पृष्ठ से हवा के बुलबुले की वास्तविक दूरी $x$ है। तब,विपरीत पृष्ठ से इसकी दूरी $(L - x)$ होगी।
पहले पृष्ठ से देखने पर,आभासी दूरी $d_1 = x / \mu = 8 \ cm$ है,इसलिए $x = 8\mu$ है।
विपरीत पृष्ठ से देखने पर,आभासी दूरी $d_2 = (L - x) / \mu = 6 \ cm$ है,इसलिए $L - x = 6\mu$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x + (L - x) = 8\mu + 6\mu$,जिससे $L = 14\mu$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L = 21 \ cm$ दिया गया है,हमारे पास $21 = 14\mu$ है,इसलिए $\mu = 21 / 14 = 1.5$ है।
$\mu = 1.5$ को $x = 8\mu$ में रखने पर,हमें $x = 8 \times 1.5 = 12 \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $\delta = 1.15^{\circ}$,इसलिए $(\mu - 1)A = 1.15^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
जब किरण पहली सतह पर लंबवत आपतित होती है,तो यह दूसरी सतह पर प्रिज्म कोण $A$ के बराबर आपतन कोण पर टकराती है। किरण दूसरी सतह पर आंतरिक रूप से परावर्तित होती है,इसलिए परावर्तन कोण $A$ होता है। यह परावर्तित किरण फिर पहली सतह पर अभिलंब के साथ $2A$ के कोण पर टकराती है। पहली सतह से बाहर निकलते समय,अपवर्तन कोण $r'$ का मान $\sin(r') = \mu \sin(2A)$ द्वारा दिया जाता है। छोटे कोणों के लिए,$r' \approx \mu(2A)$।
बाहर निकलने वाली किरण और आपतित किरण के बीच का कोण $6.3^{\circ}$ दिया गया है। बाहर निकलने वाली किरण अभिलंब के साथ $r'$ कोण बनाती है और आपतित किरण सतह के लंबवत है,इसलिए उनके बीच का कोण $r' = 6.3^{\circ}$ है।
अतः,$2\mu A = 6.3^{\circ}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $\frac{2\mu A}{(\mu - 1)A} = \frac{6.3}{1.15} \implies \frac{2\mu}{\mu - 1} = 5.478$.
$2\mu = 5.478\mu - 5.478 \implies 3.478\mu = 5.478 \implies \mu \approx 1.575$.

(D) अमिश्रणीय द्रवों के संयोजन की आभासी गहराई का सूत्र है: $d_{app} = \sum \frac{d_i}{\mu_i}$,जहाँ $d_i$ वास्तविक गहराई है और $\mu_i$ $i$-वें द्रव का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
$d_1 = 3 \text{ cm}, \mu_1 = 3/2$
$d_2 = 4 \text{ cm}, \mu_2 = 4/3$
$d_3 = 6 \text{ cm}, \mu_3 = 6/5$
आभासी गहराई की गणना:
$d_{app} = \frac{3}{3/2} + \frac{4}{4/3} + \frac{6}{6/5}$
$d_{app} = (3 \times 2/3) + (4 \times 3/4) + (6 \times 5/6)$
$d_{app} = 2 + 3 + 5 = 10 \text{ cm}$.
अतः,पात्र की आभासी गहराई $10 \text{ cm}$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n^{\text{th}}$ कक्षा में स्थित इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(_1H^1)$ के लिए,$Z_H = 1$ और $n = 2$ है। अतः,$E_H = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$।
हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए,$Z_{He} = 2$ और $n = 2$ है। अतः,$E_{He} = -13.6 \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times 1 \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु और हीलियम आयन की कुल ऊर्जा का अनुपात: $\frac{E_H}{E_{He}} = \frac{-13.6 \times (1/4)}{-13.6 \times 1} = \frac{1}{4}$ है।

(C) $p-n$ जंक्शन में,डिप्लीशन लेयर आवेश वाहकों के विसरण (diffusion) द्वारा बनती है,जो एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र बनाती है जो आगे के विसरण का विरोध करता है।
जब रिवर्स बायस लगाया जाता है,तो बाहरी वोल्टेज बिल्ट-इन विभव अवरोध में जुड़ जाता है,जिससे डिप्लीशन लेयर की चौड़ाई बढ़ जाती है।
चूंकि रिवर्स बायस के कारण डिप्लीशन लेयर के पार विभवांतर काफी बढ़ जाता है और परत की चौड़ाई भी बढ़ जाती है,इसलिए डिप्लीशन क्षेत्र के भीतर विद्युत क्षेत्र $(E = -dV/dx)$ अनबायस्ड स्थिति की तुलना में बहुत अधिक (अधिकतम) हो जाता है।
इसलिए,रिवर्स बायस्ड $p-n$ जंक्शन की डिप्लीशन लेयर में विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है।

(C) एक अनबायस्ड $p-n$ जंक्शन में,प्रारंभ में आवेश वाहकों का विसरण (diffusion) होता है। होल्स $p$-साइड से $n$-साइड की ओर और इलेक्ट्रॉन $n$-साइड से $p$-साइड की ओर विसरित होते हैं।
यह विसरण जंक्शन पर एक अवक्षय क्षेत्र (depletion region) बनाता है,जिससे $n$-साइड पर अचल आयनित दाता (धनात्मक आवेश) और $p$-साइड पर आयनित ग्राही (ऋणात्मक आवेश) रह जाते हैं।
यह आवेश वितरण $n$-साइड (धनात्मक) से $p$-साइड (ऋणात्मक) की ओर निर्देशित एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
यह विद्युत क्षेत्र आगे के विसरण का विरोध करता है,जिससे संतुलन अवस्था स्थापित होती है।

(D) एक आदर्श डायोड अग्र बायस (forward bias) में एक पूर्ण चालक के रूप में और पश्च बायस (reverse bias) में एक पूर्ण कुचालक के रूप में कार्य करता है।
अग्र बायस में,एक आदर्श डायोड का प्रतिरोध $0 \ \Omega$ होता है।
पश्च बायस में,एक आदर्श डायोड का प्रतिरोध $\infty \ \Omega$ होता है।
इसलिए,अग्र और पश्च बायस स्थितियों में प्रतिरोध क्रमशः $0$ और $\infty$ होते हैं।

(B) $1$. डायोड के बायसिंग का विश्लेषण करें: $6 \text{ V}$ बैटरी का पॉजिटिव टर्मिनल डायोड $D_1$ के p-साइड से और डायोड $D_2$ तथा $D_3$ के n-साइड से जुड़ा है। अतः,$D_1$ फॉरवर्ड-बायस्ड है,जबकि $D_2$ और $D_3$ रिवर्स-बायस्ड हैं।
$2$. प्रभावी परिपथ निर्धारित करें: चूंकि $D_2$ और $D_3$ रिवर्स-बायस्ड हैं,वे ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) की तरह कार्य करते हैं। केवल $D_1$ वाली शाखा ही धारा का संचालन करती है।
$3$. सक्रिय शाखा का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: कुल प्रतिरोध $R_{total} = 100 \Omega + 40 \Omega + 50 \Omega = 190 \Omega$.
$4$. ओम के नियम का उपयोग करके धारा $I$ की गणना करें: $I = V / R_{total} = 6 \text{ V} / 190 \Omega \approx 31.5 \text{ mA}$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $36 \text{ mA}$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,डायोड $D_1$ अग्र-अभिनत (forward-biased) है क्योंकि इसका p-सिरा बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है। डायोड $D_2$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) है क्योंकि इसका p-सिरा बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा है।
इसलिए,$D_2$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ प्रभावी रूप से बैटरी $(5 \ V)$,प्रतिरोधक $(20 \ \Omega)$ और $D_1$ वाली शाखा जिसमें एक प्रतिरोधक $(30 \ \Omega)$ श्रेणीक्रम में है,से बना है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 20 \ \Omega + 30 \ \Omega = 50 \ \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ V}{50 \ \Omega} = 0.1 \ A$ है।

(B) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को लोड के साथ श्रेणीक्रम में जोड़कर उस पर $a.c.$ वोल्टेज लगाया जाता है,तो डायोड एक दिष्टकारी (rectifier) के रूप में कार्य करता है।
इनपुट $a.c.$ सिग्नल के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,डायोड अग्र-अभिनत (forward-biased) होता है और धारा प्रवाहित होती है,जिससे लोड पर वोल्टेज प्राप्त होता है।
ऋणात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,डायोड पश्च-अभिनत (reverse-biased) होता है और धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिसके परिणामस्वरूप लोड पर वोल्टेज शून्य होता है।
अतः,लोड पर प्राप्त आउटपुट वोल्टेज एकदिशीय (unidirectional) होता है लेकिन समय के साथ बदलता रहता है,जिसे स्पंदित (pulsating) $d.c.$ वोल्टेज कहा जाता है।

(D) ज़ेनर डायोड एक विशेष प्रकार का डायोड है जिसे रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब एक ज़ेनर डायोड रिवर्स-बायस में होता है,तो यह अपने टर्मिनलों पर लगभग स्थिर वोल्टेज बनाए रखता है,भले ही इसमें से प्रवाहित होने वाली धारा काफी बदल जाए।
इस गुण का उपयोग वोल्टेज रेगुलेशन के लिए किया जाता है।
दिए गए $I-V$ अभिलक्षण वक्र में,$de$ भाग रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ वोल्टेज लगभग स्थिर रहता है जबकि धारा तेजी से बढ़ती है।
इसलिए,वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में इसके संचालन के लिए $de$ भाग सबसे अधिक प्रासंगिक है।

(B) $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक अत्यधिक डोपित $p-n$ जंक्शन डायोड है जो फॉरवर्ड बायस में होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है।
इसके $I-V$ अभिलक्षण एक सामान्य $p-n$ जंक्शन डायोड के समान होते हैं।
फॉरवर्ड बायस क्षेत्र में,थ्रेशोल्ड (नी) वोल्टेज तक पहुँचने के बाद आरोपित वोल्टेज के साथ धारा तेजी से (घातांकीय रूप से) बढ़ती है।
रिवर्स बायस क्षेत्र में,धारा नगण्य होती है।
ग्राफ $(a)$ एक सामान्य $p-n$ जंक्शन डायोड की विशेषता को दर्शाता है।
ग्राफ $(b)$ मूल बिंदु से शुरू होने वाली फॉरवर्ड बायस विशेषता को दर्शाता है,जो प्रथम चतुर्थांश में $LED$ के लिए मानक निरूपण है।
इसलिए,ग्राफ $(b)$ सही निरूपण है।

(D) फोटोडायोड एक विशेष प्रयोजन वाला $P-N$ जंक्शन डायोड है जिसे एक पारदर्शी खिड़की के साथ बनाया जाता है ताकि प्रकाश डायोड पर गिर सके।
जब फोटोडायोड को प्रकाश से प्रदीप्त किया जाता है,तो फोटॉन के अवशोषण के कारण इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप रिवर्स सैचुरेशन करंट में वृद्धि होती है।
रिवर्स करंट का परिमाण आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होता है।
दिए गए $I-V$ विशेषताओं वाले ग्राफ को देखने पर,रिवर्स बायस क्षेत्र में $I_1$ से $I_4$ की ओर जाने पर करंट बढ़ता है।
चूंकि $I_4$ लेबल वाले वक्र के लिए रिवर्स करंट सबसे अधिक है,इसलिए यह अधिकतम प्रदीप्ति तीव्रता के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) एक $p-n$ जंक्शन डायोड रिवर्स बायस्ड तब होता है जब $p$-टर्मिनल (एनोड) का विभव $n$-टर्मिनल (कैथोड) के विभव से कम होता है।
आइए प्रत्येक चित्र का विश्लेषण करें:
$(a)$ $p$-सिरा $+6 \text{ V}$ पर है,$n$-सिरा $-2 \text{ V}$ पर है। चूंकि $V_p > V_n$ है,इसलिए यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$(b)$ $p$-सिरा $-5 \text{ V}$ पर है,$n$-सिरा $+3 \text{ V}$ पर है। चूंकि $V_p < V_n$ है,इसलिए यह रिवर्स बायस्ड है।
$(c)$ $p$-सिरा $0 \text{ V}$ (ग्राउंड) पर है,$n$-सिरा $-10 \text{ V}$ पर है। चूंकि $V_p > V_n$ है,इसलिए यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$(d)$ $p$-सिरा $+6 \text{ V}$ पर है,$n$-सिरा $0 \text{ V}$ (ग्राउंड) पर है। चूंकि $V_p > V_n$ है,इसलिए यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
अतः,चित्र $(b)$ में डायोड रिवर्स बायस्ड है।

(B) $p-n$ जंक्शन में,विभव प्राचीर का निर्माण अवक्षय परत (depletion region) द्वारा होता है,जो बहुसंख्यक आवेश वाहकों के प्रवाह का विरोध करता है।
जब फॉरवर्ड बायस लगाया जाता है,तो बैटरी का धनात्मक सिरा $p$-क्षेत्र से और ऋणात्मक सिरा $n$-क्षेत्र से जोड़ा जाता है।
यह बाह्य विद्युत क्षेत्र अवक्षय परत के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है,जिससे विभव प्राचीर की ऊंचाई में कमी आती है।
अतः,विभव प्राचीर घटता है।

(B) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को फॉरवर्ड बायस किया जाता है,तो बाहरी बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-साइड से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-साइड से जुड़ा होता है।
यह विन्यास $p$-क्षेत्र में होल्स और $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉनों को जंक्शन की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) जंक्शन की ओर बढ़ते हैं,जिससे अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई प्रभावी रूप से कम हो जाती है।
इसके परिणामस्वरूप,विभव प्राचीर (potential barrier) की ऊँचाई कम हो जाती है,जिससे डायोड के माध्यम से विद्युत धारा आसानी से प्रवाहित हो सकती है।

(D) ज़ेनर डायोड को विशेष रूप से ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। जब इसका उपयोग वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में किया जाता है,तो इसे लोड के साथ समानांतर क्रम में रिवर्स बायस में जोड़ा जाता है। यह विन्यास ज़ेनर डायोड को लोड पर एक स्थिर वोल्टेज बनाए रखने की अनुमति देता है,भले ही इनपुट वोल्टेज या लोड करंट बदल जाए। इसलिए,सही संयोजन रिवर्स बायस और लोड के साथ समानांतर है।

(A) एक डायोड फॉरवर्ड बायस में तब होता है जब $p$-साइड (एनोड) का विभव $n$-साइड (कैथोड) के विभव से अधिक होता है।
दिए गए परिपथों में,त्रिभुज $p$-साइड को दर्शाता है और ऊर्ध्वाधर पट्टी $n$-साइड को दर्शाती है।
विकल्प $A$ के लिए: $V_p = 0 \ V$,$V_n = -4 \ V$। चूंकि $0 \ V > -4 \ V$,डायोड फॉरवर्ड बायस में है।
विकल्प $B$ के लिए: $V_p = -4 \ V$,$V_n = -3 \ V$। चूंकि $-4 \ V < -3 \ V$,डायोड रिवर्स बायस में है।
विकल्प $C$ के लिए: $V_p = -2 \ V$,$V_n = +2 \ V$। चूंकि $-2 \ V < +2 \ V$,डायोड रिवर्स बायस में है।
विकल्प $D$ के लिए: $V_p = 3 \ V$,$V_n = 5 \ V$। चूंकि $3 \ V < 5 \ V$,डायोड रिवर्स बायस में है।
इसलिए,सही चित्र $A$ है।

(B) ट्रांजिस्टर के लिए,करंट गेन $\alpha$ को कलेक्टर करंट $(I_C)$ और एमिटर करंट $(I_E)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$। चूंकि $I_E = I_C + I_B$ और $I_B > 0$ होता है,इसलिए $I_C < I_E$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha < 1$ है।
करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट $(I_C)$ और बेस करंट $(I_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\beta = \frac{I_C}{I_B}$।
चूंकि बेस करंट $I_B$ आमतौर पर कलेक्टर करंट $I_C$ की तुलना में बहुत छोटा होता है,इसलिए अनुपात $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ हमेशा $1$ से अधिक होता है।
इसलिए,सही संबंध $\beta > 1$ और $\alpha < 1$ है।

(C) दिया गया है कि कलेक्टर करंट और एमिटर करंट का अनुपात $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}} = 0.95$ है।
कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर के लिए,करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट और बेस करंट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ है।
सूत्र में $\alpha$ का मान रखने पर:
$\beta = \frac{0.95}{1 - 0.95} = \frac{0.95}{0.05}$.
$\beta = \frac{95}{5} = 19$.
अतः,करंट गेन $19$ है।

(C) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$, करंट गेन $(\beta)$ और लोड प्रतिरोध $(R_L)$ तथा इनपुट प्रतिरोध $(R_{in})$ के अनुपात के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र: $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$
दिया गया है:
$AC$ करंट गेन $(\beta)$ = $64$
लोड प्रतिरोध $(R_L)$ = $5400 \ \Omega$
इनपुट प्रतिरोध $(R_{in})$ = $540 \ \Omega$
मान रखने पर:
$A_v = 64 \times \frac{5400}{540}$
$A_v = 64 \times 10$
$A_v = 640$
अतः, वोल्टेज गेन $640$ है।

(D) ट्रांजिस्टर का पावर गेन $(A_p)$,वोल्टेज गेन $(A_v)$ और करंट गेन $(A_i)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है।
गणितीय रूप से,$A_p = A_v \times A_i$ होता है।
इसलिए,पावर गेन और वोल्टेज गेन का अनुपात $\frac{A_p}{A_v} = A_i$ होगा।
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन को $\beta = \frac{I_c}{I_b}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,यह अनुपात $\beta$ के बराबर है।

(C) कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में $n-p-n$ ट्रांजिस्टर का उपयोग करते समय:
$1$. बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस्ड होता है ताकि धारा प्रवाहित हो सके, और कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स बायस्ड होता है。
$2$. इनपुट सिग्नल बेस और एमिटर के बीच लगाया जाता है, जबकि आउटपुट कलेक्टर और एमिटर के बीच लिया जाता है。
$3$. इनपुट प्रतिबाधा आमतौर पर कम होती है, और आउटपुट प्रतिबाधा उच्च होती है。
$4$. इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच $180^{\circ}$ का कला अंतर होता है。
इसलिए, विकल्प $C$ सही कथन है।

(C) यह दिया गया है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों का $90 \%$ कलेक्टर तक पहुँचता है,करंट गेन $\alpha$ (कॉमन बेस) को कलेक्टर धारा और उत्सर्जक धारा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि उत्सर्जक धारा $(I_E)$ का $90 \%$ कलेक्टर $(I_C)$ तक पहुँचता है,इसलिए $I_C = 0.9 \ I_E$। अतः,$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.9$।
करंट गेन $\beta$ (कॉमन एमिटर) का $\alpha$ के साथ संबंध $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\alpha$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{0.9}{1 - 0.9} = \frac{0.9}{0.1} = 9$।
अतः,$\alpha = 0.9$ और $\beta = 9$।

(C) दिया गया है: संग्राहक धारा $I_C = 8 \ mA$।
चूंकि उत्सर्जक से $80 \%$ इलेक्ट्रॉन संग्राहक तक पहुँचते हैं,धारा लाभ $\alpha$ संग्राहक धारा और उत्सर्जक धारा का अनुपात है,जो $0.8$ है।
अतः,$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.8$।
हम उत्सर्जक धारा $I_E$ को $I_E = \frac{I_C}{\alpha} = \frac{8 \ mA}{0.8} = 10 \ mA$ के रूप में ज्ञात कर सकते हैं।
आधार धारा $I_B$ का मान $I_E - I_C = 10 \ mA - 8 \ mA = 2 \ mA$ है।
धारा लाभ $\beta$ की गणना $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{0.8}{1 - 0.8} = \frac{0.8}{0.2} = 4.0$ के रूप में की जाती है।
इसलिए,$\alpha = 0.8$ और $\beta = 4.0$।

(B) ट्रांजिस्टर का पावर गेन $(A_p)$, करंट गेन $(\beta)$ और वोल्टेज गेन $(A_v)$ का गुणनफल होता है।
$A_p = \beta \times A_v$
वोल्टेज गेन $(A_v)$ को करंट गेन $(\beta)$ और लोड रेजिस्टेंस $(R_L)$ तथा इनपुट इम्पीडेंस $(R_i)$ के अनुपात के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
दिया गया है:
करंट गेन $(\beta)$ = $8$
इनपुट इम्पीडेंस $(R_i)$ = $25 \, k\Omega$
लोड रेजिस्टेंस $(R_L)$ = $75 \, k\Omega$
सबसे पहले, वोल्टेज गेन की गणना करें:
$A_v = 8 \times \frac{75 \, k\Omega}{25 \, k\Omega} = 8 \times 3 = 24$
अब, पावर गेन की गणना करें:
$A_p = \beta \times A_v = 8 \times 24 = 192$
नोट: गणना के अनुसार पावर गेन $192$ प्राप्त होता है।

(D) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर के कॉमन एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन में,इनपुट सिग्नल को बेस और एमिटर के बीच लगाया जाता है,जबकि आउटपुट को कलेक्टर और एमिटर के बीच लिया जाता है।
जब इनपुट सिग्नल वोल्टेज बढ़ता है,तो बेस करंट बढ़ता है,जिससे कलेक्टर करंट भी बढ़ जाता है।
कलेक्टर सर्किट में जुड़े लोड रेजिस्टर $R_L$ पर वोल्टेज ड्रॉप के कारण $(V_{out} = V_{CC} - I_C R_L)$,कलेक्टर करंट $I_C$ में वृद्धि होने से आउटपुट वोल्टेज $V_{out}$ में कमी आती है।
चूंकि इनपुट वोल्टेज में वृद्धि होने पर आउटपुट वोल्टेज में कमी आती है,इसलिए आउटपुट सिग्नल इनपुट सिग्नल के सापेक्ष उल्टा (inverted) होता है।
एक उल्टा सिग्नल $180^\circ$ या $\pi^c$ रेडियन के कलांतर (phase difference) के बराबर होता है।

(C) दिया गया है कि कलेक्टर करंट $(I_C)$ और एमिटर करंट $(I_E)$ का अनुपात करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर $\alpha$ है।
अतः,$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.96$.
करंट गेन $\beta$ और $\alpha$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
$\alpha$ का मान रखने पर:
$\beta = \frac{0.96}{1 - 0.96} = \frac{0.96}{0.04}$.
$\beta = \frac{96}{4} = 24$.
अतः,करंट गेन $\beta$ का मान $24$ है।

(C) दिया गया है कि करंट गेन $\alpha = 0.8$ है।
सबसे पहले,कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन के लिए करंट गेन $\beta$ की गणना $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ संबंध का उपयोग करके करते हैं।
$\alpha$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{0.8}{1 - 0.8} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
कलेक्टर करंट में परिवर्तन $(\Delta I_C)$ और बेस करंट में परिवर्तन $(\Delta I_B)$ के बीच का संबंध $\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$ है।
$\Delta I_B = 3 \mu A$ दिया गया है,इसलिए $\Delta I_C = 4 \times 3 \mu A = 12 \mu A$।
अतः,कलेक्टर करंट में $12 \mu A$ का परिवर्तन होगा।

(B) दिया गया है: करंट गेन $(\beta)$ = $62$, कलेक्टर प्रतिरोध $(R_C)$ = $5 \text{ k}\Omega = 5000 \text{ }\Omega$, इनपुट प्रतिरोध $(R_i)$ = $500 \text{ }\Omega$, इनपुट वोल्टेज $(V_i)$ = $0.01 \text{ V}$.
सबसे पहले, एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ ज्ञात करें:
$A_v = \beta \times \frac{R_C}{R_i} = 62 \times \frac{5000}{500} = 62 \times 10 = 620$.
आउटपुट वोल्टेज $(V_o)$ वोल्टेज गेन और इनपुट वोल्टेज का गुणनफल होता है:
$V_o = A_v \times V_i = 620 \times 0.01 \text{ V} = 6.2 \text{ V}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है:
इनपुट प्रतिरोध,$R_i = 1.8 \text{ k}\Omega = 1800 \Omega$
लोड प्रतिरोध,$R_L = 9 \text{ k}\Omega = 9000 \Omega$
धारा लाभ,$\beta = 70$
इनपुट वोल्टेज,$V_i = 6 \text{ mV} = 6 \times 10^{-3} \text{ V}$
चरण $1$: इनपुट धारा $(I_b)$ की गणना करें:
$I_b = \frac{V_i}{R_i} = \frac{6 \times 10^{-3}}{1800} = \frac{1}{3} \times 10^{-5} \text{ A}$
चरण $2$: आउटपुट धारा $(I_c)$ की गणना करें:
$I_c = \beta \times I_b = 70 \times \frac{1}{3} \times 10^{-5} = \frac{7}{3} \times 10^{-4} \text{ A}$
चरण $3$: आउटपुट वोल्टेज $(V_o)$ की गणना करें:
$V_o = I_c \times R_L = (\frac{7}{3} \times 10^{-4}) \times 9000 = 7 \times 3 \times 10^{-1} = 2.1 \text{ V}$
वैकल्पिक रूप से,वोल्टेज लाभ $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i} = 70 \times \frac{9000}{1800} = 70 \times 5 = 350$.
$V_o = A_v \times V_i = 350 \times 6 \text{ mV} = 2100 \text{ mV} = 2.1 \text{ V}$.

(B) हम जानते हैं कि एक ट्रांजिस्टर के करंट गेन पैरामीटर्स $\alpha_{dc}$ और $\beta_{dc}$ के बीच का संबंध $\beta_{dc} = \frac{\alpha_{dc}}{1 - \alpha_{dc}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{\beta_{dc}} = \frac{1 - \alpha_{dc}}{\alpha_{dc}} = \frac{1}{\alpha_{dc}} - 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\alpha_{dc}} - \frac{1}{\beta_{dc}} = 1$ है।
समान हर (denominator) लेने पर,हमें $\frac{\beta_{dc} - \alpha_{dc}}{\alpha_{dc} \times \beta_{dc}} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOT$ गेट,एक $NAND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A}$ है।
$2$. इनपुट $B$ और $C$ एक $NAND$ गेट से गुजरते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B \cdot C}$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन समीकरण है: $Y = \overline{A} + \overline{B \cdot C}$।
स्थिति $1$: जब सभी इनपुट लो हों $(A=0, B=0, C=0)$:
$Y = \overline{0} + \overline{0 \cdot 0} = 1 + \overline{0} = 1 + 1 = 1$।
स्थिति $2$: जब सभी इनपुट हाई हों $(A=1, B=1, C=1)$:
$Y = \overline{1} + \overline{1 \cdot 1} = 0 + \overline{1} = 0 + 0 = 0$।
अतः,आउटपुट $(1, 0)$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NAND$ गेट लगा है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन आउटपुट को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतिम आउटपुट $Y = A + B$ है,इसलिए यह संयोजन एक $OR$ गेट की तरह कार्य करता है।

(D) यूनिवर्सल गेट एक ऐसा लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है।
दिए गए विकल्पों में से केवल $NAND$ ही इस परिभाषा को पूरा करता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।