MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि $A$ पर स्थित लड़का मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और $B$ पर स्थित लड़का $(x, 0)$ पर है।
$B$ पर स्थित लड़का $y$-अक्ष के अनुदिश $v_1$ वेग से गति करता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(x, v_1 t)$ है।
$A$ पर स्थित लड़का $v$ वेग से गति करता है और $t$ समय पर $B$ वाले लड़के से मिलता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(v_x t, v_y t)$ है,ताकि $\sqrt{(v_x t)^2 + (v_y t)^2} = vt$ हो।
चूंकि वे $(x, v_1 t)$ पर मिलते हैं,इसलिए $v_x t = x$ और $v_y t = v_1 t$ है।
वेग के परिमाण की शर्त का उपयोग करते हुए: $(v_x t)^2 + (v_y t)^2 = (vt)^2$।
मान रखने पर: $x^2 + (v_1 t)^2 = v^2 t^2$।
$t^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = x^2$।
$t^2 (v^2 - v_1^2) = x^2$।
$t = \frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$।

(D) मान लीजिए $A$ पर लड़की की स्थिति $(0, 0)$ है और $B$ पर लड़की की स्थिति $(b, 0)$ है।
$B$ पर लड़की $V_1$ वेग $\vec{V_1} = V_1 \hat{j}$ के साथ चलती है। समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_B}(t) = b \hat{i} + V_1 t \hat{j}$ है।
$A$ पर लड़की $V_2$ वेग के साथ चलती है। मान लीजिए $\vec{V_2} = V_2 \cos \theta \hat{i} + V_2 \sin \theta \hat{j}$ है।
समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_A}(t) = (V_2 \cos \theta) t \hat{i} + (V_2 \sin \theta) t \hat{j}$ है।
उनके मिलने के लिए,$\vec{r_A}(t) = \vec{r_B}(t)$ होना चाहिए,इसलिए $V_2 \cos \theta t = b$ और $V_2 \sin \theta t = V_1 t$ है।
दूसरे समीकरण से,$\sin \theta = V_1 / V_2$ है। अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2} = \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2}$ है।
$\cos \theta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $V_2 \left( \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2} \right) t = b$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$ है।

(C) वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r = \frac{\pi}{2} \,m$ है。
कण $t$ समय में $x$ चक्कर लगाता है。
$x$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $d = x \times (2\pi r)$ है。
$r$ का मान रखने पर: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \,m$。
स्पर्शरेखीय वेग $v$ को तय की गई कुल दूरी और लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v = \frac{d}{t} = \frac{\pi^2 x}{t} \,m/s$。
अतः, सही विकल्प $C$ है。

(B) समान वृत्तीय गति में,कण एक स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ चलता है।
$1$. वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
$2$. चूंकि गति स्थिर है,इसलिए कोई स्पर्शरेखीय त्वरण नहीं होता है। केवल अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ मौजूद होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। अतः,कथन $D$ सत्य है।
$3$. चूंकि त्वरण सदिश $\vec{a}_c$ केंद्र की ओर इंगित करता है और वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय (त्रिज्या के लंबवत) होता है,इसलिए वेग और त्वरण सदिश हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं। अतः,कथन $C$ सत्य है।
$4$. चूंकि त्वरण सदिश केंद्र की ओर इंगित करता है,इसलिए यह वृत्त के स्पर्शरेखीय नहीं होता है। अतः,कथन $B$ असत्य है।

(A) जब वाहन वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो बॉब पर बाहर की ओर छद्म बल (pseudo force) $F_p = \frac{mv^2}{r}$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ कार्य करता है।
माना $\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
वाहन के फ्रेम में,बॉब तनाव $T$,छद्म बल और भार के प्रभाव में संतुलन में है।
घटकों को लेने पर,हमें मिलता है $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ और $T \cos \theta = mg$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.

(C) $m$ द्रव्यमान $r = \ell \sin \theta$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में गति करता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \text{ rad/s}$ है।
द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (डोरी के अनुदिश) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
तनाव के घटकों को वियोजित करने पर: $T \cos \theta = mg$ और $T \sin \theta = m\omega^2 r$।
$r = \ell \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$T \sin \theta = m\omega^2 \ell \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T = m\omega^2 \ell$ हो जाता है।
$\omega = 2 \text{ rad/s}$ रखने पर,$T = m(2)^2 \ell = 4m\ell$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए हल्के पत्थर का द्रव्यमान $m_1 = m$ और उसकी त्रिज्या $r_1 = r$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_1$ है।
मान लीजिए भारी पत्थर का द्रव्यमान $m_2 = 3m$ और उसकी त्रिज्या $r_2 = r/3$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_2$ है।
अभिकेंद्री बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है कि अभिकेंद्री बल समान हैं: $F_1 = F_2$।
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$
मान रखने पर: $\frac{m v_1^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{(r/3)}$
$\frac{m v_1^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$
$v_1^2 = 9 v_2^2$
$v_1 = 3 v_2$
चूंकि $v_1 = n v_2$,इसलिए $n = 3$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदु $P$ और $Q$ $x$-अक्ष पर क्रमशः $(-d, 0, 0)$ और $(d, 0, 0)$ पर हैं। द्रव्यमान $m$ $xy$-तल में बिंदु $R$ पर $(0, -h, 0)$ पर स्थित है,जहाँ $h = \sqrt{L^2 - d^2}$ है।
जब द्रव्यमान को तल से थोड़ा बाहर ($z$-दिशा में) $z$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $P$ और $Q$ से द्रव्यमान की नई दूरी $L' = \sqrt{h^2 + z^2 + d^2} = \sqrt{L^2 + z^2}$ हो जाती है।
प्रत्येक डोरी में तनाव $T = \frac{mg}{2 \cos \theta}$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{h}{L'}$.
$z$-दिशा में प्रत्यानयन बल $F = -2T \sin \phi$ है,जहाँ $\phi$ डोरी और $xy$-तल के बीच का कोण है,$\sin \phi = \frac{z}{L'}$.
अतः,$F = -2 \left( \frac{mg}{2(h/L')} \right) \left( \frac{z}{L'} \right) = -\frac{mgz}{h}$.
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{h} = \frac{mg}{\sqrt{L^2 - d^2}}$ है।
आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/\sqrt{L^2 - d^2}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{L^2 - d^2}}{g}}$ होगा।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट के लिए,$g_{eff} = g$,इसलिए $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{3} \ s$ है।
जब लिफ्ट $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{4g}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$ द्वारा दिया जाता है।
$T_1 = \sqrt{3} \ s$ का मान रखने पर,हमें $T_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से लटके $m$ द्रव्यमान के दोलन का आवर्तकाल $T$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ के लिए आवर्तकाल $T_1 = 2 \ s$ है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
अब,नए द्रव्यमान $m' = 4m$ के लिए,नया आवर्तकाल $T_2$ होगा: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $T_2 = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}})$.
समीकरण में $T_1$ का मान रखने पर: $T_2 = 2 \times T_1$.
चूंकि $T_1 = 2 \ s$,इसलिए $T_2 = 2 \times 2 \ s = 4 \ s$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,निलंबन बिंदु स्थिर है,इसलिए $g_{eff} = g = 10 \ m/s^2$। अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$।
जब निलंबन बिंदु $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
विस्थापन $y = kt^2$ दिया गया है,इसलिए त्वरण $a$ विस्थापन का समय के सापेक्ष द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}(kt^2) = 2k$।
चूंकि $k = 1 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $a = 2(1) = 2 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$।
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{12}}$ होगा।
अब,अनुपात $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 (L/g)}{4\pi^2 (L/g_{eff})} = \frac{g_{eff}}{g} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
माना मूल लंबाई $L_1 = L$ है और मूल आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
नई लंबाई $L_2 = 3L$ है।
माना नया आवर्तकाल $T_2$ है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{L}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{3L}{L}} = \sqrt{3}$.
अतः,$T_2 = \sqrt{3} T$.

(C) जब '$r$' त्रिज्या की एक छोटी गेंद '$R$' त्रिज्या की वक्र सतह पर लुढ़कती है,तो गेंद का द्रव्यमान केंद्र '$(R-r)$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है।
छोटे दोलनों के लिए,यह गति '$L_{eff} = R-r$' प्रभावी लंबाई वाले सरल लोलक के समतुल्य है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रभावी लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोलन का आवर्तकाल $\sqrt{\frac{R-r}{g}}$ के समानुपाती है।

(D) वॉच ग्लास में दोलन करने वाला एक छोटा गोला एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है।
इस समतुल्य लोलक की प्रभावी लंबाई $L$,वॉच ग्लास की वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है,$R = 1.6 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$।
सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$।
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$।
$T = 2\pi \times 0.4$।
$T = 0.8\pi \ s$।

(C) प्रारंभिक विन्यास में,द्रव्यमान $m$ दो समानांतर स्प्रिंगों से जुड़ा हुआ है। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K + K = 2K$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
जब स्प्रिंग $S_2$ को हटा दिया जाता है,तो केवल एक स्प्रिंग शेष रहता है जिसका स्प्रिंग नियतांक $K$ है।
नया प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K'_{eff} = K$ है।
दोलन की नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ है।
$f'$ और $f$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $g_{eff} = g$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी गुरुत्व $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ है।
दिया गया है कि $T' = \frac{T}{2}$,इसलिए $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} \left( \frac{L}{g} \right) = \frac{L}{g+a}$।
इसे सरल करने पर $g + a = 4g$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3g$।

(D) $k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_s = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ होता है।
श्रेणीक्रम में दोलन की आवृत्ति $f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ है।
$k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को समांतर क्रम में जोड़ने पर,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_p = k + k = 2k$ होता है।
समांतर क्रम में दोलन की आवृत्ति $f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ है।
उनकी आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र $(a)$ के लिए: प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,a} = K$ है। अतः,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
चित्र $(b)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ है,इसलिए $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$। अतः,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$।
चित्र $(c)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,c} = K + K = 2K$ है। अतः,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
परिणामों की तुलना करने पर: $T_b = \sqrt{2} T_a$ और $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
अतः,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) सरल लोलक की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
चूँकि $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, ऊर्जा का व्यंजक $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि आयाम $A$ स्थिर रहता है और लंबाई $l$ बदलकर $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है, इसलिए नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{mgA^2}{2(l/3)} = 3 \times \frac{mgA^2}{2l} = 3E$ होगा।
अतः, कुल ऊर्जा मूल ऊर्जा की $3$ गुनी हो जाएगी।

(C) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ है।
$x$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{3}{4} A^2) = \frac{1}{2} k (\frac{1}{4} A^2) = \frac{1}{8} k A^2$.
प्रश्न के अनुसार,$E = n \times K$.
$E$ और $K$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2} k A^2 = n \times (\frac{1}{8} k A^2)$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2} k A^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = n \times \frac{1}{4}$.
अतः,$n = 4$.

(B) कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
आधे आयाम पर,विस्थापन $x = A/2$ है।
$S.H.M.$ में कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = A/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{8} k A^2$ प्राप्त होता है।
कण की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ है।
अब,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $K/U = (\frac{3}{8} k A^2) / (\frac{1}{8} k A^2) = 3/1$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(D) $S.H.M.$ कर रहे कण की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(U_{max})$ चरम स्थितियों पर होती है जहाँ $x = \pm A$,इसलिए $U_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा उसके अधिकतम मान की आधी है: $U = \frac{1}{2} U_{max}$।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$।
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 = \frac{1}{2} A^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$।
अतः,विस्थापन $\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = 2\pi/T$ कोणीय आवृत्ति है।
$t = T/6$ पर,विस्थापन $x = A \sin((2\pi/T) \cdot (T/6)) = A \sin(\pi/3) = A \sqrt{3}/2$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A \sqrt{3}/2)^2 = \frac{3}{8} k A^2$ है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{3}{8} k A^2 = \frac{1}{8} k A^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $U/K = (3/8 k A^2) / (1/8 k A^2) = 3/1$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले सरल लोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है,इसलिए $\omega^2 = \frac{g}{L}$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$.
दिया गया है कि $E_A = E_B$,$M_1 = M_2 = M$,और $L_1 = 2 L_2$:
$\frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_1}\right) A_A^2 = \frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_2}\right) A_B^2$.
सरल करने पर,हमें $\frac{A_A^2}{L_1} = \frac{A_B^2}{L_2}$ प्राप्त होता है।
$L_1 = 2 L_2$ रखने पर: $\frac{A_A^2}{2 L_2} = \frac{A_B^2}{L_2}$.
इससे $A_A^2 = 2 A_B^2$ या $A_A = \sqrt{2} A_B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A_B = \frac{A_A}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $B$ का आयाम $A$ के आयाम से छोटा है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले सरल लोलक की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ होती है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $l$ लोलक की लंबाई है।
ऊर्जा के समीकरण में $\omega^2 = \frac{g}{l}$ रखने पर,हमें $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$,और आयाम $(A)$ स्थिर हैं,इसलिए कुल ऊर्जा लोलक की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{l}$।
यदि नई लंबाई $l' = \frac{l}{4}$ है,तो नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' \propto \frac{1}{l/4} = 4 \times (\frac{1}{l}) = 4E$ होगा।
अतः,कुल ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की $4$ गुना हो जाएगी।

(A) एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग $x_0 = \frac{mg}{k}$ के विस्तार तक खिंची होती है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{k}{m} = \omega^2 = \left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2$.
दिया गया है $T = 0.1 \ s$,इसलिए $\omega = \frac{2 \pi}{0.1} = 20 \pi \ rad/s$.
संतुलन पर विस्तार $x_0 = \frac{g}{\omega^2} = \frac{10}{(20 \pi)^2} = \frac{10}{400 \pi^2} = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$ है।
चूंकि स्प्रिंग उच्चतम बिंदु पर बिना खिंची हुई है,इसलिए दोलन का आयाम $A$ संतुलन विस्तार $x_0$ के बराबर है,अर्थात $A = x_0 = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$.
$S.H.M.$ में अधिकतम चाल $v_{max} = A \omega$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v_{max} = \left(\frac{1}{40 \pi^2}\right) \times (20 \pi) = \frac{20 \pi}{40 \pi^2} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(A) $S.H.M.$ में, विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -ky = -k A \sin(\omega t)$ है, जहाँ $k$ बल नियतांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि बल विस्थापन के साथ $180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) के कलांतर में है।
यदि विस्थापन ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक साइन तरंग है, तो बल ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक उल्टी साइन तरंग (ऋणात्मक साइन तरंग) होनी चाहिए।
इसलिए, बल-समय ग्राफ समय अक्ष के सापेक्ष विस्थापन-समय ग्राफ का दर्पण प्रतिबिंब होगा।

(D) सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण के विस्थापन का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है: $T = 8 \ s$,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$. आयाम $A = 4\sqrt{2} \ m$.
अतः,$x(t) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} t)$.
पहले सेकंड ($t=0$ से $t=1$) में तय की गई दूरी: $x(1) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \ m$.
दूसरे सेकंड ($t=1$ से $t=2$) में तय की गई दूरी: $x(2) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{2\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 4\sqrt{2} \times 1 = 4\sqrt{2} \ m$.
दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = x(2) - x(1) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2} - 1) \ m$.
पहले सेकंड और दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{4(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ है।

(C) $S.H.M.$ का आवर्तकाल $T = 16 \ s$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ है।
किसी भी समय $t$ पर कला $\phi = \omega t$ द्वारा दी जाती है।
$t_1 = 2 \ s$ पर कला $\phi_1 = \omega t_1 = \frac{\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{4}$ है।
$t_2 = 4 \ s$ पर कला $\phi_2 = \omega t_2 = \frac{\pi}{8} \times 4 = \frac{\pi}{2}$ है।
कलान्तर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(C) $S.H.M.$ में एक कण के लिए,विस्थापन $x$ पर वेग $V$ का सूत्र $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ है और त्वरण $a = -\omega^2 x$ है।
त्वरण समीकरण से,$x = -a/\omega^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को वेग समीकरण में रखने पर: $V^2 = \omega^2 A^2 - a^2/\omega^2$।
दो स्थितियों के लिए:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - a_1^2/\omega^2$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - a_2^2/\omega^2$
दोनों को घटाने पर: $V_1^2 - V_2^2 = (a_2^2 - a_1^2)/\omega^2$।
दो स्थितियों के बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |(-a_1/\omega^2) - (-a_2/\omega^2)| = |a_2 - a_1|/\omega^2$ है।
घटाने के परिणाम से,$1/\omega^2 = (V_1^2 - V_2^2) / (a_2^2 - a_1^2)$।
इस मान को दूरी के सूत्र में रखने पर: $d = |a_2 - a_1| \cdot \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2^2 - a_1^2} = \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2 + a_1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ और $\omega = 2 \pi \text{ rad/s}$ है।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t)$.
गति $|v| = A \omega |\sin(\omega t)|$ है।
अधिकतम गति तब होती है जब $|\sin(\omega t)| = 1$ हो,जिसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
पहली बार के लिए,$\omega t = \frac{\pi}{2}$ लें।
$\omega = 2 \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 1/4 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम त्वरण $a_{max}$ सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
यह दिया गया है कि आयाम $A_1$ और $A_2$ समान हैं $(A_1 = A_2 = A)$,इसलिए अधिकतम त्वरण का अनुपात है:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{\omega_1^2 A}{\omega_2^2 A} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
दिए गए मान $\omega_1 = 300 \ rad/s$ और $\omega_2 = 3000 \ rad/s$ रखने पर:
$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \left( \frac{300}{3000} \right)^2 = \left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100} = 1: 10^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $S.H.M.$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = 2\pi/T$ है। दिया गया है $T = 8 \ s$,इसलिए $\omega = 2\pi/8 = \pi/4 \ rad/s$ है।
$t=0$ पर,$x(0) = 0$ है।
$t=1 \ s$ पर,$x(1) = A \sin(\pi/4 \times 1) = A/\sqrt{2}$ है। पहले सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = |x(1) - x(0)| = A/\sqrt{2}$ है।
$t=2 \ s$ पर,$x(2) = A \sin(\pi/4 \times 2) = A \sin(\pi/2) = A$ है। दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - A/\sqrt{2}| = A(1 - 1/\sqrt{2}) = A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$ है।
अनुपात $d_1/d_2 = (A/\sqrt{2}) / [A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}] = 1/(\sqrt{2}-1)$ है।

(D) $S.H.M.$ में '$x$' विस्थापन पर कण की गति $u = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है।
कण की अधिकतम गति $V_{\text{max}} = a\omega$ है।
यह दिया गया है कि गति '$u$',अधिकतम गति की आधी है,इसलिए $u = \frac{V_{\text{max}}}{2} = \frac{a\omega}{2}$ है।
गति के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों से $\omega$ को हटाने पर: $\frac{a}{2} = \sqrt{a^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{a^2}{4} = a^2 - x^2$।
'$x^2$' के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$।
वर्गमूल लेने पर: $x = \frac{\sqrt{3}a}{2}$।

(D) एक अवमंदित दोलक का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,$A(2) = \frac{1}{3} A_0$ है।
अतः,$\frac{1}{3} A_0 = A_0 e^{-b(2)/2m} \implies e^{-b/m} = \frac{1}{3}$ है।
हमें $t = 6 \ s$ पर आयाम ज्ञात करना है,जो $A(6) = A_0 e^{-b(6)/2m} = A_0 (e^{-b/m})^3$ है।
$e^{-b/m}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{27}\right)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $A(6) = \frac{1}{n} A_0$ से करने पर,हमें $n = 27$ प्राप्त होता है।

(C) $y = A \sin(\omega t - kx)$ द्वारा निरूपित तरंग के लिए,तरंग का वेग $V = \frac{\omega}{k}$ होता है।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ होती है।
अतः,$V = \frac{\omega}{2 \pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2 \pi}$।
$S.H.M.$ में कण का अधिकतम वेग $\nu = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,$\omega = \frac{\nu}{A}$ प्राप्त होता है।
$V$ के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$V = \frac{(\nu / A) \lambda}{2 \pi} = \frac{\lambda \nu}{2 \pi A}$।
$\nu$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$।
अतः,सही संबंध $\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$ है।

(C) दिया गया गति का समीकरण: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$।
इसे सरल आवर्त गति के मानक रूप $x = R \sin(\omega t + \phi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम $\sqrt{A^2 + B^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right)$।
माना $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ और $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$।
तब,$x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$।
यह सरल आवर्त गति का मानक समीकरण है,जिसका आयाम $R = \sqrt{A^2 + B^2} = (A^2 + B^2)^{1/2}$ है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,किसी भी स्थिति $x$ पर उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
$E = K + U = 1 \ J + 0.6 \ J = 1.6 \ J$.
सरल आवर्त गति में कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
हम जानते हैं कि $k = m \omega^2$,जहाँ $\omega = 2 \pi f$.
दिया गया है $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$,इसलिए $\omega = 2 \pi (\frac{25}{\pi}) = 50 \ rad/s$.
अतः,$k = 0.2 \times (50)^2 = 0.2 \times 2500 = 500 \ N/m$.
वैकल्पिक रूप से,हम कुल ऊर्जा के सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $A$ आयाम है।
$1.6 = \frac{1}{2} \times 500 \times A^2$.
$1.6 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{1.6}{250} = \frac{16}{2500} = 0.0064$.
$A = \sqrt{0.0064} = 0.08 \ m$.

(A) कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t + \pi/6)$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \pi/6)$।
चाल तब अधिकतम होती है जब वेग का परिमाण $|v|$ अधिकतम हो,जो तब होता है जब $|\sin(\omega t + \pi/6)| = 1$ हो।
यह तब होता है जब $(\omega t + \pi/6) = \pi/2$ हो।
$\omega t + \pi/6 = \pi/2$ रखने पर,हमें $\omega t = \pi/2 - \pi/6 = 3\pi/6 - \pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{\pi}{3 \omega} \text{ s}$।

(C) कण $A$ द्वारा दो दोलन पूरा करने में लिया गया समय $t = 2T$ है।
कण $A$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega_A = \frac{2\pi}{T}$ है।
समय $t = 2T$ पर कण $A$ की कला $\phi_A = \omega_A t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)(2T) = 4\pi$ है।
कण $B$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega_B = \frac{2\pi}{(3T/2)} = \frac{4\pi}{3T}$ है।
समय $t = 2T$ पर कण $B$ की कला $\phi_B = \omega_B t = \left(\frac{4\pi}{3T}\right)(2T) = \frac{8\pi}{3}$ है।
उनके बीच का कलांतर $\Delta\phi = |\phi_A - \phi_B| = |4\pi - \frac{8\pi}{3}| = |\frac{12\pi - 8\pi}{3}| = \frac{4\pi}{3}$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$, बल नियतांक $k = 4 \,N/m$, वेग $v = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$, आयाम $A = 0.4 \,m$.
सबसे पहले, कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{4/1} = 2 \,rad/s$ की गणना करें।
$S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $x$ विस्थापन है।
मान रखने पर: $0.2 = 2 \sqrt{0.4^2 - x^2}$.
$2$ से विभाजित करने पर: $0.1 = \sqrt{0.16 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.01 = 0.16 - x^2$.
$x^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = 0.16 - 0.01 = 0.15$.
अतः, विस्थापन $x = \sqrt{0.15} \,m$ है।

(A) $S.H.M.$ में,कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण चरम स्थिति से शुरू होता है,$t = 0$ पर,$x = A$,जिसका अर्थ है $\phi = 0$। अतः,$x(t) = A \cos(\omega t)$।
त्वरण $a(t)$ विस्थापन के द्वितीय अवकलज द्वारा दिया जाता है: $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t)$।
हम त्वरण को $a(t) = \omega^2 A \cos(\omega t + \pi)$ के रूप में लिख सकते हैं।
विस्थापन $(\omega t)$ और त्वरण $(\omega t + \pi)$ की कला की तुलना करने पर,कलांतर $\pi \ rad$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: आयाम $A = 4 \ cm$,विस्थापन $x = 3 \ cm$.
$S.H.M.$ में वेग का सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
$S.H.M.$ में त्वरण का सूत्र $a = \omega^2 x$ है।
प्रश्न के अनुसार,वेग का परिमाण और त्वरण का परिमाण समान है: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
मान रखने पर: $\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3 \omega$.
$\sqrt{7} = 3 \omega$.
$\omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \ rad/s$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2 \pi}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{6 \pi}{\sqrt{7}} \ s$.

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ आवर्तकाल $T$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
$x = \frac{a}{2}$ पर वेग:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi a}{T}$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,आयाम $A = 0.2 \text{ m}$,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K_{max} = 16 \times 10^{-3} \text{ J}$।
माध्य स्थिति पर,वेग अधिकतम होता है,$v_{max} = A\omega$।
अधिकतम गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (A\omega)^2$ है।
मान रखने पर: $16 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (0.2 \times \omega)^2$।
$16 \times 10^{-3} = 0.1 \times 0.04 \times \omega^2$।
$16 \times 10^{-3} = 0.004 \times \omega^2$।
$\omega^2 = \frac{16 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} = 4$।
$\omega = 2 \text{ rad/s}$।
$S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
प्रारंभिक कला $\phi = 0^{\circ}$ दी गई है,इसलिए $Y = 0.2 \sin(2t)$ प्राप्त होता है।

(D) एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T = 6 \ s$,इसलिए $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,जिसे सरल करने पर $3 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9 = \pi^2 \frac{m}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g = \pi^2$,हम लिख सकते हैं $9 = g \frac{m}{k}$,या $\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$।
जब द्रव्यमान स्थिर होता है,तो स्प्रिंग में खिंचाव $x$ इस प्रकार होता है कि स्प्रिंग बल और गुरुत्वाकर्षण बल बराबर हो जाते हैं: $kx = mg$।
अतः,खिंचाव $x = \frac{mg}{k} = m \cdot \frac{g}{k}$।
$\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{g}{k} \cdot m = \frac{9}{g} \cdot g = 9 \ m$ प्राप्त होता है।

(A) $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $x$ के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{x/k}$ है।
जब द्रव्यमान को $Y \ g$ से बढ़ाया जाता है,तो नया द्रव्यमान $(x + Y)$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T' = 4T/3$ हो जाता है।
अतः,$T' = 2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = 4T/3$.
पहले समीकरण से $T$ का मान रखने पर: $2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = (4/3) \cdot 2\pi \sqrt{x/k}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + Y)/k = (16/9) \cdot (x/k)$.
दोनों पक्षों से $k$ को हटाने पर: $x + Y = (16/9)x$.
$Y$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Y = (16/9)x - x = (7/9)x$.
इसलिए,अनुपात $Y/x = 7/9$ है।

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
जब द्रव्यमान में $m_0$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m + m_0$ हो जाता है। नया आवर्तकाल $T'$ हमें $\frac{5T}{4}$ दिया गया है।
अतः,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} T$.
$T$ का मान रखने पर: $2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m + m_0}{k} = \frac{25}{16} \frac{m}{k}$.
दोनों पक्षों से $k$ को हटाने पर: $m + m_0 = \frac{25}{16} m$.
$m_0$ के लिए हल करने पर: $m_0 = \frac{25}{16} m - m = \frac{9}{16} m$.
इसलिए,अनुपात $\frac{m_0}{m} = \frac{9}{16}$ है।

(C) सरल लोलक की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $L$ लोलक की लंबाई है।
चूंकि लोलक एक ही स्थान पर हैं,इसलिए $g$ स्थिर रहेगा।
अतः,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,जिसका अर्थ है $f^2 \propto \frac{1}{L}$ या $L \propto \frac{1}{f^2}$।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 = 4 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = \frac{4}{3}$।
उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{f_2^2}{f_1^2} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $9: 16$ है।

(C) प्रारंभिक स्थिति: जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$,कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
$I \omega = (I + I) \omega_f \implies I \omega = 2I \omega_f \implies \omega_f = \frac{\omega}{2}$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\frac{\omega}{2})^2 = I \cdot \frac{\omega^2}{4} = \frac{I \omega^2}{4}$।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ के लिए: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = \frac{3}{4}mV^2 + \frac{1}{2}\phi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\phi > 0$ है,इसलिए $\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{3}{4}mV^2$ होगा।
अतः $v'^2 > \frac{3}{2}V^2$,जिसका अर्थ है कि $v' > \sqrt{\frac{3}{2}}V$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
स्थिति $1$: जब आपतित ऊर्जा $E_1 = 2\Phi$ हो,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = 2\Phi - \Phi = \Phi$ होती है।
चूँकि $K_1 = \frac{1}{2} m V_1^2$,इसलिए $\frac{1}{2} m V_1^2 = \Phi$,जिसका अर्थ है $V_1 = \sqrt{\frac{2\Phi}{m}}$।
स्थिति $2$: जब आपतित ऊर्जा $E_2 = 3\Phi$ हो,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$ होती है।
चूँकि $K_2 = \frac{1}{2} m V_2^2$,इसलिए $\frac{1}{2} m V_2^2 = 2\Phi$,जिसका अर्थ है $V_2 = \sqrt{\frac{4\Phi}{m}}$।
अनुपात $V_1: V_2$ लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{\frac{2\Phi}{m}}}{\sqrt{\frac{4\Phi}{m}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $V_1: V_2$ का मान $1: \sqrt{2}$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi_0$,जहाँ $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है,और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
$1$. प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रकाश-विद्युत प्रभाव को समझाने में विफल रहता है क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों के तात्कालिक उत्सर्जन या देहली आवृत्ति (threshold frequency) के अस्तित्व को स्पष्ट नहीं कर सकता है।
$2$. $K_{max}$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(
u)$ पर निर्भर करता है,न कि उसकी तीव्रता पर।
$3$. निरोधी विभव $(V_s)$ को $eV_s = K_{max} = h\nu - \Phi_0$ द्वारा दिया जाता है। अतः,यह आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन दोनों पर निर्भर करता है।
$4$. संतृप्त धारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है,जो आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,जैसे-जैसे तीव्रता बढ़ती है,संतृप्त धारा बढ़ती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,जहाँ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए: $e \left( \frac{V_1}{6} \right) = \frac{hc}{3\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$6 \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{6}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{5}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 5\lambda_1$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि देहली आवृत्ति $v$ है,इसलिए कार्य फलन $\Phi = hv$ है।
$4v$ आवृत्ति वाले आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = h(4v) = 4hv$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K_{max} = 4hv - hv = 3hv$.
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 3hv$.
$v_{max}$ के लिए हल करने पर:
$v_{max}^2 = \frac{6hv}{m}$.
$v_{max} = \sqrt{\frac{6hv}{m}}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (h/e)\nu - (\phi/e)$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें ढाल $m = h/e$ प्राप्त होती है।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि $h$ और $e$ दोनों सार्वभौमिक नियतांक हैं,निरोधी विभव बनाम आवृत्ति के ग्राफ की ढाल पदार्थ के कार्य फलन $\phi$ से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,दोनों पदार्थों के लिए ढाल समान है,अर्थात $h/e$।
अतः,ढाल का अनुपात $1: 1$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ और आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध निम्न है:
$eV_s = h\nu - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
$V_s$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल (slope) $m = \frac{h}{e}$ है।
दिए गए ग्राफ से,दो बिंदुओं $( \nu_1, V_1 )$ और $( \nu_2, V_2 )$ का उपयोग करके रेखा की ढाल की गणना की जा सकती है:
ढाल $= \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
ढाल के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{e} = \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
अतः,प्लांक नियतांक $h$ का मान है:
$h = \frac{e(V_2 - V_1)}{\nu_2 - \nu_1}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \Phi + K_{max}$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है और $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और वेग $V$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_1} = \Phi + \frac{1}{2}mV^2$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ और वेग $2V$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{1}{2}m(2V)^2 = \Phi + 2mV^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$। इसे $4$ से गुणा करने पर,$2mV^2 = \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(2)$ में रखने पर: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$।
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{4hc}{\lambda_1} - 3\Phi$।
$3\Phi = \frac{4hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{4\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right)$।
$\Phi = \frac{hc}{3 \lambda_1 \lambda_2} (4 \lambda_2 - \lambda_1)$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ का अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ संबंध $K_{max} = eV_s$ है,इसलिए $eV_s = h\nu - \phi$ या $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$ होता है।
प्रारंभ में,मान लीजिए आवृत्ति $\nu_1$ है और निरोधी विभव $V_{s1} = \frac{h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,$\nu_2 = 2\nu_1$,तो नया निरोधी विभव $V_{s2} = \frac{h(2\nu_1)}{e} - \frac{\phi}{e} = \frac{2h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ होता है।
$V_{s2}$ की $V_{s1}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi}{e}$।
चूंकि $\frac{\phi}{e} > 0$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $V_{s2} > 2V_{s1}$।
अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाएगा।

(D) पदार्थ की थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ है। प्रारंभिक आपतित आवृत्ति $\nu_1 = 3\nu_0$ है।
जब आपतित आवृत्ति को बदलकर $\nu_2 = \frac{1}{4} \nu_1 = \frac{1}{4} (3\nu_0) = 0.75 \nu_0$ कर दिया जाता है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव होने के लिए,आपतित आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति से अधिक या उसके बराबर $(\nu \ge \nu_0)$ होनी चाहिए।
चूंकि नई आवृत्ति $\nu_2 = 0.75 \nu_0$,थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ से कम है,इसलिए आपतित प्रकाश की तीव्रता चाहे कितनी भी हो,कोई भी फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा।
अतः,प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाएगी।

(A) $1$. आवृत्ति $(f)$: निरोधी विभव $(V_0)$ वह विभव है जिस पर फोटोकरंट शून्य हो जाता है। यह $eV_0 = hf - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है। अधिक ऋणात्मक निरोधी विभव आपतित विकिरण की उच्च आवृत्ति को इंगित करता है।
ग्राफ से,निरोधी विभव $V_{0a} = V_{0b} < V_{0c} < V_{0d}$ हैं।
इसलिए,$f_a = f_b < f_c < f_d$ है।
$2$. तीव्रता $(I)$: संतृप्ति धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। ग्राफ से,वक्र $c$ और $d$ के लिए संतृप्ति धारा समान है,जबकि $a$ और $b$ के लिए संतृप्ति धारा कम है।
अतः,$I_c = I_d$ और $I_a < I_b < I_c = I_d$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ व्युत्पन्न संबंधों के साथ सबसे अधिक सुसंगत है,विशेष रूप से $f_b = f_a$ (चूंकि $f_a = f_b$) और $I_c = I_d$।

(C) प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ धातु की सतह के कार्य फलन $(\Phi_0)$ से अधिक या उसके बराबर हो।
दी गई आपतित ऊर्जा $E = 2.41 \ eV$ है।
कार्य फलन इस प्रकार हैं:
$Cs$ के लिए: $\Phi_0 = 2.14 \ eV$
$K$ के लिए: $\Phi_0 = 2.30 \ eV$
$Na$ के लिए: $\Phi_0 = 2.75 \ eV$
$E$ की $\Phi_0$ के साथ तुलना करने पर:
$Cs$ के लिए: $2.41 \ eV > 2.14 \ eV$ (उत्सर्जन होगा)
$K$ के लिए: $2.41 \ eV > 2.30 \ eV$ (उत्सर्जन होगा)
$Na$ के लिए: $2.41 \ eV < 2.75 \ eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
अतः, $Cs$ और $K$ दोनों सतहें फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
स्थिति $1$: $E_1 = 4W$.
$K_1 = 4W - W = 3W$.
चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 3W$,जिससे $v_1 = \sqrt{\frac{6W}{m}}$.
स्थिति $2$: $E_2 = 6W$.
$K_2 = 6W - W = 5W$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5W$,जिससे $v_2 = \sqrt{\frac{10W}{m}}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{6W/m}}{\sqrt{10W/m}} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ होती है, जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E_1 = 3\phi$. अतः, $K_{max1} = 3\phi - \phi = 2\phi$.
हम जानते हैं कि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$ --- $(1)$.
दूसरी स्थिति के लिए: $E_2 = 7\phi$. अतः, $K_{max2} = 7\phi - \phi = 6\phi$.
इसलिए, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 6\phi$ --- $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{6\phi}{2\phi} = 3$.
अतः, $v_2 = v_1 \sqrt{3}$.
चूंकि $v_1 = 4 \times 10^6 \,m/s$ दिया गया है, इसलिए $v_2 = 4 \sqrt{3} \times 10^6 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(C) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $(I)$ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ है,जहाँ $R$ लूप का प्रतिरोध है।
लूप से प्रवाहित होने वाला आवेश $(q)$ $q = \int I dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $q = \int -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{1}{R} \int d\Phi$।
अतः,$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$,जहाँ $\Delta\Phi$ चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन है।
इस प्रकार,प्रेरित कुल आवेश चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन पर निर्भर करता है।

(B) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले एक प्रेरक में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
यदि हम चुंबकीय फ्लक्स को स्थापित करने के लिए किए गए कार्य पर विचार करें,तो यह चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है।
इकाई धारा $(I = 1 \ A)$ के लिए,संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L (1)^2 = \frac{L}{2}$ है।
इसलिए,$L = 2U$।
इसका अर्थ है कि स्व-प्रेरकत्व $L$ संख्यात्मक रूप से परिपथ में इकाई धारा के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को स्थापित करने में किए गए कार्य (या संचित ऊर्जा) के दोगुने के बराबर होता है।

(B) जब प्रेरक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ व्यक्तिगत प्रेरकत्वों के योग के बराबर होता है।
$L$ प्रेरकत्व वाले तीन प्रेरकों के श्रेणीक्रम में जुड़े होने पर,$L_{eq} = L + L + L = 3L$ होगा।
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ है।
$L_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} (3L) I^2 = \frac{3}{2} L I^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बल्ब की चमक परिपथ में बहने वाली धारा $I$ पर निर्भर करती है,जहाँ $I = \frac{V}{Z}$ है। $LR$ परिपथ का प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है। चमक कम होने के लिए,धारा $I$ को कम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z$ को बढ़ना चाहिए।
$1$. जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो पारगम्यता (permeability) बढ़ने के कारण स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,$X_L$ बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है,और धारा $I$ कम हो जाती है,जिससे चमक कम हो जाती है।
$2$. यदि आवृत्ति $f$ कम की जाती है,तो $X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$3$. यदि फेरों की संख्या $N$ कम की जाती है,तो $L$ कम होता है (क्योंकि $L \propto N^2$),$X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$4$. संधारित्र जोड़ने से यदि परिपथ अनुनाद (resonance) में आता है तो धारा बढ़ती है,कम नहीं होती।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) परिपथ में $0.7 \ H$ के दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं,जो फिर $0.85 \ H$ के प्रेरक के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
सबसे पहले,दो समांतर प्रेरकों का तुल्य प्रेरकत्व $(L_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{0.7} + \frac{1}{0.7} = \frac{2}{0.7}$
$L_p = \frac{0.7}{2} = 0.35 \ H$
अब,यह तुल्य प्रेरकत्व $0.85 \ H$ के प्रेरक के साथ श्रेणी क्रम में है।
कुल तुल्य प्रेरकत्व $(L_{eq})$ है:
$L_{eq} = L_p + 0.85 \ H$
$L_{eq} = 0.35 \ H + 0.85 \ H = 1.20 \ H$
अतः,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रेरकत्व $1.20 \ H$ है।

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण: परिपथ श्रेणी और समांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों (inductors) से बना है।
$2$. $2 H$ और $3 H$ के प्रेरक इनपुट नोड $A$ और केंद्रीय नोड के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} H$ होगा।
$3$. $4 H$ और $6 H$ के प्रेरक केंद्रीय नोड और आउटपुट नोड $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_2 = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} H$ होगा।
$4$. ये दोनों तुल्य प्रेरक $L_1$ और $L_2$ श्रेणी क्रम में हैं।
$5$. कुल तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2 = \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 H$ होगा।

(D) जब धारा अपने स्थिर मान $I_0$ तक पहुँच जाती है,तो प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्थिर धारा $I_0$ परिपथ के लिए ओम के नियम द्वारा निर्धारित होती है: $I_0 = \frac{V}{R}$।
चूँकि दोनों परिपथों में समान $e.m.f.$ $V = 10 \ V$ और समान प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$ है,इसलिए स्थिर धारा $I_0$ दोनों परिपथों के लिए समान है।
अतः,परिपथ $A$ और परिपथ $B$ में संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_A}{U_B} = \frac{\frac{1}{2} L_A I_0^2}{\frac{1}{2} L_B I_0^2} = \frac{L_A}{L_B}$ होगा।
दिया गया है कि $L_A = 10 \ H$ और $L_B = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 0.01 \ H$।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{10}{0.01} = 1000$ है।

(C) दिया गया है: प्रत्येक प्रेरक का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = 80 \ mH = 80 \times 10^{-3} \ H$ है।
चूंकि प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$।
$L_{eq} = \frac{L_1 \times L_2}{L_1 + L_2} = \frac{80 \times 80}{80 + 80} \ mH = \frac{6400}{160} \ mH = 40 \ mH = 40 \times 10^{-3} \ H$।
संयोजन से गुजरने वाली धारा $I = 2.1 \ A$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2.1)^2$।
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4.41$।
$U = 88.2 \times 10^{-3} \ J = 8.82 \times 10^{-2} \ J$।

(A) $L-R$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) अनुपात $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\tau$ समय को दर्शाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।
विमीय विश्लेषण: प्रेरकत्व $L$ की विमा $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ है और प्रतिरोध $R$ की विमा $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
इसलिए,$\frac{L}{R}$ की विमा $\frac{[M L^2 T^{-2} A^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} A^{-2}]} = [T]$ होती है।
अतः,$\frac{L}{R}$ का $SI$ मात्रक सेकंड है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स,$\phi_1 = 4 \times 10^{-4} \ Wb$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स,$\phi_2 = \phi_1$ का $30 \% = 0.30 \times 4 \times 10^{-4} \ Wb = 1.2 \times 10^{-4} \ Wb$.
प्रेरित e.m.f.,$|e| = 0.56 \ mV = 0.56 \times 10^{-3} \ V$.
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |1.2 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4}| = 2.8 \times 10^{-4} \ Wb$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0.56 \times 10^{-3} = \frac{2.8 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{2.8 \times 10^{-4}}{0.56 \times 10^{-3}} = \frac{2.8}{5.6} = 0.5 \ s$.
अतः,$t$ का मान $0.5 \ s$ है।

(B) लेंज का नियम बताता है कि प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
इस विरोध का अर्थ है कि किसी चुंबक को कुंडली के पास या दूर ले जाने के लिए चुंबकीय बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
किया गया यह यांत्रिक कार्य कुंडली में विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,लेंज का नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित e.m.f. का सूत्र $\varepsilon = B l v \sin \theta$ है,जहाँ $l$ वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत चालक की लंबाई है।
प्रारंभिक स्थिति में,कुंडली की लंबाई ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $L$ लंबाई की ऊर्ध्वाधर भुजा वेग $v$ (जो क्षैतिज है) के लंबवत है। अतः,प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_1 = B L v$ है।
कुंडली को $90^{\circ}$ घुमाने के बाद,लंबाई $L$ क्षैतिज (वेग $v$ के समानांतर) हो जाती है। जो भुजा पहले क्षैतिज थी (चौड़ाई $W$),वह अब ऊर्ध्वाधर हो जाती है। अब प्रेरित e.m.f. वेग के लंबवत भुजा द्वारा निर्धारित होता है,जो $W$ लंबाई की भुजा है। अतः,$\varepsilon_2 = B W v$ है।
चूंकि एक आयताकार कुंडली की लंबाई $L$ आमतौर पर उसकी चौड़ाई $W$ से अधिक होती है $(L > W)$,इसलिए नया प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_2$ प्रारंभिक प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_1$ से कम होगा।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में घूर्णन करती कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\omega$ कोणीय वेग है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\epsilon = -\frac{d}{dt} [BA \cos(\omega t)] = BA\omega \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\epsilon = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$।
फ्लक्स की कला $(\omega t)$ और प्रेरित e.m.f. की कला $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ की तुलना करने पर,कलांतर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. जैसे-जैसे रिंग तार की ओर गिरती है, दूरी $r$ कम होती जाती है, जिसका अर्थ है कि रिंग से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ बढ़ता है।
$3$. लेंज के नियम के अनुसार, रिंग में प्रेरित धारा इस चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करेगी।
$4$. तार से चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कागज के तल के अंदर की ओर इंगित करती हैं (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके)। चूंकि तल के अंदर फ्लक्स बढ़ रहा है, इसलिए प्रेरित धारा को इस परिवर्तन का विरोध करने के लिए तल के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाना होगा।
$5$. दाएं हाथ के नियम के अनुसार, जो धारा तल के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है, उसे वामावर्त (anticlockwise) दिशा में होना चाहिए।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon$,चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
दिया गया है $\phi = 50t^2 + 4$,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
अतः,प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|\varepsilon| = 100t$ है।
समय $t = 2 \ s$ पर,प्रेरित $EMF$ $|\varepsilon| = 100(2) = 200 \ V$ होगा।
ओम के नियम के अनुसार कुंडली में धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ है।
प्रतिरोध $R = 400 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{200}{400} = 0.5 \ A$ होगा।

(B) लेंज़ के नियम के अनुसार,जब एक छड़ चुंबक तांबे की रिंग से होकर गिरता है,तो रिंग से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण रिंग में एक प्रेरित $EMF$ और भंवर धारा (eddy current) उत्पन्न होती है।
यह प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करता है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
जैसे ही चुंबक रिंग में प्रवेश करता है,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र चुंबक पर ऊपर की ओर प्रतिकर्षण बल लगाता है।
जैसे ही चुंबक रिंग से बाहर निकलता है,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र चुंबक पर ऊपर की ओर आकर्षण बल लगाता है।
दोनों ही स्थितियों में,प्रेरित चुंबकीय बल चुंबक की गति की विपरीत दिशा (ऊपर की ओर) में कार्य करता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर कार्य करता है।
इसलिए,चुंबक का शुद्ध त्वरण $a = g - a_{induced}$ होता है,जो गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ से कम है।

(A) लेंज के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा उसके उत्पन्न होने के कारण का विरोध करेगी। यहाँ,चुंबक का उत्तरी ध्रुव लूप से दूर जा रहा है,इसलिए लूप चुंबक के सामने वाले फलक पर दक्षिणी ध्रुव बनाकर उसे आकर्षित करने का प्रयास करेगा।
इसके लिए लूप में (चुंबक की ओर से देखने पर) दक्षिणावर्त (clockwise) धारा की आवश्यकता होगी।
इस दक्षिणावर्त धारा के पथ का अनुसरण करते हुए,आवेश लूप के माध्यम से प्लेट 'b' से प्लेट 'a' की ओर प्रवाहित होता है।
परिणामस्वरूप,प्लेट 'a' पर धनात्मक आवेश और प्लेट 'b' पर ऋणात्मक आवेश जमा हो जाता है।
इसलिए,अतिरिक्त धनात्मक आवेश प्लेट 'a' पर आएगा।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$n$ फेरों वाली कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -n \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ समय में फ्लक्स में $\phi_1$ से $\phi_2$ तक के परिवर्तन के लिए,औसत प्रेरित emf $|e| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = \frac{n(\phi_1 - \phi_2)}{t}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R/4 = \frac{5R}{4}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ है।
मान रखने पर,$I = \frac{n(\phi_1 - \phi_2) / t}{5R / 4} = \frac{4n(\phi_1 - \phi_2)}{5Rt}$ प्राप्त होता है।

(B) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -n \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{n}{R} \frac{d\phi}{dt}$ है।
कुंडली से प्रवाहित होने वाला आवेश $q$,समय के साथ धारा का समाकलन है: $q = \int I dt = \int -\frac{n}{R} \frac{d\phi}{dt} dt = -\frac{n}{R} \int d\phi$।
चूंकि कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र से हटा दिया जाता है,फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_{final} - \phi_{initial} = 0 - BA = -BA$ है।
इसे आवेश के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $q = -\frac{n}{R} (-BA) = \frac{nBA}{R}$।
चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$ के लिए हल करने पर,हमें $B = \frac{qR}{nA}$ प्राप्त होता है।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\vec{B} = B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$।
वर्ग $x-y$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x-y$ तल के लंबवत यानी $z$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = L^2 \hat{k}$।
चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\Phi = [B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\Phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 3 \hat{j} \cdot \hat{k} + 4 \hat{k} \cdot \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$\Phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 4(1)) = 4 B_0 L^2$।
अतः,फ्लक्स का परिमाण $4 B_0 L^2$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$n$ फेरों वाली कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -n \frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ में फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$ के लिए,औसत प्रेरित emf $|e| = n \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{t} = n \frac{|\Phi_1 - \Phi_2|}{t}$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ होती है।
मान रखने पर,$I = \frac{n|\Phi_1 - \Phi_2| / t}{3R / 2} = \frac{2n|\Phi_1 - \Phi_2|}{3Rt}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) जब एक छड़ चुंबक को एक पूर्ण चालक रिंग के माध्यम से गिराया जाता है,तो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण रिंग में प्रेरित धारा प्रवाहित होती है,जो लेंज के नियम के अनुसार एक प्रतिकर्षण बल उत्पन्न करती है जो चुंबक की गति का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप त्वरण $g$ से कम होता है।
हालाँकि,इस मामले में,तांबे की रिंग में एक कट है,जिसका अर्थ है कि यह एक पूर्ण लूप नहीं बनाती है। इसलिए,रिंग के माध्यम से कोई प्रेरित धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है।
चूंकि कोई प्रेरित धारा नहीं है,इसलिए चुंबक पर उसकी गति का विरोध करने के लिए कोई चुंबकीय बल (प्रतिकर्षण या आकर्षण) कार्य नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,गिरते हुए चुंबक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
इस प्रकार,गिरते हुए चुंबक का त्वरण $g$ के बराबर रहता है।

(C) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times 10^{-2} \, T$
क्षेत्रफल $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$
फेरों की संख्या $N = 50$
प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = 0.1 \, V$
कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot A$ होता है।
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = B \cdot A = (4 \times 10^{-2} \, T) \times (10^{-2} \, m^2) = 4 \times 10^{-4} \, Wb$.
अंतिम फ्लक्स $\phi_f = 0$ (क्योंकि इसे क्षेत्र से हटा दिया जाता है)।
फैराडे के नियम के अनुसार औसत प्रेरित e.m.f. का परिमाण:
$|\varepsilon| = N \cdot \frac{|\Delta \phi|}{t} = N \cdot \frac{|\phi_f - \phi_i|}{t}$
$0.1 = 50 \times \frac{|0 - 4 \times 10^{-4}|}{t}$
$0.1 = \frac{50 \times 4 \times 10^{-4}}{t}$
$0.1 = \frac{200 \times 10^{-4}}{t} = \frac{0.02}{t}$
$t = \frac{0.02}{0.1} = 0.2 \, s$.
अतः, '$t$' का मान $0.2 \, s$ है।

(C) लेंज के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा उससे जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है।
जब समान दिशा में धारा ले जाने वाले दो समाक्षीय लूप एक-दूसरे के करीब आते हैं,तो दूसरे लूप के चुंबकीय क्षेत्र के कारण प्रत्येक लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
इस चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रत्येक लूप में मूल धारा की विपरीत दिशा में एक प्रेरित धारा उत्पन्न होती है।
चूंकि मूल धारा दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए प्रेरित धारा वामावर्त दिशा में होगी।
अतः,प्रत्येक लूप में कुल धारा कम हो जाती है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$N$ फेरों वाली कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ समय में फ्लक्स के $\phi_1$ से $\phi_2$ तक परिवर्तन के लिए,औसत प्रेरित emf का परिमाण $|e| = N \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध कुंडली और गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध का योग है: $R_{total} = R + 6R = 7R$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{N|\phi_2 - \phi_1|}{7Rt}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 3 \,m^2$, प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0.05 \,Wb/m^2$, समय $dt = 10 \,s$.
कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखा गया है, इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ और $\cos \theta = 1$.
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = B_1 A = 0.05 \times 3 = 0.15 \,Wb$.
क्षेत्र अपने मूल मान के $20 \%$ तक कम हो जाता है, इसलिए $B_2 = 0.20 \times 0.05 = 0.01 \,Wb/m^2$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स $\phi_2 = B_2 A = 0.01 \times 3 = 0.03 \,Wb$.
प्रेरित e.m.f. फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{\phi_2 - \phi_1}{dt}|$.
$|e| = |\frac{0.03 - 0.15}{10}| = |\frac{-0.12}{10}| = 0.012 \,V$.
मिलीवोल्ट में बदलने पर: $0.012 \,V = 12 \,mV$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से गति करने वाले $L$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिक e.m.f. $\varepsilon = BLv$ द्वारा दिया जाता है।
लोलक के लिए,अधिकतम वेग $v_{max}$ दोलन के सबसे निचले बिंदु पर होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,अधिकतम कोण $\theta$ पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.
इसे सरल करने पर,$v_{max}^2 = 2gL(1 - \cos \theta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta / 2)$ का उपयोग करने पर,हमें $v_{max}^2 = 2gL(2 \sin^2(\theta / 2)) = 4gL \sin^2(\theta / 2)$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$v_{max} = 2\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)$.
e.m.f. के सूत्र में $v_{max}$ का मान रखने पर: $\varepsilon_{max} = BL(2\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)) = 2BL\sqrt{gL} \sin(\theta / 2)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) जब लूप चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $V$ वेग के साथ नीचे की ओर गति करता है,तो चुंबकीय क्षेत्र के भीतर $\ell$ लंबाई की क्षैतिज भुजा पर एक प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = B \ell V$ द्वारा दिया जाता है।
लूप में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell V}{R}$ है।
लूप की क्षैतिज भुजा पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = I \ell B = \left( \frac{B \ell V}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 V}{R}$ है।
लूप के लिए एक स्थिर वेग $V$ के साथ स्वतंत्र रूप से गिरने के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को ऊपर की ओर कार्य करने वाले चुंबकीय बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए:
$mg = F_m$
$mg = \frac{B^2 \ell^2 V}{R}$
$V$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{mg R}{B^2 \ell^2}$.

(B) $I$ धारा वाली $r_1$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_1 > r_2$,बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
$r_2$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\phi = M I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) अन्योन्य प्रेरण के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है:
$|\varepsilon| = M \cdot \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 2 \text{ H}$
प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = 2 \text{ kV} = 2000 \text{ V}$
धारा में परिवर्तन $\Delta I = 6 \text{ A} - 3 \text{ A} = 3 \text{ A}$
सूत्र में मान रखने पर:
$2000 = 2 \cdot \left( \frac{3}{\Delta t} \right)$
$2000 = \frac{6}{\Delta t}$
$\Delta t = \frac{6}{2000} \text{ s}$
$\Delta t = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$
अतः,आवश्यक समय $3 \times 10^{-3} \text{ s}$ है।

(B) एक इंडक्टर में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का मान सूत्र $e = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L$ इंडक्टर का सेल्फ-इंडक्टेंस है,जो कि एक स्थिरांक है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रेरित e.m.f. धारा में परिवर्तन का विरोध करता है (लेंज का नियम)।
चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए $e$ और $\frac{dI}{dt}$ के बीच का संबंध $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $m = -L$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढलान (slope) ऋणात्मक है।
दिए गए ग्राफ़ को देखने पर,ग्राफ़ $B$ एक सीधी रेखा दिखाता है जो मूल बिंदु से शुरू होती है और जैसे-जैसे $\frac{dI}{dt}$ बढ़ता है,यह ऋणात्मक $e$ क्षेत्र में जाती है,जो $e = -L \frac{dI}{dt}$ संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) एक लंबी परिनालिका का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\ell$ लंबाई है।
मान लीजिए $r$ परिनालिका की त्रिज्या है,तो $A = \pi r^2$. अतः,$L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}$.
तार की कुल लंबाई $W$ एक फेरे की परिधि और फेरों की संख्या का गुणनफल है: $W = N(2 \pi r)$.
इससे,$N = \frac{W}{2 \pi r}$.
$N$ का मान प्रेरकत्व के सूत्र में रखने पर: $L = \frac{\mu_0 (W / 2 \pi r)^2 \pi r^2}{\ell} = \frac{\mu_0 W^2 \pi r^2}{\ell (4 \pi^2 r^2)} = \frac{\mu_0 W^2}{4 \pi \ell}$.
$W$ के लिए हल करने पर: $W^2 = \frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}$,जिससे प्राप्त होता है $W = \left[\frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(A) कुंडली $Q$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $P$ में प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) है।
दिया गया है $\varepsilon_P = 15 \ mV = 15 \times 10^{-3} \ V$ और $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$15 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.5 \times 10^{-3} \ H = 1.5 \ mH$.
जब कुंडली $P$ से धारा $I_P$ प्रवाहित होती है,तो कुंडली $Q$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi_Q = M I_P$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_P = 1.8 \ A$ और $M = 1.5 \ mH$.
$\phi_Q = 1.5 \ mH \times 1.8 \ A = 2.7 \ mWb$.

(C) सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ कुंडली की लंबाई है।
यह दिया गया है कि सभी रैखिक आयामों को $k = 3$ के गुणक से बढ़ाया जाता है:
$1$. लंबाई $l$,$l' = kl = 3l$ हो जाती है।
$2$. चूंकि अनुप्रस्थ काट आयताकार है,यदि इसकी भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,तो क्षेत्रफल $A = ab$ है। जब आयामों को $k$ से स्केल किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (ka)(kb) = k^2 A = 3^2 A = 9A$ हो जाता है।
$3$. प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ स्थिर रहती है।
इन मानों को नए प्रेरकत्व $L'$ के सूत्र में रखने पर:
$L' = \mu_0 n^2 A' l' = \mu_0 n^2 (k^2 A) (kl) = k^3 (\mu_0 n^2 A l) = k^3 L$।
$k = 3$ रखने पर:
$L' = 3^3 L = 27L$।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $27$ के गुणक से बढ़ जाता है।

(B) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ संबंध $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण से,स्व-प्रेरकत्व $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए ग्राफ में,$\phi$ को $y$-अक्ष पर और $I$ को $x$-अक्ष पर प्लॉट किया गया है।
इसलिए,$\phi-I$ ग्राफ का ढाल (slope) इंडक्टर के स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाता है।
ग्राफ का ढाल $\tan(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा धारा अक्ष ($I$-अक्ष) के साथ बनाती है।
जैसे-जैसे कोण $\theta$ बढ़ता है,$\tan(\theta)$ का मान बढ़ता है।
ग्राफ को देखने पर,इंडक्टर $P$ के लिए रेखा $I$-अक्ष के साथ सबसे बड़ा कोण बनाती है।
अतः,इंडक्टर $P$ का ढाल सबसे अधिक है,जिसका अर्थ है कि इसका स्व-प्रेरकत्व $L$ सबसे अधिक है।

(D) स्व-प्रेरकत्व $(L)$ के कारण कुंडली में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का सूत्र है: $e = -L \frac{di}{dt}$.
यहाँ,धारा में परिवर्तन $\Delta i = i_f - i_i = (-5 \ A) - (5 \ A) = -10 \ A$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 0.5 \ s$ है।
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = 2 \ V$ है।
परिमाण सूत्र $|e| = L \left| \frac{\Delta i}{\Delta t} \right|$ का उपयोग करने पर:
$2 = L \left( \frac{10 \ A}{0.5 \ s} \right)$.
$2 = L \times 20$.
$L = \frac{2}{20} \ H = 0.1 \ H$.
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर: $0.1 \ H = 100 \ mH$.