MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब दो डिस्क को जोड़ा जाता है तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ है।
जब डिस्क एक साथ घूमती हैं,तो वे $I = I_1 + I_2$ के संयुक्त जड़त्व आघूर्ण और $\omega$ के सामान्य कोणीय वेग के साथ एक एकल निकाय बनाती हैं।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I_1 + I_2) \omega$ है।
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर,हमें $\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$ प्राप्त होता है।
निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I$ और $\omega$ के मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$.
$K = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(A) मान लीजिए प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1$ है और अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 0.75 I_1 = \frac{3}{4} I_1$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है,अतः $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
इस प्रकार,$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2} \omega_1 = \frac{I_1}{0.75 I_1} \omega_1 = \frac{4}{3} \omega_1$।
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{L^2}{2 I_1}$ है।
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{L^2}{2 I_2} = \frac{L^2}{2 (0.75 I_1)} = \frac{L^2}{1.5 I_1} = \frac{4}{3} K_1$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = (\frac{4}{3} - 1) \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 \approx 33.3 \%$ है।

(A) एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $L_1 = L$,$K_1 = K$,$\omega_1 = \omega$,$I_1 = I$.
नई स्थिति: आवृत्ति $f_2 = 3f_1$,जिसका अर्थ है $\omega_2 = 3\omega_1 = 3\omega$. गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{3} K_1 = \frac{K}{3}$.
$K = \frac{L^2}{2I}$ का उपयोग करते हुए,$I = \frac{L^2}{2K}$ प्राप्त होता है।
नई स्थिति के लिए: $I_2 = \frac{L_2^2}{2K_2}$.
साथ ही,$L_2 = I_2 \omega_2 = I_2 (3\omega)$.
$K_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ से,$\frac{K}{3} = \frac{1}{2} I_2 (3\omega)^2 = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
चूँकि $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,हम यह मान प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} I \omega^2) = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
$I_2$ के लिए हल करने पर: $I_2 = \frac{I}{27}$.
अब,नया कोणीय संवेग $L_2 = I_2 \omega_2 = (\frac{I}{27}) (3\omega) = \frac{I\omega}{9} = \frac{L}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो गोले $S_1$ और $S_2$ हैं। घूर्णन अक्ष $S_1$ के केंद्र से गुजरती है और छड़ के लंबवत है।
गोले $S_1$ के लिए,उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ है।
गोले $S_2$ के लिए,घूर्णन अक्ष से उसके केंद्र की दूरी $d = 4R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2 = \frac{2}{5} MR^2 + 16MR^2 = \frac{82}{5} MR^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{82}{5} MR^2 = \frac{84}{5} MR^2$ होगा।

(C) डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क समान पदार्थ और समान मोटाई $t$ की बनी हैं,उनका द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times (\pi R^2 t)$ होगा।
$I$ के सूत्र में $M$ का मान रखने पर,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$\pi$ और $t$ दोनों डिस्क के लिए स्थिर हैं,इसलिए $I \propto R^4$ होगा।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^4$ होगा।
यहाँ $R_A = R$ और $R_B = 3R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R}{3R} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1: 81$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
गोले $1$ के लिए,अक्ष $YY^1$ उसके केंद्र (व्यास) से होकर गुजरता है। अतः,$I_1 = \frac{2}{5} mr^2$ है।
गोले $2$ और $3$ के लिए,अक्ष $YY^1$ उन्हें स्पर्श करता है। इन गोलों के केंद्र की अक्ष $YY^1$ से दूरी $r$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + md^2$,जहाँ $d = r$ है।
अतः,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 = \frac{16}{5} mr^2$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
लूप $P$ का द्रव्यमान $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ है और इसकी त्रिज्या $R_P = r$ है।
अतः,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
लूप $Q$ का द्रव्यमान $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ है और इसकी त्रिज्या $R_Q = nr$ है।
अतः,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
दिया गया है कि $I_Q = 4 I_P$,इसलिए $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
दोनों पक्षों से $2\pi \lambda r^3$ को हटाने पर,हमें $n^3 = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(B) $1$. $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली समान छड़ के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
$2$. जब छड़ को $R$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2\pi R = L$,इसलिए $R = \frac{L}{2\pi}$।
$3$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$4$. $I_1$ के व्यंजक में $R = \frac{L}{2\pi}$ रखने पर: $I_1 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
$5$. दिया गया है कि $I_1 = xI$,इसलिए $\frac{ML^2}{8\pi^2} = x(\frac{ML^2}{12})$।
$6$. $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{12}{8\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{s} = \frac{2}{5}MR^{2}$ होता है।
पतली दीवार वाले खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{h} = \frac{2}{3}MR^{2}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ समान है,और गुणांकों की तुलना करने पर $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_{h} > I_{s}$ सही उत्तर है।

(C) $1$. तार की लंबाई $L$ है। चूंकि इसे अर्धवृत्ताकार वलय में मोड़ा गया है,इसलिए अर्धवृत्त की चाप की लंबाई $\pi R = L$ होगी,जहाँ $R$ त्रिज्या है। अतः,$R = \frac{L}{\pi}$।
$2$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,उसके सिरों से गुजरने वाली अक्ष (व्यास) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$3$. अब,$R = \frac{L}{\pi}$ का मान सूत्र में रखने पर,$I = \frac{1}{2} M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{M L^2}{2 \pi^2}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $M$ द्रव्यमान के चार कण हैं,इसलिए तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 4 \times M \times r^2 = 4 \times M \times (\frac{L}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times M \times \frac{L^2}{2} = 2ML^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = M_{total} k^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M_{total} = 4M$ है।
अतः,$2ML^2 = (4M)k^2$.
$k^2 = \frac{2ML^2}{4M} = \frac{L^2}{2}$.
$k = \frac{L}{\sqrt{2}}$.

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + mR^2$ होता है।
यहाँ $I_{cm} = I = \frac{2}{5} mR^2$ रखने पर:
$I_{tangent} = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5} mR^2$.
चूंकि $I = \frac{2}{5} mR^2$,हम लिख सकते हैं $mR^2 = \frac{5}{2} I$.
इस मान को $I_{tangent}$ के व्यंजक में रखने पर:
$I_{tangent} = \frac{7}{5} \times (\frac{5}{2} I) = \frac{7}{2} I = 3.5 I$.

(B) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ और उसकी लंबाई $L$ है। छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या की वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $2\pi R = L$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi}$।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$I_2$ के व्यंजक में $R = \frac{L}{2\pi}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
अब,अनुपात $I_1 / I_2 = \frac{ML^2/12}{ML^2/8\pi^2} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
माना बड़े गोले की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है।
जब इसे $r$ त्रिज्या के $27$ छोटे गोलों में ढाला जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$।
इसका अर्थ है $R^3 = 27r^3$,इसलिए $R = 3r$ या $r = \frac{R}{3}$।
प्रत्येक छोटे गोले का द्रव्यमान $m = \frac{M}{27}$ होगा।
प्रत्येक छोटे गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5}mr^2$ है।
$m = \frac{M}{27}$ और $r = \frac{R}{3}$ रखने पर:
$I' = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R^2}{9} \right) = \frac{1}{243} \left( \frac{2}{5}MR^2 \right)$।
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $I' = \frac{I}{243}$।

(A) $1$. तार का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है।
$2$. वलय की परिधि $2 \pi R = L$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{L}{2 \pi}$ है।
$3$. वलय के केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
$4$. लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$5$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diameter} + MR^2$ होगा।
$6$. $I = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
$7$. $M = \lambda L$ और $R = \frac{L}{2 \pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{3}{2} \lambda L \cdot \frac{L^2}{4 \pi^2} = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(C) $1$. डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
$2$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क के रिम पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली (तल के लंबवत) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
$3$. मान लीजिए कि चार कण $(R, 0), (0, R), (-R, 0), (0, -R)$ पर स्थित हैं। मान लीजिए कि अक्ष $(R, 0)$ पर स्थित कण से गुजरती है।
$4$. अक्ष से चार कणों की दूरियाँ: $r_1 = 0$,$r_2 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$,$r_3 = \sqrt{(2R)^2 + 0} = 2R$,$r_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ हैं।
$5$. कणों का जड़त्व आघूर्ण $I_{particles} = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2) = m(0 + 2R^2 + 4R^2 + 2R^2) = 8mR^2$ है।
$6$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{disc} + I_{particles} = \frac{3}{2}MR^2 + 8mR^2 = (\frac{M}{2} + 8m)R^2$ है।

(D) द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः एक पतली एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और दी गई अक्ष के बीच की दूरी है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $L/2$ की दूरी पर होता है।
दी गई अक्ष उसी सिरे से $L/4$ की दूरी पर है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र और अक्ष के बीच की दूरी $d = |L/2 - L/4| = L/4$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय में इन मानों को रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) $h$ ऊँचाई वाले चिकने नत समतल पर फिसलने वाले पिंड के लिए,स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$,जिससे $V = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
उसी नत समतल पर लुढ़कने वाली वलय के लिए,स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ और लुढ़कने की स्थिति $v = r\omega$ है,इसलिए $\omega = v/r$.
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
अतः,$v^2 = gh$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{gh}$.
दोनों वेगों की तुलना करने पर: $v = \sqrt{gh} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{2}} = \frac{V}{\sqrt{2}}$.

(B) बिना फिसले आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ दिया गया है,इसलिए:
$a = \frac{5}{7} g (0.5) = \frac{5}{7} g \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5g}{14}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए, कुल गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $v = r\omega$, हमारे पास है $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
जब गोला रैंप पर ऊपर जाता है, तो यह गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ में परिवर्तित हो जाती है, जहाँ $h = d \sin \theta$ और $d$ रैंप पर तय की गई दूरी है।
$K = U$ रखने पर: $\frac{7}{10}mv^2 = mgd \sin \theta$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{7v^2}{10g \sin \theta}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v = 2 \,m/s$, $g = 10 \,m/s^2$, $\theta = 30^{\circ}$:
$d = \frac{7 \times (2)^2}{10 \times 10 \times (1/2)} = \frac{7 \times 4}{100 \times 0.5} = \frac{28}{50} = 0.56 \,m$.

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
शीर्ष पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
शीर्ष पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = 0$ है (क्योंकि यह विराम अवस्था से शुरू होता है)।
निचले सिरे पर,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है।
चूँकि यह बिना फिसले लुढ़कता है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = v/r$।
इन मानों को गतिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$mgh = \frac{7}{10}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{10gh}{7}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \left(\frac{10gh}{7}\right)^{1/2}$।

(A) माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है और अंतिम कोणीय वेग $\omega$ है। घूर्णी गति का समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ है।
पहले भाग के लिए,$24$ चक्कर के बाद वेग $\frac{\omega_0}{3}$ हो जाता है।
$(\frac{\omega_0}{3})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(24 \times 2\pi) \implies \frac{\omega_0^2}{9} - \omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies -\frac{8}{9}\omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{\omega_0^2}{54\pi}$.
अब,$\frac{\omega_0}{3}$ से $0$ (विराम) तक की गति के लिए,माना अतिरिक्त चक्कर $\theta_2$ हैं।
$0^2 = (\frac{\omega_0}{3})^2 + 2\alpha(\theta_2 \times 2\pi) \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{9} + 2(-\frac{\omega_0^2}{54\pi})(2\pi\theta_2)$.
$0 = \frac{\omega_0^2}{9} - \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \frac{\omega_0^2}{9} = \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \theta_2 = \frac{13.5}{9} = 3$.
अतः,पंखा $3$ और चक्कर लगाएगा।

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $mgh = K_{trans} + K_{rot}$.
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ है।
कुल ऊर्जा $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2}{3}mgh$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में यह मान रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mgh) = \frac{mgh}{3}$।

(D) विरामावस्था से निरंतर कोणीय त्वरण $\alpha$ के साथ गति करने वाली वस्तु के लिए कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $2 \ s$ के लिए $(t_1 = 2 \ s)$: $\theta_1 = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2\alpha$।
कुल $4 \ s$ समय के लिए $(t_2 = 2 + 2 = 4 \ s)$: $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8\alpha$।
अगले $2 \ s$ में तय किया गया कोण $\theta_2 = \theta_{total} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ है।
अतः,अनुपात $\theta_1 : \theta_2 = 2\alpha : 6\alpha = 1 : 3$ है।

(B) कोणीय वेग $\omega$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ के साथ घूम रहे पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग $L = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$K = \frac{1}{2} I \left( \frac{L}{I} \right)^2 = \frac{L^2}{2I}$.
दिया गया है कि $K = x$ और $L = y$,इसलिए $x = \frac{y^2}{2I}$.
जड़त्व आघूर्ण $I$ के लिए हल करने पर,हमें $I = \frac{y^2}{2x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} mR^2$ है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} mR^2$ है।
मान लीजिए गोले की कोणीय गति $\omega$ है। तो बेलन की कोणीय गति $2\omega$ होगी।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
गोले की गतिज ऊर्जा: $K_s = \frac{1}{2} I_s \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} mR^2 \omega^2$.
बेलन की गतिज ऊर्जा: $K_c = \frac{1}{2} I_c (2\omega)^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (4\omega^2) = mR^2 \omega^2$.
गोले और बेलन की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{5} mR^2 \omega^2}{mR^2 \omega^2} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,अनुपात $1: 5$ है।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस बेलन के लिए उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} M R^2$ है।
माना बेलन की कोणीय चाल $\omega_c = \omega$ है।
अतः,$K_c = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} M R^2$ है।
गोले की कोणीय चाल $\omega_s = \frac{\omega}{2}$ है।
अतः,$K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{1}{5} M R^2 (\frac{\omega^2}{4}) = \frac{1}{20} M R^2 \omega^2$ है।
गोले और बेलन की घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{20} M R^2 \omega^2}{\frac{1}{4} M R^2 \omega^2} = \frac{1}{20} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ होगा।

(A) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{v} = \hat{i} [(-4)(6) - (1)(-6)] - \hat{j} [(3)(6) - (1)(5)] + \hat{k} [(3)(-6) - (-4)(5)]$
$\vec{v} = \hat{i} [-24 + 6] - \hat{j} [18 - 5] + \hat{k} [-18 + 20]$
$\vec{v} = -18 \hat{i} - 13 \hat{j} + 2 \hat{k}$

(D) छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूमती है। इस अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ML^2$ है।
सबसे निचले बिंदु (अधिकतम कोणीय चाल) पर छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2)\omega^2 = \frac{1}{6}ML^2\omega^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,छड़ का द्रव्यमान केंद्र $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है। छड़ द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $U = Mgh$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,नीचे घूर्णन गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{6}ML^2\omega^2 = Mgh$.
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{L^2\omega^2}{6g}$.

(A) मान लीजिए डिस्क की कोणीय गति $\omega$ है और बॉब का रैखिक वेग $v$ है। चूंकि कोई फिसलन नहीं है,$v = R\omega$ होगा।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: बॉब की स्थितिज ऊर्जा में कमी = बॉब की गतिज ऊर्जा में वृद्धि + डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है।
समीकरण में $I$ और $v = R\omega$ का मान रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}m(R\omega)^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega^2$
$mgh = \frac{3}{4}mR^2\omega^2$
$gh = \frac{3}{4}R^2\omega^2$
$\omega^2 = \frac{4gh}{3R^2}$
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$.

(C) दिया गया कोणीय वेग $\omega(t) = \alpha - \beta t$ है।
समय $t = 0$ पर,$\omega = \alpha$ है।
पिंड तब विराम अवस्था में आता है जब $\omega(t) = 0$ हो।
$\alpha - \beta t = 0 \implies t = \frac{\alpha}{\beta}$.
कोणीय विस्थापन $\theta$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
$\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2$.
$\theta = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{1}{2} \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\alpha^2}{2 \beta}$.

(C) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{I\omega}{\frac{1}{2} I \omega^2} = \frac{2}{\omega}$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{\pi}{22}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = 2 \times 7 = 14 \ rad/s$.
अतः,गोले का कोणीय वेग $14 \ rad/s$ है।

(A) छड़ एक सिरे पर कीलकित है। कीलक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो कीलक से $L/2$ की दूरी पर है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण कीलक पर लगने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = mg \cdot (L/2) \sin \theta$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$mg \frac{L}{2} \sin \theta = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{mg(L/2) \sin \theta}{mL^2/3} = \frac{mgL/2}{mL^2/3} \sin \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$.
अतः,कोणीय त्वरण $\frac{3g \sin \theta}{2L}$ है।

(B) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ और $\vec{F} = (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$ दिया गया है:
$\vec{\tau} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = 4 \hat{i} \times (5 \hat{i}) - 4 \hat{i} \times (10 \hat{j}) - 3 \hat{j} \times (5 \hat{i}) + 3 \hat{j} \times (10 \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,और हम जानते हैं कि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 - 40(\hat{k}) - 15(-\hat{k}) + 0$
$\vec{\tau} = -40 \hat{k} + 15 \hat{k}$
$\vec{\tau} = -25 \hat{k} \text{ N m}$

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 25 \ kg$,त्रिज्या $R = 0.2 \ m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = 240 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad/s$,समय $t = 20 \ s$.
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 8\pi}{20} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
मंदक बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.5 \times 0.4\pi = 0.2\pi \ N \cdot m$.
चूंकि बल आघूर्ण स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है,$\tau = F \times R$,इसलिए $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(C) टॉर्क $\tau$,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ से $\tau = I\alpha$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
चूंकि दोनों के लिए टॉर्क $\tau$ समान है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ द्वारा प्राप्त होता है।
रिंग का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring}} = MR^2$ है और डिस्क के लिए $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
चूंकि $I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}}$,इसलिए डिस्क का कोणीय त्वरण रिंग की तुलना में अधिक होगा $(\alpha_{\text{disc}} > \alpha_{\text{ring}})$।
परिणामस्वरूप,समान समय अंतराल के बाद डिस्क रिंग की तुलना में अधिक कोणीय आवृत्ति (या कोणीय वेग) के साथ घूमेगी।

(C) $h$ ऊंचाई पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा टकराने पर ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3.5 \ kg$,ऊंचाई $h = 2000 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,गुप्त ऊष्मा $L = 3.5 \times 10^5 \ J/kg$।
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh = 3.5 \times 10 \times 2000 = 70,000 \ J$।
$m'$ द्रव्यमान की बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m'L$ है।
चूंकि वस्तु स्थिर हो जाती है,इसलिए पूरी स्थितिज ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = m'L$।
$70,000 = m' \times 3.5 \times 10^5$।
$m' = \frac{70,000}{3.5 \times 10^5} = \frac{7 \times 10^4}{3.5 \times 10^5} = 2 \times 10^{-1} \ kg = 0.2 \ kg$।
ग्राम में बदलने पर: $0.2 \ kg = 200 \ g$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_s)$।
यहाँ,निकाय (कैलोरीमीटर + पानी) द्वारा खोई गई ऊष्मा $\Delta Q = (m_w + w)c \Delta T$ है,जहाँ $w$ कैलोरीमीटर का जल तुल्यांक है।
शीतलन की दर $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{(m_w + w)c \Delta T}{\Delta t} = k(T_{avg} - T_s)$ है।
चूंकि तापमान परिवर्तन $\Delta T = 5^{\circ}C$ और औसत तापमान $T_{avg} = 17.5^{\circ}C$ दोनों स्थितियों में समान हैं,इसलिए ऊष्मा हानि की दर स्थिर रहती है।
अतः,$\frac{(m_1 + w)c \Delta T}{t_1} = \frac{(m_2 + w)c \Delta T}{t_2}$।
यह समीकरण $\frac{m_1 + w}{t_1} = \frac{m_2 + w}{t_2}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $m_1 = 10 \ g, t_1 = 10 \ min$ और $m_2 = 20 \ g, t_2 = 15 \ min$।
मान रखने पर: $\frac{10 + w}{10} = \frac{20 + w}{15}$।
$15(10 + w) = 10(20 + w) \implies 150 + 15w = 200 + 10w$।
$5w = 50 \implies w = 10 \ g$।

(D) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी सामग्रियों के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
पहली सामग्री के लिए: $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$,जहाँ $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
दूसरी सामग्री के लिए: $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
$2(T_2 - T) = T - T_1 \implies 2T_2 - 2T = T - T_1 \implies 3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$।
$T$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $H = \frac{KA}{x} (T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3}) = \frac{KA}{x} (\frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3}) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] f$ से करने पर,हमें $f = 1/3$ प्राप्त होता है।

(B) चालन द्वारा एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{x}$
जहाँ:
$Q/t$ ऊष्मा स्थानांतरण की दर है,
$K$ ऊष्मीय चालकता गुणांक है,
$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,
$x$ छड़ की लंबाई है,
$(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{(Q/t) \cdot x}{A(T_1 - T_2)}$
$K = \frac{xQ}{tA(T_1 - T_2)}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,तापमान $T$ पर $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकीर्ण शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
$R$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,प्रारंभिक शक्ति $P_1 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना $(R' = 2R)$ और तापमान को दोगुना $(T' = 2T)$ किया जाता है,तो नई शक्ति $P_2$ होगी:
$P_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) (2T)^4$
$P_2 = \sigma (4 \pi \cdot 4R^2) (16T^4)$
$P_2 = 16 \cdot 4 \cdot \sigma (4 \pi R^2) T^4$
$P_2 = 64 P_1$.
इसलिए,नई विकीर्ण शक्ति $64 P$ होगी।

(C) किसी भी सतह के लिए,अवशोषण गुणांक $(a)$,परावर्तन गुणांक $(r)$,और संचरण गुणांक $(t)$ का योग $1$ होता है।
$a + r + t = 1$
दिया गया है: $a = 0.77$,$r = 0.17$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.77 + 0.17 + t = 1$
$0.94 + t = 1$
$t = 1 - 0.94 = 0.06$
संचरित ऊष्मा की मात्रा आपतित ऊष्मा $(Q)$ और संचरण गुणांक $(t)$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
$Q_{\text{transmitted}} = Q \times t$
$Q_{\text{transmitted}} = 250 \ kcal \times 0.06$
$Q_{\text{transmitted}} = 15 \ kcal$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{6} = k(50 - 10) \implies \frac{10}{3} = 40k \implies k = \frac{1}{12}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है: $\frac{40 - T_f}{6} = k \left( \frac{40 + T_f}{2} - 10 \right)$.
$k = \frac{1}{12}$ रखने पर: $\frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 20 + \frac{T_f}{2} - 10 \right) \implies \frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 10 + \frac{T_f}{2} \right)$.
$12$ से गुणा करने पर: $2(40 - T_f) = 10 + 0.5T_f \implies 80 - 2T_f = 10 + 0.5T_f \implies 70 = 2.5T_f \implies T_f = \frac{70}{2.5} = 28^{\circ} C$.

(B) एक पूर्णतः कृष्णिका को ऐसी वस्तु के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी तरंग दैर्ध्य के सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेती है। किरचॉफ के ऊष्मीय विकिरण के नियम के अनुसार,अपने परिवेश के साथ ऊष्मीय संतुलन में किसी भी वस्तु के लिए,उसकी उत्सर्जकता (emissivity) उसकी अवशोषकता (absorptivity) के बराबर होती है। चूंकि एक पूर्णतः कृष्णिका की अवशोषकता $1$ होती है,इसलिए इसकी उत्सर्जकता (उत्सर्जन गुणांक) भी $1$ होनी चाहिए,जिसे इकाई (unity) कहा जाता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर इस प्रकार दी जाती है: $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta$ वस्तु का तापमान है और $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$1.5 = K(80 - \theta_0)$ --- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए:
$0.3 = K(40 - \theta_0)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.5}{0.3} = \frac{K(80 - \theta_0)}{K(40 - \theta_0)}$
$5 = \frac{80 - \theta_0}{40 - \theta_0}$
$5(40 - \theta_0) = 80 - \theta_0$
$200 - 5\theta_0 = 80 - \theta_0$
$200 - 80 = 5\theta_0 - \theta_0$
$120 = 4\theta_0$
$\theta_0 = 30^{\circ} C$
अतः,परिवेश का तापमान $30^{\circ} C$ है।

(D) ग्राफ y-अक्ष पर वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति $(E_{\lambda})$ और x-अक्ष पर तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को दर्शाता है।
वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{\infty} E_{\lambda} d\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति की परिभाषा के अनुसार,यह समाकलन सभी संभावित तरंगदैर्ध्यों पर कृष्णिका के प्रति इकाई सतह क्षेत्रफल में प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा को दर्शाता है।
यह स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुरूप है,जो बताता है कि प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित कुल शक्ति परम तापमान के चतुर्थ घात $(E = \sigma T^4)$ के समानुपाती होती है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है,और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$,जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को आधा कर दिया गया है,इसलिए नया क्षेत्रफल $A' = (L/2) \times (B/2) = A/4$ है। नया तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
नई शक्ति $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$ है।
अनुपात लेने पर: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times 2^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
अतः,$P_2 = 4 E$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी वस्तु के ठंडे होने की दर $R$ को $R \propto (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $R_0 = k(400^4 - 300^4) = k(256 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(175 \times 10^8)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $R' = k(900^4 - 300^4) = k(6561 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(6480 \times 10^8)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{R'}{R_0} = \frac{6480}{175} \approx 37.02$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $36 R_0$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है,$T_0$ कमरे का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{80 - 60}{1} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies 20 = k(70 - 30) \implies 20 = 40k \implies k = 0.5 \ \text{min}^{-1}$.
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{t} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = 0.5(25) \implies \frac{10}{t} = 12.5$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{10}{12.5} = 0.8 \ \text{मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर: $0.8 \times 60 = 48 \ \text{s}$.

(C) माना $Q$ कुल आपतित ऊष्मीय ऊर्जा है,$Q_a$ अवशोषित ऊर्जा है,$Q_t$ प्रसारित ऊर्जा है और $Q_r$ परावर्तित ऊर्जा है।
दिया गया है: $Q = 120 \ J$,$Q_t = 12 \ J$ और अवशोषण गुणांक $a = 0.6$ है।
हम जानते हैं कि अवशोषण गुणांक $a = \frac{Q_a}{Q}$ होता है।
इसलिए,$Q_a = a \times Q = 0.6 \times 120 \ J = 72 \ J$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आपतित ऊर्जा अवशोषित,प्रसारित और परावर्तित ऊर्जा का योग होती है:
$Q = Q_a + Q_t + Q_r$
$120 \ J = 72 \ J + 12 \ J + Q_r$
$120 \ J = 84 \ J + Q_r$
$Q_r = 120 \ J - 84 \ J = 36 \ J$।
अतः,परावर्तित ऊष्मा की मात्रा $36 \ J$ है।

(C) जब $L_1$ और $L_2$ प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) है।
चूँकि कुंडलियाँ समान हैं,$L_1 = L_2 = L$ है।
चूँकि लपेटने की दिशाएँ बिल्कुल विपरीत हैं,एक कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स दूसरी कुंडली द्वारा उत्पन्न फ्लक्स का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप अन्योन्य प्रेरकत्व का प्रभाव ऋणात्मक होता है।
एक-दूसरे के बहुत करीब रखी गई दो समान कुंडलियों के लिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ स्व-प्रेरकत्व $L$ के बराबर होता है (अर्थात $M = L$)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $L_{eq} = L + L - 2M = 2L - 2L = 0$।

(C) अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को संबंध $\Delta \phi = M \Delta I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta \phi$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है और $\Delta I$ धारा में परिवर्तन है।
दिया गया है:
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_1 = 6.5 \times 10^{-2} \ Wb$
अंतिम फ्लक्स $\phi_2 = 11 \times 10^{-2} \ Wb$
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (11 - 6.5) \times 10^{-2} \ Wb = 4.5 \times 10^{-2} \ Wb$
धारा में परिवर्तन $\Delta I = 0.03 \ A = 3 \times 10^{-2} \ A$
सूत्र $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2}} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ H$
अतः,अन्योन्य प्रेरण गुणांक $1.5 \ H$ है।

(D) कुंडली $Q$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $P$ में प्रेरित emf $\epsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण (mutual inductance) है।
दिया गया है $\epsilon_P = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$ और $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$12 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.2 \times 10^{-3} \ H = 1.2 \ mH$.
अब,जब कुंडली $P$ से $I_P = 1.5 \ A$ की धारा प्रवाहित होती है,तो कुंडली $Q$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_Q = M \times I_P$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi_Q = 1.2 \ mH \times 1.5 \ A = 1.8 \ mWb$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = LI$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ $\phi-I$ ग्राफ की ढाल (slope) स्व-प्रेरकत्व $L$ के बराबर होती है (अर्थात,$L = \frac{\phi}{I} = \tan \theta$)।
दिए गए चित्र से,$L_1$ के लिए रेखा की ढाल $L_2$ के लिए रेखा की ढाल से अधिक है (क्योंकि कोण $\theta_1 > \theta_2$ है)।
इसलिए,स्व-प्रेरकत्व $L_1$,स्व-प्रेरकत्व $L_2$ से अधिक है।

(B) विस्थापन धारा $I_d$ को $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\Phi_E$ सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है।
एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान होता है और इसे $E = \frac{q}{\epsilon_0 A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ प्लेटों पर आवेश है।
प्लेटों के समानांतर $A'$ क्षेत्रफल से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = E \cdot A' = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot A'$ है।
$A' = A/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot \frac{A}{2} = \frac{q}{2\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{q}{2\epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \frac{dq}{dt}$ है।
चूंकि चार्जिंग धारा $I = \frac{dq}{dt}$ है,इसलिए $I_d = \frac{I}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि प्रोटॉन (आवेश $+e$) को $q_1$ से $x$ दूरी पर $x$-अक्ष पर रखा गया है। चूंकि $q_2$,$q_1$ से $L$ दूरी पर है,इसलिए प्रोटॉन की $q_2$ से दूरी $(x - L)$ होगी।
प्रोटॉन के संतुलन में रहने के लिए,उस पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल शून्य होना चाहिए।
$q_1$ के कारण बल $F_1 = \frac{k q_1 e}{x^2}$ (प्रतिकर्षी,दाईं ओर)।
$q_2$ के कारण बल $F_2 = \frac{k |q_2| e}{(x - L)^2}$ (आकर्षक,बाईं ओर)।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{k (6q) e}{x^2} = \frac{k (3q) e}{(x - L)^2}$।
सरल करने पर: $\frac{6}{x^2} = \frac{3}{(x - L)^2} \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x - L}$।
$\sqrt{2}(x - L) = x \implies \sqrt{2}x - \sqrt{2}L = x$।
$x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}L$।
$x = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\right) L$।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। आवेश $q_1 = q_2 = q_3 = q$ हैं।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_i$ और $q_j$ के बीच बल $F = \frac{k q_i q_j}{r^2}$ होता है।
$q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी $r_{12} = a$ है। अतः,$F_{12} = \frac{k q^2}{a^2}$।
$q_1$ और $q_3$ के बीच की दूरी वर्ग का विकर्ण है,$r_{13} = a\sqrt{2}$। अतः,$F_{13} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$।
$F_{13}$ और $F_{12}$ का अनुपात $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{k q^2 / 2a^2}{k q^2 / a^2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि आवेश $q_1 = +3q$ ($x = 0$ पर),$q_2 = Q$ ($x = \frac{\ell}{2}$ पर),और $q_3 = +q$ ($x = \ell$ पर) हैं।
$x = \ell$ पर स्थित $+q$ आवेश पर कुल बल शून्य होने के लिए,$q_1$ और $q_2$ द्वारा लगाए गए स्थिर वैद्युत बलों का योग शून्य होना चाहिए।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$।
$q_1$ द्वारा $q_3$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{k(3q)(q)}{\ell^2}$ है।
$q_2$ द्वारा $q_3$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2} = \frac{kQq}{\ell^2/4} = \frac{4kQq}{\ell^2}$ है।
कुल बल शून्य होने के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,इसलिए $\frac{3kq^2}{\ell^2} + \frac{4kQq}{\ell^2} = 0$।
$\frac{kq}{\ell^2}$ से विभाजित करने पर,हमें $3q + 4Q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$4Q = -3q$,जिससे $Q = -\frac{3}{4}q$ प्राप्त होता है।
इसे $Q = xq$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर वैद्युत बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, बल $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$ है।
जब एक आवेश को दोगुना $(q_1' = 2q_1)$ किया जाता है और दूरी को आधा $(l' = l/2)$ किया जाता है, तो नया बल $F_2$ होगा:
$F_2 = k \frac{(2q_1)(q_2)}{(l/2)^2} = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4} = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$.
अतः, $F_2 = 8 F_1$.
इसकी तुलना $F_2 = n F_1$ से करने पर, हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो गेंदों पर आवेश $q$ और $q$ हैं और उनके बीच की दूरी $r$ है। प्रारंभिक बल $F = k \frac{q^2}{r^2}$ है।
जब एक अनावेशित गेंद एक आवेशित गेंद को स्पर्श करती है,तो आवेश $q$ दोनों के बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार,पहली गेंद पर आवेश $q/2$ हो जाता है और तीसरी गेंद पर आवेश $q/2$ हो जाता है।
तीसरी गेंद को मध्य बिंदु पर रखा गया है,इसलिए दोनों गेंदों से इसकी दूरी $r/2$ है।
पहली गेंद के कारण तीसरी गेंद पर लगने वाला बल $F_1 = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = F$ (पहली गेंद से दूर की दिशा में)।
दूसरी गेंद के कारण तीसरी गेंद पर लगने वाला बल $F_2 = k \frac{(q/2)(q)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2F$ (दूसरी गेंद से दूर की दिशा में)।
चूंकि ये बल विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए तीसरी गेंद पर कुल बल $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ होगा।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$q_1 = +2 \ C$ और $q_2 = +6 \ C$ हैं। बल $F_1 = k \frac{(2)(6)}{r^2} = 18 \ N$ है।
इसका अर्थ है $k \frac{12}{r^2} = 18$,इसलिए $k/r^2 = 18/12 = 1.5$ है।
अब,प्रत्येक आवेश में $-4 \ C$ जोड़ा जाता है:
नया आवेश $q_1' = +2 \ C - 4 \ C = -2 \ C$ है।
नया आवेश $q_2' = +6 \ C - 4 \ C = +2 \ C$ है।
नया बल $F_2 = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(-2)(2)|}{r^2} = k \frac{4}{r^2}$ है।
$k/r^2 = 1.5$ रखने पर,हमें $F_2 = 1.5 \times 4 = 6 \ N$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवेश विपरीत चिन्हों के हैं ($-2 \ C$ और $+2 \ C$),इसलिए बल आकर्षक होगा।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $p$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$ है।
अंत में,द्विध्रुव को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$ है।
द्विध्रुव को घुमाने के लिए किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p = q \times (2a)$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $(2a)$ द्विध्रुव की लंबाई है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$,इसलिए $\tau_{max} = pE = q(2a)E$.
दिया गया है: $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,$E = 8 \times 10^{4} \ N/C$,और $\tau_{max} = 4 \times 10^{-3} \ N \cdot m$.
मान रखने पर: $4 \times 10^{-3} = (2 \times 10^{-6}) \times (2a) \times (8 \times 10^{4})$.
$4 \times 10^{-3} = 16 \times 10^{-2} \times (2a)$.
$2a = \frac{4 \times 10^{-3}}{16 \times 10^{-2}} = \frac{4}{16} \times 10^{-1} = 0.25 \times 10^{-1} \ m$.
$2a = 0.025 \ m = 25 \ mm$.
अतः,द्विध्रुव की लंबाई $25 \ mm$ है।

(B) एक ध्रुवीय अणु वह है जिसमें स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) होता है। यह तब होता है जब अणु के भीतर आवेश का वितरण असममित होता है।
$(a)$ $H_2O$ (जल): इसकी ज्यामिति मुड़ी हुई (bent) होती है। दो $O-H$ बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण एक-दूसरे को रद्द नहीं करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण प्राप्त होता है। अतः,यह एक ध्रुवीय अणु है।
$(b)$ $N_2$: यह समान परमाणुओं वाला द्विपरमाणुक अणु है जिसकी संरचना रैखिक है,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण शून्य है।
$(c)$ $CO_2$: इसकी संरचना रैखिक है जहाँ दो $C=O$ बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण समान और विपरीत होते हैं,जो एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं। अतः,यह अध्रुवीय है।
$(d)$ $H_2$: यह समान परमाणुओं वाला द्विपरमाणुक अणु है,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण शून्य है।
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times (2a)$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है:
द्विध्रुव की लंबाई $(2a) = 2 \ cm = 0.02 \ m = 2 \times 10^{-2} \ m$
विद्युत क्षेत्र $(E) = 10^{5} \ N/C$
कोण $(\theta) = 60^{\circ}$
टॉर्क $(\tau) = 8 \sqrt{3} \ Nm$
सूत्र में मान रखने पर:
$8 \sqrt{3} = (q \times 2 \times 10^{-2}) \times 10^{5} \times \sin 60^{\circ}$
$8 \sqrt{3} = q \times 2 \times 10^{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times \sqrt{3} \times 10^{3}$
$q = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 10^{3}} = 8 \times 10^{-3} \ C$.
अतः,आवेश का परिमाण $8 \times 10^{-3} \ C$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। $t$ समय के बाद,कण का वेग $v = u + at = 0 + (\frac{qE}{m})t = \frac{qEt}{m}$ होगा।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $K = \frac{1}{2}m(\frac{qEt}{m})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{q^2E^2t^2}{m^2}) = \frac{q^2E^2t^2}{2m}$.

(A) एक चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,चालक गोले के अंदर कोई आवेश न होने के कारण $(q_{enclosed} = 0)$,अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ हर जगह शून्य होता है।
चूंकि गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
सतह पर (और इसलिए केंद्र पर) विभव $V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $0$ है और विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं किसी क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र को दर्शाने के लिए उपयोग की जाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$1$. वे धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$2$. वे कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$3$. क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण के समानुपाती होता है।
$4$. स्थिरवैद्युत संतुलन में विद्युत क्षेत्र रेखाएं चालक के अंदर से नहीं गुजरती हैं क्योंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
अतः,यह कथन कि वे चालक से होकर गुजरती हैं,गलत है।

(A) माना केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ है।
माना $\vec{E}_A, \vec{E}_B, \vec{E}_C, \vec{E}_D, \vec{E}_E, \vec{E}_F$ क्रमशः $A, B, C, D, E, F$ पर स्थित आवेशों के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र हैं।
आवेश हैं: $A(+q), B(-q), C(-q), D(+q), E(+Q), F(-q)$।
$O$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E}_A$ की दिशा $A$ से दूर ($D$ की ओर) है।
$\vec{E}_D$ की दिशा $D$ से दूर ($A$ की ओर) है।
चूंकि $q_A = q_D = +q$,इसलिए $\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$।
इसी प्रकार,$\vec{E}_B$ की दिशा $B$ की ओर ($E$ से दूर) है,और $\vec{E}_E$ की दिशा $E$ से दूर ($B$ की ओर) है।
$\vec{E}_C$ की दिशा $C$ की ओर ($F$ से दूर) है,और $\vec{E}_F$ की दिशा $F$ की ओर ($C$ से दूर) है।
माना $\vec{E}_0$ आवेशों $A, B, C, D, F$ के कारण परिणामी क्षेत्र है।
$\vec{E}_0 = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_F$।
चूंकि $\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$,इसलिए $\vec{E}_0 = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_F$।
ये सभी संबंधित शीर्षों की ओर निर्देशित हैं (क्योंकि ये ऋणात्मक आवेश $-q$ हैं): $\vec{E}_B$ $B$ की ओर,$\vec{E}_C$ $C$ की ओर,$\vec{E}_F$ $F$ की ओर।
समरूपता के कारण,इन तीन क्षेत्रों का परिणामी $E$ की ओर निर्देशित $\frac{kq}{r^2}$ परिमाण का एक सदिश है।
दिया गया है: $|\vec{E}_0| = 2 |\vec{E}_E|$,जहाँ $\vec{E}_E$ $E$ पर $+Q$ के कारण क्षेत्र है।
$\frac{kq}{r^2} = 2 \frac{kQ}{r^2} \implies Q = \frac{q}{2}$।

(D) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$ है।
गोले का व्यास $d = 3.5 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1.75 \ cm = 1.75 \times 10^{-2} \ m$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.75 \times 10^{-2})^2 \ m^2$ है।
$A = 12.56 \times 3.0625 \times 10^{-4} \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $q = \sigma \times A = (20 \times 10^{-6}) \times (3.848 \times 10^{-3}) \approx 7.696 \times 10^{-8} \ C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = q / \epsilon_0$ होता है।
$\phi = (7.696 \times 10^{-8}) / (8.85 \times 10^{-12}) \approx 0.8696 \times 10^4 \approx 8.7 \times 10^3 \ N \cdot m^2 / C$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल सतहों ($A$ और $C$) और वक्र सतह $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है।
मान लीजिए कि सतह $A$,$C$ और $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स क्रमशः $\phi_A$,$\phi_C$ और $\phi_B$ है।
अतः,$\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$।
दिया गया है कि $\phi_B = \phi$,इसलिए $\phi_A + \phi_C + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
बेलन की सममिति के कारण,दो समतल सिरों $A$ और $C$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान होना चाहिए,इसलिए $\phi_A = \phi_C$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर: $2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$।
इसलिए,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए, कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $B$) और वक्र पृष्ठ $(C)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C$.
यहाँ $\phi_C = \phi$ दिया गया है और सममिति के कारण, दोनों समतल पृष्ठों से गुजरने वाला फ्लक्स समान है, अर्थात $\phi_A = \phi_B$.
इन मानों को गॉस के नियम के समीकरण में रखने पर: $\frac{q}{\epsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$.
$\frac{q}{\epsilon_0} - \phi = 2\phi_A$.
अतः, समतल पृष्ठ $A$ से संबद्ध फ्लक्स $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ होगा।

(D) $r$ त्रिज्या और एकसमान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले का कुल आवेश $Q = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक आवेशित गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ होता है।
सूत्र में $Q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,घिरे हुए आवेश $q_1 = 2 \mu C, q_2 = -3 \mu C, q_3 = 4 \mu C, q_4 = -4 \mu C$ और $q_5 = -1 \mu C$ हैं।
कुल घिरा हुआ आवेश $q_{net} = q_1 + q_2 + q_3 + q_4 + q_5$ है।
$q_{net} = (2 - 3 + 4 - 4 - 1) \mu C = -2 \mu C$ है।
अतः,कुल निर्गत फ्लक्स $\phi = \frac{-2 \mu C}{\epsilon_0} = -\frac{2}{\epsilon_0} \mu V-m$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए समरूपता के कारण फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों पर समान रूप से वितरित होगा।
अतः,एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{1}{6} \phi_{total} = \frac{Q}{6 \epsilon_0}$ है।
प्रश्न में दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स पूछा गया है।
इस प्रकार,दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $2 \times \phi_{face} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_0} = \frac{Q}{3 \epsilon_0}$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,आवेशित चालक की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र हमेशा चालक की सतह के लंबवत (normal) दिशा में होता है।
यदि क्षेत्र लंबवत नहीं होता,तो विद्युत क्षेत्र का एक घटक सतह के समानांतर होता,जिससे चालक पर मौजूद मुक्त आवेश गति करने लगते,जो स्थिरवैद्युत संतुलन की धारणा के विपरीत है।
इसलिए,सही व्यंजक $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है और यह सतह के लंबवत है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
इस प्रश्न में,आवेश $q$ गुब्बारे की सतह पर वितरित है। जैसे-जैसे गुब्बारे को फुलाया जाता है,सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि घिरा हुआ आवेश $q$ नहीं बदलता है,इसलिए कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ भी स्थिर रहता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed}$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
दी गई चारों आकृतियों $(a)$,$(b)$,$(c)$,और $(d)$ में,सतह द्वारा परिबद्ध आवेश समान है,जो $+q$ है।
चूंकि सभी सतहों के लिए परिबद्ध आवेश समान है और $\epsilon_0$ एक स्थिरांक है,इसलिए प्रत्येक सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ समान होगा।
अतः,सभी आकृतियों के लिए विद्युत फ्लक्स समान है।

(D) $q$ कूलम्ब के आवेश को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q(V_B - V_A)$
यहाँ,बिंदु $A$ पर विभव $V_A = -5 \ V$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B = V$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = q(V - (-5))$
$W = q(V + 5)$
अब,$V$ के लिए हल करने पर:
$\frac{W}{q} = V + 5$
$V = \frac{W}{q} - 5$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 4x^2 + 8x - 3$.
$x$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 + 8x - 3) = 8x + 8$.
इसे विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$E = -(8x + 8) = -8x - 8$.
अब,$x = 0.5 \ m$ पर विद्युत क्षेत्र का मान ज्ञात करने पर:
$E = -8(0.5) - 8 = -4 - 8 = -12 \ V/m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या ' $r$ ' है और प्रत्येक पर आवेश ' $q$ ' है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब ' $n$ ' बूंदें मिलकर ' $R$ ' त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n \cdot q$ है।
बड़ी बूंद का विभव ' $V_{big}$ ' इस प्रकार है: $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} \cdot V$।

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$.
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,किन्हीं भी दो आवेशों के बीच की दूरी $a$ है।
दिए गए आवेश $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$ और $q_3 = q$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k}{a} (Q \cdot 2Q + 2Q \cdot q + q \cdot Q)$ है।
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य होने के लिए $U = 0$ रखने पर:
$2Q^2 + 2Qq + qQ = 0$.
$2Q^2 + 3Qq = 0$.
$Q(2Q + 3q) = 0$.
चूंकि $Q \neq 0$,इसलिए $2Q + 3q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = -\frac{2}{3} Q$ होगा।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_A = +\sigma$,$\sigma_B = -\sigma$,और $\sigma_C = +\sigma$ हैं। कोशों पर आवेश $Q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_B = -4\pi b^2 \sigma$,और $Q_C = 4\pi c^2 \sigma$ हैं।
कोश $A$ की सतह पर विभव तीनों कोशों के कारण विभव का योग है: $V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C}$.
चूंकि $A$,$B$ और $C$ के अंदर है,इसलिए $B$ और $C$ के कारण $A$ की सतह पर विभव उनकी अपनी सतहों पर विभव के बराबर होगा: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_A}{a} + \frac{Q_B}{b} + \frac{Q_C}{c} \right)$.
मान रखने पर: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{-4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c} \right)$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (4\pi a \sigma - 4\pi b \sigma + 4\pi c \sigma)$.
$V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a - b + c)$.

(B) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$, $+2q$ और $+2q$ आवेशों वाली भुजा का मध्य बिंदु है। इन आवेशों में से प्रत्येक से $A$ की दूरी $L$ है।
विपरीत कोनों पर स्थित $-2q$ आवेशों से $A$ की दूरी पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात की जा सकती है। क्षैतिज दूरी $2L$ और ऊर्ध्वाधर दूरी $L$ है, इसलिए दूरी $r = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$ है।
$A$ पर कुल विभव चारों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2q}{L} + \frac{2q}{L} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{4q}{L} - \frac{4q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{4q}{4\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right] = \frac{q}{\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$.

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
$r$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन समान आवेशों $q$ के लिए,कुल स्थितिज ऊर्जा $U = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$ होती है।
दिया गया है: $q = 3 \mu C = 3 \times 10^{-6} \ C$,$r = 6 \ cm = 0.06 \ m$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{(3 \times 10^{-6})^2}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{9 \times 10^{-12}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{81 \times 10^{-3}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times 1.35 = 4.05 \ J$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $4.1 \ J$ प्राप्त होता है।

(B) एक समषट्भुज में,केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। दी गई भुजा $a = 6 \ cm = 0.06 \ m$ है।
चूंकि $6$ शीर्ष हैं,प्रत्येक पर $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ आवेश है,केंद्र पर कुल विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग है।
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a} \right)$
मान रखने पर:
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.06}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-2}}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{1}{3} \times 10^{-4}$
$V = 18 \times 10^5 \ V = 1.8 \times 10^6 \ V$.

(B) दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी को $r_1$ से $r_2$ तक बदलने के लिए किया गया कार्य $W$,स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
दिया गया है: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 10 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = (10 - 2) \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{8 \times 10^{-2}} - \frac{1}{10 \times 10^{-2}} \right)$.
$W = 360 \times 10^{-3} \times \left( \frac{100}{8} - \frac{100}{10} \right) \times 10^{-2} = 0.36 \times (12.5 - 10) = 0.36 \times 2.5 = 0.9 \ J$.

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3} r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} v$ होगा।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए निकाय के लिए,आवेश $q_1 = Q$,$q_2 = -2q$,और $q_3 = -2q$ हैं। उनके बीच की दूरियाँ $r_{12} = l$,$r_{13} = l$,और $r_{23} = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k (-2q)(-2q)}{l\sqrt{2}} = 0$
$k$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$-\frac{2Qq}{l} - \frac{2Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$-\frac{4Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$\frac{4Qq}{l} = \frac{4q^2}{l\sqrt{2}}$
$Q = \frac{q}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r} = 20 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n = 27$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ के लिए,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 27q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} V$ है।
मान रखने पर: $V' = (27)^{2/3} \times 20 = (3^3)^{2/3} \times 20 = 3^2 \times 20 = 9 \times 20 = 180 \ V$.

(A) माना कि वह बिंदु जहाँ कुल विभव शून्य है,आवेश $A$ $(2 \mu C)$ से $x$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विभव शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विभव का योग शून्य होना चाहिए:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
अतः,$A$ से दूरी $0.4 \ m$ है।

(D) $q$ आवेश वाले $r$ त्रिज्या के एक चालक गोले का विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश है,इसलिए $q_1 = q_2 = q$ मान लें।
पहले गोले का विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}$ है।
दूसरे गोले का विभव $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}$ है।
उनके विभव का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}} = \frac{r_2}{r_1}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) श्रेणी संयोजन का कुल $EMF$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 + R$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$ द्वारा दी जाती है।
सेल $E_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - Ir_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - Ir_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_1$।
$I$ का मान रखने पर,हमें $E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$r_1 + r_2 + R = 2r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$।

(A) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है: सीधा तार $PQ$, वक्र भाग $QRS$, और सीधा तार $ST$.
$1$. सीधे तार $PQ$ के लिए: बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_{PQ} = 0$ है।
$2$. वक्र भाग $QRS$ के लिए: केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ रेडियन}$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_{QRS} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(-\widehat{k})$ है।
$3$. सीधे तार $ST$ के लिए: बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। तार $S$ से अनंत तक फैला हुआ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_{ST} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin 90^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(-\widehat{k})$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{PQ} + B_{QRS} + B_{ST} = 0 + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2} + 1\right) (-\widehat{k})$.

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $I d\vec{\ell}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{\ell} \times \vec{r})}{r^3}$
यहाँ,$I = 10 \ A$,$d\vec{\ell} = \Delta x \hat{i} = 10^{-2} \hat{i} \ m$,और स्थिति सदिश $\vec{r} = 0.5 \hat{j} \ m$ है।
क्रॉस उत्पाद $(d\vec{\ell} \times \vec{r}) = (10^{-2} \hat{i}) \times (0.5 \hat{j}) = 0.5 \times 10^{-2} (\hat{i} \times \hat{j}) = 0.005 \hat{k} \ m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण:
$|d\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\vec{\ell} \times \vec{r}|}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005}{(0.5)^3}$
$|d\vec{B}| = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} = 10^{-7} \times 0.4 = 4 \times 10^{-8} \ T$.

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ लंबाई के लिए,बल $F = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d}$ है।
नई स्थिति में,दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और धाराएं $I' = 2I$ हैं।
नया बल $F_2 = \frac{\mu_0 (2I)(2I) L}{2 \pi (d/2)}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $F_2 = \frac{\mu_0 (4I^2) L}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d} \right)$.
अतः,$F_2 = 8F$.

(A) दो लंबे समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ है।
दूरी को $3d$ करने के बाद,नया बल $F'$ का मान $2/3 F$ (प्रतिकर्षण) पाया जाता है।
चूंकि मूल बल आकर्षण बल था (समान दिशा की धाराएं),इसलिए प्रतिकर्षण बल का अर्थ है कि एक धारा की दिशा को उलट दिया जाना चाहिए।
मान लीजिए नई धाराएं $I_1$ और $I_2'$ हैं। तब $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2'}{2 \pi (3d)} = \frac{2}{3} F$ होगा।
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\mu_0 I_1 I_2'}{6 \pi d} = \frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{I_2'}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{I_2}{2} = \frac{I_2}{3}$ मिलता है।
अतः,$I_2' = I_2$ है। परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा उलट दी जाती है।

(D) धारावाही तार पर चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ है।
यहाँ,तार $x$-अक्ष पर है,इसलिए लंबाई सदिश $\vec{L} = L\hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$\vec{F} = I(L\hat{i}) \times B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$\vec{F} = ILB_0 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) - (\hat{i} \times \hat{k})]$
सदिश गुणन के नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{F} = ILB_0 [0 - \hat{k} - (-\hat{j})]$
$\vec{F} = ILB_0 (\hat{j} - \hat{k})$
बल का परिमाण $|\vec{F}| = ILB_0 \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = ILB_0 \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ILB_0$ है।

(A) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। वर्गाकार लूप के लिए, परिधि $4a = L$ है, इसलिए भुजा की लंबाई $a = L/4$ है। क्षेत्रफल $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए, परिधि $2\pi r = L$ है, इसलिए त्रिज्या $r = L/(2\pi)$ है। क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$ है।
चूंकि $\pi \approx 3.14$ है, इसलिए $4\pi \approx 12.56$ है, जो $16$ से कम है। अतः, $A_c > A_s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $N$, $I$, $B$ और $\theta$ दोनों लूप के लिए समान हैं, इसलिए टॉर्क सीधे क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
चूंकि $A_c > A_s$ है, इसलिए वृत्ताकार लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क अधिक होगा।

(D) सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}$ है।
भुजा $AB$ के लिए (दूरी $r_1 = L/3$),बल $F_{AB} = I_1 L B_1 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi}$ (आकर्षक,तार की ओर)।
भुजा $CD$ के लिए (दूरी $r_2 = L/3 + L = 4L/3$),बल $F_{CD} = I_1 L B_2 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (4L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$ (प्रतिकर्षी,तार से दूर)।
भुजाएँ $BC$ और $AD$ तार के लंबवत हैं,और उन पर लगने वाले बल समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} - \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{12 \mu_0 I_1 I_2 - 3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{9 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$.