MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - k x)$ है,जहाँ $A = 60 \ \mu m = 60 \times 10^{-6} \ m$,$\omega = 1200 \ rad/s$,और $k = 6 \ m^{-1}$ है।
कण का अधिकतम वेग $(v_p)$ $v_p = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$v_p = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (1200 \ rad/s) = 72000 \times 10^{-6} \ m/s = 7.2 \times 10^{-2} \ m/s$.
तरंग का वेग $(v_w)$ $v_w = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_w = \frac{1200}{6} = 200 \ m/s$.
कण के अधिकतम वेग और तरंग के वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_w} = \frac{A \omega}{\omega/k} = A k$ है।
$\frac{v_p}{v_w} = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (6 \ m^{-1}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$.

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$।
यहाँ $\Delta \phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ रेडियन}$ और $\Delta x = 4.0 \text{ m}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 4.0$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 8 \times 4.0 = 32 \text{ m}$।
तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = 300 \text{ Hz}$ है।
$v = 300 \text{ Hz} \times 32 \text{ m} = 9600 \text{ m/s}$।
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = \frac{9600}{1000} \text{ km/s} = 9.6 \text{ km/s}$।

(D) $L$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
$L' = XL$ लंबाई के खुले पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n v}{2L'}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $n=2$ है और दूसरा ओवरटोन $n=3$ है।
इसलिए,खुले पाइप के दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{3v}{2(XL)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f_c = f_o$,इसलिए $\frac{v}{4L} = \frac{3v}{2XL}$ है।
दोनों पक्षों से $v$ और $L$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{4} = \frac{3}{2X}$ प्राप्त होता है।
$X$ के लिए हल करने पर,हमें $2X = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $X = 6$ है।

(C) दिया गया है: रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 0.1 \ kg/m$,लंबाई $L = 0.9 \ m$,तनाव $T = 40 \ N$,आयाम $A = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$,खंडों की संख्या $n = 3$.
तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.
$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L} = \frac{3 \times 20}{2 \times 0.9} = \frac{60}{1.8} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \ Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f_n = 2 \pi \times \frac{100}{3} = \frac{200 \pi}{3} \ rad/s$.
कण का अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega = 0.003 \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{3}{1000} \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{\pi}{5} \ m/s$.

(B) $L_c$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है। चौथे ओवरटोन $(n=4)$ के लिए,$f_c = \frac{(2(4)+1)v}{4L_c} = \frac{9v}{4L_c}$ है।
$L_o$ लंबाई के खुले पाइप के लिए,$m$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{(m+1)v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ ओवरटोन संख्या है। पांचवें ओवरटोन $(m=5)$ के लिए,$f_o = \frac{(5+1)v}{2L_o} = \frac{6v}{2L_o} = \frac{3v}{L_o}$ है।
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,इसलिए $f_c = f_o$,जिसका अर्थ है $\frac{9v}{4L_c} = \frac{3v}{L_o}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{9}{4L_c} = \frac{3}{L_o} \implies \frac{L_c}{L_o} = \frac{9}{4 \times 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$।
अतः,बंद पाइप और खुले पाइप की लंबाई का अनुपात $3: 4$ है।

(C) तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $\mu = \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $A$ के लिए: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
अनुपात लेने पर $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$n_B : n_A$ का अनुपात $1 : 6$ है।

(D) माना प्रारंभिक तनाव $T$ है। तने हुए तार की आवृत्ति $f_w = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$L$ लंबाई के बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है $f_w = f_c$,इसलिए $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{2}$।
जब तनाव $8 \ N$ बढ़ाया जाता है,तो नई आवृत्ति $f_w' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}}$ होती है।
बंद पाइप का पहला ओवरटोन $3f_c = \frac{3v}{4L}$ है।
दिया गया है $f_w' = 3f_c$,इसलिए $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{4L} \implies \sqrt{\frac{T+8}{\mu}} = \frac{3v}{2}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\sqrt{\frac{T+8}{T}} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T+8}{T} = 9 \implies T+8 = 9T \implies 8T = 8 \implies T = 1 \ N$।

(A) तने हुए तार के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार के लिए,पहला ओवरटोन $2$-रा हार्मोनिक $(n_1 = 2)$ है।
इसलिए,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दूसरे तार के लिए,दूसरा ओवरटोन $3$-रा हार्मोनिक $(n_2 = 3)$ है।
इसलिए,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
दिया गया है कि $f_1 = f_2$ और $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$।
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(D) ध्वनि की गति $v = 330 \ m/s$ और आवृत्ति $f = 330 \ Hz$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/f = 330/330 = 1 \ m$ है।
जब एक खुली पाइप का एक सिरा पानी में डुबोया जाता है,तो यह एक सिरे पर बंद पाइप की तरह व्यवहार करती है।
वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - x$ है,जहाँ $L = 1.5 \ m$ कुल लंबाई है और $x$ पानी में डूबी हुई लंबाई है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्ति $f_n = (2n-1) \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=1$ मूल आवृत्ति है,$n=2$ पहला ओवरटोन है,और $n=3$ दूसरा ओवरटोन है।
$2^{\text{nd}}$ ओवरटोन के लिए,$n=3$ लेने पर,$f_3 = 5 \frac{v}{4L'}$.
दिया गया है $f_3 = 330 \ Hz$,इसलिए $330 = 5 \times \frac{330}{4L'}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{5}{4L'}$,जिसका अर्थ है $4L' = 5$,या $L' = 1.25 \ m$.
चूंकि $L' = L - x$,इसलिए $1.25 = 1.5 - x$.
अतः,$x = 1.5 - 1.25 = 0.25 \ m$.

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ और प्रारंभिक मूल आवृत्ति $f_1 = 50 \text{ Hz}$ है।
नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ है।
नई मूल आवृत्ति $f_2$ के लिए,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ है।
अतः,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_n = n \times f_n$ होती है। दूसरे हार्मोनिक $(n=2)$ के लिए,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$।
प्रारंभिक दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ थी।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$ है।
इस प्रकार,दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति में $20 \%$ की कमी होती है।

(A) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $f$ तार की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto 1/l$ या $f \cdot l = k$ (स्थिरांक)।
मान लीजिए कि दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
दिया गया है कि $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$।
इसका अर्थ है $f_1 = k/23$ और $f_2 = k/24$।
चूंकि $f_1 > f_2$,बीट आवृत्ति $f_1 - f_2 = 4$ होगी।
मान रखने पर: $k/23 - k/24 = 4$।
$k$ को कॉमन लेने पर: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$।
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$।
अब,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$।
और $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $96 \ Hz$ और $92 \ Hz$ हैं।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
व्यास $D = 2r$ होने के कारण,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है। नई आवृत्ति $n_2$ परिवर्तनों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
यहाँ $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,और $T_2 = 3T_1$ दिया गया है:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
अतः,नई आवृत्ति $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ होगी।

(A) एक खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ कंपन करती लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \sqrt{T}$ है।
तार में तनाव $T$ एक लटके हुए द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस प्रकार,$L \propto \sqrt{g}$ है।
भूमध्य रेखा पर,$g$ का मान ध्रुवों की तुलना में कम होता है $(g_{equator} < g_{poles})$।
चूंकि $L$,$\sqrt{g}$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए समान आवृत्ति $f$ बनाए रखने के लिए भूमध्य रेखा पर कंपन करती लंबाई $L$ को कम किया जाना चाहिए।

(B) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{L}$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
लंबाई $L_1 = 40 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_1 = \frac{k}{40}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_1 = n \pm 5$।
लंबाई $L_2 = 39 \ cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $f_2 = \frac{k}{39}$ है। चूँकि यह $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,$f_2 = n \pm 5$।
चूँकि $L_2 < L_1$,इसलिए $f_2 > f_1$। अतः,$f_1 = n - 5$ और $f_2 = n + 5$।
इस प्रकार,$\frac{k}{40} = n - 5$ और $\frac{k}{39} = n + 5$।
पहले समीकरण से,$k = 40(n - 5)$।
दूसरे समीकरण से,$k = 39(n + 5)$।
दोनों की तुलना करने पर: $40n - 200 = 39n + 195$।
$40n - 39n = 195 + 200$।
$n = 395 \ Hz$।

(C) सोनोमीटर प्रयोग में,तार उन हार्मोनिक्स में कंपन करता है जो मूल आवृत्ति $(f_0)$ के पूर्णांक गुणज होते हैं।
दी गई मूल आवृत्ति $f_0 = 288 \ Hz$ है।
हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = n \times f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
कुछ शुरुआती हार्मोनिक्स की गणना करने पर:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$844 \ Hz$,$288 \ Hz$ का पूर्णांक गुणज नहीं है। इसलिए,$844 \ Hz$ पर हार्मोनिक्स उत्पन्न नहीं होंगे।

(C) $L$ लंबाई के एक सिरे पर बंद वायु स्तंभ के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है। $5^{\text{th}}$ ओवरटोन के लिए,$n = 5$,इसलिए $f_{c} = (2(5) + 1) \frac{v}{4L} = 11 \frac{v}{4L}$।
$L$ लंबाई के दोनों सिरों पर खुले वायु स्तंभ के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है। $5^{\text{th}}$ ओवरटोन के लिए,$n = 5$,इसलिए $f_{o} = (5 + 1) \frac{v}{2L} = 6 \frac{v}{2L} = 12 \frac{v}{4L}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{11v/4L}{12v/4L} = \frac{11}{12}$ है।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,हम लिख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
प्रारंभिक शर्तें: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
नई शर्तें: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
नई आवृत्ति $n_2$ इस प्रकार होगी: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_{open, n} = n(v/2L)$ होती हैं। पहला ओवरटोन $(n=2)$ $f_{open, 1st} = 2(v/2L) = v/L$ है।
बंद पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_{closed, n} = (2n-1)(v/4L)$ होती हैं। पहला ओवरटोन $(n=2)$ $f_{closed, 1st} = 3(v/4L)$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $4$ Hz है: $|v/L - 3v/4L| = 4 \implies v/4L = 4 \implies v/L = 16$।
अब,खुली पाइप की नई लंबाई $L' = L/2$ है और बंद पाइप की नई लंबाई $L'' = 2L$ है।
नई खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f'_{open} = v/(2L') = v/(2(L/2)) = v/L = 16$ Hz है।
नई बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f''_{closed} = v/(4L'') = v/(4(2L)) = v/8L = 16/8 = 2$ Hz है।
उत्पन्न बीट्स की संख्या $|f'_{open} - f''_{closed}| = |16 - 2| = 14$ Hz है।

(C) मान लीजिए फोर्क $A$ की आवृत्ति $f_A$ और फोर्क $B$ की आवृत्ति $f_B$ है। दिया गया है $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$।
$L_c = 20 \ cm = 0.2 \ m$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_A = \frac{v}{4L_c} = \frac{v}{4 \times 0.2} = \frac{v}{0.8}$ है।
$L_o = 40.5 \ cm = 0.405 \ m$ लंबाई के खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_B = \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{2 \times 0.405} = \frac{v}{0.81}$ है।
चूंकि $f_A > f_B$,इसलिए $f_A - f_B = 5$।
$\frac{v}{0.8} - \frac{v}{0.81} = 5 \implies v \left( \frac{0.81 - 0.8}{0.8 \times 0.81} \right) = 5$।
$v \left( \frac{0.01}{0.648} \right) = 5 \implies v = \frac{5 \times 0.648}{0.01} = 500 \times 0.648 = 324 \ m/s$।
अब,$f_A = \frac{324}{0.8} = 405 \ Hz$ और $f_B = \frac{324}{0.81} = 400 \ Hz$।

(D) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open, 1} = \frac{v}{2L}$ है। प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक है,जो $f_{open, 2} = 2 \times f_{open, 1} = 2 \times \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{closed, 1} = \frac{v}{4L}$ है। प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक है,जो $f_{closed, 2} = 3 \times f_{closed, 1} = 3 \times \frac{v}{4L} = \frac{3v}{4L}$ द्वारा दिया जाता है।
खुली पाइप के प्रथम ओवरटोन और बंद पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{open, 2}}{f_{closed, 2}} = \frac{v/L}{3v/4L} = \frac{1}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ है।

(A) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $f_0 = 1500 \ Hz$ है।
मूल आवृत्ति $f_1 = 1500 \ Hz$ है।
ओवरटोन्स मूल आवृत्ति से अधिक आवृत्तियाँ हैं,जो $n > 1$ के लिए $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा प्राप्त होती हैं।
हमें $f_n \leq 19500 \ Hz$ की आवश्यकता है।
$(2n - 1) \times 1500 \leq 19500$.
$2n - 1 \leq \frac{19500}{1500} = 13$.
$2n \leq 14$,इसलिए $n \leq 7$.
$n$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
चूंकि $n=1$ मूल आवृत्ति है,इसलिए ओवरटोन्स $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के अनुरूप हैं।
इस प्रकार,कुल $7 - 1 = 6$ ओवरटोन्स हैं।

(B) मान लीजिए उच्चतम बिंदु पर गति $v_h$ है और निम्नतम बिंदु पर गति $v_l$ है।
उच्चतम बिंदु पर,तनाव $T_h = \frac{mv_h^2}{L} - mg$ द्वारा दिया जाता है।
निम्नतम बिंदु पर,तनाव $T_l = \frac{mv_l^2}{L} + mg$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}mv_l^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2L)$,जो सरल होकर $v_l^2 = v_h^2 + 4gL$ हो जाता है।
$T_l$ के व्यंजक में $v_l^2$ का मान रखने पर: $T_l = \frac{m(v_h^2 + 4gL)}{L} + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 4mg + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 5mg$.
दिया गया अनुपात $\frac{T_l}{T_h} = 3$ है,इसलिए $\frac{\frac{mv_h^2}{L} + 5mg}{\frac{mv_h^2}{L} - mg} = 3$.
मान लीजिए $x = \frac{v_h^2}{L}$ है। तो $\frac{x + 5g}{x - g} = 3 \implies x + 5g = 3x - 3g \implies 2x = 8g \implies x = 4g$.
चूंकि $x = \frac{v_h^2}{L}$,इसलिए $\frac{v_h^2}{L} = 4g$,जिससे $v_h^2 = 4gL$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_h = 2\sqrt{gL}$.

(B) दिया गया है: अधिकतम तनाव $T_{max} = 3.7 \ kg \ wt = 3.7 \times 10 \ N = 37 \ N$. द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$. त्रिज्या $r = 4 \ m$. $g = 10 \ m/s^2$.
ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में,पथ के सबसे निचले बिंदु पर तनाव अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर तनाव का सूत्र $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ है।
मान रखने पर: $37 = (0.5 \times 10) + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$37 = 5 + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$32 = \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$128 = 0.5 \times v^2$.
$v^2 = 256$.
$v = 16 \ m/s$.
चूंकि $v = r\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r} = \frac{16}{4} = 4 \ rad/s$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि बॉब का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है। किसी भी कोण $\phi$ पर डोरी में तनाव $T = mg \cos \phi + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति पर,$\phi = \theta$ और $v = 0$,इसलिए न्यूनतम तनाव $T_{min} = mg \cos \theta$ है।
सबसे निचले बिंदु पर,$\phi = 0$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$mg(l - l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $mv^2 = 2mgl(1 - \cos \theta)$ है।
अधिकतम तनाव $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ है।
दिया गया है कि $T_{max} = 4 T_{min}$,इसलिए $mg(3 - 2 \cos \theta) = 4mg \cos \theta$ है।
$3 - 2 \cos \theta = 4 \cos \theta \implies 6 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = 0.5$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5)$।

(B) किसी कण के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति पूर्ण करने हेतु,शीर्ष बिंदु $A$ पर न्यूनतम वेग $v_A = \sqrt{g\ell}$ होता है।
बिंदु $A$ और बिंदु $C$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2\ell) = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}m(g\ell) + 2mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}g\ell + mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2$
$\frac{3}{2}g\ell = \frac{1}{2}v_C^2 \implies v_C^2 = 3g\ell$।
बिंदु $A$ पर अभिकेंद्र त्वरण $a_A = \frac{v_A^2}{\ell} = \frac{g\ell}{\ell} = g$ है।
बिंदु $C$ पर अभिकेंद्र त्वरण $a_C = \frac{v_C^2}{\ell} = \frac{3g\ell}{\ell} = 3g$ है।
अभिकेंद्र त्वरण में वृद्धि $\Delta a = a_C - a_A = 3g - g = 2g$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $= m$ $kg$,त्रिज्या $r = 49$ $cm = 0.49$ $m$,आवृत्ति $f = 30$ $rpm = 0.5$ $rev/s$।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi$ $rad/s$।
सबसे निचले बिंदु पर,तनाव $T = mg + mr\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = m(10) + m(0.49)(\pi^2)$।
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर: $T = 10m + m(0.49)(10) = 10m + 4.9m = 14.9m$ $N$।
निकटतम पूर्णांक में,$T \approx 15m$ $N$।

(C) मान लीजिए पत्थर का प्रारंभिक वेग $u$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ स्थिर रहता है।
इसलिए,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m v_x^2$ होगी।
$v_x = u \cos \theta$ रखने पर,हमें $E' = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ प्राप्त होता है।
$E' = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$.
चूंकि $E = \frac{1}{2} m u^2$,इसलिए $E' = E \cos^2 \theta$ होगा।

(C) माना लोलक की लंबाई $L = 1 \,m$ है और निम्नतम बिंदु पर प्रारंभिक गति $v_0 = 4 \,m/s$ है।
निम्नतम बिंदु पर, स्थितिज ऊर्जा को $0$ माना जाता है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
जब डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है, तो गोलक की ऊँचाई $h = L(1 - \cos \theta)$ होती है।
मान रखने पर, $h = 1(1 - \cos 60^{\circ}) = 1(1 - 0.5) = 0.5 \,m$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा $\theta$ कोण पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 - 2gh$
$v^2 = (4)^2 - 2(10)(0.5)$
$v^2 = 16 - 10 = 6$
$v = \sqrt{6} \,m/s$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,बल $\vec{F} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m \vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
वेग $\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \ dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j}$ (प्रारंभिक वेग शून्य मानते हुए)।
शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j})$.
$P = \frac{t^3}{2} + \frac{4t^5}{3}$.
$t = 3 \ s$ पर:
$P = \frac{3^3}{2} + \frac{4(3^5)}{3} = \frac{27}{2} + 4(3^4) = 13.5 + 4(81) = 13.5 + 324 = 337.5 \ W$.

(D) विस्थापन सदिश $\vec{d}$ को $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r}_P = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \ m$ और $\vec{r}_Q = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ m$ दिया गया है।
अतः,$\vec{d} = (2-3) \hat{i} + (3-4) \hat{j} + (4-5) \hat{k} = (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) \ m$।
एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,डॉट प्रोडक्ट $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है।
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k})$।
$W = (3 \times -1) + (4 \times -1) + (5 \times -1) = -3 - 4 - 5 = -12 \ J$।

(B) नियत बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (-2 \times -3) + (-1 \times -3) = 6 + 6 + 3 = 15 \text{ J}$.
शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $P = \frac{W}{t}$.
यहाँ $t = 2 \text{ s}$ दिया गया है,इसलिए $P = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ W}$.
अतः,किया गया कार्य $15 \text{ J}$ और शक्ति $7.5 \text{ W}$ है।

(C) $1$. ऊपरी शाखा में एक $AND$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट ($NAND$ गेट) लगा है। $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $(A \cdot B)$ है। $NOT$ गेट के बाद,आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ हो जाता है।
$2$. निचली शाखा में इनपुट $A$ पर एक $NOT$ गेट है (जो $\overline{A}$ देता है) और उसके बाद इनपुट $B$ के साथ एक $AND$ गेट है। इस प्रकार,इस शाखा का आउटपुट $(\overline{A} \cdot B)$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = (\overline{A \cdot B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
$4$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ हमारे प्राप्त व्यंजक से मेल खाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $AND$ गेट जुड़ा है।
इनपुट $B$ और $C$ को $NOR$ गेट में दिया जाता है,जो आउटपुट $X = \overline{B+C}$ उत्पन्न करता है।
यह आउटपुट $X$ और इनपुट $A$ को $AND$ गेट में दिया जाता है जिससे अंतिम आउटपुट $Y$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आउटपुट के लिए बूलियन समीकरण $Y = A \cdot X = A \cdot (\overline{B+C})$ है।
आउटपुट $Y$ को $HIGH$ $(Y=1)$ होने के लिए,$A$ का मान $1$ होना चाहिए और $(\overline{B+C})$ का मान $1$ होना चाहिए।
$(\overline{B+C}) = 1$ केवल तब होता है जब $B+C = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $B=0$ और $C=0$ है।
अतः,$Y=1$ तब प्राप्त होता है जब $A=1, B=0, C=0$ हो।

(D) दिया गया लॉजिक सर्किट एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तब $X = \overline{A + B}$।
अंतिम आउटपुट $Y$,$AND$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y = X \cdot C = (\overline{A + B}) \cdot C$।
हमें आउटपुट $Y = 0$ चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$A) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{1+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$।
$B) A=0, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{0+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$।
$C) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{1+0}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$।
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{0+0}) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा इनपुट सेट आउटपुट $0$ नहीं देता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) वह लॉजिक गेट जो केवल तब '$HIGH$' या '$1$' आउटपुट देता है जब इनपुट में '$HIGH$' या '$1$' की संख्या विषम (odd) होती है,उसे एक्सक्लूसिव-$OR$ (Ex-$OR$) गेट कहा जाता है।
दो-इनपुट Ex-$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को $Y = A \oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो-इनपुट Ex-$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,आउटपुट केवल तब '$1$' प्राप्त होता है जब '$HIGH$' इनपुट की संख्या विषम होती है (अर्थात,$1$ इनपुट '$HIGH$' होता है)।

(D) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है।
मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए $X = B + C$ है।
$AND$ गेट के इनपुट $A$ और $X$ हैं।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot X = A \cdot (B + C)$ है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$A$ का मान $1$ होना चाहिए और $(B + C)$ का मान $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 0, 0, 0 \implies Y = 0 \cdot (0 + 0) = 0$
$B) 0, 1, 0 \implies Y = 0 \cdot (1 + 0) = 0$
$C) 1, 0, 0 \implies Y = 1 \cdot (0 + 0) = 0$
$D) 1, 0, 1 \implies Y = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$
इस प्रकार,इनपुट $A=1, B=0, C=1$ का सेट आउटपुट $Y=1$ देता है।

(C) दी गई शर्तों के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies C=1$
$A=0, B=1 \implies C=1$
आइए दिए गए विकल्पों के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
$1$. $OR$ गेट: $0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1$. (मेल नहीं खाता)
$2$. $AND$ गेट: $0 \cdot 0=0, 0 \cdot 1=0, 1 \cdot 0=0, 1 \cdot 1=1$. (मेल नहीं खाता)
$3$. $NAND$ गेट: $\overline{0 \cdot 0}=1, \overline{0 \cdot 1}=1, \overline{1 \cdot 0}=1, \overline{1 \cdot 1}=0$. (दी गई शर्तों से मेल खाता है)
$4$. $NOR$ गेट: $\overline{0+0}=1, \overline{0+1}=0, \overline{1+0}=0, \overline{1+1}=0$. (मेल नहीं खाता)
अतः,यह लॉजिक गेट $NAND$ गेट है।

(A) आइए दिए गए इनपुट के साथ प्रत्येक लॉजिक गेट का विश्लेषण करें:
$(A)$ यह $1$ और $1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है। $A=1, B=1$ के लिए,$Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$(B)$ यह $0$ और $0$ इनपुट वाला $NOR$ गेट है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ होता है। $A=0, B=0$ के लिए,$Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(C)$ यह $1$ और $0$ इनपुट वाला $AND$ गेट है। $AND$ गेट का आउटपुट $Y = A \cdot B$ होता है। $A=1, B=0$ के लिए,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
$(D)$ यह $0$ और $1$ इनपुट वाला $XOR$ गेट है। $XOR$ गेट का आउटपुट $Y = A \oplus B$ होता है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \oplus 1 = 1$ प्राप्त होता है।
आउटपुट की तुलना करने पर,गेट $(A)$ और $(C)$ '$0$' आउटपुट देते हैं।
अतः,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ है।

(B) $1$. एक $AND$ गेट दो इनपुट $A$ और $B$ लेता है और आउटपुट $X = A \cdot B$ उत्पन्न करता है।
$2$. इस आउटपुट $X$ को फिर एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है।
$3$. एक $NOT$ गेट इनपुट को उल्टा कर देता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X}$ होता है।
$4$. $X$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$5$. $AND$ गेट और उसके बाद $NOT$ गेट के इस संयोजन को $NAND$ गेट के रूप में जाना जाता है।

(C) सेंटर-टैप फुल-वेव रेक्टिफायर में,ट्रांसफार्मर की द्वितीयक वाइंडिंग सेंटर टैप द्वारा दो समान भागों में विभाजित होती है।
यदि पूरी द्वितीयक वाइंडिंग पर कुल वोल्टेज $V_s$ है,तो द्वितीयक वाइंडिंग के प्रत्येक आधे भाग पर वोल्टेज $\frac{V_s}{2}$ होता है।
धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,एक डायोड चालन करता है और लोड पर वोल्टेज द्वितीयक के ऊपरी आधे भाग का वोल्टेज होता है,जो $\frac{V_s}{2}$ है।
ऋणात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,दूसरा डायोड चालन करता है और लोड पर वोल्टेज द्वितीयक के निचले आधे भाग का वोल्टेज होता है,जो भी $\frac{V_s}{2}$ है।
इसलिए,प्रत्येक डायोड के सापेक्ष आउटपुट वोल्टेज $\frac{1}{2} V_s$ है।

(C) एक अर्धचालक में,जैसे-जैसे तापमान $(T)$ बढ़ता है,सहसंयोजक बंधों के टूटने के कारण आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से (घातांकीय रूप से) बढ़ती है।
आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि जाली (lattice) के कंपन में वृद्धि के प्रभाव पर हावी हो जाती है (जो अन्यथा प्रतिरोधकता को बढ़ाती)।
परिणामस्वरूप,तापमान में वृद्धि के साथ अर्धचालक की प्रतिरोधकता $(\varrho)$ तेजी से घटती है।
यह संबंध $\varrho = \varrho_0 e^{E_g / 2k_BT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_g$ बैंड गैप ऊर्जा है और $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
ग्राफ $(C)$ तापमान के साथ प्रतिरोधकता में इस घातांकीय गिरावट को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) दिया गया है: आंतरिक वाहक सांद्रता $n_i = 10^{16} \ m^{-3}$ है।
फास्फोरस एक पंचसंयोजी अशुद्धि है,इसलिए यह दाता (donor) के रूप में कार्य करता है। मिलाए गए दाता परमाणुओं की सांद्रता $N_D = 10^{21} \ m^{-3}$ है।
चूंकि $N_D \gg n_i$,n-प्रकार के अर्धचालक में इलेक्ट्रॉन सांद्रता लगभग दाता सांद्रता के बराबर होती है: $n_e \approx N_D = 10^{21} \ m^{-3}$।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,जहाँ $n_h$ होल सांद्रता है।
मान रखने पर: $10^{21} \cdot n_h = (10^{16})^2$।
$10^{21} \cdot n_h = 10^{32}$।
$n_h = \frac{10^{32}}{10^{21}} = 10^{11} \ m^{-3}$।
अतः,नई होल सांद्रता $10^{11} \ m^{-3}$ है।

(C) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक (जैसे $Si$ या $Ge$) में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणु (जैसे $P, As, Sb$) मिलाए जाते हैं।
ये अशुद्धि परमाणु चालन के लिए अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं।
इन दाता इलेक्ट्रॉनों के अनुरूप ऊर्जा स्तरों को दाता ऊर्जा स्तर $(E_D)$ कहा जाता है।
ये दाता ऊर्जा स्तर वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) में,चालन बैंड के किनारे $(E_C)$ के ठीक नीचे स्थित होते हैं।
चूंकि वे चालन बैंड के बहुत करीब होते हैं,इसलिए इलेक्ट्रॉन कमरे के तापमान पर आसानी से तापीय ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और चालन बैंड में कूद सकते हैं,जिससे वे विद्युत चालकता में योगदान देते हैं।

(C) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक (जैसे $Si$ या $Ge$) में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे $P, As, Sb$) को मिलाया जाता है।
ये पंचसंयोजी परमाणु चालन बैंड में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं,जिससे इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक बन जाते हैं।
इसके विपरीत,होल केवल तापीय उत्तेजना के कारण उत्पन्न होते हैं,जो उन्हें अल्पसंख्यक आवेश वाहक बनाते हैं।
इसलिए,यह कथन कि 'होल अल्पसंख्यक वाहक हैं और पंचसंयोजी परमाणु डोपेंट हैं' सही है।

(C) एक अर्धचालक में,तापमान बढ़ने के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से बढ़ती है क्योंकि अधिक सहसंयोजक बंध टूटते हैं,जिससे अधिक आवेश वाहक मुक्त होते हैं।
जैसे-जैसे आवेश वाहकों की संख्या बढ़ती है,अर्धचालक की विद्युत चालकता बढ़ती है,जिससे इसके विद्युत प्रतिरोध में कमी आती है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R$। चूंकि वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है और प्रतिरोध $R$ घटता है,इसलिए परिपथ में विद्युत धारा $I$ बढ़ जाएगी।

(C) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,अर्धचालक को पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे $P$,$As$,$Sb$) के साथ डोप किया जाता है।
ये पंचसंयोजी परमाणु चालन बैंड (conduction band) में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं,जिससे इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक बन जाते हैं।
इसके विपरीत,होल केवल तापीय उत्तेजना के कारण उत्पन्न होते हैं,जिससे वे अल्पसंख्यक आवेश वाहक बन जाते हैं।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक वाहक हैं और पंचसंयोजी परमाणु डोपेंट हैं,जबकि होल अल्पसंख्यक वाहक हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है क्योंकि यह बताता है कि होल अल्पसंख्यक वाहक हैं और पंचसंयोजी परमाणु डोपेंट हैं।

(D) सौर सेल एक ऐसा उपकरण है जो सौर ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है। सौर विकिरण स्पेक्ट्रम में लगभग $1.5 \ eV$ के आसपास अधिकतम तीव्रता होती है। सौर विकिरण को कुशलतापूर्वक अवशोषित करने के लिए,सौर सेल में उपयोग की जाने वाली अर्धचालक सामग्री का बैंड गैप इस ऊर्जा सीमा से मेल खाना चाहिए। $1.0 \ eV$ और $1.8 \ eV$ के बीच बैंड गैप वाली सामग्रियां इस उद्देश्य के लिए आदर्श हैं,क्योंकि वे सौर स्पेक्ट्रम के एक महत्वपूर्ण हिस्से को अवशोषित कर सकती हैं। सिलिकॉन,जिसका बैंड गैप लगभग $1.1 \ eV$ है,सौर सेल के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली सामग्री है।

(B) $LED$ द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य प्रयुक्त अर्धचालक पदार्थ की बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ पर निर्भर करती है।
एल्युमीनियम गैलियम आर्सेनाइड $(AlGaAs)$ एक ऐसा अर्धचालक पदार्थ है जिसकी बैंड गैप ऊर्जा विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र के अनुरूप होती है।
इसलिए,$AlGaAs$ का उपयोग करके निर्मित $LED$ अवरक्त विकिरण उत्सर्जित करती है।

(A) फ्रॉनहोफर विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई की दोगुनी है,इसलिए $w = 2d$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{2 \lambda D}{d} = 2d$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\lambda D}{d} = d$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए हल करने पर,हमें $D = \frac{d^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y_n}{D}$,जहाँ $y_n$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है।
अतः,$y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $a = 0.2 \ mm = 2 \times 10^{-4} \ m$,$D = 2 \ m$,और $2y_1 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर: $10^{-2} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{2 \times 10^{-4}}$.
$10^{-2} = \frac{4 \lambda}{2 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^4 \lambda$.
$\lambda = \frac{10^{-2}}{2 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-6} \ m = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5000 \ Å$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ सबसे अधिक चमकीला और चौड़ा होता है। जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठों की तीव्रता तेजी से घटती जाती है। केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2\lambda D/a$ होती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है। इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता असमान होती है। विकल्प $D$ कहता है कि फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता समान होती है,जो कि गलत है।

(B) वृत्ताकार द्वारक के लिए रेले के मानदंड के अनुसार,कोणीय विभेदन $\theta = 1.22 \lambda / D$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $D$ द्वारक का व्यास है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,त्रिज्या $r = 0.25 \ cm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए व्यास $D = 2r = 5.0 \times 10^{-3} \ m$.
कोणीय विभेदन $\theta = (1.22 \times 500 \times 10^{-9}) / (5.0 \times 10^{-3}) = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ है।
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ की दूरी पर न्यूनतम पृथक्करण $d = L \times \theta$ है।
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \times 10^{-6} \ m = 30.5 \mu m$.
अतः,न्यूनतम पृथक्करण लगभग $30 \mu m$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त है: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\theta$ विवर्तन कोण है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्र से दूरी है और $D$ पर्दे तक की दूरी है।
दूसरे उच्चिष्ठ के लिए,$n = 2$. अतः,$a \frac{y}{D} = (2 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{5}{2} \lambda$.
दिया गया है: $a = 0.65 \ mm = 0.65 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1.3 \ m$,और $y = 2.6 \ mm = 2.6 \times 10^{-3} \ m$.
मान रखने पर: $(0.65 \times 10^{-3}) \times \frac{2.6 \times 10^{-3}}{1.3} = \frac{5}{2} \lambda$.
$(0.65 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.3 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = \frac{1.3 \times 10^{-6}}{2.5} = 0.52 \times 10^{-6} \ m = 5200 \ \times 10^{-10} \ m = 5200 \ Å$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,द्वितीयक उच्चिष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
$\lambda_1 = 6384 Å$ तरंगदैर्ध्य के लिए दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n = 2)$ की स्थिति $a \sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{5}{2} \lambda_1$ है।
$\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य के लिए तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n = 3)$ की स्थिति $a \sin \theta = (3 + \frac{1}{2}) \lambda_0 = \frac{7}{2} \lambda_0$ है।
चूंकि स्थितियां संपाती हैं,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं: $\frac{5}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda_0$.
यह $5 \lambda_1 = 7 \lambda_0$ में सरल हो जाता है।
$\lambda_1 = 6384 Å$ रखने पर,हमें $\lambda_0 = \frac{5 \times 6384}{7} = \frac{31920}{7} = 4560 Å$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$,पर्दे की दूरी $D = 1.5 \ m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4500 \ Å = 4500 \times 10^{-10} \ m$.
फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है। छोटे $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
अतः,$a \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda \implies y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ की दूरी $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 4500 \times 10^{-10} \times 1.5}{0.3 \times 10^{-3}}$.
$2y_1 = \frac{13500 \times 10^{-10}}{0.3 \times 10^{-3}} = 45000 \times 10^{-7} \ m = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र है: $y = \frac{2D\lambda}{a}$,जहाँ '$D$' स्लिट से पर्दे की दूरी है,'$\lambda$' प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है और '$a$' स्लिट की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,$y = \frac{2D\lambda}{a}$.
दूसरे मामले में,स्लिट की चौड़ाई आधी कर दी जाती है,इसलिए नई चौड़ाई $a' = \frac{a}{2}$ है।
नई तरंग दैर्ध्य $\lambda' = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की नई चौड़ाई '$y'$' का सूत्र है: $y' = \frac{2D\lambda'}{a'} = \frac{2D(1.5\lambda)}{a/2}$.
इसे सरल करने पर: $y' = \frac{2D(3/2\lambda)}{a/2} = \frac{3D\lambda}{a/2} = \frac{6D\lambda}{a}$.
चूंकि $y = \frac{2D\lambda}{a}$,हम इसे $y'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$y' = 3 \times (\frac{2D\lambda}{a}) = 3y$.
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की नई चौड़ाई $3y$ होगी।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त है: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda'$,जहाँ $n$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के $4^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए: $a \sin \theta_1 = (4 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{9}{2} \lambda_1$.
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के $3^{\text{rd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए: $a \sin \theta_2 = (3 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{7}{2} \lambda$.
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं,$\theta_1 = \theta_2$,इसलिए $a \sin \theta_1 = a \sin \theta_2$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{9}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda$.
$\lambda_1$ के लिए हल करने पर: $\lambda_1 = \frac{7}{9} \lambda$.

(B) मान लीजिए कि दो सुसंगत स्रोतों के आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं।
दीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ है।
अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{5}{1}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{5}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ प्राप्त होता है।
दीप्त फ्रिंज का परिणामी आयाम $A_{max} = a_1 + a_2$ है और अदीप्त फ्रिंज का परिणामी आयाम $A_{min} = a_1 - a_2$ है।
इसलिए,परिणामी आयामों का अनुपात $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ है।

(B) माना आपतित तीव्रता $I$ है।
बिंदु $A$ पर,$I$ का $25\%$ किरण $AB$ के रूप में परावर्तित होता है। अतः,$I_1 = 0.25I = I/4$।
अपवर्तित किरण की तीव्रता $0.75I$ है।
बिंदु $C$ पर,यह किरण परावर्तित होती है। आपतित ऊर्जा $(0.75I)$ का $25\%$ परावर्तित होता है। अतः,$A^1$ तक पहुँचने वाली किरण की तीव्रता $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ है।
बिंदु $A^1$ पर,यह किरण $A^1B^1$ के रूप में अपवर्तित होती है। चूंकि $A^1$ पर $25\%$ परावर्तित होता है,इसलिए आपतित ऊर्जा का $75\%$ पारगमित (transmitted) होता है।
अतः,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$।
आयाम $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ और $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ हैं।
आयामों का अनुपात $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ है।
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$।

(C) व्यतिकरण पैटर्न में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ दिया गया है।
बिंदु $P$ पर,कलांतर $\phi_P = \pi / 2$ है। अतः,$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi / 2) = 10I + 6I(0) = 10I$।
बिंदु $Q$ पर,कलांतर $\phi_Q = \pi$ है। अतः,$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$।
बिंदुओं $P$ और $Q$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $|I_P - I_Q| = |10I - 4I| = 6I$ है।

(B) मान लीजिए कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। तीव्रताओं का अनुपात $b = \frac{I_1}{I_2}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
वांछित अनुपात $R = \frac{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}$ है।
$I_{\text{max}}$ और $I_{\text{min}}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
पदों का विस्तार करने पर:
$R = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})} = \frac{2(I_1 + I_2)}{4\sqrt{I_1I_2}} = \frac{I_1 + I_2}{2\sqrt{I_1I_2}}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$R = \frac{\frac{I_1}{I_2} + 1}{2\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}} = \frac{b + 1}{2\sqrt{b}}$.

(A) व्यतिकरण की घटना में, प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_1$ और $I_2$ दो तरंगों की तीव्रताएँ हैं。
चूँकि $I \propto A^2$, जहाँ $A$ आयाम है, विनाशी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (A_1 - A_2)^2$ होती है。
यदि आयाम $A_1$ और $A_2$ भिन्न हैं, तो $(A_1 - A_2)^2 \neq 0$ होगा。
अतः, विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में तीव्रता शून्य नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि वहाँ प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता मौजूद रहती है。

(A) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 256 \ W/m^2$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2 = 256 / 2 = 128 \ W/m^2$ हो जाती है।
$P_2$ की पास अक्ष $P_1$ के सापेक्ष $\theta_1 = 60^{\circ}$ के कोण पर है। मैलस के नियम के अनुसार,$P_2$ के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(\theta_1) = 128 \times \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (0.5)^2 = 128 \times 0.25 = 32 \ W/m^2$ है।
$P_3$ की पास अक्ष $P_1$ के सापेक्ष $90^{\circ}$ के कोण पर है। $P_2$ और $P_3$ की पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$P_3$ के लिए पुनः मैलस का नियम लागू करने पर,बिंदु $O$ पर अंतिम तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(\theta_2) = 32 \times \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\sqrt{3}/2)^2 = 32 \times (3/4) = 24 \ W/m^2$ प्राप्त होती है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ होती है।
बाद के पोलरॉइड के लिए,हम मैलस के नियम का उपयोग करते हैं: $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है।
दूसरे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
तीसरे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_3 = I_2 \cos^2 30^{\circ} = (3 I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9 I_0 / 32$.
चौथे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_4 = I_3 \cos^2 30^{\circ} = (9 I_0 / 32) \times (3 / 4) = 27 I_0 / 128$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मेलस के नियम के अनुसार,पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{incident} \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ पोलेरॉइड के पास अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच का कोण है।
दूसरे पोलेरॉइड के लिए,इसके पास अक्ष और पहले पोलेरॉइड के पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ है। अतः,दूसरे पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3 I_0}{8}$ है।
तीसरे पोलेरॉइड के लिए,इसके पास अक्ष और दूसरे पोलेरॉइड के पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है। अतः,तीसरे पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3 I_0}{32}$ है।

(B) $1$. जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
$2$. पहला और दूसरा पोलेरॉइड क्रॉस्ड हैं (अक्षों के बीच का कोण $90^\circ$ है),इसलिए शुरुआत में दूसरे पोलेरॉइड से कोई प्रकाश नहीं निकलता है।
$3$. एक तीसरा पोलेरॉइड उनके बीच पहले पोलेरॉइड के साथ $\theta$ कोण पर रखा जाता है। तीसरे और दूसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ होगा।
$4$. तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$5$. मैलस के नियम का उपयोग करते हुए दूसरे (अंतिम) पोलेरॉइड के बाद तीव्रता: $I_3 = I_2 \cos^2(90^\circ - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$.
$6$. $I_2$ का मान रखने पर: $I_3 = (\frac{I_0}{2} \cos^2 \theta) \sin^2 \theta = \frac{I_0}{2} (\sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{2} (\frac{\sin 2 \theta}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2 2 \theta$.

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
यह प्रकाश अब समतल ध्रुवित है।
जब यह प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी संचरण अक्ष पहले के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2$ मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$.
मान रखने पर: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3} / 2$,इसलिए $\cos^2 30^{\circ} = 3 / 4$.
अतः,$I_2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
अंश की गणना करने पर: $3 / 8 = 0.375$,जो $37.5 \%$ है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan(i_p)$ होता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण है।
साथ ही,अपवर्तनांक $\mu$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(C)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{C}{V}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{C}{V} = \tan(i_p)$।
इसे $\frac{C}{V} = \frac{\sin(i_p)}{\cos(i_p)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $C \cos(i_p) = V \sin(i_p)$ प्राप्त होता है,जो $V \sin(i_p) = C \cos(i_p)$ के बराबर है।

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि $\tan(i_B) = \mu_{21}$, जहाँ $\mu_{21} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक है。
हवा $(\mu_1 = 1)$ से कांच $(\mu_2 = \mu)$ में प्रकाश के संचरण के लिए, ब्रूस्टर कोण $\theta$ को $\tan(\theta) = \frac{\mu}{1} = \mu$ द्वारा दिया जाता है。
कांच $(\mu_1 = \mu)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में प्रकाश के संचरण के लिए, ब्रूस्टर कोण $i_B'$ को $\tan(i_B') = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि $\tan(\theta) = \mu$, इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\tan(\theta)} = \cot(\theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$ है。
अतः, $i_B' = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ हवा में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ का अनुपात है,इसलिए $\mu = \frac{c}{v}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{c}{v}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cot \theta = \frac{v}{c}$ होगा।
अतः,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{v}{c}\right)$।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,वायु के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ को वायु में प्रकाश की गति $(c_a)$ और कांच में प्रकाश की गति $(c_g)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\mu = \frac{c_a}{c_g}$।
चूंकि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए प्रकाश की गति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $c = f \lambda$ होता है।
अतः,$\mu = \frac{f \lambda_a}{f \lambda_g} = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\lambda_g = \frac{\lambda_a}{\tan \theta} = \lambda_a \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो उसकी तीव्रता $I_1 = I_0/2$ हो जाती है (अध्रुवित प्रकाश के लिए)।
दूसरे पोलरॉइड के लिए,संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है। मैलस के नियम के अनुसार,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/2) \times (1/2)^2 = I_0/8$।
तीसरे पोलरॉइड के लिए,इसकी संचरण अक्ष और दूसरे पोलरॉइड की अक्ष के बीच का कोण भी $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/8) \times (1/2)^2 = I_0/32$।
प्रणाली से गुजरने वाली आपतित प्रकाश की तीव्रता का अंश $I_3/I_0 = 1/32$ है।

(B) हाइगेन्स का प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि प्रकाश एक काल्पनिक माध्यम में तरंगों के रूप में यात्रा करता है जिसे ल्यूमिनिफेरस ईथर कहा जाता है।
इस सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश के विभिन्न रंग इन तरंगों की अलग-अलग तरंग दैर्ध्य (या आवृत्तियों) के अनुरूप होते हैं।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यह प्रकाश की तरंग प्रकृति के अनुरूप है।
विकल्प $B$ न्यूटन के कणिका सिद्धांत (Corpuscular theory) को संदर्भित करता है,जो बताता है कि प्रकाश विभिन्न रंगों के लिए अलग-अलग आकार के कणों (कणिकाओं) से बना होता है। यह हाइगेन्स के तरंग सिद्धांत का हिस्सा नहीं है।
विकल्प $C$ हाइगेन्स के सिद्धांत की एक भविष्यवाणी है,जो सही ढंग से बताती है कि प्रकाश विरल माध्यम की तुलना में सघन माध्यम में धीमा चलता है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि हाइगेन्स का सिद्धांत तरंग-अग्र (wave-fronts) का उपयोग करके परावर्तन और अपवर्तन के नियमों की सफलतापूर्वक व्याख्या करता है।
इसलिए,हाइगेन्स के तरंग सिद्धांत के अनुसार जो कथन सही नहीं है,वह $B$ है।

(D) ऑप्टिकल पथ की लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक और प्रकाश द्वारा तय की गई ज्यामितीय दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
निर्वात (या हवा) में,$t$ दूरी के लिए ऑप्टिकल पथ $t_{opt} = 1 \times t = t$ होता है।
जब $t$ मोटाई और $n$ अपवर्तनांक वाली अभ्रक फिल्म को पेश किया जाता है,तो प्रकाश फिल्म के माध्यम से $t$ दूरी तय करता है।
फिल्म के माध्यम से ऑप्टिकल पथ $t'_{opt} = n \times t = nt$ होता है।
ऑप्टिकल पथ में परिवर्तन $\Delta = t'_{opt} - t_{opt} = nt - t = (n-1)t$ है।
चूंकि $n > 1$ है,इसलिए ऑप्टिकल पथ $(n-1)t$ से बढ़ जाता है।

(C) किसी एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ द्वारा दिया जाता है।
तीसरे निम्निष्ठ के लिए,पथ अंतर की शर्त $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 3$ है।
अतः,$\frac{d^2}{2D} = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$ है।
यह दर्शाता है कि $\frac{d^2}{D} = 5\lambda$ है।
अब,उसी बिंदु पर पहले निम्निष्ठ के लिए,मान लीजिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है। शर्त है $\Delta x = (2(1) - 1) \frac{\lambda'}{2} = \frac{\lambda'}{2}$ है।
पथ अंतर की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda'}{2}$,जिससे $\frac{d^2}{D} = \lambda'$ प्राप्त होता है।
पहले मामले से $\frac{d^2}{D}$ का मान रखने पर: $\lambda' = 5\lambda$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5\lambda - \lambda = 4\lambda$ है।

(C) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$, जहाँ $\Delta x$ पथ अंतर है।
$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए, कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$ है।
दिया गया है कि $I_1 = \frac{K}{2}$, इसलिए $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{2}$, जिसका अर्थ है कि $I_0 = K$ है।
$\Delta x = \lambda$ के लिए, कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
तीव्रता $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (1)^2 = I_0$ है।
चूंकि $I_0 = K$, इसलिए तीव्रता $I_2 = K$ होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
कलान्तर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथांतर के व्यंजक को कलान्तर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ रेडियन।
अतः,$n$वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए कलान्तर $(2n-1) \pi$ है।

(A) निश्चित चौड़ाई $W$ वाले पर्दे पर देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $N$,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
$N$ फ्रिंजों द्वारा कवर की गई कुल चौड़ाई $W = N \beta$ है,इसलिए $W = N \frac{\lambda D}{d}$।
पर्दे की निश्चित चौड़ाई $W$ के लिए,$N \lambda = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$।
दिया गया है: $N_1 = 18$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$।
मान रखने पर: $18 \times 600 = N_2 \times 400$।
$N_2 = \frac{18 \times 600}{400} = \frac{18 \times 6}{4} = \frac{108}{4} = 27$।
अतः,देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $27$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को एक स्लिट के सामने रखा जाता है,तो पार्श्व विस्थापन (फ्रिंज शिफ्ट) $y$ का सूत्र इस प्रकार है:
$y = \frac{D}{d} (\mu - 1) t$
दिया गया है:
पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D = 1 \ m$
स्लिट के बीच की दूरी $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$
मोटाई $t = 0.04 \ mm = 0.04 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-5} \ m$
मान रखने पर:
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (1.5 - 1) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (0.5) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{0.5 \times 4 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{2 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}} = 10^{-2} \ m$
$y = 1 \ cm$
अतः,फ्रिंजों का पार्श्व विस्थापन $1 \ cm$ होगा।

(B) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 600 \ nm = 6 \times 10^{-7} \ m$,$d = 10^{-3} \ m$,और $\Delta\beta = 3 \times 10^{-5} \ m$.
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta\beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ है।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \Delta D$.
$3 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-4} \Delta D$.
$\Delta D = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{-1} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$.
यदि $\Delta\beta$ धनात्मक है (वृद्धि),तो स्क्रीन को $5 \ cm$ दूर ले जाना चाहिए। यदि $\Delta\beta$ ऋणात्मक है (कमी),तो स्क्रीन को स्लिट्स की ओर $5 \ cm$ ले जाना चाहिए। प्रश्न परिमाण में परिवर्तन के बारे में पूछता है,इसलिए $5 \ cm$ दूर ले जाना या $5 \ cm$ पास ले जाना दोनों ही फ्रिंज की चौड़ाई में $3 \times 10^{-5} \ m$ का परिवर्तन लाते हैं। अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,एक झिरी के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x$ दोनों झिरियों से उस बिंदु तक की दूरियों का अंतर है।
मान लीजिए कि झिरियाँ $y = d/2$ और $y = -d/2$ पर हैं। एक झिरी के सामने का बिंदु $y = d/2$ पर है।
पहली झिरी से दूरी $0$ है।
दूसरी झिरी से दूरी $\sqrt{D^2 + d^2}$ है।
अतः,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{D^2 + d^2} - D$ है।
$d \ll D$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हुए,$\Delta x \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) - D = \frac{d^2}{2D}$ प्राप्त होता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर अर्ध-तरंगदैर्घ्य का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{d^2}{D(2n - 1)}$ प्राप्त होता है।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,तरंगदैर्घ्य $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \dots$ के समानुपाती हैं।