MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र है: $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\theta \propto \lambda$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 6000 Å$ है और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1$ है।
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda_2$ किया जाता है,तो कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \theta_1 - 0.20 \theta_1 = 0.80 \theta_1$ हो जाती है।
समानुपातिकता $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{0.80 \theta_1}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$0.80 = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$\lambda_2 = 0.80 \times 6000 Å = 4800 Å$.

(B) एकल स्लिट की चौड़ाई $d$ के लिए मुख्य उच्चिष्ठ की अर्ध-कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम मामले के लिए: $\theta = \frac{\lambda}{d} \implies d = \frac{\lambda}{\theta}$.
द्वितीय मामले के लिए: $q\theta = \frac{p\lambda}{d'} \implies d' = \frac{p\lambda}{q\theta}$.
$n$-वें गौण उच्चिष्ठ की अर्ध-कोणीय चौड़ाई $\theta_n = \frac{(2n+1)\lambda}{2d}$ होती है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$\theta_{s1} = \frac{3\lambda}{2d}$ और $\theta_{s2} = \frac{3(p\lambda)}{2d'}$.
अनुपात $\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{3\lambda / 2d}{3p\lambda / 2d'} = \frac{d'}{pd}$ होगा।
$d'$ और $d$ के मान रखने पर,$\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{p\lambda / q\theta}{p(\lambda / \theta)} = \frac{1}{q}$.
अतः,अनुपात $1:q$ है।

(C) स्थायी व्यतिकरण फ्रिंजों के निर्माण के लिए,दो प्रकाश स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है। कला-संबद्ध स्रोत वे होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
जब एक झिरी को लाल फिल्टर से और दूसरी को नीले फिल्टर से ढका जाता है,तो उनसे गुजरने वाले प्रकाश की आवृत्तियाँ और तरंगदैर्घ्य अलग-अलग होते हैं।
चूंकि आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं,इसलिए स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर दो तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ तेजी से बदलेगा।
परिणामस्वरूप,स्थायी व्यतिकरण पैटर्न के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है,और स्क्रीन पर कोई व्यतिकरण फ्रिंज दिखाई नहीं देगी।

(B) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
दिया गया है कि $\frac{I_{\max }}{I_{\min }} = \frac{9}{1}$,इसलिए:
$\frac{9}{1} = \frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{3}{1} = \frac{\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$3(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}) = 1(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})$
$3\sqrt{I_1} - 3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$
$2\sqrt{I_1} = 4\sqrt{I_2}$
$\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{4}{2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$
अतः,प्रकाश स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $4: 1$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $m^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं,हम उनकी स्थितियों को बराबर करते हैं:
$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$.
दोनों पक्षों से $D$ और $d$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n \lambda_1 = \frac{(2m-1) \lambda_2}{2}$.
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2m-1}{2n}$.

(A) माध्यम में किसी किरण की प्रकाशीय पथ लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक और किरण द्वारा तय की गई ज्यामितीय पथ लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पहली किरण का प्रकाशीय पथ = $\mu_1 L_1$.
दूसरी किरण का प्रकाशीय पथ = $\mu_2 L_2$.
दोनों किरणों के बीच प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और प्रकाशीय पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथ अंतर का मान रखने पर,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ प्राप्त होता है।

(C) दो अध्यारोपित होने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$,जिनके व्यक्तिगत आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलांतर $\phi$ है,इस प्रकार दिया जाता है: $A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi$.
चूंकि तरंगें एकसमान हैं,इसलिए $a_1 = a_2 = a$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $A^2 = a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos \phi = 2 a^2 (1 + \cos \phi)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\phi/2)$ का उपयोग करने पर: $A^2 = 2 a^2 (2 \cos^2(\phi/2)) = 4 a^2 \cos^2(\phi/2)$.
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए $I \propto \cos^2(\phi/2)$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
स्थिति $1$: पथ अंतर $\Delta x = \lambda$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
दी गई तीव्रता $I = x$,इसलिए $x = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
अतः,$4I_0 = x$.
स्थिति $2$: पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
नई तीव्रता $I'$ है $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi'}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
चूंकि $4I_0 = x$,इसलिए $2I_0 = \frac{x}{2}$.
अतः,तीव्रता $\frac{x}{2}$ होगी।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,पोलराइज़र से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{in} \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश की ध्रुवीकरण दिशा और पोलराइज़र की पास एक्सिस के बीच का कोण है।
$1$. जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
$2$. $P_1$ से आने वाला प्रकाश अब $P_1$ की एक्सिस के सापेक्ष $0^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_2$,$P_1$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। अतः,$P_2$ के बाद तीव्रता:
$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (0.5)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
$3$. $P_2$ से आने वाला प्रकाश $P_1$ के सापेक्ष $60^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_3$,$P_1$ के सापेक्ष $90^{\circ}$ पर है। अतः $P_2$ से आने वाले प्रकाश और $P_3$ की पास एक्सिस के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$4$. $P_3$ के बाद तीव्रता:
$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{32}$.

(A) जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करता है, तो उसकी गति बढ़ जाती है $(v_2 > v_1)$।
चूंकि तरंग की आवृत्ति $(f)$ स्थिर रहती है, इसलिए तरंगदैर्ध्य $(\lambda = v/f)$ भी बढ़ जाती है।
क्रमागत तरंगाग्रों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
इसलिए, जैसे ही तरंगाग्र सघन माध्यम से विरल माध्यम में प्रवेश करते हैं, क्रमागत तरंगाग्रों के बीच की चौड़ाई (या दूरी) बढ़ जाती है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) तरंगाग्र: माध्यम में उन सभी कणों का बिंदुपथ जो समान कला या स्थिर कला में कंपन कर रहे हैं,तरंगाग्र कहलाता है।
प्रकाश के संचरण की दिशा (प्रकाश किरण) हमेशा तरंगाग्र के लंबवत होती है।
दिए गए तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु एक नए विक्षोभ के स्रोत के रूप में कार्य करता है जिसे द्वितीयक तरंगिकाएं (secondary wavelets) कहा जाता है,जो माध्यम में प्रकाश के वेग के साथ सभी दिशाओं में यात्रा करती हैं।
किसी भी क्षण आगे की दिशा में इन द्वितीयक तरंगिकाओं को स्पर्श करने वाली सतह उस क्षण नया तरंगाग्र प्रदान करती है। इसे द्वितीयक तरंगाग्र कहा जाता है।

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाले दो कला-संबद्ध स्रोत व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ उत्पन्न करते हैं।
अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_1 = 2I_2$,इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} + 1))^2}{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} - 1))^2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $\frac{2 + 1 + 2\sqrt{2}}{2 + 1 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9 + 8 + 12\sqrt{2}}{9 - 8} = 17 + 12\sqrt{2} \approx 33.97 \approx 34$.
अतः,अनुपात $34:1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ पर तीव्रता $K$ है। चूँकि $\Delta x = \lambda$ का अर्थ कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ है,इसलिए $I = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = K$ प्राप्त होता है।
अब,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = K \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ होगी।
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $I = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = K \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3K}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n' = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दूसरा निम्निष्ठ $(n=2)$ एक स्लिट के ठीक सामने देखा जाता है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $y_2 = \frac{d}{2}$ है।
सूत्र में $n=2$ रखने पर: $\frac{d}{2} = \frac{(2(2)-1) \lambda D}{2d}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{d}{2} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
हर से $2$ को हटाने पर: $d = \frac{3 \lambda D}{d}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{3D}$.

(A) दिया गया है कि आपतित प्रकाश की कुल तीव्रता का $25 \%$ ऊपरी सतह से परावर्तित होता है। इसका अर्थ है कि यदि आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है,तो पहली परावर्तित किरण की तीव्रता $I_1 = 0.25 I_0 = \frac{I_0}{4}$ होगी।
प्लेट की निचली सतह तक पहुँचने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_0 - 0.25 I_0 = 0.75 I_0 = \frac{3}{4} I_0$ है।
चूंकि इस तीव्रता का $50 \%$ निचली सतह से परावर्तित होता है,इसलिए दूसरी परावर्तित किरण की तीव्रता $I_2 = 0.50 \times \frac{3}{4} I_0 = \frac{3}{8} I_0$ होगी।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2}{\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2}$
$I_1$ और $I_2$ के मान रखने पर:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}+\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}-\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2} = \left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} + \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} - \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{3}{8}}}\right)^2$

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max} = K$ और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = K \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $I = K (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = K (\frac{3}{4}) = \frac{3K}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $W = \frac{\lambda D}{d} = X$ (दिया गया है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d} = nX$ होती है।
चौथी दीप्त फ्रिंज के लिए,$y_4 = 4X$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n - 1) \frac{X}{2}$ होती है।
छठी अदीप्त फ्रिंज के लिए,$y'_6 = (2(6) - 1) \frac{X}{2} = \frac{11X}{2} = 5.5X$।
चूंकि फ्रिंज केंद्रीय दीप्त बैंड के विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कुल दूरी उनके स्थितियों के परिमाण का योग होगी:
कुल दूरी $= y_4 + y'_6 = 4X + 5.5X = 9.5X$।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर (phase difference) है।
दिया गया है कि $\lambda$ पथ अंतर पर तीव्रता $\beta$ है। $\lambda$ पथ अंतर के लिए कलांतर $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ होता है।
अतः,$\beta = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$।
अब,$\Delta x = \lambda/3$ पथ अंतर के लिए,कलांतर $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ होगा।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = \beta \cos^2((2\pi/3)/2) = \beta \cos^2(\pi/3)$ होगी।
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,इसलिए $I = \beta (1/2)^2 = \beta/4$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d} \quad (i)$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $(\frac{n}{3})^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_2 = \frac{(\frac{n}{3}) \lambda_2 D}{d} \quad (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{n \lambda_1 D}{d}}{\frac{n \lambda_2 D}{3d}} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{3d}{n \lambda_2 D} = \frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$.
अतः,अनुपात $\frac{y_1}{y_2}$ का मान $\frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$ है।

(C) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$10$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=10)$:
$y_{10} = \frac{10 \lambda D}{d} = \frac{10 \times \lambda \times 1.2}{0.6 \times 10^{-3}} = (20 \times 10^3) \lambda \quad \dots(i)$
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$3$-री अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=3)$:
$y'_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \times \lambda \times 1.2}{2 \times 0.6 \times 10^{-3}} = (5 \times 10^3) \lambda \quad \dots(ii)$
दिया गया है कि उनके बीच की दूरी $8.85 \ mm$ है:
$y_{10} - y'_3 = 8.85 \times 10^{-3} \ m$
$(20 \times 10^3) \lambda - (5 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$(15 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$\lambda = \frac{8.85 \times 10^{-3}}{15 \times 10^3} = 0.59 \times 10^{-6} \ m = 5.9 \times 10^{-7} \ m$
$\lambda = 5900 \ Å$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। दूरी $S_1P = D$ और $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2}$ है।
$S_2P$ के लिए द्विपद विस्तार (binomial expansion) का उपयोग करने पर:
$S_2P = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
बिंदु $P$ पर पथ अंतर (path difference) $\Delta x$ है:
$\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर की शर्त है:
$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
दिया गया है $\lambda = \frac{d^2}{3D}$,इस मान को शर्त में रखने पर:
$\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{d^2}{6D}$.
दोनों पक्षों को $\frac{d^2}{D}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{2n - 1}{6}$.
$3 = 2n - 1 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(C) केंद्रीय उच्चिष्ठ से पहले निम्निष्ठ की दूरी $y_{1d} = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\lambda = 5500 \ Å = 5500 \times 10^{-10} \ m$,$D = 2 \ m$,और $a = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी $2 y_{1d} = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2 y_{1d} = \frac{2 \times 5500 \times 10^{-10} \times 2}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{22000 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}} = 44000 \times 10^{-7} \ m = 4.4 \times 10^{-3} \ m = 4.4 \ mm$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{violet} \approx 400 \ nm)$ सोडियम प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{sodium} \approx 589 \ nm)$ से काफी कम होती है,इसलिए सोडियम प्रकाश के स्थान पर बैंगनी प्रकाश का उपयोग करने पर फ्रिंज की चौड़ाई $W$ कम हो जाती है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) के कारण अदीप्त फ्रिंज बनती हैं।
विनाशी व्यतिकरण के लिए,पथांतर $\Delta x$ अर्ध-तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2} = (2n-1) \pi$।
अतः,अदीप्त फ्रिंज के लिए कलांतर $(2n-1) \pi$ होता है।

(B) मान लीजिए कि दो व्यक्तिगत तरंगों की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ है।
- न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ तब होती है जब $\phi = \pi$ हो,इसलिए $I_{min} = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$ है।
- पथ अंतर $\Delta x = \lambda/4$ का कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
- इस बिंदु पर तीव्रता $I_1 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 2I_0$ है।
- अनुपात $I_{min} / I_1 = 0 / 2I_0 = 0$ है।

(D) मान लीजिए कि पहली स्लिट से प्रकाश का आयाम $a_1 = a$ है और दूसरी स्लिट से $a_2 = a$ है। तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$।
प्रारंभ में,समान चौड़ाई के लिए,आयाम समान हैं $(a_1 = a_2 = a)$। निम्निष्ठ तीव्रता $I_{\min} \propto (a - a)^2 = 0$ है,और उच्चिष्ठ तीव्रता $I_{\max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ है।
जब एक स्लिट को दोगुना चौड़ा किया जाता है,तो उस स्लिट से प्रकाश का आयाम $a_1 = 2a$ हो जाता है,जबकि दूसरी स्लिट का आयाम $a_2 = a$ रहता है।
नई निम्निष्ठ तीव्रता $I_{\min}' \propto (2a - a)^2 = a^2$ है। चूंकि $a^2 > 0$,इसलिए निम्निष्ठ की तीव्रता बढ़ती है।
नई उच्चिष्ठ तीव्रता $I_{\max}' \propto (2a + a)^2 = 9a^2$ है। चूंकि $9a^2 > 4a^2$,इसलिए उच्चिष्ठ की तीव्रता भी बढ़ती है।
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ दोनों की तीव्रता बढ़ती है।

(B) जब यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $n$ अपवर्तनांक वाली एक पतली प्लेट रखी जाती है,तो यह उस स्लिट से आने वाले प्रकाश में एक अतिरिक्त ऑप्टिकल पथ (और इसलिए एक कलांतर) जोड़ती है।
यह स्क्रीन पर पूरे व्यतिकरण पैटर्न को विस्थापित कर देता है लेकिन फ्रिंज की चौड़ाई को नहीं बदलता है और न ही पैटर्न को गायब करता है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ नहीं बदलती है क्योंकि यह स्लिट के बीच की दूरी $d$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्क्रीन की दूरी $D$ पर निर्भर करती है,न कि एक पथ में पेश किए गए समान कलांतर पर।
एक स्लिट में समान ऑप्टिकल पथ अंतर पेश करने का शुद्ध प्रभाव केंद्रीय उच्चिष्ठ (और सभी फ्रिंजों) का प्लेट वाली स्लिट की ओर पार्श्व विस्थापन है।
यह विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{d}(n-1)t$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही कथन है: $(B)$ केंद्रीय उच्चिष्ठ उस ओर विस्थापित हो जाएगा जिस ओर प्लेट रखी गई है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु के लिए,तीव्रता $I = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $I = \frac{I_{\max}}{4}$,इसलिए $\frac{I_{\max}}{4} = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$.
यह सरल होकर $\cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\cos \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$,जिससे कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
कलांतर और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \Delta x$ है।
$\Delta x = d \sin \theta$ रखने पर,हमें $\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) d \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ के लिए हल करने पर,$\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} \left(\frac{\lambda}{3d}\right)$।

(C) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि नई स्लिट दूरी $d' = 10d$ और स्क्रीन से नई दूरी $D' = \frac{D}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$।
चूँकि $\beta = \frac{D \lambda}{d}$,इसलिए $\beta' = \frac{\beta}{20}$।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $\frac{1}{20}$ गुना हो जाती है।

(A) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I'$ का सूत्र है:
$I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ और $\phi = \pi$ दिया गया है:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I \times 4I} \cos \pi$
चूँकि $\cos \pi = -1$:
$I' = 5I + 2\sqrt{4I^2} (-1)$
$I' = 5I + 2(2I)(-1)$
$I' = 5I - 4I = I$

(D) बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ हमेशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि $A$ से $B$ तक का पथ $Q$ को केंद्र मानकर खींचे गए वृत्त का एक चाप है,इसलिए पथ पर किसी भी बिंदु पर विस्थापन सदिश $d\vec{s}$ वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
त्रिज्यीय दिशा ($\vec{E}$ की दिशा) किसी भी बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा के हमेशा लंबवत होती है।
इसलिए,बल $\vec{F} = q\vec{E}$ हमेशा विस्थापन $d\vec{s}$ के लंबवत होता है।
किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} \perp d\vec{s}$,अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot ds \cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
अतः,कुल किया गया कार्य $W = 0$ है।