$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ધાતુના ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તેને ઓગાળીને $r$ ત્રિજ્યાની એક સમાન જાડાઈ ધરાવતી નક્કર તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ તકતીની તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ પણ $I$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{r}{R}$ શોધો.

$O$ પર ધરી ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t = 0$ સમયે,$m$ દળ ધરાવતું એક નાનું જીવડું $O$ થી શરૂઆત કરે છે અને સળિયાની સાપેક્ષમાં અચળ ઝડપ $v$ થી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે. તે $t = T$ સમયે સળિયાના છેડે પહોંચે છે અને અટકી જાય છે. સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રની કોણીય ઝડપ $\omega$ રહે છે. $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્ર પર લાગતા ટોર્ક $(|\vec{\tau}|)$ ના મૂલ્યને સમયના વિધેય તરીકે નીચેનામાંથી કયો આલેખ શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે?

આપેલ આકૃતિમાં,$m$ દળની એક રીંગને સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખવામાં આવી છે અને $m$ દળના એક પદાર્થને રીંગ પર વીંટાળેલી દોરી વડે જોડવામાં આવ્યો છે. જ્યારે તંત્રને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગ સરક્યા વિના ગબડે છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
$(i)$ રીંગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\frac{g}{3}$ છે.
$(ii)$ લટકતા કણનો પ્રવેગ $\frac{2g}{3}$ છે.
$(iii)$ ઘર્ષણ બળ (રીંગ પર) આગળની દિશામાં લાગે છે.
$(iv)$ ઘર્ષણ બળ (રીંગ પર) પાછળની દિશામાં લાગે છે.

એક લોલક $m=0.1 \ kg$ દળના ગોળા અને $L=1.0 \ m$ લંબાઈની દળરહિત અસ્થિતિસ્થાપક દોરીનું બનેલું છે. તે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટીથી $H=0.9 \ m$ ઊંચાઈએ આવેલા નિશ્ચિત બિંદુએથી લટકાવેલું છે. શરૂઆતમાં,લોલકનો ગોળો સપાટી પર લટકાવેલા બિંદુની બરાબર નીચે સ્થિર પડેલો છે. કોઈ એક ક્ષણે ગોળાને $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ નો સમક્ષિતિજ આઘાત આપવામાં આવે છે. ગોળો થોડું અંતર સરક્યા પછી,દોરી ખેંચાઈ જાય છે અને ગોળો સપાટી પરથી ઉપર ઉઠે છે. ગોળો ઉપર ઉઠે તે પહેલાં લટકાવેલા બિંદુને અનુલક્ષીને લોલકનું કોણીય વેગમાન $J \ kg \cdot m^2/s$ છે. ઉપર ઉઠ્યા પછી તરત જ લોલકની ગતિઊર્જા $K$ જૂલ છે. $(1)$ $J$ નું મૂલ્ય શોધો. $(2)$ $K$ નું મૂલ્ય શોધો.

$20 \; kg$ દળ અને $20 \; cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ફ્લાયવ્હીલની કિનારી પર અવગણ્ય દળ ધરાવતી દોરી વીંટાળેલી છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી પર $25 \; N$ નું સતત ખેંચાણ બળ લગાડવામાં આવે છે. ફ્લાયવ્હીલ ઘર્ષણરહિત બેરિંગ સાથે આડા ધરી પર ગોઠવાયેલું છે.
$(a)$ વ્હીલનો કોણીય પ્રવેગ શોધો.
$(b)$ જ્યારે $2 \; m$ દોરી ઉકેલાય ત્યારે ખેંચાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શોધો.
$(c)$ આ બિંદુએ વ્હીલની ગતિઊર્જા પણ શોધો. ધારો કે વ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે.
$(d)$ ભાગ $(b)$ અને $(c)$ ના જવાબોની સરખામણી કરો.

સમાન વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જો કણની ગતિઊર્જા બમણી કરવામાં આવે અને આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે,તો નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થશે?