हाइड्रोजन परमाणु में $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति के कारण केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र किसके समानुपाती होता है?

कथन $(A)$: नाभिक के चारों ओर घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ के बढ़ने के साथ घटता है।
कारण $(R)$: घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण,$\mu \propto n$.

परमाणु क्रमांक $Z$ वाला एक हाइड्रोजन जैसा परमाणु $2n$ क्वांटम संख्या की उत्तेजित अवस्था में है। यह $204 \ eV$ का अधिकतम ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है। यदि यह क्वांटम अवस्था $n$ में संक्रमण करता है,तो $40.8 \ eV$ ऊर्जा का फोटॉन उत्सर्जित होता है। $n$ का मान होगा

परमाणु में इलेक्ट्रॉन को एक तरंग मानकर कोणीय संवेग के क्वांटीकरण की व्याख्या कीजिए।

$m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्रीय बल $F(r) = -kr$ के प्रभाव में एक वृत्तातीय कक्षा में गति कर रहा है,जो स्थितिज ऊर्जा $V(r) = \frac{1}{2}kr^2$ के अनुरूप है,जहाँ $k$ एक धनात्मक बल नियतांक है और $r$ मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी है। बोहर के क्वांटमीकरण नियम के अनुसार,कण का कोणीय संवेग $L = n\hbar$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hbar = \frac{h}{2\pi}$,$h$ प्लांक नियतांक है,और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। यदि $v$ और $E$ क्रमशः कण की चाल और कुल ऊर्जा हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से व्यंजक सही है/हैं?
$(A)$ $r^2 = n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}$
$(B)$ $v^2 = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m^3}}$
$(C)$ $\frac{L}{mr^2} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$(D)$ $E = \frac{n\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}$

हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) में ऊर्जा $-13.6 \, eV$ है। $He^+$ आयन की प्रथम उत्तेजित अवस्था (first excited state) में ऊर्जा .... $eV$ होगी।