MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) जब द्रव स्तंभ को उसकी संतुलन स्थिति से $y$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो दोनों भुजाओं में द्रव के स्तर की ऊँचाई में अंतर के कारण एक प्रत्यानयन बल उत्पन्न होता है।
दोनों भुजाओं के बीच ऊँचाई का अंतर $2y$ हो जाता है।
प्रत्यानयन बल $F$,$2y$ ऊँचाई वाले अतिरिक्त द्रव स्तंभ के भार के बराबर होता है: $F = -(A \cdot 2y \cdot \rho \cdot g)$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ घनत्व है।
द्रव स्तंभ का द्रव्यमान $m = A \cdot L \cdot \rho$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$:
$A \cdot L \cdot \rho \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = -2y \cdot A \cdot \rho \cdot g$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -(\frac{2g}{L})y$
इसकी तुलना मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y$ से करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{2g}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ है।

(C) एक सरल पेंडुलम का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
यदि पेंडुलम घड़ी धीमी चल रही है,तो इसका मतलब है कि आवर्तकाल $T$ आवश्यक मान से अधिक है।
समय को सही करने के लिए,हमें आवर्तकाल $T$ को कम करने की आवश्यकता है।
चूंकि $T$,लंबाई $L$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,इसलिए लंबाई $L$ को कम करने से आवर्तकाल $T$ कम हो जाएगा।
इसलिए,हमें पेंडुलम की लंबाई कम करनी चाहिए।

(C) एक सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -mgL \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau \approx -mgL \theta$।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-mgL \theta}{mL^2} = -\frac{g}{L} \theta$ है।
इसे $SHM$ समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{L}$ प्राप्त होता है।
दोलन प्रणाली के लिए बल नियतांक $k$ को $k = m \omega^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\omega^2$ का मान रखने पर,हमें $k = m \left(\frac{g}{L}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,बल नियतांक $k$,बॉब के द्रव्यमान $m$ के समानुपाती और लोलक की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
दिए गए विकल्पों में से,सबसे उपयुक्त संबंध यह है कि यह बॉब के द्रव्यमान के समानुपाती है।

(D) $S$.$H$.$M$. कर रहे एक पिंड की विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $P = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ है।
दिया है,$P_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies \sqrt{P_1} = x \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(1)$
और $P_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies \sqrt{P_2} = y \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(2)$
मान लीजिए कि विस्थापन $(x+y)$ पर स्थितिज ऊर्जा $P$ है। तब,
$P = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{P} = (x+y) \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\sqrt{P} = x \sqrt{\frac{k}{2}} + y \sqrt{\frac{k}{2}}$
इस व्यंजक में समीकरण $(1)$ और $(2)$ का मान रखने पर:
$\sqrt{P} = \sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}$

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक पिंड की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ आयाम है।
किसी भी विस्थापन $y$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $K$ कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अंतर है: $K = E - U$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$.
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$,इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$.
चूंकि $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,हम लिख सकते हैं कि $K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2) = \frac{3E}{4}$.

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$t = \frac{T}{12}$ समय पर,विस्थापन $x = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2 - \frac{A^2}{4}\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{3A^2}{4}\right) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8}m\omega^2A^2}{\frac{3}{8}m\omega^2A^2} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(B) सही विकल्प $(B)$ है।
अवधारणा: $SHM$ के लिए,त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$।
त्वरण वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x = \pm A$ होता है,इसलिए त्वरण $a = \mp A\omega^2$ अधिकतम (परिमाण में) होता है,और वेग $v = 0$ होता है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है,इसलिए त्वरण $a = 0$ होता है,और वेग $v = \pm A\omega$ अधिकतम होता है।
अतः,जब '$a$' अधिकतम होता है,तो '$v$' शून्य होता है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: $S.H.M.$ के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
अधिकतम चाल $V = A \omega$ है।
एक पूर्ण समयावधि $T$ में,कण कुल $4A$ दूरी तय करता है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T}$.
चूंकि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ और $\omega = \frac{V}{A}$,इसलिए $T = \frac{2\pi A}{V}$ है।
औसत चाल के सूत्र में $T$ का मान रखने पर:
$\text{औसत चाल} = \frac{4A}{\left(\frac{2\pi A}{V}\right)} = \frac{4A \cdot V}{2\pi A} = \frac{2V}{\pi}$.

(B) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = A \sin(100 \pi t - 3x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = 3 \text{ rad/m}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{18}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{\pi}{18} = 3 \cdot \Delta x$ प्राप्त होता है।
अतः,दो कणों के बीच की दूरी $\Delta x = \frac{\pi}{18 \cdot 3} = \frac{\pi}{54} \text{ m}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) संतुलन स्थिति से शुरू होने वाले कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = \frac{T}{12}$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,इसलिए विस्थापन $x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2}$ होगा।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ है।
$x = \frac{a}{2}$ का मान रखने पर,$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग से लटके $S.H.M.$ करते कण के लिए,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx = mg$।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग में कोई खिंचाव नहीं है,जिसका अर्थ है कि विस्तार $x = 0$ है।
चूंकि संतुलन स्थिति उच्चतम बिंदु से $A$ (आयाम) की दूरी पर नीचे होती है,इसलिए संतुलन पर विस्तार $x = A$ होता है।
अतः,$kA = mg$,जिससे आयाम $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई आवृत्ति $f = 5 \ Hz$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$।
अधिकतम गति $V_{\max} = A \omega$ है।
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$।

(A) रैखिक $S.H.M.$ के एक पूर्ण दोलन में कण द्वारा तय की गई कुल दूरी $4A$ के बराबर होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दोलन का आवर्तकाल $T$,आवृत्ति $n$ से $T = \frac{1}{n}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,औसत चाल $v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{1/n} = 4nA$.

(C) रैखिक $S.H.M$ के लिए मानक समीकरण $x = a \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें आयाम $a = 5 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$S.H.M$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$
दिए गए मान $a = 5 \ cm$,$x = 3 \ cm$ और $\omega = 4 \ rad/s$ रखने पर:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \ cm/s$.
अतः,कण का वेग $16 \ cm/s$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कणों के लिए गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$X_A = A_1 \sin(\omega_A t) = A_1 \sin(\frac{2\pi}{T} t)$
$X_B = A_2 \sin(\omega_B t) = A_2 \sin(\frac{2\pi}{3T/2} t) = A_2 \sin(\frac{4\pi}{3T} t)$
कण '$A$' की कला $\phi_A = \frac{2\pi}{T} t$ है और कण '$B$' की कला $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} t$ है।
जब कण '$A$' एक दोलन पूरा करता है,तो लगा समय $t = T$ है।
$t = T$ पर,कण '$A$' की कला $\phi_A = \frac{2\pi}{T} \times T = 2\pi$ है।
$t = T$ पर,कण '$B$' की कला $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} \times T = \frac{4\pi}{3}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_A - \phi_B| = |2\pi - \frac{4\pi}{3}| = \frac{2\pi}{3}$।

(D) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,वेग अधिकतम $(v_{max} = A\omega)$ होता है।
त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,त्वरण न्यूनतम $(a = 0)$ होता है।
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है।
कुल ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}kA^2$ हर समय स्थिर रहती है।
इसलिए,कथन $D$ गलत है क्योंकि माध्य स्थिति पर वेग न्यूनतम नहीं बल्कि अधिकतम होता है।

(D) दिया गया है,$y_1 = 10 \sin \omega t$ और $y_2 = 10 \sin \omega t + 5 \cos \omega t$।
$y_1$ के लिए,आयाम $A_1 = 10$ है।
$y_2$ के लिए,समीकरण $A \sin \omega t + B \cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ परिणामी आयाम $A_2 = \sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ,$A = 10$ और $B = 5$ है,इसलिए $A_2 = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,अनुपात $2 : \sqrt{5}$ है।

(D) दिया गया है,$x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
वेग तब अधिकतम होता है जब ज्या फलन का परिमाण अधिकतम हो,अर्थात $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = -1$ या $1$ हो।
यह तब होता है जब कला कोण $\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$ हो।
$\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4\omega}$.

(D) धनात्मक चरम स्थिति $(x = +A)$ से शुरू होने वाले कण के लिए,विस्थापन समीकरण इस प्रकार है:
$x = A \cos(\omega t)$
दिया गया है: $A = 6 \ cm$,$T = 3 \ s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब कण धनात्मक चरम स्थिति से $3 \ cm$ की दूरी तय करता है। इसका मतलब है कि नई स्थिति $x = A - 3 = 6 - 3 = 3 \ cm$ है।
विस्थापन समीकरण में मान रखने पर:
$3 = 6 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\omega t = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$
$\omega = \frac{2\pi}{3}$ रखने पर:
$(\frac{2\pi}{3}) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{3}{2\pi} = 0.5 \ s$
अतः,आवश्यक समय $0.5 \ s$ है।

(C) अवधारणा: यदि तख्ते का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण से अधिक हो जाता है,तो लकड़ी का घन ऊपरी चरम स्थिति पर तख्ते को छोड़ देगा।
ब्लॉक द्वारा तख्ते को न छोड़ने के लिए,अभिलंब बल $N \geq 0$ होना चाहिए।
ब्लॉक के फ्री बॉडी डायग्राम से,गति का समीकरण: $mg - N = ma$ है।
ब्लॉक के संपर्क में रहने के लिए,$N \geq 0$,जिसका अर्थ है $mg \geq ma$,या $a \leq g$।
$S$.$H$.$M$. में,अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,ब्लॉक के तख्ते को न छोड़ने की शर्त $\omega^2 A \leq g$,या $A \leq \frac{g}{\omega^2}$ है।
दी गई आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
मान रखने पर: $A \leq \frac{10}{6^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \text{ m}$।
अतः,अधिकतम आयाम $\frac{5}{18} \text{ m}$ है।

(B) माध्य स्थिति से शुरू होकर सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय आवृत्ति है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$.
यह सरल होकर $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूँकि $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर,$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) दोलन की पथ लंबाई दो चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी है, जो $2a$ के बराबर है, जहाँ $a$ आयाम है।
दिया गया है, $2a = 16 \,cm$, इसलिए आयाम $a = 8 \,cm$ है।
लोलक की लंबाई $l = 1 \,m$ है।
सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
$g = \pi^2 \,m/s^2$ और $l = 1 \,m$ रखने पर, हमें $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम वेग $v_{max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$।

(B) कला अंतर $\delta$ वाले दो $SHM$ का परिणामी आयाम $R$,$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos \delta}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=0^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{4A^2} = 2A$. अतः,$A-III$.
$B$. $A_1 \neq A_2$ और $\delta=0^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1 A_2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{(A_1+A_2)^2} = A_1+A_2$. अतः,$B-I$.
$C$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=90^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$. अतः,$C-IV$.
$D$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=180^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 180^{\circ}} = \sqrt{2A^2-2A^2} = 0$. अतः,$D-II$.

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: $S.H.M.$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha x = 0$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें $\omega^2 = \alpha$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\alpha}$।
गति का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2 \pi}{\omega}$ के रूप में परिभाषित है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$ प्राप्त होता है।

(D) $S.H.M.$ के लिए,त्वरण $a$ विस्थापन $x$ के समानुपाती होता है और यह कण की माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है:
$a = -\omega^2 x = -px$
जहाँ $\omega$ $S.H.M.$ की कोणीय आवृत्ति है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{p}$।
दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega}$
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{p}}$

(B) जब गोले को एक छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है,तो गोले का केंद्र $(R-r)$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश गति करता है।
प्रत्यानयन बल पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
वक्रता केंद्र $O$ के परितः प्रत्यानयन बल आघूर्ण इस प्रकार है:
$\tau = -mg(R-r) \sin \theta$
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau \approx -mg(R-r) \theta$.
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,$O$ के परितः प्रभावी जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + m(R-r)^2 = \frac{2}{5}mr^2 + m(R-r)^2$ है।
हालाँकि,एक सरल दोलन समस्या के लिए जहाँ हम द्रव्यमान केंद्र की गति पर विचार करते हैं,हम द्रव्यमान केंद्र के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हैं: $F_{restoring} = -mg \sin \theta = m a_{cm}$.
चूंकि $a_{cm} = (R-r) \alpha$,इसलिए $m(R-r) \alpha = -mg \theta$.
$\alpha = -\left(\frac{g}{R-r}\right) \theta$.
इसे $S$.$H$.$M$. के समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{R-r}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0$ है,जिसे $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया समीकरण: $\alpha \frac{d^2 x}{d t^2} + \beta x = 0$.
दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\frac{\beta}{\alpha} x$.
इसे मानक रूप $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\beta}{\alpha}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$.
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 2M_e$ और त्रिज्या $R_p = 2R_e$ है।
इसलिए,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p$ होगा:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए,$T_e = 2 \ s$ और त्वरण $g_e$ है।
ग्रह पर,नया आवर्तकाल $T_p$ होगा:
$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_p}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e/2}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e}}) = \sqrt{2} \times T_e$.
$T_e = 2 \ s$ रखने पर,हमें $T_p = 2\sqrt{2} \ s$ प्राप्त होता है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: $m$ द्रव्यमान के कण का कोणीय संवेग $L$,जो $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग के साथ गति कर रहा है,$L = I\omega = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्रव्यमान $m$ और कोणीय वेग $\omega$ स्थिर रहते हैं।
प्रारंभ में,$L = m\omega r^2$ है।
जब डोरी की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
नया कोणीय संवेग $L'$ इस प्रकार है:
$L' = m\omega(r')^2 = m\omega\left(\frac{r}{2}\right)^2$
$L' = m\omega\left(\frac{r^2}{4}\right) = \frac{1}{4}(mr^2\omega)$
$L' = \frac{L}{4}$.

(C) एक सिरे पर लगाया गया आवेग $J$ निकाय को रैखिक और कोणीय संवेग दोनों प्रदान करता है।
$1$. रैखिक आवेग समीकरण: $J = M_{total} v_{cm} \Rightarrow MV = (2M) v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{V}{2}$.
$2$. द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ के परितः कोणीय आवेग समीकरण: $J \times r = I_{cm} \omega$.
यहाँ,$r = \frac{L}{2}$ और $I_{cm} = M(\frac{L}{2})^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{2}$.
मान रखने पर: $(MV) \times \frac{L}{2} = (\frac{ML^2}{2}) \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\frac{MVL}{2} = \frac{ML^2 \omega}{2} \Rightarrow \omega = \frac{V}{L}$.

(A) अवधारणा: छड़ पर लगाया गया कोणीय आवेग उसके कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः कोणीय आवेग $J_{\theta} = P \cdot \frac{l}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग $L = I \omega$ है,जहाँ $I = \frac{m l^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
कोणीय आवेग को कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर करने पर:
$P \cdot \frac{l}{2} = I \omega$
$P \cdot \frac{l}{2} = \left( \frac{m l^2}{12} \right) \omega$
कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{P \cdot l}{2} \cdot \frac{12}{m l^2} = \frac{6 P}{m l}$
छड़ एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमती है। $\Delta \theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर घूमने में लगा समय $\Delta t$ है:
$\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 2}{6 P / (m l)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{m l}{6 P} = \frac{\pi m l}{12 P}$

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
लूप $P$ का द्रव्यमान $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ है और इसकी त्रिज्या $R_P = r$ है।
अतः,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
लूप $Q$ का द्रव्यमान $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ है और इसकी त्रिज्या $R_Q = nr$ है।
अतः,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
दिया गया है कि $I_Q = 4 I_P$,इसलिए $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
दोनों पक्षों से $2\pi \lambda r^3$ को हटाने पर,हमें $n^3 = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(D) घूर्णन करते हुए पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $x = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
पिंड का कोणीय संवेग $y = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{(I \omega)^2}{2 I} = \frac{y^2}{2 I}$.
जड़त्व आघूर्ण $I$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{y^2}{2 x}$.

(A) वलय का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2 = 4 \,kg \,m^2$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, उसके तल में स्थित व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \,kg \,m^2$ होगा।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, तल में स्थित स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_t = I_d + MR^2$ होगा।
मान रखने पर: $I_t = 2 \,kg \,m^2 + 4 \,kg \,m^2 = 6 \,kg \,m^2$।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} m r^2$ होता है।
उन तीन गोलों के लिए जिनके केंद्र घूर्णन अक्ष $A-A'$ पर स्थित हैं,इस अक्ष के परितः प्रत्येक का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m r^2$ होगा।
उन दो गोलों के लिए जिनके केंद्र घूर्णन अक्ष $A-A'$ से $r$ दूरी पर हैं,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{cm} + m d^2$,जहाँ $d = r$ है।
अतः,$I_2 = \frac{2}{5} m r^2 + m r^2 = \frac{7}{5} m r^2$।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 3 \times I_1 + 2 \times I_2$ है।
$I_{total} = 3 \left( \frac{2}{5} m r^2 \right) + 2 \left( \frac{7}{5} m r^2 \right) = \frac{6}{5} m r^2 + \frac{14}{5} m r^2 = \frac{20}{5} m r^2 = 4 m r^2$।

(D) ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$d = \frac{R}{2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$.
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R^2}{4}\right)$.
$I = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) MR^2$.
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2 = \frac{13}{20} MR^2$.

(A) घूर्णन त्रिज्या $k$,जड़त्व आघूर्ण $I$ से $I = mk^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
प्रत्येक स्थिति के लिए:
$(A)$ अपने स्पर्शरेखा के परितः घूमता ठोस गोला: $I = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$. अतः,$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$. यह $(R)$ से मेल खाता है।
$(B)$ अपने तल के लंबवत स्पर्शरेखा के परितः घूमती रिंग: $I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. अतः,$k = \sqrt{2}R$. यह $(P)$ से मेल खाता है।
$(C)$ अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः घूमता एकसमान ठोस लंबवृत्तीय शंकु: $I = \frac{3}{10}mR^2$. अतः,$k = \sqrt{\frac{3}{10}}R$. यह $(S)$ से मेल खाता है।
$(D)$ अपने व्यास के परितः घूमती एकसमान डिस्क: $I = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2) = \frac{1}{4}mR^2$. अतः,$k = \frac{R}{2}$. यह $(Q)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(R), (B)-(P), (C)-(S), (D)-(Q)$ है।

(A) घूर्णन त्रिज्या $K$ का सूत्र $K = \sqrt{\frac{I}{m}}$ है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसके तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring, center}} = mR^2$ है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली चकती के लिए,उसके तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc, center}} = \frac{1}{2}mR^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{\text{center}} + mR^2$ होगा।
वलय के लिए: $I'_{\text{ring}} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$। अतः,$K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2mR^2}{m}} = \sqrt{2}R$।
चकती के लिए: $I'_{\text{disc}} = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$। अतः,$K_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$।
वलय और चकती की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_{\text{ring}}}{K_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ होता है।
डिस्क $A$ के लिए,अक्ष उसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{1}{2} m r^2$ है।
डिस्क $B$ के लिए,अक्ष उसके केंद्र से $d = 2r$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_B = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m(2r)^2 = \frac{1}{2} m r^2 + 4 m r^2 = \frac{9}{2} m r^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B = \frac{1}{2} m r^2 + \frac{9}{2} m r^2 = \frac{10}{2} m r^2 = 5 m r^2$ है।

(D) अवधारणा: समानांतर अक्ष प्रमेय का अनुप्रयोग।
एक ठोस गोले के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} MR^2$
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर और $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{\text{cm}} + Md^2$
यहाँ,दूरी $d = \frac{R}{2}$ है।
मान रखने पर:
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2$
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2$
$I = \frac{13}{20} MR^2$

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{12} M L^2$ होता है।
जब छड़ को चार बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{4}$ और लंबाई $L' = \frac{L}{4}$ हो जाती है।
प्रत्येक भाग का उसके अपने केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I'$ इस प्रकार है:
$I' = \frac{1}{12} M' (L')^2$
$M'$ और $L'$ के मान रखने पर:
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L^2}{16} \right)$
$I' = \frac{1}{64} \left( \frac{1}{12} M L^2 \right)$
चूंकि $I = \frac{1}{12} M L^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I' = \frac{I}{64}$

(C) उनकी केंद्रीय अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण के सूत्र इस प्रकार हैं:
$I_{\text{Ring}} = M R^2 = 1.0 M R^2$
$I_{\text{Sphere}} = \frac{2}{5} M R^2 = 0.4 M R^2$
$I_{\text{Disc}} = \frac{1}{2} M R^2 = 0.5 M R^2$
गुणांकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $1.0 > 0.5 > 0.4$ है।
इसलिए,रिंग का जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक है क्योंकि इसका द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी $(R)$ पर वितरित है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
अवधारणा: कोणीय चाल $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h}$ द्वारा दी जाती है।
सेकंड की सुई की कोणीय चाल $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s$ है।
घंटे की सुई की कोणीय चाल $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{43200} = \frac{\pi}{21600} \ rad/s$ है।
अतः,सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h} = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{21600}$ है।
हर समान करने पर: $\omega_{rel} = \frac{720 \pi - \pi}{21600} = \frac{719 \pi}{21600} \ rad/s$।

(D) एक कण $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ समान चाल से गति कर रहा है।
कण का कोणीय वेग $\omega$ संबंध $\omega = \frac{v}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ में कण द्वारा बनाया गया कोण $\theta$ सूत्र $\theta = \omega t$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 1 \ s$ के लिए,बनाया गया कोण $\theta = \omega \times 1 = \frac{v}{r}$ रेडियन होगा।

(B) घंटे की सुई की कोणीय चाल $(\omega_h)$ एक पूर्ण चक्कर ($2 \pi$ रेडियन) में लगने वाले समय $(12 \text{ घंटे} = 12 \times 3600 \text{ सेकंड})$ से प्राप्त होती है: $\omega_h = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
मिनट की सुई की कोणीय चाल $(\omega_m)$ एक पूर्ण चक्कर ($2 \pi$ रेडियन) में लगने वाले समय $(1 \text{ घंटा} = 3600 \text{ सेकंड})$ से प्राप्त होती है: $\omega_m = \frac{2 \pi}{3600} \text{ rad/s}$.
सापेक्ष कोणीय चाल दोनों सुइयों की कोणीय चाल का अंतर है: $\Delta \omega = \omega_m - \omega_h$.
मान रखने पर: $\Delta \omega = \frac{2 \pi}{3600} - \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{3600} \left(1 - \frac{1}{12}\right) = \frac{2 \pi}{3600} \left(\frac{11}{12}\right) = \frac{22 \pi}{43200} = \frac{11 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(B) कोणीय वेग $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
घड़ी की मिनट की सुई के लिए,यह $60$ मिनट में एक पूर्ण चक्कर $(360^{\circ})$ पूरा करती है।
चूंकि $1$ मिनट $= 60$ सेकंड,इसलिए एक पूर्ण चक्कर के लिए लिया गया समय $60 \times 60 = 3600 \ s$ है।
अतः,कोणीय वेग $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \ s} = 0.1^{\circ}/s$ है।

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ है। घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ है। दिया गया है कि $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,अतः घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ होगा।

(C) टक्कर से पहले,गोली $v$ वेग से गति कर रही है। कब्ज़ा बिंदु $O$ के परितः निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $J = m v L$ है।
गोली के छड़ में धंस जाने के बाद,मान लीजिए कि निकाय $\omega$ कोणीय वेग प्राप्त कर लेता है। $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः गोली-छड़ निकाय का जड़त्व आघूर्ण है:
$I = I_{\text{bullet}} + I_{\text{rod}} = m L^2 + \frac{1}{3} M L^2 = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग:
$J = J' \implies m v L = I \omega$
$m v L = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2 \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{3 m v}{(M + 3m) L}$.

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$ और $t = 20 \ s$ है:
$0 = 8\pi - \alpha(20) \Rightarrow \alpha = \frac{8\pi}{20} = 0.4\pi \ rad/s^2$।
बल आघूर्ण $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
यहाँ $M = 25 \ kg$ और $R = 0.2 \ m$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$।
बल आघूर्ण $\tau = F \cdot R$ भी होता है,जहाँ $F$ स्पर्शरेखीय बल है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $F \cdot R = I \alpha
\Rightarrow F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{0.5 \times 0.4\pi}{0.2} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$।

(C) दरवाजे को खोलने या बंद करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है।
आघूर्ण के सिद्धांत के अनुसार, $\tau = r_1 \times F_1 = r_2 \times F_2$.
यहाँ $r_1 = 1.2 \,m$, $F_1 = 1 \,N$, और $r_2 = 0.2 \,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1.2 \,m \times 1 \,N = 0.2 \,m \times F_2$.
अतः, $F_2 = \frac{1.2}{0.2} \,N = 6 \,N$.

(C) माना मिश्रण का अंतिम संतुलन तापमान $T^{\circ} C$ है।
चूंकि पात्र बंद और विलगित है,गर्म गैस $(O_2)$ द्वारा खोई गई ऊष्मा,ठंडी गैस $(CO_2)$ द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होगी।
$CO_2$ (अरेखीय त्रि-परमाणुक गैस) के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V, CO_2} = 3R$ है।
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V, O_2} = \frac{5}{2}R$ है।
मोलों की संख्या: $\mu_{CO_2} = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$ और $\mu_{O_2} = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$ है।
कैलोरीमिति के सिद्धांत का उपयोग करने पर: $\mu_{CO_2} C_{V, CO_2} (T - 27) = \mu_{O_2} C_{V, O_2} (37 - T)$.
$0.5 \times 3R \times (T - 27) = 0.5 \times \frac{5}{2}R \times (37 - T)$.
$3(T - 27) = 2.5(37 - T)$.
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$.
$5.5T = 173.5$.
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.5^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 2.1 \text{ A}$ है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा ($PQ$ और $QR$) से बहने वाली धारा $i$ है।
अतः,निचली शाखा ($PS$ और $SR$) से बहने वाली धारा $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ होगी।
दोनों रास्तों पर $P$ और $R$ के बीच विभवांतर समान होता है:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
इस प्रकार,$1 \Omega$ प्रतिरोध से बहने वाली धारा $1.5 \text{ A}$ है।

(A) माना दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। मीटर ब्रिज की संतुलन स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $R_2 = 4R_1$।
चूंकि $R_2 = 4R_1$,इसलिए $R_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $15 \ \Omega$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = R_1 + 15$ हो जाता है।
नया शून्य विक्षेप बिंदु $l' = 40 \ cm$ है।
संतुलन स्थिति का पुनः उपयोग करने पर: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
$R_2 = 4R_1$ रखने पर: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$।
वज्र गुणन करने पर: $3(R_1 + 15) = 8R_1 \Rightarrow 3R_1 + 45 = 8R_1 \Rightarrow 5R_1 = 45 \Rightarrow R_1 = 9 \ \Omega$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि $p = mv$ और गतिज ऊर्जा $E_K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE_K}$ होता है।
हाइड्रोजन परमाणु में,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{n^2}$ के समानुपाती होती है,अर्थात $E_K \propto \frac{1}{n^2}$।
इसलिए,संवेग $p = \sqrt{2mE_K} \propto \sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n}$।
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $\lambda \propto n$ होता है।
जब इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 4)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में कूदता है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_{final}$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{initial}$ का अनुपात $\frac{\lambda_{final}}{\lambda_{initial}} = \frac{n_{final}}{n_{initial}} = \frac{1}{4}$ होता है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ इलेक्ट्रॉन का वेग है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $mv = \frac{h}{\lambda} \quad --- (1)$।
कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोहर की परिकल्पना के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $mv$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $mv = \frac{nh}{2\pi r} \quad --- (2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से $mv$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{2\pi r}$।
दोनों पक्षों से $h$ को हटाने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{\lambda} = \frac{n}{2\pi r}$।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ है।

(B) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
$m$ द्रव्यमान और $E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p_e = \sqrt{2mE}$ होता है। अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
$E$ ऊर्जा वाले फोटॉन के लिए,संवेग $p_p = \frac{E}{c}$ होता है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left[\frac{E}{2m}\right]^{1/2}$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$,जिससे $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-किरणों की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर: $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(C) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = V$ है और अंतिम विभवांतर $V_2 = 2V$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से घट जाती है।

(B) विभवांतर '$V$' द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इस प्रकार दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
'$m$' द्रव्यमान और '$q$' आवेश वाले इलेक्ट्रॉन के लिए:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ ---$(1)$
'$M$' द्रव्यमान और '$q$' आवेश वाले प्रोटॉन के लिए (चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन पर आवेश का परिमाण समान होता है):
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mqV}}}{\frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}} = \sqrt{\frac{2Mq(9V)}{2mqV}} = \sqrt{\frac{9M}{m}} = 3\sqrt{\frac{M}{m}}$
अतः,प्रोटॉन से संबंधित तरंगदैर्ध्य है:
$\lambda_p = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$

(D) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mK}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को तीन गुना कर दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $K' = 3K$ होगी।
नया संवेग $P'$ इस प्रकार होगा: $P' = \sqrt{2m(3K)} = \sqrt{3} \sqrt{2mK} = \sqrt{3}P$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = h/P$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी: $\lambda' = h/P' = h/(\sqrt{3}P) = \lambda / \sqrt{3}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{3}$ के कारक से बदल जाएगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग को $p = \sqrt{2mK}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा $K$ को दोगुना करके $K' = 2K$ कर दिया जाए,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$ हो जाती है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से बदल जाती है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m} = qV$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \lambda$ और $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$ है,ढाल (slope) $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ है।
यहाँ $h$ और $q$ स्थिरांक हैं,इसलिए ढाल द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
अतः,अधिक ढाल का अर्थ है कम द्रव्यमान।
ग्राफ से,$m_4$ के लिए रेखा की ढाल सबसे अधिक है।
इसलिए,$m_4$ सबसे कम द्रव्यमान वाले कण को दर्शाता है।

(B) अवधारणा: प्रकाश-विद्युत प्रभाव और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत दिशा में आवेश की गति।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = E - W_0$
चूंकि $K = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए:
$v = \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}}$
जब $e$ आवेश वाला इलेक्ट्रॉन $v$ वेग से $B$ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे वह $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{m v}{e B}$
$v$ का मान रखने पर:
$r = \frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2(E - W_0)}{m}}}{e B} = \frac{\sqrt{2m(E - W_0)}}{e B}$

(B) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए ($\lambda$ तरंगदैर्ध्य): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
द्वितीय स्थिति के लिए ($\frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य): $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है कि $K_1 = \frac{1}{3} K_2$,इसलिए $3K_1 = K_2$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$.
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
अतः,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2 = E_p - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_p$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है $\phi = 0.8 eV$।
$E_1 = 1.3 eV$ ऊर्जा वाले पहले फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 1.3 eV - 0.8 eV = 0.5 eV$ --- $(1)$
$E_2 = 2.8 eV$ ऊर्जा वाले दूसरे फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.8 eV - 0.8 eV = 2.0 eV$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{0.5 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,अधिकतम चाल का अनुपात $1: 2$ है।

(C) अवधारणा: निरोधी विभव $V$,आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत प्रभाव समीकरण के माध्यम से फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ से संबंधित है:
$eV = K_{\max} = hv - hv_0$
इसलिए,
$V = \left(\frac{h}{e}\right)v - \left(\frac{h}{e}\right)v_0$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,ढाल $m = \frac{h}{e}$ धनात्मक है,और $V$-अक्ष पर अंतःखंड $-\left(\frac{h}{e}\right)v_0$ है।
जब $v = v_0$ होता है,तो निरोधी विभव $V = 0$ होता है।
इस प्रकार,ग्राफ $v = v_0$ बिंदु से शुरू होने वाली और आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ने वाली एक सीधी रेखा है।
ग्राफ $(A)$ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार है:
$K.E._{max} = E - \phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह दिया गया है कि कट-ऑफ आवृत्ति (देहली आवृत्ति) $v$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi = hv$ है।
$2v$ आवृत्ति वाले आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = h(2v) = 2hv$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2hv - hv$
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = hv$
$v_{max}^2 = \frac{2hv}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2hv}{m}}$

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $e V = \frac{h c}{\lambda} - \phi$,जिसे $\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए निरोधी विभव $V_1$ है:
$\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V_1$ --- $(1)$
$\frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य के लिए निरोधी विभव $V_2$ है:
$\frac{h c}{\lambda / 2} = \phi + e V_2 \Rightarrow \frac{2 h c}{\lambda} = \phi + e V_2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $\frac{h c}{\lambda}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(\phi + e V_1) = \phi + e V_2$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + e V_2$
$e V_2 = 2 e V_1 + \phi$
$e$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_2 = 2 V_1 + \frac{\phi}{e}$

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h v - h v_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_0$ देहली आवृत्ति है।
चूंकि स्टॉपिंग विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = e V_s$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास $e V_s = h v - h v_0$ ... $(1)$ है।
दूसरे मामले के लिए,$v/2$ आवृत्ति और $V_s/4$ स्टॉपिंग विभव के साथ,हमारे पास $e(V_s/4) = h(v/2) - h v_0$ ... $(2)$ है।
समीकरण $(1)$ से,$e V_s = h v - h v_0$ है। इसे समीकरण $(2)$ में $4$ से गुणा करके प्रतिस्थापित करने पर:
$e V_s = 4(h v/2 - h v_0) = 2h v - 4h v_0$ प्राप्त होता है।
$e V_s$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$h v - h v_0 = 2h v - 4h v_0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3h v_0 = h v$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_0 = v/3$।

(D) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = h\nu$ है।
दी गई आवृत्ति $\nu = 10^{12} \text{ MHz} = 10^{12} \times 10^6 \text{ Hz} = 10^{18} \text{ Hz}$ है।
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ है।
ऊर्जा को जूल $(J)$ से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में बदलने के लिए,हम इसे प्राथमिक आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ से विभाजित करते हैं।
$E(\text{eV}) = \frac{h\nu}{e} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 10^{18}}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E(\text{eV}) = \frac{6.63}{1.6} \times 10^{-34 + 18 + 19} = 4.14375 \times 10^3 \text{ eV}$.
सार्थक अंकों को ध्यान में रखते हुए,$E \approx 4.14 \times 10^3 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} J s$, $c = 3 \times 10^8 m/s$, और $\lambda = 4100 \times 10^{-10} m$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10}} J = 4.85 \times 10^{-19} J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए $e = 1.6 \times 10^{-19} C$ से विभाजित करें:
$E = \frac{4.85 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 3.03 eV$.
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन तब होता है यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक हो।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 1.92 eV < 3.03 eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.0 eV < 3.03 eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $C$ के लिए: $\Phi_C = 5 eV > 3.03 eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)।
अतः, धातु $A$ और $B$ फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
जहाँ $V$ निरोधी विभव है,$\lambda$ आपतित तरंगदैर्ध्य है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
जब आपतित तरंगदैर्ध्य को बदलकर $2\lambda$ कर दिया जाता है,तो मान लीजिए नया निरोधी विभव $V'$ है। समीकरण इस प्रकार होगा:
$eV' = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$eV - eV' = \left( \frac{hc}{\lambda} - \Phi \right) - \left( \frac{hc}{2\lambda} - \Phi \right)$
$e(V - V') = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$V - V' = \frac{hc}{2e\lambda}$
$V' = V - \frac{hc}{2e\lambda}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
दिया गया है कि थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu$ है, इसलिए कार्य फलन $\phi = h\nu$ होगा।
जब $2\nu$ आवृत्ति का विकिरण धातु पर आपतित होता है, तो अधिकतम गतिज ऊर्जा होगी:
$K_{max} = h(2\nu) - h\nu = h\nu$
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$
अतः, विकल्प $A$ सही है।

(C) धातु की देहली आवृत्ति $f_0 = 15 \times 10^{14} \, Hz$ दी गई है।
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \text{Å} = 6000 \times 10^{-10} \, m$ के लिए आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जाती है:
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{6000 \times 10^{-10} \, m} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} \, Hz = 0.5 \times 10^{15} \, Hz = 5 \times 10^{14} \, Hz$.
चूंकि आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(f = 5 \times 10^{14} \, Hz)$ देहली आवृत्ति $(f_0 = 15 \times 10^{14} \, Hz)$ से कम है, इसलिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) को पार करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
अतः, कोई फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन नहीं होगा।

(B) सबसे तेज़ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V$ वह विभव है जो इन सबसे तेज़ इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक है,ताकि विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो:
$e V = K_{max}$
$e V = \frac{1}{2} m v^2$
$V$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{m v^2}{2 e}$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $h$ और $\Phi$ नियतांक हैं, इसलिए गतिज ऊर्जा $K_{max}$ सीधे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करती है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है, न कि उनकी व्यक्तिगत गतिज ऊर्जा को।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $e$ है:
$e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$
यदि कुंडली का प्रतिरोध $R$ है,तो प्रेरित धारा $I$ होगी:
$I = \frac{|e|}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \cdot \Delta t}$
$\Delta t$ समय में परिपथ से गुजरने वाला कुल आवेश $Q$ है:
$Q = I \cdot \Delta t$
$I$ का मान रखने पर:
$Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \cdot \Delta t} \right) \cdot \Delta t$
$Q = \frac{\Delta \phi}{R}$
अतः,प्रेरित विद्युत आवेश की कुल मात्रा $\frac{\Delta \phi}{R}$ है।

(C) प्रेरक (कुंडली) में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $I$ धारा है।
मान लीजिए प्रारंभिक धारा $I_1 = I$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ है।
यदि धारा को $50 \%$ कम कर दिया जाता है,तो नई धारा $I_2 = I - 0.5 I = 0.5 I = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
कुंडली में संचित नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} L (I_2)^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I}{2})^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I^2}{4}) = \frac{1}{4} E_1$ होगी।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_1 - E_2 = E_1 - \frac{1}{4} E_1 = \frac{3}{4} E_1$ है।
चूंकि $\frac{3}{4} = 0.75$,इसलिए ऊर्जा में $75 \%$ की कमी होगी।

(B) एक प्रेरक (कुंडली) में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ होता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $E \propto I^2$ है।
प्रारंभ में,जब धारा $I$ है,तो ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ है।
जब धारा को घटाकर $I' = I/2$ कर दिया जाता है,तो नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{4} E_1$ हो जाती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_1 - E_2$ है।
$E_2$ का मान रखने पर,हमें $\Delta E = E_1 - \frac{E_1}{4} = \frac{3E_1}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: धारा $i = 5 \, A$, प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega$, प्रेरकत्व $L = 5 \, mH = 5 \times 10^{-3} \, H$, विद्युत वाहक बल $E = 15 \, V$।
धारा घट रही है, इसलिए $\frac{di}{dt} = -10^3 \, A/s$।
बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - iR + E - L\left(\frac{di}{dt}\right) = V_B$
$V_A - V_B = iR + L\left(\frac{di}{dt}\right) - E$
मान रखने पर:
$V_A - V_B = (5 \, A \times 1 \, \Omega) + (5 \times 10^{-3} \, H \times -10^3 \, A/s) - 15 \, V$
$V_A - V_B = 5 - 5 - 15 = -15 \, V$
अतः, $V_B - V_A = 15 \, V$।

(B) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ विभवांतर $V$ तक आवेशित हो जाता है।
जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र $C$ और प्रेरक $L$ एक $LC$ दोलनी परिपथ बनाते हैं।
संधारित्र में प्रारंभ में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र निरावेशित (discharge) होता है,ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ के रूप में स्थानांतरित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम धारा $I_{max}$ तब प्राप्त होती है जब संपूर्ण स्थिर-वैद्युत ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
अतः,परिपथ में तात्क्षणिक धारा इस अधिकतम मान तक पहुँच सकती है।

(B) कुंडली $P$ में धारा में परिवर्तन के कारण कुंडली $S$ में प्रेरित e.m.f. फैराडे के प्रेरण नियम द्वारा दिया जाता है: $E = -M \frac{dI}{dt}$.
दिया गया है,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 3 \times 10^{-3} \ H$ और धारा $I = 20 \sin(50 \pi t) \ A$.
समय $t$ के सापेक्ष धारा का अवकलन करने पर: $\frac{dI}{dt} = 20 \times 50 \pi \cos(50 \pi t) = 1000 \pi \cos(50 \pi t) \ A/s$.
e.m.f. के समीकरण में इन मानों को रखने पर: $E = -(3 \times 10^{-3}) \times (1000 \pi \cos(50 \pi t)) = -3 \pi \cos(50 \pi t) \ V$.
प्रेरित e.m.f. का अधिकतम मान $|E_{max}| = 3 \pi \ V$ है।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें $|E_{max}| = 3 \times 3.14 = 9.42 \ V$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण परिपथ से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $q$ सूत्र $q = \frac{\Delta \phi}{R_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_{total} = R_{galvanometer} + R_{coil} = 200 \ \Omega + 400 \ \Omega = 600 \ \Omega$.
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = N A \Delta B$ है,जहाँ $N = 1000$ और $A = \pi r^2$ है।
व्यास $20 \ mm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 10 \ mm = 0.01 \ m$ है।
अतः,$A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = |0 - 0.012| = 0.012 \ T$ है।
इन मानों को आवेश के सूत्र में रखने पर:
$q = \frac{1000 \times \pi \times 10^{-4} \times 0.012}{600}$
$q = \frac{1000 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.012}{600}$
$q = \frac{3.14159 \times 0.012}{600} \times 1000 = \frac{0.037699}{600} \times 1000 \approx 0.0628 \times 10^{-3} \ C = 62.8 \ \mu C$.
निकटतम मान लेने पर,$q \approx 63 \ \mu C$ प्राप्त होता है।

(D) एक लंबी परिनालिका के अंदर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ, $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $I$ धारा है。
अक्ष के लंबवत रखे गए $A$ क्षेत्रफल के लूप के साथ जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A = \mu_0 n I A$ है。
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित emf $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt}$ है。
दी गई मान:
$n = 15 \text{ फेरे/cm} = 1500 \text{ फेरे/m}$.
$A = 2.0 \text{ cm}^2 = 2.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
$\frac{dI}{dt} = \frac{4.0 - 2.0}{0.1} = 20 \text{ A/s}$.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|e| = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times 1500 \times (2.0 \times 10^{-4}) \times 20$.
$|e| = 12.56 \times 10^{-7} \times 1500 \times 2.0 \times 10^{-4} \times 20$.
$|e| = 7.536 \times 10^{-6} \text{ V} \approx 7.54 \times 10^{-6} \text{ V}$.

(C) एक वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ उसके केंद्र पर कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
चूँकि दोनों कुंडलियाँ $A$ और $B$ परस्पर लंबवत रखी गई हैं,कुंडली $A$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ कुंडली $B$ के तल में होंगी,और इसके विपरीत।
चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
चूँकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ दूसरी कुंडली के तल के समानांतर हैं,वे उस कुंडली के क्षेत्रफल सदिश के लंबवत हैं। अतः,$\theta = 90^\circ$ और $\cos 90^\circ = 0$ होता है।
इसलिए,दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -d\Phi/dt$ है। चूँकि $\Phi = 0$ है,इसलिए प्रेरित $EMF$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा शून्य होगी।

(B) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ और $\cos(0^\circ) = 1$ है,अतः $\phi = BA$।
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_i = B \cdot A$ है।
चुंबकीय प्रेरण को उसके प्रारंभिक मान के $25 \%$ तक कम कर दिया जाता है,इसलिए अंतिम चुंबकीय प्रेरण $B_f = 0.25 B = \frac{B}{4}$ है।
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स $\phi_f = \frac{B}{4} \cdot A = \frac{BA}{4}$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_i - \phi_f = BA - \frac{BA}{4} = \frac{3BA}{4}$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $e = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|$ है।
यहाँ $\Delta t = 1 \ s$ दिया गया है,इसलिए $e = \frac{3BA/4}{1} = \frac{3AB}{4} \ V$ प्राप्त होता है।

(B) घूमती हुई छड़ में प्रेरित e.m.f. $e$,छड़ द्वारा तय किए गए क्षेत्रफल से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
एक पूर्ण चक्कर में,छड़ $A = \pi l^2$ का क्षेत्रफल तय करती है।
यदि छड़ प्रति सेकंड $f$ चक्कर लगाती है,तो प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ होगा।
इसे e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
आवृत्ति $f$ (प्रति सेकंड चक्करों की संख्या) के लिए हल करने पर:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$

(D) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = 4t^2 + 3t + 7$ द्वारा दिया गया है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $(e)$ का परिमाण $e = |\frac{d\Phi}{dt}|$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष $\Phi$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 3t + 7) = 8t + 3$.
अतः,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $e = |8t + 3|$ है।
$t = 2 \ s$ पर,समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$e = 8(2) + 3 = 16 + 3 = 19 \ V$.
इस प्रकार,$t = 2 \ s$ पर प्रेरित e.m.f. का परिमाण $19 \ V$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $\varepsilon$ को $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N$ फेरों की संख्या है और $\frac{d\phi}{dt}$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर है।
फ्लक्स के परिवर्तन की दर $\frac{d\phi}{dt}$ चुंबक की गति,चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति और कुंडली की ज्यामिति पर निर्भर करती है।
प्रेरित e.m.f. $\varepsilon$ कुंडली के प्रतिरोध $(R)$ पर निर्भर नहीं करता है।
नोट: हालांकि प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R}$ प्रतिरोध पर निर्भर करती है,लेकिन प्रेरित e.m.f. स्वयं सर्किट के प्रतिरोध से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
हम डिस्क को डिस्क के केंद्र और रिम के बीच समानांतर में जुड़े पतली छड़ों के संग्रह के रूप में मान सकते हैं। इसलिए,यदि हम अपनी धुरी के चारों ओर घूमने वाली एक पतली छड़ पर प्रेरित e.m.f. की गणना करते हैं,तो यह डिस्क के e.m.f. के बराबर होना चाहिए।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $dr$ लंबाई के सूक्ष्म खंड पर विकसित होने वाला गतिकीय e.m.f. इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$dE = Bv dr$
रेखीय वेग $v = \omega r$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$dE = B \omega r dr$
छड़ पर $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$E = \int_0^{R} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{R} = \frac{B \omega R^2}{2}$

(B) लूप में प्रेरित गतिकीय emf इस प्रकार है: $V = B v l$.
ओम के नियम के अनुसार लूप में धारा $i = \frac{V}{R} = \frac{B v l}{R}$ है।
जैसे-जैसे लूप नीचे गिरता है,उस पर ऊपर की ओर चुंबकीय बल $F_m = i l B$ कार्य करता है। लूप के स्थिर टर्मिनल वेग $v$ के साथ गिरने के लिए,चुंबकीय बल को नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना होगा।
अतः,$i l B = m g$.
$i$ का मान रखने पर:
$B \left( \frac{B v l}{R} \right) l = m g$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = m g$
$v = \frac{m g R}{B^2 l^2}$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
अवधारणा: कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A$ द्वारा दिया जाता है,और स्व-प्रेरकत्व का गुणांक $L$ को $L = \frac{N\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ कुंडली में प्रवाहित धारा है।
$r$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा ले जाने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_N = N \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$ होता है।
प्रत्येक फेरे से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = B_N A = N \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) A$ है।
$N$ फेरों के लिए कुल फ्लक्स लिंकेज $\Phi = N \phi_1 = N^2 \left( \frac{\mu_0 I A}{2r} \right)$ है।
$L = \frac{\Phi}{I}$ परिभाषा का उपयोग करने पर,हमें $L = N^2 \left( \frac{\mu_0 A}{2r} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $L$ फेरों की संख्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $L \propto N^2$।

(D) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र '$B$' का मान $B = \mu_0 n i$ होता है,जहाँ '$n$' प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और '$i$' विद्युत धारा है।
'$d$' व्यास वाले सोलेनोइड का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल '$A$' है,$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$।
एक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स '$\phi$' है,$\phi = B \cdot A = (\mu_0 n i) \left( \frac{\pi d^2}{4} \right)$।
सोलेनोइड की '$l$' लंबाई के लिए,फेरों की कुल संख्या $N = n \cdot l$ है।
'$l$' लंबाई से जुड़ा कुल फ्लक्स '$\Phi$' है,$\Phi = N \cdot \phi = (n l) \left( \mu_0 n i \frac{\pi d^2}{4} \right) = \mu_0 n^2 i l \frac{\pi d^2}{4}$।
चूंकि $\Phi = L \cdot i$,इसलिए '$l$' लंबाई के लिए कुल प्रेरकत्व '$L$' है,$L = \frac{\mu_0 n^2 i l \pi d^2}{4 i} = \frac{\mu_0 n^2 l \pi d^2}{4}$।
अतः,प्रति इकाई लंबाई प्रेरकत्व $\frac{L}{l} = \frac{\mu_0 \pi n^2 d^2}{4}$ है।

(D) कुंडली $A$ में धारा $i_1$ के कारण कुंडली $B$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\Phi = M i_1$.
यहाँ, $M$ अन्योन्य प्रेरण का गुणांक है.
दिया गया है कि धारा में परिवर्तन $\Delta i_1 = 0.8 \,A$ है, जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \Phi = 0.16 \,Wb$ होता है.
अन्योन्य प्रेरण $M$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M = \frac{\Delta \Phi}{\Delta i_1} = \frac{0.16 \,Wb}{0.8 \,A} = 0.2 \,H$.

(B) $N$ निश्चित फेरों वाली $\lambda$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\lambda}$
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $L$ क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक है और लंबाई $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
इसलिए,$L$ को बढ़ाने के लिए,क्षेत्रफल $A$ का बढ़ना और लंबाई $\lambda$ का घटना आवश्यक है।

(C) जब $L_1$ और $L_2$ स्व-प्रेरकत्व तथा $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
दिया गया है:
$L_1 = 1 H$
$L_2 = 3 H$
$M = 5 H$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 2(5 H)$
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 10 H$
$L_{eq} = 14 H$
अतः,संयोजन का तुल्य स्व-प्रेरकत्व $14 H$ है।

(C) प्राथमिक कुंडली में धारा में परिवर्तन $di_1 = (8 - 4) \,A = 4 \,A$ है।
समय अंतराल $dt = 0.6 \,s$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $E_2 = 50 \,mV = 50 \times 10^{-3} \,V$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $E_2 = M \cdot \frac{di_1}{dt}$ है।
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $M = \frac{E_2 \cdot dt}{di_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $M = \frac{50 \times 10^{-3} \,V \times 0.6 \,s}{4 \,A}$।
$M = \frac{30 \times 10^{-3}}{4} \,H = 7.5 \times 10^{-3} \,H = 7.5 \,mH$।

(B) स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में प्रेरित emf का सूत्र $e = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ है।
दिया गया है:
प्रेरित emf $e = 0.5 \,V$
प्रारंभिक धारा $I_1 = 10 \,A$
अंतिम धारा $I_2 = -10 \,A$ (विपरीत दिशा)
धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_2 - I_1 = -10 \,A - 10 \,A = -20 \,A$
समय अंतराल $\Delta t = 0.8 \,s$
धारा परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{\Delta I}{\Delta t}| = \frac{|-20 \,A|}{0.8 \,s} = \frac{20}{0.8} \,A/s = 25 \,A/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.5 = L \times 25$
$L = \frac{0.5}{25} \,H = \frac{1}{50} \,H = 0.02 \,H$.
मिलीहेनरी में बदलने पर: $0.02 \,H = 0.02 \times 1000 \,mH = 20 \,mH$.

(D) स्व-प्रेरकत्व गुणांक $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi$ कुंडली से जुड़ा कुल चुंबकीय फ्लक्स है और $I$ इसमें बहने वाली धारा है।
$N$ फेरों वाले टोरॉइड के लिए,कुल फ्लक्स $\phi = N \cdot A \cdot B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ टोरॉइड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $B$ इसके अंदर चुंबकीय क्षेत्र है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n = \frac{N}{2 \pi R}$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
इन मानों को फ्लक्स समीकरण में रखने पर:
$\phi = N (\pi r^2) (\mu_0 \frac{N}{2 \pi R} I) = \frac{\mu_0 N^2 r^2 I}{2 R}$.
अंत में,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 N^2 r^2}{2 R}$ प्राप्त होता है।

(C) परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 (N/l) I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$l$ लंबाई है और $I$ विद्युत धारा है।
परिनालिका से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A N = \mu_0 (N^2/l) A I$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
स्व-प्रेरकत्व की परिभाषा के अनुसार,$\phi = L I$ होता है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ प्राप्त होता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $L$ फेरों की संख्या $N$,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $l$ पर निर्भर करता है,लेकिन यह परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 (N/l) i$ द्वारा दिया जाता है।
परिनालिका से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = N B A = N (\mu_0 N i A / l) = (\mu_0 N^2 A / l) i$ है।
स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ को $L = \Phi / i = \mu_0 N^2 A / l$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 500$,$l = 0.3 \ m$,$A = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
$L = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (500)^2 \times 25 \times 10^{-4}}{0.3} \approx 2.618 \times 10^{-3} \ H$.
औसत बैक e.m.f. $e = L (\Delta i / \Delta t)$ है।
यहाँ $\Delta i = 2.5 \ A$ और $\Delta t = 10^{-3} \ s$ दिया गया है।
$e = (2.618 \times 10^{-3}) \times (2.5 / 10^{-3}) = 2.618 \times 2.5 \approx 6.545 \ V$.
निकटतम मान लेने पर,$e \approx 6.5 \ V$.