MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $r$ त्रिज्या की एक तरल बूंद जो आधी डूबी हुई तैर रही है, उस पर कार्य करने वाले बलों में बूंद का भार नीचे की ओर, उत्प्लावन बल ऊपर की ओर और संपर्क वृत्त की परिधि पर पृष्ठ तनाव बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
बूंद का भार $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
उत्प्लावन बल $F_B = V_{submerged} d g = (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
पृष्ठ तनाव बल $F_T = (2 \pi r) T$.
बलों को संतुलित करने पर: $F_T + F_B = W$.
$(2 \pi r) T + (\frac{2}{3} \pi r^3) d g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g - (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{2}{3} \pi r^3) (2 Q - d) g$.
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 Q - d) g$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 Q - d)}$.
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}}$.
व्यास $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{4 \times 3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 Q - d)}}$.

(A) परिभाषा के अनुसार,एक सुव्यवस्थित प्रवाह में,तरल के किसी भी चुने हुए बिंदु पर प्रवाह का वेग हमेशा समान रहता है,अर्थात,यह समय के साथ नहीं बदलता है। हालांकि तरल के पथ में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर वेग भिन्न हो सकता है,लेकिन किसी भी निश्चित बिंदु पर,वेग सदिश समय के साथ नहीं बदलता है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी को बाल्टी से गिरने से रोकने के लिए,अभिकेंद्र बल का मान पानी पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी के बाल्टी में बने रहने की शर्त $m \omega^2 r \geq mg$ है।
न्यूनतम कोणीय वेग $\omega$ के लिए $m \omega^2 r = mg$,जिसे सरल करने पर $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $2 \pi f = \sqrt{\frac{g}{r}}$।
अतः,घूर्णन की न्यूनतम आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}}$ है।

(C) पानी को कैन से बाहर न गिरने देने के लिए,ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर अभिकेंद्र बल पानी के भार के बराबर होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी के न गिरने की शर्त बलों के संतुलन द्वारा दी जाती है:
$\frac{m v^2}{r} = m g$
जहाँ $m$ पानी का द्रव्यमान है,$v$ गति है,और $r$ त्रिज्या है।
न्यूनतम गति $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = r g \implies v = \sqrt{r g}$
एक पूर्ण परिक्रमण का आवर्तकाल $T$,परिधि को गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$T = \frac{2 \pi r}{v}$
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{r g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r}{g}}$

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = d/2$,इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$ है।
अंतिम त्रिज्या $r_2 = D/2$,इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$।

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
कमरे के तापमान पर $R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_1$ होने पर किया गया कार्य $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ है।
उच्च तापमान पर $2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_2$ होने पर किया गया कार्य $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि साबुन के घोल को गर्म किया जाता है,इसलिए पृष्ठ तनाव कम हो जाता है,जिसका अर्थ है $T_2 < T_1$,या $\frac{T_2}{T_1} < 1$ है।
अतः,$W_2 < 4 W_1$।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: पृष्ठ ऊर्जा $E$,पृष्ठ क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,जहाँ $E = T \times A$ ($T$ पृष्ठ तनाव है)।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 216 r^3$,अतः $R = 6r$ या $r = \frac{R}{6}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times (4 \pi R^2)$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E' = 216 \times (T \times 4 \pi r^2)$.
$r = \frac{R}{6}$ रखने पर:
$E' = 216 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36}$.
$E' = 6 \times (T \times 4 \pi R^2) = 6 E$.

(A) सही विकल्प $A$ है।
अवधारणा: तापमान बढ़ने के साथ संपर्क कोण आमतौर पर कम हो जाता है।
द्रव में अशुद्धियाँ मिलाने से द्रव का पृष्ठ तनाव प्रभावित होता है,जिससे संपर्क कोण बदल जाता है।
संपर्क कोण एक ऐसा गुण है जो संपर्क में आने वाले द्रव और ठोस की प्रकृति पर निर्भर करता है।
एक निश्चित तापमान पर ठोस-द्रव युग्म के लिए संपर्क कोण स्थिर रहता है।
इसलिए,कथन $A$ ही एकमात्र ऐसा कथन है जो 'सत्य नहीं' है,क्योंकि तापमान बढ़ने पर आमतौर पर संपर्क कोण कम हो जाता है।

(D) केशिका नली में पानी की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $h \propto \frac{1}{r}$।
अतः, $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
दिया गया है $r_2 = 2r_1$, इसलिए $h_2 = \frac{h_1 r_1}{2r_1} = \frac{h_1}{2}$।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \pi r^2 h \rho$ है।
माना $m_1 = \pi r_1^2 h_1 \rho$ और $m_2 = \pi r_2^2 h_2 \rho$।
अनुपात लेने पर: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{\pi (2r_1)^2 h_2 \rho}{\pi r_1^2 h_1 \rho} = 4 \times \frac{h_2}{h_1} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
इसलिए, $m_2 = 2m$।

(A) साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है, जो $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2)$ होता है, जहां $r$ त्रिज्या है।
दिया गया व्यास $2d$ है, इसलिए त्रिज्या $r = d$ होगी।
अतः, $\Delta A = 2 \times 4 \pi d^2 = 8 \pi d^2$।
इसलिए, किया गया कार्य $W = T \times 8 \pi d^2 = 8 \pi d^2 T$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,तापमान $T$ स्थिर रहता है। साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4\sigma}{r}$ होता है,जहाँ $P_0$ बाहरी दबाव है। निर्वात में,$P_0 = 0$ होता है,इसलिए $P = \frac{4\sigma}{r}$।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस के मोलों की संख्या $n = \frac{PV}{RT}$ द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{4\sigma}{r}$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$n = \frac{(4\sigma/r) \cdot (4/3)\pi r^3}{RT} = \frac{16\pi\sigma}{3RT} r^2$।
चूंकि $n \propto r^2$,जब दो बुलबुले आपस में मिलते हैं,तो मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है:
$n_{total} = n_1 + n_2 \implies R^2 = r_1^2 + r_2^2$।
अतः,परिणामी बुलबुले की त्रिज्या $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$ होगी।

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है, क्योंकि साबुन के बुलबुले में दो तरल-गैस इंटरफेस होते हैं।
$h$ ऊँचाई के पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho h g$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि अतिरिक्त दबाव पानी के स्तंभ के दबाव के बराबर है, इसलिए $\frac{4T}{r} = \rho h g$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $T = \frac{r \rho h g}{4}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $h = 0.8 \,cm = 8 \times 10^{-3} \,m$, $\rho = 1000 \,kg/m^3$, और $g = 9.8 \,m/s^2$।
$T = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (1000 \,kg/m^3) \times (8 \times 10^{-3} \,m) \times (9.8 \,m/s^2)}{4}$।
$T = \frac{3 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m$।
$T = \frac{3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m = 6 \times 9.8 \times 10^{-3} \,N/m = 58.8 \times 10^{-3} \,N/m$।

(A) जब संपर्क कोण शून्य होता है,तो मेनिस्कस की त्रिज्या $(r)$ नली की त्रिज्या $(d/2)$ के बराबर होती है।
पहली नली में अतिरिक्त दबाव $P_1 = \frac{2T}{r_1} = \frac{2T}{d_1/2} = \frac{4T}{d_1}$ है।
दूसरी नली में अतिरिक्त दबाव $P_2 = \frac{2T}{r_2} = \frac{2T}{d_2/2} = \frac{4T}{d_2}$ है।
दोनों भुजाओं के बीच दबाव का अंतर $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव द्वारा संतुलित होता है,जहां $h$ स्तरों में अंतर है।
$\Delta P = P_1 - P_2 = h \rho g$.
$P_1$ और $P_2$ के मान रखने पर:
$h \rho g = \frac{4T}{d_1} - \frac{4T}{d_2} = 4T \left( \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2} \right)$.
$h \rho g = 4T \left( \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right)$.
अतः,$h = \frac{4T}{\rho g} \left[ \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right]$।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ होगा।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ और अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$।
अतः,नई ऊँचाई $h_2 = 3 h$ होगी।

(A) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं (फ्रेम के प्रत्येक तरफ एक)।
पृष्ठ तनाव के कारण फ्रेम के एक तरफ कार्य करने वाला बल $F = T \times \text{लंबाई}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रेम $L$ भुजा वाला एक वर्ग है,इसलिए परिधि $4L$ है।
चूंकि साबुन की फिल्म में दो सतहें होती हैं,इसलिए फ्रेम पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{total} = 2 \times (T \times \text{परिधि})$ होगा।
$F_{total} = 2 \times T \times 4L = 8 TL$।

(A) मान लीजिए कि द्रव कांच की प्लेटों को पूरी तरह से गीला करता है।
द्रव की वक्र सतह पर दबाव का अंतर (लाप्लास दबाव) $\Delta P = \frac{T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है।
यह दबाव अंतर प्लेटों के बीच एक आकर्षण बल पैदा करता है,जो $F = \Delta P \cdot A = \frac{T}{R} \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{T}{R} = \frac{F}{A} \quad \dots(1)$
यह मानते हुए कि द्रव $d$ मोटाई और $A$ क्षेत्रफल की एक पतली बेलनाकार परत बनाता है,आयतन $V = A \cdot d$ है।
$R$ वक्रता त्रिज्या वाले मेनिस्कस के लिए,परत की मोटाई $d = 2R$ है,इसलिए $V = A(2R)$।
अतः,$R = \frac{V}{2A} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{T}{(V / 2A)} = \frac{F}{A}$
$T = \frac{F \cdot V}{2A^2}$

(B) केशनली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
चूँकि $T, \theta, \rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
केशनली में द्रव का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान के समीकरण में $h \propto \frac{1}{r}$ रखने पर,हमें $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m \propto r$ हो जाता है।
यदि त्रिज्या $r$ से बदलकर $r' = \frac{r}{4}$ हो जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/4}{r} = \frac{m}{4}$ होगा।

(C) पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $E = T(\Delta A)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = n(4\pi r^2)$ और अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 4\pi R^2$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,जिसका अर्थ है $n = \frac{R^3}{r^3}$।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_i - A_f = 4\pi(nr^2 - R^2)$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta A = 4\pi(\frac{R^3}{r} - R^2) = 4\pi R^3(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V = \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $4\pi R^3 = 3V$ है।
अतः,$\Delta A = 3V(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
चूंकि $r < R$,$\Delta A > 0$ पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा मुक्त होती है।
इसलिए,$E = 3VT(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) $r$ त्रिज्या वाली तरल बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2\sigma}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि एक छोटी बूंद के लिए, अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2\sigma}{r} = 9$ इकाई है।
जब $27$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27r^3 \implies R = 3r$।
बड़ी बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P_B = \frac{2\sigma}{R}$ है।
$R = 3r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_B = \frac{2\sigma}{3r} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\sigma}{r} \right) = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ इकाई।

(C) दिया गया है:
प्लेटों का क्षेत्रफल, $A = 10^{-2} \,m^2$
पानी की परत की मोटाई, $h = 10 \,cm = 10^{-1} \,m$
पानी का पृष्ठ तनाव, $\sigma = 70 \times 10^{-3} \,N/m$
जब दो प्लेटों के बीच द्रव की एक पतली परत होती है, तो मेनिस्कस की वक्रता के कारण द्रव के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम होता है। दबाव का अंतर (लाप्लास दबाव) इस प्रकार है:
$\Delta P = \frac{\sigma}{r}$
यहाँ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $r = h/2$ है।
इसलिए, $\Delta P = \frac{\sigma}{h/2} = \frac{2\sigma}{h}$
प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F$, दबाव के अंतर और क्षेत्रफल का गुणनफल है:
$F = \Delta P \times A = \frac{2\sigma A}{h}$
मान रखने पर:
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})}{10^{-1}} = 14 \times 10^{-3} \,N$
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार, गणना में $h$ का मान भिन्न हो सकता है, लेकिन दिए गए समाधान की पद्धति के अनुसार उत्तर $28 \,N$ है।

(A) एक वर्गाकार तार के फ्रेम में $4$ भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $L$ है। वर्ग का कुल परिमाप $4 L$ है।
जब फ्रेम को साबुन के घोल में डुबोया जाता है, तो उस पर एक पतली झिल्ली (मेम्ब्रेन) बन जाती है।
इस झिल्ली की दो सतहें होती हैं (फ्रेम के प्रत्येक तरफ एक)।
इसलिए, तार के फ्रेम के संपर्क में आने वाली झिल्ली की कुल लंबाई $2 \times (4 L) = 8 L$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के कारण बल $F$ का सूत्र $F = T \times (\text{कुल लंबाई})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $F = T \times 8 L = 8 T L$ प्राप्त होता है।

(B) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर,$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
खदान में $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g(1 - \frac{d}{R})$ हो जाता है।
$d$ गहराई पर नई ऊँचाई $h^{\prime} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g^{\prime}} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{h}{h^{\prime}}$ इस प्रकार है:
$\frac{h}{h^{\prime}} = \frac{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g}}{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}} = 1 - \frac{d}{R}$.

(A) दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव,$\Delta P = 50 \ dyne/cm^2$
त्रिज्या,$r = 2 \ cm$
साबुन के बुलबुले के लिए,तरल-वायु इंटरफ़ेस दो बार पार किया जाता है,इसलिए अतिरिक्त दबाव का सूत्र है:
$\Delta P = \frac{4T}{r}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$T$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{50 \ dyne/cm^2 \times 2 \ cm}{4} = \frac{100}{4} \ dyne/cm = 25 \ dyne/cm$

(C) सिक्के के तैरने के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) सिक्के की परिधि के अनुदिश कार्य करने वाले पृष्ठ तनाव के ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
यह मानते हुए कि संपर्क कोण $0^{\circ}$ है और सिक्का पतला है,ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = T \times (2 \pi R)$ है।
सिक्के का भार $W = \text{द्रव्यमान} \times g = (\text{घनत्व} \times \text{आयतन}) \times g = \rho \times (\pi R^2 d) \times g$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$T(2 \pi R) = \rho (\pi R^2 d) g$
दोनों पक्षों को $\pi R$ से विभाजित करने पर:
$2 T = \rho R d g$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{2 T}{\rho g d}$

(D) चूंकि प्रक्रिया समतापीय स्थितियों में होती है और पारे का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए दो बूंदों का कुल आयतन बनने वाली एक बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली बूंद का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ है और दूसरी बूंद का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ है।
परिणामी बड़ी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार: $V = V_1 + V_2$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $R^3 = R_1^3 + R_2^3$.

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R$ त्रिज्या के बुलबुले के लिए,$W_1 = 8 \pi R^2 T$ है।
$2R$ त्रिज्या के बुलबुले के लिए,$W_2 = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$ है।
अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{8 \pi R^2 T}{32 \pi R^2 T} = \frac{1}{4}$ है।

(C) जब कोई गेंद टर्मिनल वेग के साथ गति करती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है। गेंद पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल (भार) और ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (buoyant force) तथा श्यान बल (viscous force) कार्य करते हैं।
$Mg = F_v + F_b$
जहाँ $Mg$ भार है,$F_v$ श्यान बल है,और $F_b$ उत्प्लावन बल है।
गेंद का भार $Mg = V \rho g$ है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
उत्प्लावन बल $F_b = V \sigma g$ है।
इन मानों को बल संतुलन समीकरण में रखने पर:
$V \rho g = F_v + V \sigma g$
$F_v = V \rho g - V \sigma g = V g (\rho - \sigma)$
चूंकि $V = \frac{M}{\rho}$,इसलिए $F_v$ के व्यंजक में $V$ का मान रखने पर:
$F_v = \frac{M}{\rho} g (\rho - \sigma) = M g \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right) = M g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग तरल के प्रवाह के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप से प्रवाह के लिए:
$1$. यदि $Re < 2000$ है,तो प्रवाह धारा रेखीय (laminar) होता है।
$2$. यदि $2000 < Re < 3000$ है,तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
$3$. यदि $Re > 3000$ है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) होता है।
चूंकि रेनॉल्ड्स संख्या $900$ है,जो $2000$ से कम है,इसलिए तरल का प्रवाह धारा रेखीय है।

(D) मान लीजिए कि बड़ी और छोटी बूंदों की त्रिज्याएँ क्रमशः $R$ और $r$ हैं। बड़ी बूंद का आयतन $= 8 \times$ एक छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
स्टोक्स के नियम के अनुसार,टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_t \propto r^2$।
मान लीजिए कि बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V$ है।
$\frac{V}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = \frac{4r^2}{r^2} = 4$
अतः,$V = 4v$।

(D) टर्मिनल वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$V_{T} = \frac{2}{9} r^2 \frac{(\rho-\sigma)g}{\eta}$
यहाँ,$V_{T} \propto r^2$ है।
द्रव्यमान और त्रिज्या के बीच संबंध:
$m \propto \text{volume} \propto r^3$
इसलिए,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होता है।
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 8m$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{m}{8m} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow r_2 = 2r_1$ प्राप्त होता है।
अब,टर्मिनल वेग का अनुपात:
$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$ होता है।
अतः,$V_{T2} = 4V_{T1} = 4V$।

(A) श्यान तरल में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
इस व्यंजक से,हम देखते हैं कि टर्मिनल वेग त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $v \propto r^2$.
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाली छोटी बूंदों का टर्मिनल वेग $V$ है और $R$ त्रिज्या वाली बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V'$ है।
आनुपातिकता संबंध के अनुसार:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$
अतः,बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V' = \frac{V R^2}{r^2}$ होगा।

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग पाइप में द्रव के प्रवाह के पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। यह जड़त्वीय बलों और श्यान बलों के अनुपात को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$R_e = \frac{\text{जड़त्वीय बल}}{\text{श्यान बल}}$
यदि $\rho$ घनत्व वाला द्रव $V$ वेग के साथ $d$ व्यास की नली से बहता है और $\eta$ श्यानता गुणांक है,तो सूत्र है:
$R_e = \frac{\rho V d}{\eta}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) टर्मिनल वेग $v_{T}$ के लिए शर्त यह है कि गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है। टर्मिनल वेग पर,गेंद का भार उत्प्लावन बल और श्यान बल द्वारा संतुलित होता है।
भार $(W) = \rho V g$
उत्प्लावन बल $(f) = \sigma V g$
श्यान बल $(F) = K v_{T}^2$
बलों को बराबर करने पर: $W = f + F$
$\rho V g = \sigma V g + K v_{T}^2$
$K v_{T}^2 = V g (\rho - \sigma)$
$v_{T}^2 = \frac{V g (\rho - \sigma)}{K}$
$v_{T} = \sqrt{\frac{V g (\rho - \sigma)}{K}}$

(A) माना कि वस्तु द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है।
अतः,पहली आधी दूरी $d$ है और दूसरी आधी दूरी $d$ है।
$u$ चाल से पहली आधी दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{u}$ है।
$v$ चाल से दूसरी आधी दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v}$ है।
औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{u} + \frac{d}{v}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{2d}{d(\frac{1}{u} + \frac{1}{v})} = \frac{2}{\frac{u+v}{uv}} = \frac{2uv}{u+v}$.

(B) मान लीजिए वाहन का प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ है। प्रारंभिक वेग $u$ है और अंतिम वेग $v = 0$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2aS$ का उपयोग करने पर,$0 = u^2 - 2ad$,जिससे मंदन $a = \frac{u^2}{2d}$ प्राप्त होता है।
यदि मंदन $a$ स्थिर है,तो मंदक बल $F = m_1 a = m \left(\frac{u^2}{2d}\right)$ होगा।
दूसरे मामले में,द्रव्यमान $m_2 = m + 0.4m = 1.4m$ हो जाता है। मंदन $a$ समान रहता है।
नई रुकने की दूरी $d'$ का मान $d' = \frac{u^2}{2a}$ है।
$a = \frac{u^2}{2d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d' = \frac{u^2}{2(u^2/2d)} = d$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,यदि मंदक बल $F$ स्थिर है (जैसा कि ब्रेकिंग बल के संदर्भ में होता है),तो $F = m_1 a_1 = m_2 a_2$ होगा। चूंकि $F$ स्थिर है,इसलिए $a_2 = \frac{F}{m_2} = \frac{ma}{1.4m} = \frac{a}{1.4}$ होगा।
अतः $d' = \frac{u^2}{2a_2} = \frac{u^2}{2(a/1.4)} = 1.4 \left(\frac{u^2}{2a}\right) = 1.4d$।

(B) वस्तु का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \ m/s$ है। ऊँचाई $h = 1960 \ m$ है। गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} gt^2$ का उपयोग करके,हम जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ ज्ञात कर सकते हैं:
$1960 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{1960 \times 2}{9.8} = 400$
$t = 20 \ s$
अब,क्षैतिज वेग $v$ को $km/h$ से $m/s$ में परिवर्तित करें:
$v = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ m/s$
वस्तु द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $AB = v \times t$ द्वारा दी जाती है:
$AB = 150 \times 20 = 3000 \ m$

(C) $\text{प्रक्षेप्य (projectile) के उड़ान के समय का सूत्र इस प्रकार है:}$
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$\text{दिए गए मान हैं:}$
$\text{प्रारंभिक वेग } u = 196 \,m/s$
$\text{प्रक्षेपण कोण } \theta = 30^{\circ}$
$\text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 9.8 \,m/s^2$
$\text{इन मानों को सूत्र में रखने पर:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times \sin(30^{\circ})}{9.8}$
$\text{चूंकि } \sin(30^{\circ}) = 0.5 \text{ है:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times 0.5}{9.8}$
$T = \frac{196}{9.8} = 20 \,s$
$\text{अतः,उड़ान का समय } 20 \,s \text{ है।}$

(B) प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ होता है।
किसी कण के वृत्ताकार गति करने के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ द्वारा प्रदान किया जाता है जो वेग के लंबवत कार्य करता है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{R}$ है।
यहाँ,$v = v_x = u \cos \theta$ और $a_c = g$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R$ के लिए हल करने पर,$R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक मान $m, v, r$ हैं। प्रारंभिक बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
यह दिया गया है कि $m, v$ और $r$ तीनों में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नए मान हैं:
$m' = m + 0.5m = 1.5m = \frac{3}{2}m$
$v' = v + 0.5v = 1.5v = \frac{3}{2}v$
$r' = r + 0.5r = 1.5r = \frac{3}{2}r$
नया बल $F'$ इस प्रकार है:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{3}{2}v)^2}{\frac{3}{2}r} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{9}{4}v^2)}{\frac{3}{2}r} = \frac{9}{4} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
बल में परिवर्तन $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ है।
बल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = \frac{1.25F}{F} \times 100 = 125 \%$ है।

(D) $U.C.M.$ (एकसमान वृत्तीय गति) में,कण की चाल $V$ स्थिर रहती है।
चूंकि त्रिज्या $R$ भी स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = V/R$ का परिमाण स्थिर रहता है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ को कोणीय वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\alpha = d\omega/dt$।
चूंकि $\omega$ स्थिर है,इसलिए समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होता है।
अतः,कण का कोणीय त्वरण $0$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \text{ g} = 10^{-2} \text{ kg}$, त्रिज्या $r = 6.4 \text{ cm} = 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}$, गतिज ऊर्जा $K = 8 \times 10^{-4} \text{ J}$।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है, इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
दो चक्करों में तय की गई दूरी $s = 2 \times (2 \pi r) = 4 \pi r$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखीय बल $F_t$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = F_t \cdot s = \Delta K$
चूंकि $F_t = m a_t$, हमें प्राप्त होता है:
$m a_t \cdot (4 \pi r) = K - 0$
$a_t = \frac{K}{m \cdot 4 \pi r}$
मान रखने पर:
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4} \text{ J}}{10^{-2} \text{ kg} \times 4 \times 3.14 \times 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{25.6 \pi \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14} \approx 0.1 \text{ m/s}^2$।

(B) कण समान वृत्तीय गति $(U.C.M.)$ कर रहा है।
$x$ चक्करों में तय किया गया कुल कोण $\theta = 2 \pi x$ रेडियन है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2 \pi x}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय वेग $v$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $v = \omega R$ है।
यहाँ त्रिज्या $R = \frac{\pi}{2} \ m$ दी गई है।
मान रखने पर,$v = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \times \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल नियत रहती है,लेकिन गति की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि वेग $\vec{v}$ एक सदिश राशि है,इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए वेग नियत नहीं है।
चूंकि संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ वेग सदिश पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी लगातार बदलता रहता है।
एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है। यद्यपि इसका परिमाण नियत है,लेकिन इसकी दिशा हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है,जो लगातार बदलती रहती है। अतः,त्वरण नियत नहीं है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि द्रव्यमान $m$ और चाल $v = |\vec{v}|$ नियत हैं,इसलिए गति के दौरान गतिज ऊर्जा नियत रहती है।
अतः,सही विकल्प गतिज ऊर्जा है।

(A) माना भारी पिंड ($3m$ द्रव्यमान) की स्पर्शरेखीय चाल $v$ है।
तब हल्के पिंड ($m$ द्रव्यमान) की स्पर्शरेखीय चाल $nv$ होगी।
अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
पहले पिंड के लिए: $F_1 = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$.
दूसरे पिंड के लिए: $F_2 = \frac{(3m)v^2}{(r/3)} = \frac{9mv^2}{r}$.
चूंकि अभिकेंद्र बल समान हैं $(F_1 = F_2)$:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{9mv^2}{r}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $m, v^2$ और $r$ को हटाने पर:
$n^2 = 9$.
अतः,$n = 3$.

(A) असमान वृत्तीय गति में,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r \alpha}{v^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r^2 \alpha}{v^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$. प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$.
$1$. समय $t$ पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = \alpha t$ होता है।
$2$. अभिकेंद्री (त्रिज्यीय) त्वरण $a_c = \omega^2 r = (\alpha t)^2 r = \alpha^2 t^2 r$ है।
$3$. स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha r$ है।
$4$. हमें दिया गया है कि परिमाण बराबर हैं: $a_c = a_t$।
$5$. व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha^2 t^2 r = \alpha r$।
$6$. दोनों पक्षों को $\alpha r$ से विभाजित करने पर: $\alpha t^2 = 1$।
$7$. $t$ के लिए हल करने पर: $t^2 = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{4}$।
$8$. अतः,$t = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 \ s$।

(D) '$r$' त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर '$v$' चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण '$a$' सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{v^2}{r}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अभिकेंद्र त्वरण चाल के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $a \propto v^2$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक चाल '$v_1 = v$' है और प्रारंभिक त्वरण '$a_1 = a$' है।
मान लीजिए कि अंतिम चाल '$v_2 = 2v$' है और अंतिम त्वरण '$a_2$' है।
अंतिम त्वरण और प्रारंभिक त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,परिवर्तन के बाद और पहले त्वरण का अनुपात $4:1$ है।

(D) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$।
इसलिए,आवृत्तियों का अनुपात होगा: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$।
दिया गया है कि आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{3}{2}$ है,लंबाई का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{n_1}{n_2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow (\frac{3}{2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{L_2}{L_1}$।
अतः,लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2$ का मान $4 : 9$ है।

(C) एक सरल लोलक की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$।
मान लीजिए मूल लंबाई $l_1 = l$ है और मूल आवृत्ति $f_1 = f$ है।
लंबाई को उसकी मूल लंबाई से तीन गुना बढ़ा दिया जाता है,इसलिए नई लंबाई $l_2 = l + 3l = 4l$ होगी।
संबंध $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2}$ होगी।

(A) जब ब्लॉक को उसकी संतुलन स्थिति से $x$ की छोटी दूरी तक ऊर्ध्वाधर रूप से विस्थापित किया जाता है,तो विस्थापित द्रव का अतिरिक्त आयतन $V = A x$ होता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \rho V g = \rho (A x) g$ है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F_{\text{restoring}} = -\rho A g x$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = M a$,जहाँ $M$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
अतः,$M a = -\rho A g x$,जिससे $a = -(\frac{\rho A g}{M}) x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ है।
चूंकि आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ है,इसलिए $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ होगा।
अतः,$n \propto \sqrt{A}$।

(C) अभिकेंद्री बल स्थिर-वैद्युत बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$. मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$mvr = \frac{h}{2\pi} \implies v = \frac{h}{2\pi mr}$.
बल समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $m(\frac{h}{2\pi mr})^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies \frac{h^2}{4\pi^2 mr^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ है।
$v = \frac{h}{2\pi mr}$ और $r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi r^2} \cdot \frac{h}{2\pi mr} = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m r^3}$.
$r^3 = (\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2})^3 = \frac{\varepsilon_0^3 h^6}{\pi^3 m^3 e^6}$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m} \cdot \frac{\pi^3 m^3 e^6}{\varepsilon_0^3 h^6} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \varepsilon_0^3 h^5}$.

(B) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\Delta E = h c R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 1$ तक है।
$\Delta E = R h c \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) = R h c \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15}{16} R h c$.
फोटॉन की ऊर्जा को उसके सापेक्ष द्रव्यमान $m$ का उपयोग करके $E = m c^2$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m c^2 = \frac{15}{16} R h c$.
दोनों पक्षों को $m c$ से विभाजित करने पर,हमें फोटॉन का वेग $c = \frac{15 R h}{16 m}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है। चूँकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए तुल्य धारा $I$ की दिशा इलेक्ट्रॉन की गति की दिशा के विपरीत होती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{m}$ की दिशा कक्षा के तल के लंबवत होती है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{p} = m_e \vec{v}$ रैखिक संवेग है। क्रॉस प्रोडक्ट के लिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{L}$ की दिशा भी कक्षा के तल के लंबवत होती है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$ की दिशा कोणीय संवेग $\vec{L}$ की दिशा के विपरीत होती है। अतः,$m$ और $L$ कक्षा के तल के लंबवत विपरीत दिशाओं में हैं।

(A) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{n^2}$.
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $L \propto n$.
संबंध $L \propto n$ से,हमें प्राप्त होता है $n \propto L$.
इस मान को ऊर्जा के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $E \propto \frac{1}{n^2} \implies E \propto \frac{1}{L^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sqrt{E} \propto \frac{1}{L}$ प्राप्त होता है,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $L \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ मिलता है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में,$r$ त्रिज्या की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ और गतिज ऊर्जा $K$ विरियल प्रमेय द्वारा संबंधित हैं।
कूलम्ब विभव $U = -\frac{kZe^2}{r}$ के लिए,स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{kZe^2}{2r} = \frac{1}{2} mv^2 = K$
चूंकि स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{kZe^2}{r}$ है,हम देख सकते हैं कि $K = -\frac{U}{2}$ होता है।
यह देखते हुए कि स्थितिज ऊर्जा $U = -E$ है,गतिज ऊर्जा है:
$K = -\frac{(-E)}{2} = \frac{E}{2}$।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोहर मॉडल में,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन समानुपातों को त्वरण के व्यंजक में रखने पर,हमें $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$3^{\text{rd}}$ कक्षा $(n_1 = 3)$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा $(n_2 = 5)$ के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4}$ होगा।
मानों की गणना करने पर,हमें $\frac{625}{81}$ प्राप्त होता है।

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $T$ आवर्तकाल के साथ घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $i = \frac{e}{T}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\mu = \left(\frac{e}{T}\right) \pi r^2$.
आवर्तकाल $T$ कक्षीय वेग $v$ से $T = \frac{2 \pi r}{v}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $\frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi r}$.
इस मान को $\mu$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu = e \left(\frac{v}{2 \pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ है,जिसका अर्थ है $vr = \frac{L}{m}$.
$vr$ के मान को $\mu$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{e}{2m} L$ प्राप्त होता है।

(A) $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का कक्षीय आवर्तकाल $T_n = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \left(\frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}\right) n^2$ है (जहाँ $Z=1$ है)।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0}\right) \frac{1}{n}$ है।
इन मानों को $T_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \div \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0 n}\right)$
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \times \left(\frac{2 h \varepsilon_0 n}{e^2}\right)$
$T_n = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(C) यह दिया गया है कि दोनों समानांतर प्लेट संधारित्रों में समान आवेश $q$ और समान विभव $V$ है, इसलिए उनकी धारिता समान होगी क्योंकि $C = q/V$ होता है।
अतः, $C_1 = C_2$ है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$।
इसे सरल करने पर $d_2 = \frac{A_2}{A_1} d_1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_1 = 100 \,cm^2$, $A_2 = 500 \,cm^2$, और $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $d_2 = \frac{500}{100} \times 0.05 \,cm = 5 \times 0.05 \,cm = 0.25 \,cm$।

(B) मान लीजिए कि पृथ्वी $R$ त्रिज्या का एक ठोस गोला है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ है।
इससे,हम त्रिज्या $R$ को $R = \frac{3V}{A}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ होती है।
$R$ का मान $V$ और $A$ के पदों में रखने पर,$C = 4 \pi \epsilon_0 \left( \frac{3V}{A} \right) = \frac{12 \pi \epsilon_0 V}{A}$ प्राप्त होता है।

(B) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता इस प्रकार दी जाती है:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \quad --- (1)$
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक और $t$ मोटाई की एक स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_2$ इस प्रकार होती है:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
धातु की शीट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है। दिया गया है $t = \frac{d}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{\infty}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{2} + 0} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_1$
अतः,अनुपात $C_2 : C_1 = 2 : 1$ है।

(A) जब एक विलगित (isolated) समानांतर प्लेट संधारित्र में परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि सिस्टम बैटरी से जुड़ा नहीं होता है।
जैसे ही धारिता बढ़कर $C' = KC$ हो जाती है,विभवांतर $V' = Q/C' = V/K$ कम हो जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E' = V'/d = E/K$ भी कम हो जाता है।
संचित ऊर्जा $U' = Q^2/(2C') = U/K$ कम हो जाती है।
इसलिए,संधारित्र पर आवेश ही एकमात्र ऐसी राशि है जो नहीं बदलती है।

(A) वायु-भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C'$ इस प्रकार दी जाती है:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
यह दिया गया है कि नई धारिता मूल मान की एक-तिहाई है,अर्थात $C' = \frac{C_0}{3}$:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
दोनों पक्षों से $\varepsilon_0 A$ को हटाने पर:
$\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3d}$.
$3d = d - t + \frac{t}{K}$.
$2d + t = \frac{t}{K}$.
$K = \frac{t}{2d + t}$.

(C) प्रारंभ में,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ है। जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C_1 = KC$ हो जाती है,जबकि दूसरा संधारित्र $C_2 = C$ ही रहता है।
चूंकि संधारित्र $V$ emf की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए संधारित्र $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2$ वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
मान रखने पर:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(A) मान लीजिए कि एक परिपथ है जिसमें $C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ वोल्टेज की बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है।
जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो उस पर आवेश $Q = CV$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $E_{\text{capacitor}} = \frac{1}{2} CV^2$ है।
इस आवेश को प्रदान करने के लिए बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $W = QV = (CV)V = CV^2$ है।
परिपथ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हुई ऊर्जा,बैटरी द्वारा किए गए कार्य और संधारित्र में संचित ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$E_{\text{loss}} = W - E_{\text{capacitor}} = CV^2 - \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} CV^2$.
बैटरी द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा $(W = CV^2)$ के साथ इसकी तुलना करने पर:
$\text{Percentage loss} = \frac{E_{\text{loss}}}{W} \times 100\% = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} \times 100\% = 50\%$.
अतः,बैटरी द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा का $50\%$ भाग नष्ट हो जाता है।

(B) जब संधारित्र को आवेशित किया जाता है और फिर बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों को एक-दूसरे से दूर ले जाया जाता है,तो दूरी $d$ बढ़ जाती है,जिससे धारिता $C$ कम हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है और $Q = CV$ है,इसलिए विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाता है क्योंकि $C$ कम हो रहा है।
अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बढ़ जाता है।

(D) परिपथ में दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं जो अन्य दो संधारित्रों के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
सबसे पहले,दो समानांतर संधारित्रों की तुल्य धारिता की गणना करें:
$C_{\|} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$
अब,परिपथ $2 \mu F$,$4 \mu F$ और $2 \mu F$ के श्रेणी संयोजन के बराबर है।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी गई है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{2 \mu F} = \frac{2 + 1 + 2}{4 \mu F} = \frac{5}{4 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{4}{5} \mu F = 0.8 \times 10^{-6} \,F$
संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (0.8 \times 10^{-6} \,F) \times (10 \,V)^2$
$U = 0.4 \times 10^{-6} \times 100 \,J = 40 \times 10^{-6} \,J = 400 \times 10^{-7} \,J$

(D) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है। प्रारंभिक आवेश $q = CV = \frac{\varepsilon_0 A V}{d}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो आवेश $q$ स्थिर रहता है।
नया पृथक्करण $d' = 4d$ है,इसलिए नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/4)} = \frac{4q^2}{2C} = 4U_i$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 4U_i - U_i = 3U_i$ है।
$U_i = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ का मान रखने पर,हमें $W = 3 \times \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A V^2}{2d}$ प्राप्त होता है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच कुल विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र कुल क्षेत्र का आधा होता है,इसलिए एक प्लेट के कारण क्षेत्र $E_1 = \frac{E}{2} = \frac{V}{2 d}$ है।
प्लेटों पर आवेश $Q = C V$ है।
एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट पर लगाया गया बल $F = Q \times E_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $F = (C V) \times \left( \frac{V}{2 d} \right) = \frac{C V^2}{2 d}$ प्राप्त होता है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र में ऊर्जा घनत्व $u$ को $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V$ है $V = A \times d$।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है।
$U = u \times V = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (A d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A d$.

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
समानांतर क्रम में जुड़े $n$ समान संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{\|} = nC$ होती है।
$n=4$ के लिए,$C_{\|} = 4C$ है।
श्रेणी क्रम में जुड़े $n$ समान संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{s} = \frac{C}{n}$ होती है।
$n=4$ के लिए,$C_{s} = \frac{C}{4}$ है।
श्रेणी क्रम और समानांतर क्रम में तुल्य धारिता का अनुपात $\frac{C_{s}}{C_{\|}} = \frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ है।
अतः,अनुपात $1: 16$ है।

(D) इस संधारित्र को समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ है।
पहले भाग के लिए,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। अतः,$C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$।
दूसरे भाग के लिए,प्लेटों के बीच की दूरी $d+b$ है। अतः,$C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d+b} = \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)}$।
चूंकि वे समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C = C_1 + C_2$ होगी।
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} + \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)} = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{1}{d} + \frac{1}{d+b} \right]$।
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{d+b+d}{d(d+b)} \right] = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{2d+b}{d(d+b)} \right]$।
इसे सरल करने पर $C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} \left[ \frac{2d+b}{d+b} \right]$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ आरेख से,संधारित्र $C_1 = 1C$,$C_2 = 2C$,और $C_3 = 3C$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस श्रेणी शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$C_{eq} = \frac{6}{11}C$
चूंकि यह शाखा $V$ वोल्टेज की बैटरी के साथ संधारित्र $C_4 = 4C$ के समानांतर जुड़ी है,इसलिए श्रेणी शाखा पर विभवांतर $V$ है।
श्रेणी शाखा पर आवेश ($C_1, C_2,$ और $C_3$ के लिए समान) है:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
संधारित्र $C_4$ पर आवेश है:
$Q_4 = C_4 V = (4C)V = 4CV$
$C_2$ पर आवेश और $C_4$ पर आवेश का अनुपात है:
$\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(D) समानांतर संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर समान होता है।
माना विभवांतर $\Delta V = 10 \ V$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
तीनों संधारित्रों के लिए:
$Q_1 = C_1 \Delta V = (2C) \Delta V = 2C \Delta V$
$Q_2 = C_2 \Delta V = (C) \Delta V = C \Delta V$
$Q_3 = C_3 \Delta V = (C/2) \Delta V = 0.5C \Delta V$
अब,$Q_1: Q_2: Q_3$ का अनुपात है:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2C \Delta V : C \Delta V : 0.5C \Delta V$
$C \Delta V$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2 : 1 : 0.5$
पूर्णांक में व्यक्त करने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 4 : 2 : 1$.

(D) परिपथ की सममिति (symmetry) के कारण समान विभव वाले नोड्स की पहचान करके परिपथ को सरल बनाया जा सकता है। मान लीजिए कि मध्यवर्ती नोड्स $P$ और $Q$ हैं।
सममिति का विश्लेषण करके,परिपथ को श्रेणीक्रम में जुड़ी दो समानांतर शाखाओं के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
प्रत्येक शाखा में समानांतर क्रम में संधारित्र होते हैं।
पहले भाग की तुल्य धारिता $C_1 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ है।
दूसरे भाग की तुल्य धारिता $C_2 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ है।
चूंकि ये दोनों भाग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{6 C} = \frac{2}{6 C} = \frac{1}{3 C}$.
अतः,$C_{AB} = 3 C$.

(D) चित्र से,$2 C$ धारिता वाले तीन संधारित्र बिंदु $A$ और बिंदु $P$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,तुल्य धारिता $C_{AP}$ है:
$C_{AP} = 2 C + 2 C + 2 C = 6 C$
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_{AP}$,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच संधारित्र $C^{\prime}$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
श्रेणी क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_{AB}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{AP}} + \frac{1}{C^{\prime}}$
दिया गया है $C_{AB} = 3 C$,इसलिए:
$\frac{1}{3 C} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{C^{\prime}}$
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{1}{3 C} - \frac{1}{6 C} = \frac{2 - 1}{6 C} = \frac{1}{6 C}$
अतः,$C^{\prime} = 6 C$.

(A) दी गई सर्किट में,$P$ और $M$ के बीच,तथा $M$ और $R$ के बीच जुड़े संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_{PM R} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
यह संयोजन $P$ और $R$ के बीच सीधे जुड़े संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। इसलिए,$P$ और $R$ के बीच समतुल्य धारिता $C_{PR} = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$ है।
अब,यह संयोजन $A-P$ और $R-B$ के बीच जुड़े दो संधारित्रों के साथ श्रेणीक्रम में है। सर्किट का विश्लेषण करने पर,$A$ और $B$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं प्राप्त होती हैं:
$1$. $A-P-M-R-B$ शाखा जिसका समतुल्य $C/3$ है।
$2$. $A-P-R-B$ शाखा जिसका समतुल्य $C/2$ है।
$3$. $A-B$ शाखा जिसका समतुल्य $C/2$ है।
इनका योग करने पर $C_{eq} = \frac{C}{3} + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = \frac{4C}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. जब $C$ धारिता वाले $n$ समान संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है और $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = CV$ होता है। संचित कुल ऊर्जा $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ है।
$2$. जब इन संधारित्रों को अलग किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र अपना आवेश $q = CV$ बनाए रखता है।
$3$. जब इन $n$ संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन पर कुल विभवांतर प्रत्येक संधारित्र के विभवांतर का योग होता है: $V_{total} = V + V + ... + V$ ($n$ बार) $= nV$.
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U_s = n \times (1/2)q^2/C = n \times (1/2)(CV)^2/C = (n/2)CV^2$ है।
$5$. चूंकि $U_p = U_s$,इसलिए कुल ऊर्जा समान रहती है।

(A) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार, किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
आइए नेटवर्क में प्रवेश करने वाली कुल धारा और बाहर निकलने वाली कुल धारा का विश्लेषण करें।
नेटवर्क में प्रवेश करने वाली कुल धारा:
$I_{\text{in}} = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 6.8 \text{ A}$
नेटवर्क से बाहर निकलने वाली कुल धारा:
$I_{\text{out}} = 1.2 \text{ A} + 0.5 \text{ A} + 1.7 \text{ A} + I = 3.4 \text{ A} + I$
दोनों को बराबर करने पर:
$6.8 \text{ A} = 3.4 \text{ A} + I$
$I = 6.8 \text{ A} - 3.4 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से गति कर रहे $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन से संबंधित धारा $i$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$i = \frac{q}{T}$
यहाँ,$q = e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
आवर्तकाल $T$,$v$ चाल के साथ $2 \pi r$ परिधि वाली वृत्ताकार कक्षा में एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है।
$T = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{2 \pi r}{v}$
धारा के सूत्र में मान रखने पर:
$i = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{e v}{2 \pi r}$

(D) सही विकल्प $(D)$ है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,हमें गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में एक बड़ा प्रतिरोध $R$ जोड़ना होगा।
मान लीजिए $I_g$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा है।
तब,गैल्वेनोमीटर की वोल्टेज रेंज $V_g = I_g G$ है।
जब एक प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $G + R$ हो जाता है।
नई वोल्टेज रेंज $V$,$V = I_g(G + R)$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{V}{V_g} = \frac{I_g(G + R)}{I_g G} = \frac{G + R}{G}$।
$\frac{V}{V_g} = 1 + \frac{R}{G}$।
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$।
इसलिए,$R = G \left( \frac{V}{V_g} - 1 \right)$।

(B) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के समानांतर में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_g = R$
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $i_g = 2 \ A$
मापी जाने वाली अधिकतम धारा $I = 10 \ A$
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर में हैं,इसलिए उनके बीच का विभवांतर समान होता है:
$V_g = V_s$
$i_g R_g = (I - i_g) S$
दिए गए मानों को रखने पर:
$2 \times R = (10 - 2) \times S$
$2 R = 8 S$
$S = \frac{2 R}{8} = \frac{R}{4}$
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध $\frac{R}{4}$ है।

(B) माना $R$ वोल्टमीटर का प्रतिरोध है और $n$ डिवीजनों की संख्या है। जब इसमें से धारा $i_g$ प्रवाहित होती है,तो प्रत्येक डिवीजन द्वारा दर्ज किया गया वोल्टेज $V$ है:
$i_g \times (R/n) = V$ --- $(1)$
जब एक अतिरिक्त प्रतिरोध $R_s = 1980 \ \Omega$ को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रति डिवीजन नया वोल्टेज $V'$ $100V$ हो जाता है। समान विक्षेप के लिए धारा $i_g$ समान रहती है:
$i_g \times ((R + 1980) / n) = 100V$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{i_g (R + 1980) / n}{i_g R / n} = \frac{100V}{V}$
$\frac{R + 1980}{R} = 100$
$R + 1980 = 100R$
$99R = 1980$
$R = \frac{1980}{99} = 20 \ \Omega$
अतः,वोल्टमीटर का प्रतिरोध $20 \ \Omega$ है।

(C) बाह्य शंट प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{E R}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि पोटेंशियोमीटर विभवांतर को मापता है, इसलिए संतुलन लंबाई $L$ विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है, अर्थात $L \propto V$.
इसलिए, $\frac{L_1}{L_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1(R_2 + r)}{R_2(R_1 + r)}$.
दिया गया है: $L_1 = 1 \, m$, $R_1 = 3 \, \Omega$, $L_2 = 1.5 \, m$, $R_2 = 6 \, \Omega$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{1.5} = \frac{3(6 + r)}{6(3 + r)}$
$\frac{2}{3} = \frac{6 + r}{2(3 + r)}$
$2(2)(3 + r) = 3(6 + r)$
$4(3 + r) = 18 + 3r$
$12 + 4r = 18 + 3r$
$r = 18 - 12 = 6 \, \Omega$.
अतः, सेल का आंतरिक प्रतिरोध $6 \, \Omega$ है।

(D) विभव प्रवणता $k$ को तार की प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$k = \frac{V}{L}$
ओम के नियम के अनुसार,$R$ प्रतिरोध वाले तार पर विभवांतर $V = I R$ होता है।
प्रतिरोध के लिए सूत्र $R = \frac{\rho L}{A}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$V = I \left( \frac{\rho L}{A} \right)$
अब,इस मान को विभव प्रवणता के सूत्र में रखने पर:
$k = \frac{I (\rho L / A)}{L}$
$k = \frac{I \rho}{A}$
अतः,विभव प्रवणता $\frac{I \rho}{A}$ है।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $E_0$ है।
पहले मामले में,विभव प्रवणता (potential gradient) $k_1 = \frac{E_0}{L}$ है।
संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{3}$ है।
अतः,सेल का e.m.f. $E = k_1 l_1 = \left(\frac{E_0}{L}\right) \left(\frac{L}{3}\right) = \frac{E_0}{3} \quad \dots (1)$
दूसरे मामले में,तार की नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{E_0}{L'} = \frac{E_0}{3L/2} = \frac{2E_0}{3L}$ है।
मान लीजिए कि उसी सेल $E$ के लिए नई संतुलन लंबाई $x$ है।
तब,$E = k_2 x = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E_0}{3} = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x$
$\Rightarrow x = \frac{L}{2}$.

(A) माना गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ है और शंट प्रतिरोध $S = 5 \Omega$ है।
मुख्य धारा को अपरिवर्तित रखने के लिए,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध गैल्वेनोमीटर के मूल प्रतिरोध $G$ के बराबर रहना चाहिए।
माना गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया प्रतिरोध $R$ है।
गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध का समानांतर संयोजन $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{G \cdot S}{G + S}$ है।
$R_{eq} = G$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$G = R + \frac{G \cdot S}{G + S}$
$R = G - \frac{G \cdot S}{G + S} = \frac{G(G + S) - GS}{G + S} = \frac{G^2 + GS - GS}{G + S} = \frac{G^2}{G + S}$.
$S = 5 \Omega$ प्रतिस्थापित करने पर,आवश्यक श्रेणी प्रतिरोध $R = \frac{G^2}{G + 5}$ है।

(D) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ प्रति इकाई लंबाई में विभव का पतन है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
यहाँ संतुलन लंबाई $l = 100 \,cm = 1 \,m$ दी गई है।
सेल का विद्युत वाहक बल $E$ सूत्र $E = k \times l$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = E_1$ है। संतुलन लंबाई $l_{AB} = 300 \ cm$ है। अतः,$E_1 = k \cdot l_{AB} = k \cdot 300$,जहाँ $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = E_1 - E_2$ है (क्योंकि सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं)। संतुलन लंबाई $l_{AC} = 100 \ cm$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k \cdot l_{AC} = k \cdot 100$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot 300}{k \cdot 100} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$

(B) पोटेंशियोमीटर में,शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $l$ मापे जाने वाले बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर के लिए,$EMF$ $E_1$ है। अतः,$E_1 = k(0.9)$.
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर के लिए,कुल $EMF$ $E_1 - E_2$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k(0.3)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{0.9}{0.3} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{2}{3}$

(D) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 200 \Omega$ है।
गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $i_g = 3 \% \text{ of } i = 0.03i$ है।
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$i_g G = (i - i_g) S$
$S$ के लिए सूत्र:
$S = \frac{i_g G}{i - i_g}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$S = \frac{0.03i \times 200}{i - 0.03i}$
$S = \frac{6i}{0.97i}$
$S = \frac{6}{0.97} \approx 6.18 \Omega$
निकटतम पूर्णांक में,शंट प्रतिरोध का मान $6 \Omega$ है।

(B) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $x$ का मान $x = \frac{V}{L} = \frac{E R}{(R + R') L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ड्राइवर सेल का e.m.f. है,$R$ विभवमापी तार का प्रतिरोध है,$R'$ मुख्य परिपथ में प्रतिरोध है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
$e.m.f.$ $\epsilon$ वाले दिए गए सेल के लिए,संतुलन लंबाई $l$ का मान $\epsilon = x \cdot l$ होता है,जिसका अर्थ है $l = \frac{\epsilon}{x}$।
शून्य विक्षेप बिंदु को $7^{\text{th}}$ तार से $9^{\text{th}}$ तार पर स्थानांतरित करने के लिए,संतुलन लंबाई $l$ को बढ़ाना आवश्यक है।
चूंकि $l = \frac{\epsilon}{x}$ है,इसलिए $l$ को बढ़ाने के लिए विभव प्रवणता $x$ को कम करना होगा।
समीकरण $x = \frac{E R}{(R + R') L}$ को देखते हुए,$x$ को कम करने के लिए हमें हर (denominator) में स्थित पद $(R + R')$ को बढ़ाना होगा।
अतः,हमें मुख्य परिपथ में प्रतिरोध $R'$ को बढ़ाना चाहिए।

(D) स्थिति-$1$: $V$ परास के वोल्टमीटर के लिए,श्रेणी प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \frac{V}{I_G} - G$ है,जहाँ $I_G$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा है।
इससे,हम $I_G$ को $I_G = \frac{V}{R+G}$ के रूप में लिख सकते हैं।
स्थिति-$2$: परास को $V' = \frac{V}{3}$ में बदलने के लिए,मान लीजिए कि नया श्रेणी प्रतिरोध $R'$ है।
सूत्रानुसार $R' = \frac{V'}{I_G} - G$ है।
$V' = \frac{V}{3}$ और $I_G = \frac{V}{R+G}$ का मान रखने पर:
$R' = \frac{V/3}{V/(R+G)} - G = \frac{R+G}{3} - G = \frac{R+G-3G}{3} = \frac{R-2G}{3}$.

(B) बिंदु $E$ से शुरू करके $E \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E$ दिशा में लूप $E B C D E$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$1$. $E_1$ और $r_1$ वाली शाखा से $E$ से $B$ की ओर जाते हुए,हम पहले $E_1$ के ऋणात्मक टर्मिनल का सामना करते हैं,इसलिए हमें $+E_1$ का विभव लाभ मिलता है। फिर,$r_1$ में धारा $I_1$ की दिशा में चलते हुए,हमें $-I_1 r_1$ का विभव पतन मिलता है।
$2$. प्रतिरोध $R$ से $C$ से $D$ की ओर जाते हुए,हम धारा $(I_1 + I_2)$ की दिशा में चलते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $-(I_1 + I_2) R$ का विभव पतन होता है।
$3$. बंद लूप के चारों ओर इन विभव परिवर्तनों का योग करने पर:
$E_1 - I_1 r_1 - (I_1 + I_2) R = 0$
अतः,सही समीकरण $E_1 - (I_1 + I_2) R - I_1 r_1 = 0$ है।

(D) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए प्रतिरोध $P=4 \ \Omega$,$Q=4 \ \Omega$,$R=1 \ \Omega$ और $S=3 \ \Omega$ हैं।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $P/R = Q/S$।
यहाँ,$4/1 = 4$ और $4/3 = 1.33$ है। चूंकि $4 \neq 1.33$,इसलिए ब्रिज असंतुलित है।
मान लीजिए $P$ पर विभव $V_P$ है और $R$ पर विभव $V_R$ है। $Q$ और $S$ पर विभव वोल्टेज डिवाइडर नियम द्वारा निर्धारित किया जाएगा।
$V_Q = V \cdot \frac{4}{4+4} = V/2$ और $V_S = V \cdot \frac{3}{1+3} = 3V/4$।
चूंकि $V_S > V_Q$,धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर बहेगी,अर्थात $S$ से $Q$ की ओर।

(A) कुचालक वे पदार्थ होते हैं जो अपने माध्यम से विद्युत धारा को आसानी से प्रवाहित नहीं होने देते हैं।
इसका कारण यह है कि उनकी प्रतिरोधकता (resistivity) बहुत अधिक होती है और परिणामस्वरूप,उनकी विद्युत चालकता अत्यंत कम होती है।
इसलिए,कुचालकों की विद्युत चालकता अत्यंत कम होती है।

(D) सही विकल्प $(D)$ है।
अवधारणा: मीटर ब्रिज प्रयोग व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर आधारित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है और गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
संतुलित ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है,जहाँ $R$ और $S$ तार के दो खंडों के प्रतिरोध हैं।
चूँकि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,हम लिख सकते हैं $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$,जहाँ $l$ बाएं सिरे से शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई है।
स्थिति $1$: $P = X$,$Q = Y$,और $l = 20 \,cm$।
$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
स्थिति $2$: $P = 4X$,$Q = Y$,और मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l'$ है।
$\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$।
समीकरण में $\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ रखने पर:
$4 \times (\frac{1}{4}) = \frac{l'}{100 - l'}$
$1 = \frac{l'}{100 - l'}$
$100 - l' = l'$
$2l' = 100$
$l' = 50 \,cm$।

(D) माना अज्ञात प्रतिरोध $R$ है और प्रारंभिक संतुलन बिंदु बाएं सिरे से $l \text{ cm}$ पर है।
मीटर ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$।
स्थिति $1$: $R_1 = 20 \Omega$ और $R_2 = R$। अतः,$\frac{20}{R} = \frac{l}{100-l} \quad --- (1)$
स्थिति $2$: $R_1 = R$ और $R_2 = 20 \Omega$। चूंकि $R > 20 \Omega$,संतुलन बिंदु दाईं ओर खिसक जाएगा,इसलिए $l' = l + 20 \text{ cm}$।
अतः,$\frac{R}{20} = \frac{l+20}{100-(l+20)} = \frac{l+20}{80-l} \quad --- (2)$
$(1)$ से,$\frac{R}{20} = \frac{100-l}{l}$। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+20}{80-l}$
$(100-l)(80-l) = l(l+20)$
$8000 - 100l - 80l + l^2 = l^2 + 20l$
$8000 = 200l \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$।
$l = 40$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{20}{R} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R = 30 \Omega$।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P = 10 \ \Omega$ और $Q = 30 \ \Omega$ है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{l_2} \implies \frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3} \implies l_2 = 3l_1$.
चूंकि तार की कुल लंबाई $100 \ cm$ है,इसलिए $l_1 + l_2 = 100 \ cm$ होगा।
$l_2 = 3l_1$ रखने पर,$l_1 + 3l_1 = 100 \ cm \implies 4l_1 = 100 \ cm \implies l_1 = 25 \ cm$ प्राप्त होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु बाएं सिरे से $25 \ cm$ की दूरी पर है।
तार का केंद्र $50 \ cm$ पर स्थित है।
केंद्र से शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी $|50 \ cm - 25 \ cm| = 25 \ cm$ है।

(B) प्रथम स्थिति में: $R = 12 \ \Omega$ और $S = 36 \ \Omega$।
संतुलित अवस्था में,$\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$।
मान रखने पर: $\frac{12}{36} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$।
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \ cm$।
दूसरी स्थिति में,प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है: $R = 36 \ \Omega$ और $S = 12 \ \Omega$।
संतुलित अवस्था में: $\frac{36}{12} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow 3 = \frac{l_2}{100 - l_2}$।
$300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \ cm$।
संतुलन बिंदु में विस्थापन $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \ cm - 25 \ cm = 50 \ cm$ है।
चूंकि $l_2 > l_1$,इसलिए संतुलन बिंदु $50 \ cm$ दाईं ओर विस्थापित होगा।