MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है,$A_A = A_B = A$।
ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
चूंकि ऊष्मीय प्रतिरोध समान हैं,इसलिए $R_A = R_B$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{l_A}{K_A A} = \frac{l_B}{K_B A}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{K_A}{K_B}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) ऊष्मा चालन की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{k A (T_1 - T_2)}{l}$.
चूंकि पिघलाने और नया आकार देने के दौरान सामग्री का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 l_1 = A_2 l_2$ होगा।
दिया गया है कि नई लंबाई $l_2 = 4 l_1$ है,इसे आयतन समीकरण में रखने पर: $A_1 l_1 = A_2 (4 l_1)$,जिससे $A_2 = \frac{A_1}{4}$ प्राप्त होता है।
नई छड़ के लिए,'$t$' समय में चालित ऊष्मा $Q_2 = \frac{k A_2 (T_1 - T_2) t}{l_2}$ है।
$A_2 = \frac{A_1}{4}$ और $l_2 = 4 l_1$ को $Q_2$ के समीकरण में रखने पर:
$Q_2 = \frac{k (A_1 / 4) (T_1 - T_2) t}{4 l_1} = \frac{1}{16} \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$.
चूंकि $Q_1 = \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$,इसलिए हमें $Q_2 = \frac{1}{16} Q_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q_1}{Q_2} = 16$ होगा।

(B) ऊष्मीय चालकता गुणांक $(K)$ छड़ के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह किसी पदार्थ की ऊष्मा का चालन करने की क्षमता को दर्शाता है।
यह छड़ के भौतिक आयामों जैसे अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,लंबाई या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यह केवल छड़ के पदार्थ पर निर्भर करता है।

(B) एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $\dot{Q}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$.
यहाँ,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ छड़ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों $P$ और $Q$ के लिए लंबाई $l$ और तापमान का अंतर $\Delta T$ समान है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर $KA$ के गुणनफल के समानुपाती है।
प्रश्न के अनुसार,छड़ $Q$ से ऊष्मा प्रवाह की दर छड़ $P$ की तुलना में तीन गुना है:
$(\dot{Q})_Q = 3 (\dot{Q})_P$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{K_2 A_2 \Delta T}{l} = 3 \left( \frac{K_1 A_1 \Delta T}{l} \right)$
चूंकि $l$ और $\Delta T$ समान हैं,इसलिए वे दोनों पक्षों से कट जाएंगे:
$K_2 A_2 = 3 K_1 A_1$ या $3 K_1 A_1 = K_2 A_2$.

(A) पहली स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $\dot{Q}_1 = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी स्लैब के लिए,ऊष्मा धारा $\dot{Q}_2 = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं,दोनों से समान ऊष्मा धारा प्रवाहित होती है,इसलिए $\dot{Q}_1 = \dot{Q}_2$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$.
दोनों पक्षों से $A$ को हटाने पर: $\frac{K_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{d_2}$.
वज्र गुणन करने पर: $K_1 d_2 (T_1 - T) = K_2 d_1 (T - T_2)$.
विस्तार करने पर: $K_1 d_2 T_1 - K_1 d_2 T = K_2 d_1 T - K_2 d_1 T_2$.
$T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K_1 d_2 T_1 + K_2 d_1 T_2 = T (K_1 d_2 + K_2 d_1)$.
अतः,$T = \frac{K_1 T_1 d_2 + K_2 T_2 d_1}{K_1 d_2 + K_2 d_1}$.

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा:
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड की उत्सर्जक शक्ति $(E)$ का सूत्र $E = e \sigma T^4$ है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों की उत्सर्जक शक्ति समान है,इसलिए $E_1 = E_2$।
अतः,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$।
इससे $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जकता का अनुपात $e_1 : e_2 = 1 : 4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$।
इस प्रकार,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
अतः,$T_1 : T_2$ का अनुपात $\sqrt{2} : 1$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,$\lambda_m T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
यदि $v_m$ तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ के संगत आवृत्ति है,तो $\lambda_m = \frac{c}{v_m}$ होगा।
इसे विस्थापन नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{c}{v_m}\right) T = b$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v_m = \left(\frac{c}{b}\right) T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ (प्रकाश की गति) और $b$ (वीन नियतांक) स्थिर हैं,इसलिए $v_m \propto T$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाता है,जो ग्राफ में $B$ रेखा द्वारा प्रदर्शित है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,जिस तरंगदैर्ध्य पर विकिरण ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = \text{constant}$
दिया गया है कि तापमान $T$ पर,अधिकतम मान $\lambda_0$ पर है,इसलिए:
$\lambda_0 T = \lambda' T'$
यहाँ,$T' = 2T$ है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda_0 T = \lambda' (2T)$
$\lambda' = \frac{\lambda_0 T}{2T} = \frac{\lambda_0}{2}$
अतः,तापमान $2T$ पर,अधिकतम ऊर्जा घनत्व $\frac{\lambda_0}{2}$ तरंगदैर्ध्य पर प्राप्त होगा।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{avg} = \frac{T_1 + T_2}{2}$ और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
स्थिति $(1)$: $75^{\circ} C$ से $65^{\circ} C$ तक $2 \text{ min}$ में ठंडा होना।
$T_{avg} = \frac{75 + 65}{2} = 70^{\circ} C$.
शीतलन की दर = $\frac{75 - 65}{2} = \frac{10}{2} = 5^{\circ} C/\text{min}$.
अतः,$5 = k(70 - 30) = k(40) \Rightarrow k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \text{ min}^{-1}$.
स्थिति $(2)$: $55^{\circ} C$ से $45^{\circ} C$ तक $t \text{ min}$ में ठंडा होना।
$T_{avg} = \frac{55 + 45}{2} = 50^{\circ} C$.
शीतलन की दर = $\frac{55 - 45}{t} = \frac{10}{t} ^{\circ} C/\text{min}$.
नियम का उपयोग करने पर: $\frac{10}{t} = k(50 - 30) = k(20)$.
$k = \frac{1}{8}$ रखने पर:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{8} \times 20 = 2.5$.
$t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ min}$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रमी तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
चूंकि आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $f = \frac{c}{\lambda}$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{f}$ होता है।
इसे वीन के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{f} \propto \frac{1}{T} \Rightarrow f \propto T$
अतः,यदि तापमान $T$ को दोगुना किया जाता है,तो वह आवृत्ति $f$ जिस पर स्पेक्ट्रमी तीव्रता अधिकतम होती है,वह भी दोगुनी हो जाएगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर $R$ त्रिज्या वाले एक काले गोले से विकिरण की दर $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi R^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
अतः,$E \propto R^2 T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक दर $E_1 = E$ है,जहाँ त्रिज्या $R_1 = R$ और तापमान $T_1 = T$ है।
नई दर $E_2$ के लिए त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{3}$ और तापमान $T_2 = 3T$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{R/3}{R}\right)^2 \left(\frac{3T}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
इसलिए,$E_2 = 9E$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर: $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि गोले समान तापमान $T$ पर और समान वातावरण $T_0$ में हैं,इसलिए ऊष्मा हानि की दर सतह के क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ के समानुपाती होती है।
अतः,$dQ/dt \propto R^2$ है।
शीतलन की दर को $dT/dt = (dQ/dt) / (mc)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
द्रव्यमान $m = \rho V = \rho (4/3 \pi R^3)$,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
इसलिए,शीतलन की दर $dT/dt \propto R^2 / R^3 = 1/R$ है।
अतः,प्रारंभिक शीतलन की दरों का अनुपात $(dT/dt)_1 / (dT/dt)_2 = R_2 / R_1$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की कुल उत्सर्जक शक्ति $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $T = \frac{b}{\lambda_m}$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
$E$ के व्यंजक में $T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto (\frac{1}{\lambda_m})^4 = \frac{1}{\lambda_m^4}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि एक कृष्णिका की उत्सर्जक शक्ति $E$ केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,न कि उसके सतह के क्षेत्रफल या त्रिज्या पर।
दिया गया है: $\lambda_x = 200 \ nm, \lambda_y = 300 \ nm, \lambda_z = 400 \ nm$.
चूंकि $E \propto \frac{1}{\lambda_m^4}$,हमारे पास है:
$E_x \propto \frac{1}{200^4}$
$E_y \propto \frac{1}{300^4}$
$E_z \propto \frac{1}{400^4}$
मानों की तुलना करने पर,चूंकि $200 < 300 < 400$,इसलिए $\frac{1}{200^4} > \frac{1}{300^4} > \frac{1}{400^4}$ होगा।
अतः,$E_x > E_y > E_z$,जिसका अर्थ है कि $E_x$ अधिकतम है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की उत्सर्जन क्षमता $E$ उसके परम तापमान $T$ (केल्विन में) की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है।
$E = \sigma T^4$
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273^{\circ} C = 273 + 273 = 546 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 0^{\circ} C = 0 + 273 = 273 \ K$.
प्रारंभिक उत्सर्जन क्षमता $E_1 = R$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{273}{546} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{R}{16}$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है)।
अतः,$\lambda_{mA} T_A = \lambda_{mB} T_B$।
दिया गया है कि $T_A = 3 T_B$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_{mA} (3 T_B) = \lambda_{mB} T_B \implies \lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$।
हमें तरंगदैर्ध्य का अंतर भी दिया गया है:
$\lambda_{mB} - \lambda_{mA} = 4 \mu m$।
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$ को अंतर वाले समीकरण में रखने पर:
$3 \lambda_{mA} - \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies 2 \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies \lambda_{mA} = 2 \mu m$।
अब,$\lambda_{mB}$ की गणना करने पर:
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA} = 3(2 \mu m) = 6 \mu m$।

(C) अवधारणा: स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,तापमान $T$ पर $A$ क्षेत्रफल वाली एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ होती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
$R$ त्रिज्या वाले एक गोलाकार तारे के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
तारे $(P)$ के लिए: त्रिज्या $= R$,तापमान $= T$.
अतः,$E_P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
तारे $(Q)$ के लिए: त्रिज्या $= 8R$,तापमान $= T/4$.
अतः,$E_Q = \sigma (4 \pi (8R)^2) (T/4)^4$.
अनुपात की गणना:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4 \pi R^2) T^4}{\sigma (4 \pi (64 R^2)) (T^4 / 256)} = \frac{T^4}{64 R^2 \cdot (T^4 / 256)} = \frac{256}{64} = 4$.
इस प्रकार,$(P)$ और $(Q)$ द्वारा उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा का अनुपात $4:1$ है।

(D) एक कृष्णिका एक आदर्श भौतिक पिंड है जो सभी आपतित विद्युत चुम्बकीय विकिरणों को अवशोषित कर लेता है।
कृष्णिका विकिरण के प्लांक के नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्घ्य के साथ बदलती रहती है।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रम सतत होता है,जिसका अर्थ है कि यह सभी तरंगदैर्घ्य पर विकिरण उत्सर्जित करता है।
हालाँकि,तीव्रता सभी तरंगदैर्घ्य के लिए स्थिर नहीं होती है; यह एक विशिष्ट वितरण वक्र (प्लांक का वितरण) का पालन करती है जो पिंड के तापमान पर निर्भर करता है।
इसलिए,यह कथन कि सभी तरंगदैर्घ्य के लिए तीव्रता समान होती है,गलत है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,तापमान $T$ अधिकतम उत्सर्जन के तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम से,एक कृष्णिका (blackbody) द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है।
डिस्क के लिए $A = \pi r^2$ होने के कारण (दोनों तरफ से उत्सर्जन मानते हुए,$A = 2\pi r^2$),हमें $P \propto r^2 T^4$ प्राप्त होता है।
$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \propto \frac{r^2}{\lambda_{\max }^4}$ प्राप्त होता है।
दी गई त्रिज्याओं $r_x = 2 \ m, r_y = 2 \ m, r_z = 6 \ m$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_x = 3 \ \mu m, \lambda_y = 4 \ \mu m, \lambda_z = 5 \ \mu m$ के लिए:
$P_x \propto \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81} \approx 0.049$
$P_y \propto \frac{2^2}{4^4} = \frac{4}{256} = 0.0156$
$P_z \propto \frac{6^2}{5^4} = \frac{36}{625} = 0.0576$
मानों की तुलना करने पर,$P_z > P_x > P_y$ प्राप्त होता है। अतः,$P_z$ अधिकतम है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: तापमान $T$ पर धातु की छड़ की लंबाई $l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_0$ प्रारंभिक लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मान लीजिए कि तापमान $T$ पर पीतल और स्टील की छड़ों की लंबाई क्रमशः $l_b$ और $l_s$ है।
$l_b = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$l_s = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
लंबाई में अंतर $l_s - l_b = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है।
$l_s - l_b = (l_2 - l_1) + (l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) \Delta T$।
चूंकि अंतर $(l_2 - l_1)$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T$ वाला पद शून्य होना चाहिए।
अतः,$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$,जिसका अर्थ है $l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ होता है।
हम जानते हैं कि $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$,इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 20^{\circ} C - 15^{\circ} C = 5^{\circ} C$ है।
एक दिन में कुल समय $T = 24 \times 60 \times 60 = 86,400 \ s$ है।
प्रति दिन समय में त्रुटि $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times T$ है।
मान रखने पर: $\Delta T = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 5 \times 86,400$.
$\Delta T = 0.6 \times 10^{-5} \times 5 \times 86,400 = 3 \times 10^{-5} \times 86,400 = 2.592 \ s \approx 2.6 \ s$.

(A) आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ को सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\Delta V = V \times \gamma \times \Delta T$, जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$, इसलिए सूत्र होगा: $\Delta V = V \times (3\alpha) \times \Delta T$.
दिया गया है: $V = 500 \,cm^3$, $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^{\circ} C$, और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
मान रखने पर:
$\Delta V = 500 \times (3 \times 12 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times (36 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times 0.0036 = 1.8 \,cm^3$.

(C) आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
यहाँ $\frac{\Delta V}{V} = 0.30 \% = 0.003$ और $\Delta T = 50^{\circ} C$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.003 = \gamma (50^{\circ} C) \Rightarrow \gamma = \frac{0.003}{50} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान का फलन होती है। जब कोई कार्य नहीं किया जाता है,तो प्रक्रिया समआयतनिक (constant volume) होती है,इसलिए $\Delta W = 0$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि $\Delta W = 0$ है,इसलिए दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है: $\Delta Q = \Delta U = n C_V \Delta T$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
यहाँ $n = 2$ मोल,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 100 = 300 R$।

(D) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
$V_1$ से $V_2$ तक आयतन में दिए गए परिवर्तन के लिए,समतापीय या रुद्धोष्म प्रक्रिया की तुलना में समदाबी प्रक्रिया में दबाव $P$ अधिक रहता है।
चूंकि $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समदाबी प्रक्रिया के लिए सबसे अधिक होता है।
इसलिए,गैस द्वारा किया गया कार्य तब अधिकतम होता है जब प्रसार समदाबी होता है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए स्थिर दाब पर किया गया कार्य $W = p \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $W = nR \Delta T$ है।
स्थिर आयतन पर,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है,जो $Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर,हमें $Q = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $W = nR \Delta T$ है,इसलिए हम $nR \Delta T$ को $W$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$Q = \frac{3}{2} W$।

(A) ऊष्मागतिकी (थर्मोडायनामिक्स) के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
दिया गया है:
निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा,$\Delta Q = 68 \,J$
निकाय द्वारा किया गया कार्य,$\Delta W = 30 \,J$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = 68 \,J - 30 \,J = 38 \,J$
अतः,$A$ और $C$ के बीच निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $38 \,J$ है।

(A) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,तापमान का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ है।
मोनोएटॉमिक आदर्श गैस के लिए,एडियाबेटिक घातांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
अतः,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ होगा।
चूंकि गैस स्थिर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाले सिलेंडर में है,इसलिए आयतन $V = A \times L$ है। अतः,$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ होगा।
इन मानों को तापमान अनुपात समीकरण में रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय में या निकाय से ऊष्मा का कोई स्थानांतरण नहीं होता है $(dQ = 0)$।
कारण: यह प्रक्रिया आमतौर पर बहुत तेजी से होती है,जिससे निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिल पाता है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(\Delta U)$ में परिवर्तन केवल तापमान में परिवर्तन पर निर्भर करता है और इसे सूत्र $\Delta U = nC_v\Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एक आदर्श गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ होती है।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: $\Delta U = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T_2 - T_1)$।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{nR}{\gamma-1}(T_2 - T_1)$ है।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ है।
दिया गया है: $V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{4}$,$P_1 = P$ और $\gamma = \frac{5}{2}$।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P \cdot V^{\gamma} = P_2 \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot 2^5$
$P_2 = 32 P$.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + W$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $0 = \Delta U + W$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -W$।

(C) समआयतनिक प्रक्रिया में,गैस का आयतन स्थिर रहता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दाब उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसलिए,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$।

(D) समतापीय प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है। हालाँकि,ऊष्मा विनिमय $Q$ का शून्य होना आवश्यक नहीं है; यह किए गए कार्य के बराबर होता है $(Q = W)$।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,ऊष्मा विनिमय $Q$ शून्य होता है।
इसलिए,कथन 'समतापीय प्रक्रिया में,$Q = 0$' गलत है।

(A) i. मुक्त प्रसार रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रियाएं हैं जिनमें निकाय और उसके पर्यावरण के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $Q=0$ है।
ii. मुक्त प्रसार में,गैस निर्वात में फैलती है,जिसका अर्थ है कि विरोध करने के लिए कोई बाहरी दबाव नहीं है,इसलिए निकाय द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है,$W=0$ है।
iii. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$। चूंकि $Q=0$ और $W=0$ है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
iv. उदाहरण के लिए,जब कोई गुब्बारा या टायर अचानक फट जाता है,तो गैस बिना किसी पिस्टन या सतह पर कार्य किए तेजी से बाहर निकल जाती है।
v. मुक्त प्रसार एक अनियंत्रित,अनुत्क्रमणीय और तात्कालिक परिवर्तन है जहाँ प्रक्रिया के दौरान निकाय ऊष्मागतिक संतुलन में नहीं होता है,और इसे $p-V$ आरेख पर एक निरंतर पथ के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
अतः,$PV = \frac{m}{M}RT$,जिसका अर्थ है $m = \frac{PVM}{RT}$।
पात्र $A$ के लिए:
$m_A = \frac{PVM}{RT} \quad (1)$
पात्र $B$ के लिए:
$m_B = \frac{(2P)(2V)M}{R(T/2)} = \frac{4PVM}{RT/2} = \frac{8PVM}{RT} \quad (2)$
$m_A$ और $m_B$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{PVM/RT}{8PVM/RT} = \frac{1}{8}$।
अतः,अनुपात $1: 8$ है।

(A) समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जो स्थिर आयतन पर होती है।
चूंकि पूरी प्रक्रिया के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन शून्य होता है।
अतः,समआयतनिक प्रक्रिया के लिए समीकरण $\Delta V = 0$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $p V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
माना प्रारंभिक दाब $p$ और प्रारंभिक आयतन $V$ है।
अंतिम आयतन $V' = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण का उपयोग करने पर: $p V^{\gamma} = P' (V')^{\gamma}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $p V^{4/3} = P' \left(\frac{V}{8}\right)^{4/3}$.
$P' = p \left(\frac{V}{V/8}\right)^{4/3} = p (8)^{4/3}$.
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $P' = p (2^3)^{4/3} = p (2^4) = 16p$.
अतः,नया दाब $16p$ होगा।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ होता है।
रुद्धोष्म पथ $BC$ के लिए,बिंदु $B$ और $C$ उस रुद्धोष्म वक्र पर स्थित हैं जो $T_1$ और $T_2$ समतापीय वक्रों को जोड़ता है। अतः:
$T_1 V_b^{\gamma-1} = T_2 V_c^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(1)$
रुद्धोष्म पथ $AD$ के लिए,बिंदु $A$ और $D$ उस रुद्धोष्म वक्र पर स्थित हैं जो $T_1$ और $T_2$ समतापीय वक्रों को जोड़ता है। अतः:
$T_1 V_a^{\gamma-1} = T_2 V_d^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \frac{V_b}{V_c} = \frac{V_a}{V_d}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V_b}{V_a} = \frac{V_c}{V_d}$
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
$1$. रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिभाषा के अनुसार $Q = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$2$. समतापी प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आदर्श गैस के लिए $\Delta U = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया में,आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $W = P \Delta V = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$4$. समदाबी प्रक्रिया में,दबाव स्थिर रहता है। प्रसार के दौरान,आयतन बदलता है $(W \neq 0)$,तापमान बदलता है $(\Delta U \neq 0)$,और परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान होता है $(Q \neq 0)$। अतः,तीनों राशियाँ शून्यतर हैं।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार, नियत तापमान पर, $PV = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है。
यदि दबाव $20 \%$ कम हो जाता है, तो नया दबाव $P_2 = P - 0.20P = 0.8P$ होगा。
संबंध $P_1 V_1 = P_2 V_2$ का उपयोग करते हुए:
$P \cdot V = (0.8P) \cdot V_2$
$V_2 = \frac{PV}{0.8P} = \frac{V}{0.8} = 1.25V$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.25V - V = 0.25V$ है。
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{0.25V}{V} \times 100 = 25 \%$ है。
चूंकि मान धनात्मक है, इसलिए आयतन में $25 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) गैस द्वारा या गैस पर किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
कार्य को शून्य होने के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के दौरान आयतन $V$ स्थिर रहता है।
वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें आयतन स्थिर रहता है,समआयतनिक प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है।

(C) चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = V/8$,और $\gamma = 5/3$.
मान रखने पर:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/8} \right)^{(5/3) - 1}$
$T_2 = 300 \times (8)^{2/3}$
$T_2 = 300 \times (2^3)^{2/3} = 300 \times 2^2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,दो अलग-अलग अवस्थाओं $(P_1, V_1, T_1)$ और $(P_2, V_2, T_2)$ के लिए,यह संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ के रूप में मान्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अणुओं को बिंदु द्रव्यमान माना जाता है जिनके बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
चूंकि कोई अंतर-आणविक बल नहीं होते हैं,इसलिए अणुओं के विन्यास के साथ कोई स्थितिज ऊर्जा जुड़ी नहीं होती है।
इसलिए,एक आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा केवल उसके अणुओं की यादृच्छिक गति के कारण उनकी गतिज ऊर्जा से बनी होती है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा केवल गतिज ऊर्जा होती है।

(A) दाब $P$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ होती है।
आयतन $V$ की विमा $[L^3]$ होती है।
अतः,गुणनफल $PV$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [L^3] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ होती है।
चूंकि ऊर्जा (कार्य) की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ होती है,इसलिए $PV$ की विमा ऊर्जा के समान है।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ है।
इसे मानक रूप $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ होता है।
तरंग का वेग $v = n \lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,तरंग का वेग कण के अधिकतम वेग का $(1/8)$ गुना है:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ ओवरटोन $(n+1)^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप होता है।
यहाँ,पांचवां ओवरटोन छठा हार्मोनिक $(n=6)$ है।
डोरी की लंबाई $L = 2.4 \ m$ है।
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए शर्त $L = n \frac{\lambda}{2}$ है।
मान रखने पर: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$।
इससे $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 0.8 \ m$।
एक निस्पंद और क्रमागत प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
इसलिए,दूरी $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ है।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
दिया गया है $y_1 = 0.35 \sin(316 t)$,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ है। अतः आवृत्ति $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{316}{2 \pi} \text{ Hz}$ है।
दिया गया है $y_2 = 0.35 \sin(310 t)$,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ है। अतः आवृत्ति $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{310}{2 \pi} \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2|$ है।
$f_b = \frac{316}{2 \pi} - \frac{310}{2 \pi} = \frac{6}{2 \pi} = \frac{3}{\pi} \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$।

(D) माना मूल आवृत्ति $f$ है। आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए $f^{\prime} = f - 0.2f = 0.8f = \frac{4}{5}f$ है।
चूंकि आवृत्ति कम हो रही है,इसलिए स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है।
स्थिर प्रेक्षक से दूर जाने वाले स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र:
$f^{\prime} = f \left[ \frac{V}{V + V_s} \right]$
जहाँ $V = 350 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $V_s$ इंजन की गति है।
मान रखने पर:
$\frac{4}{5}f = f \left[ \frac{350}{350 + V_s} \right]$
$\frac{4}{5} = \frac{350}{350 + V_s}$
$4(350 + V_s) = 5(350)$
$1400 + 4V_s = 1750$
$4V_s = 350$
$V_s = 87.5 \ m/s$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत प्रेक्षक के करीब आ रहा होता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_{\text{before}} = \left(\frac{V}{V - v_c}\right) n$ होती है।
जब स्रोत दूर जा रहा होता है,तो सुनी गई आवृत्ति $n_{\text{after}} = \left(\frac{V}{V + v_c}\right) n$ होती है।
दिया गया अनुपात $\frac{n_{\text{before}}}{n_{\text{after}}} = \frac{11}{9}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{V}{V - v_c} n}{\frac{V}{V + v_c} n} = \frac{V + v_c}{V - v_c} = \frac{11}{9}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $9(V + v_c) = 11(V - v_c)$।
$9V + 9v_c = 11V - 11v_c$।
$20v_c = 2V$।
$v_c = \frac{2V}{20} = \frac{V}{10}$।

(C) प्रकाश प्रकृति में एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।
विद्युत चुम्बकीय तरंगों को अपने संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
इसलिए,यह कथन कि 'प्रकाश को संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है' गलत है और यह प्रकाश का गुण नहीं है।

(D) किसी माध्यम की निरपेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon)$ और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$ के बीच का संबंध सापेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon_r)$ के रूप में इस प्रकार है: $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$.
इस संबंध से,सापेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon_r)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$।
जब एक आवेश को दोगुना $(q_1' = 2q_1)$ और दूरी को आधा $(l' = l/2)$ कर दिया जाता है,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = k \frac{(2q_1) q_2}{(l/2)^2}$
$F' = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4}$
$F' = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$
$F' = 8F$।
अतः,बल का परिमाण मूल बल का $8$ गुना हो जाता है,इसलिए $n = 8$।

(B) $r$ दूरी पर $Q$ आवेश वाले दो समान गोलों के बीच प्रारंभिक स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{kQ^2}{r^2}$।
जब एक समान अनावेशित गोला आवेशित गोलों में से एक को स्पर्श करता है,तो आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार,स्पर्श किए गए गोले पर अब $Q/2$ आवेश है और तीसरा गोला भी $Q/2$ आवेश प्राप्त कर लेता है।
तीसरे गोले को मध्य बिंदु पर (प्रत्येक से $r/2$ दूरी पर) रखा जाता है। मान लीजिए आवेश $q_1 = Q/2$ (स्पर्श किया गया गोला),$q_2 = Q$ (अस्पर्शित गोला),और $q_3 = Q/2$ (तीसरा गोला) हैं।
पहले गोले के कारण तीसरे गोले पर बल $F_1 = \frac{k(Q/2)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/4}{r^2/4} = \frac{kQ^2}{r^2} = F$ (पहले गोले से दूर की दिशा में)।
दूसरे गोले के कारण तीसरे गोले पर बल $F_2 = \frac{k(Q)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/2}{r^2/4} = \frac{2kQ^2}{r^2} = 2F$ (दूसरे गोले से दूर की दिशा में)।
चूंकि बल विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कुल बल $F_{\text{net}} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ होगा।

(D) $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक द्वारा बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में धारण किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश $Q_{\text{max}}$ सूत्र $Q_{\text{max}} = 4 \pi \varepsilon_0 R^2 E$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
व्यास $d = 6 \ mm$,इसलिए त्रिज्या $R = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \times 10^7 \ N/C$.
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (3 \times 10^{-3})^2 \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = 10^{-15} \times 2 \times 10^7 = 2 \times 10^{-8} \ C$
$Q_{\text{max}} = 0.02 \times 10^{-6} \ C = 0.02 \ \mu C$.

(A) अवधारणा: जब किसी चालक को आवेशित किया जाता है,तो समान आवेशों के बीच आपसी प्रतिकर्षण के कारण आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
चूंकि दोनों गोलों की त्रिज्या समान है,इसलिए उनके बाहरी सतह का क्षेत्रफल समान है।
अतः,आसपास के माध्यम का परावैद्युत भंजन (dielectric breakdown) होने से पहले सतह पर संग्रहीत किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश दोनों के लिए समान होता है।
इस प्रकार,दोनों धात्विक गोलों (ठोस या खोखले) को समान रूप से आवेशित किया जा सकता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = \frac{k Q q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, $F_1 = \frac{k Q q}{r^2} = 100 \,N$ है।
जब $Q$ को $10 \%$ बढ़ाया जाता है, तो नया आवेश $Q' = Q + 0.1 Q = 1.1 Q$ होता है।
जब $q$ को $10 \%$ घटाया जाता है, तो नया आवेश $q' = q - 0.1 q = 0.9 q$ होता है।
नया बल $F_2$ इस प्रकार है: $F_2 = \frac{k (1.1 Q) (0.9 q)}{r^2} = (1.1 \times 0.9) \frac{k Q q}{r^2}$।
$F_2 = 0.99 \times F_1 = 0.99 \times 100 \,N = 99 \,N$।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_1 - F_2 = 100 \,N - 99 \,N = 1 \,N$ है।
अतः, बल $1 \,N$ कम हो जाएगा।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। आसन्न कोनों के बीच की दूरी $a$ है,और विपरीत कोनों (विकर्ण) के बीच की दूरी $\sqrt{2}a$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच का बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r^2}$ होता है।
आसन्न कोनों पर स्थित आवेशों $q_1$ और $q_2$ के लिए,दूरी $r = a$ है। अतः,$F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{a^2}$।
विपरीत कोनों पर स्थित आवेशों $q_1$ और $q_3$ के लिए,दूरी $r = \sqrt{2}a$ है। अतः,$F_{13} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{2a^2}$।
चूंकि $q_1 = q_2 = q_3 = q$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1}{1/2} = 2$।

(C) मान लीजिए कि आवेशों को क्रमशः $x=0$,$x=\frac{d}{2}$ और $x=d$ स्थितियों पर रखा गया है।
$x=0$ पर स्थित आवेश $q$ पर नेट बल को शून्य करने के लिए,$Q$ द्वारा लगाया गया बल और $+4q$ द्वारा लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_Q = \frac{k q Q}{(d/2)^2}$ है और $+4q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_{+4q} = \frac{k q (4q)}{d^2}$ है।
नेट बल को शून्य होने के लिए,इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{k q Q}{(d/2)^2} + \frac{k q (4q)}{d^2} = 0$
$\frac{k q Q}{d^2/4} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q Q}{d^2} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q}{d^2}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $q \neq 0$):
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} = -pE \cos \theta$ है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के अनुदिश है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$।
अंत में,द्विध्रुव को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ}$।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1$।
$W = 0 - (-pE) = pE$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए द्विध्रुव के लिए,बिंदु $P$ की $-q$ आवेश से दूरी $(x+a)$ है और $+q$ आवेश से दूरी $(x-a)$ है।
$-q$ के कारण विभव $V_{-q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(-q)}{(x+a)}$ है।
$+q$ के कारण विभव $V_{+q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(+q)}{(x-a)}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V_P$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V_P = V_{-q} + V_{+q} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right]$.
$V_P = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a) - (x-a)}{(x-a)(x+a)} \right] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{2a}{x^2-a^2} \right]$.
$V_P = \frac{2aq}{4 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)} = \frac{aq}{2 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)}$.

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर कार्य करने वाला स्थिर विद्युत बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश का परिमाण $e$ है,इसलिए बल $F_e = eE$ है। त्वरण $a_e = \frac{F_e}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ है।
प्रोटॉन के लिए,आवेश का परिमाण भी $e$ है,इसलिए बल $F_p = eE$ है। त्वरण $a_p = \frac{F_p}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$ है।
इलेक्ट्रॉन के त्वरण और प्रोटॉन के त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE / m_e}{eE / m_p} = \frac{m_p}{m_e}$.

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाएं विद्युत क्षेत्र को दर्शाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$1$. वे कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो असंभव है।
$2$. वे स्थिरवैद्युत संतुलन में किसी चालक के भीतर से नहीं गुजरती हैं क्योंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$3$. वे धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$4$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं कुचालकों (परावैद्युत) से होकर गुजर सकती हैं,क्योंकि कुचालकों में क्षेत्र को रद्द करने के लिए मुक्त आवेश नहीं होते हैं।
अतः,यह कथन कि वे कुचालक से होकर नहीं गुजरती हैं,गलत है।

(D) दूरी पर स्थित दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
इस विद्युत क्षेत्र में $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला बल $F = qE = \frac{qV}{d}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m}$ होता है।
$F$ का मान रखने पर,हमें $a = \frac{qV}{md}$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
जब गुब्बारे को फुलाया जाता है,तो उसका आकार बढ़ता है,लेकिन गुब्बारे की सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि सतह द्वारा परिबद्ध आवेश नहीं बदलता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{T} = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ सतह के भीतर निहित कुल आवेश है।
दिए गए खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल सतहों ($A$ और $C$) और वक्र सतह $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है।
मान लीजिए $\phi_A$,$\phi_B$,और $\phi_C$ क्रमशः सतह $A$,$B$,और $C$ से गुजरने वाले फ्लक्स हैं।
दिया गया है कि $\phi_B = \phi$ है। बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स समान होना चाहिए,अर्थात $\phi_A = \phi_C$ है।
इसलिए,$\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
मान रखने पर,हमें $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर,$2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,जिसका अर्थ है कि $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से जुड़ा विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से,बंद सतह के भीतर स्थित आवेश $2.35 \ C$,$5 \ C$,$2 \ C$ और $-0.5 \ C$ हैं।
कुल आवेश $q_{enclosed} = (2.35 + 5 + 2 - 0.5) \ C = 8.85 \ C$ है।
दिया गया है $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\phi = \frac{8.85 \ C}{8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}} = 10^{12} \ N m^2 C^{-1}$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$Q$ आवेश को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए समरूपता के कारण फ्लक्स इसके $6$ फलकों पर समान रूप से वितरित होता है।
अतः,एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{one} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।
दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स इन दोनों फलकों के फ्लक्स का योग है,जो $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \varepsilon_0} = \frac{Q}{3 \varepsilon_0}$ होगा।

(C) गाउस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$
यहाँ,$Q_{\text{enclosed}}$ गाऊसी पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत फ्लक्स केवल पृष्ठ के भीतर निहित आवेश के परिमाण पर निर्भर करता है।
यह गाऊसी पृष्ठ के आकार या त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि गाऊसी पृष्ठ की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाता है,तो घिरा हुआ आवेश $Q$ समान रहता है,और परिणामस्वरूप,बाहर की ओर जाने वाला विद्युत फ्लक्स समान रहेगा।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ गाऊसी सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
चूंकि बिंदु आवेश $q$ गोलीय गाऊसी सतह की त्रिज्या की परवाह किए बिना समान रहता है,इसलिए परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = q$ स्थिर रहता है।
अतः,जब सतह की त्रिज्या बढ़ाई जाती है तो विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
$Q$ आवेश वाले $r$ त्रिज्या के एक पृथक चालक गोले के लिए,उसकी सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ होता है।
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में रखने पर: $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 r^4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$ स्थिर है,इसलिए $U \propto \frac{1}{r^4}$ है।
दी गई त्रिज्याओं $R_A = R$,$R_B = 2R$,और $R_C = 3R$ के लिए:
$U_A \propto \frac{1}{R^4}$,$U_B \propto \frac{1}{(2R)^4} = \frac{1}{16R^4}$,और $U_C \propto \frac{1}{(3R)^4} = \frac{1}{81R^4}$।
इन मानों की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $U_A > U_B > U_C$ है।

(B) कथन $A$ मूल प्रश्न में अधूरा था,लेकिन सामान्य तौर पर,एक आवेशित गोलीय कोश के बाहर के बिंदु $(r > R)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ होता है,जो केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। हालाँकि,कोश के अंदर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,कथन $A$ सामान्य संदर्भ में अस्पष्ट है.
कथन $B$ सही है। $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है,जो दर्शाता है कि $V \propto \frac{1}{r}$.
अतः,केवल कथन $B$ सही है.

(C) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $A, B, C, D$ हैं,जहाँ $A$ और $B$ पर $+q$ आवेश है और $C$ और $D$ पर $-q$ आवेश है। वर्ग की भुजा की लंबाई $2r$ है। बिंदु $P$ भुजा $CD$ का मध्य बिंदु है।
अतः,दूरियाँ हैं: $DP = PC = r$।
$A$ और $B$ से $P$ तक की दूरियाँ हैं: $AP = BP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V_P$ चारों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{r} \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right]$

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l}$.
दिया गया है कि $\vec{E} = 20x^2 \hat{i}$ और $d\vec{l} = dx \hat{i}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $dV = -(20x^2 \hat{i}) \cdot (dx \hat{i}) = -20x^2 dx$.
विभवांतर $V_A - V_0$ ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ से $x=3 \ m$ तक समाकलन (integrate) करेंगे:
$V_A - V_0 = \int_{V_0}^{V_A} dV = \int_{0}^{3} -20x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -20 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$V_A - V_0 = -20 \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = -20 \left( \frac{27}{3} \right) = -20 \times 9 = -180 \ V$.

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग होती है।
दिए गए विन्यास के लिए,युग्म $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ और $(Q, +q)$ हैं,जिनकी दूरियाँ क्रमशः $l$,$l$ और $\sqrt{2}l$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ से भाग देने पर ($k \neq 0$ और $l \neq 0$ मानते हुए):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(B) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f = \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
प्रारंभ में,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई धारा $I_1' = 3 I_1$,नई दूरी $d' = 2 d$ है और धारा $I_2$ समान रहती है (दिशा बदलने से बल की प्रकृति बदलती है,परिमाण नहीं)।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{\mu_0 (3 I_1) I_2 l}{2 \pi (2 d)}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर: $F' = \frac{3}{2} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d} \right)$.
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $F' = \frac{3}{2} F$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
$L$ लंबाई के तार से $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली बनाने पर,परिधि $L = N(2 \pi r)$ होती है,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi N}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ है।
टॉर्क समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $\tau = N i \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) B \sin \theta = \frac{i L^2 B \sin \theta}{4 \pi N}$।
टॉर्क को अधिकतम करने के लिए,हम $\sin \theta = 1$ लेते हैं और फेरों की न्यूनतम संख्या $N = 1$ चुनते हैं।
अतः,अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max} = \frac{i L^2 B}{4 \pi}$ होगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। त्रिज्यीय चुंबकीय क्षेत्र के लिए,कुंडली का तल हमेशा चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ और $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है।
अतः,चुंबकीय बल आघूर्ण $\tau_m = NIAB$ है।
निलंबन फाइबर द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau_r = K \phi$ है,जहाँ $K$ मरोड़ नियतांक है और $\phi$ घूर्णन का कोण है।
संतुलन के लिए दोनों बल आघूर्णों को बराबर करने पर: $NIAB = K \phi$।
दिया गया है: $A = 0.05 \ m^2$,$B = 0.01 \ Wb/m^2$,$K = 5 \times 10^{-9} \ Nm/\text{degree}$,$I = 300 \ \mu A = 300 \times 10^{-6} \ A$,और $N = 1$ मानते हुए।
मान रखने पर: $\phi = \frac{NIAB}{K} = \frac{1 \times 300 \times 10^{-6} \times 0.01 \times 0.05}{5 \times 10^{-9}}$।
$\phi = \frac{300 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-9}} = \frac{1500 \times 10^{-10}}{5 \times 10^{-9}} = 300 \times 10^{-1} = 30^{\circ}$।
अतः,घूर्णन का कोण $30^{\circ}$ है।

(C) दो लंबे समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r$ चालकों के बीच की दूरी है और $I_1$ तथा $I_2$ चालकों में प्रवाहित धारा है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,जब दो समानांतर तारों में समान दिशा में धारा प्रवाहित होती है,तो वे एक-दूसरे पर आकर्षण बल लगाते हैं।
दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I$,इसलिए प्रति इकाई लंबाई पर बल का परिमाण $F = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ है।
अतः,तार एक-दूसरे को प्रति इकाई लंबाई $\frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ बल से आकर्षित करेंगे।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले बल का सूत्र है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$।
चूंकि दोनों तारों में धारा समान रहती है,इसलिए बल उनके बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto \frac{1}{d}$।
यदि नई दूरी $d' = \frac{d}{3}$ है,तो नया बल $F'$ होगा: $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi (d/3)} = 3 \times \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right) = 3F$।
अतः,बल का परिमाण मूल मान का $3$ गुना हो जाता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
अवधारणा: किसी तार पर कोई बल कार्य न करे, इसके लिए अन्य दो तारों के कारण उसकी स्थिति पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार $A$ से तार $C$ की दूरी $x$ है। तार $B$ से तार $C$ की दूरी $(15 - x) \,cm$ है।
$C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए, तार $A$ और तार $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
$\frac{\mu_0 I_A}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{I_A}{x} = \frac{I_B}{15 - x}$
यहाँ $I_A = 15 \,A$ और $I_B = 10 \,A$ दिया गया है:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \,cm$.

(B) बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करते हुए,एक सीधे धारावाही चालक की अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,सीधे खंडों $AO$,$OC$,$DE$ और $FG$ के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाली वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ होता है।
यहाँ,दोनों चाप $CD$ और $EF$ बिंदु $O$ पर $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाती हैं।
$R_1$ त्रिज्या वाली चाप $CD$ के लिए:
$B_{CD} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_1} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में)।
$R_2$ त्रिज्या वाली चाप $EF$ के लिए:
$B_{EF} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_2} = \frac{\mu_0 I}{8 R_2}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र होगा:
$B = B_{CD} + B_{EF} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1} + \frac{\mu_0 I}{8 R_2} = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \right)$.

(D) मान लीजिए तारों के बीच की दूरी $2r$ है। प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r$ है। एक लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
जब धाराएँ एक ही दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। कुल क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ है।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{6 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$।
$5(I_1 - I_2) = I_1 + I_2 \implies 5I_1 - 5I_2 = I_1 + I_2 \implies 4I_1 = 6I_2$।
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $B_1 = B_2$,इसलिए $\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_2}{r_2}$.
चूँकि $r_1 = 2r_2$,हमें प्राप्त होता है $\frac{i_1}{2r_2} = \frac{i_2}{r_2}$,जिसका अर्थ है $i_1 = 2i_2$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है। चूँकि दोनों कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं। लंबाई $L = 2\pi r$.
अतः,$R_1 = 2\pi r_1$ और $R_2 = 2\pi r_2$. चूँकि $r_1 = 2r_2$,इसलिए $R_1 = 2R_2$.
विभवांतर $V = iR$ है। इसलिए,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{i_1 R_1}{i_2 R_2}$.
मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{(2i_2)(2R_2)}{i_2 R_2} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(B) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हैं।
टोरॉइड के अंदर $r$ त्रिज्या का एक एम्पीयरियन लूप मानिए,जहाँ $r = \frac{r_1 + r_2}{2}$ है।
एम्पीयर के नियम के अनुसार: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ वृत्ताकार पथ पर समान है और लंबाई के अवयव $d\vec{l}$ के समानांतर है,इसलिए उनके बीच का कोण $0^\circ$ है।
अतः,$B \oint dl = \mu_0 N I$.
लूप की परिधि $2 \pi r = 2 \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \pi(r_1 + r_2)$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $B \cdot \pi(r_1 + r_2) = \mu_0 N I$.
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{\pi(r_1 + r_2)}$ प्राप्त होता है।

(A) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
एक फेरे के लिए $(N_1 = 1)$,परिधि $2 \pi r_1 = L$ है,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
तीन फेरों के लिए $(N_2 = 3)$,कुल लंबाई $3(2 \pi r_2) = L$ है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{6 \pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2 (L / 6 \pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
चुंबकीय प्रेरण का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I \pi / L}{9 \mu_0 I \pi / L} = \frac{1}{9}$ है।

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं $I_1$ और $I_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
इसलिए,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग होगा: $B_{net} = B_1 + B_2$.
प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r = \frac{d}{2}$ है।
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}$.
सरल करने पर: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{\pi d} + \frac{\mu_0 I_2}{\pi d} = \frac{\mu_0(I_1+I_2)}{\pi d}$.

(D) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{N \mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,एक फेरे $(N=1)$ और $r$ त्रिज्या के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
जब $L = 2 \pi r$ लंबाई के उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r^{\prime}$ का मान $L = n(2 \pi r^{\prime})$ से प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^{\prime} = \frac{r}{n}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2r^{\prime}}$ है।
$B^{\prime}$ के व्यंजक में $r^{\prime} = \frac{r}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2(r/n)} = n^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = n^2 B$।

(B) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$।
कुंडली के केंद्र पर $(x = 0)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र केंद्र के क्षेत्र का $\frac{1}{8}$ गुना है: $B_P = \frac{1}{8} B_0$।
मान रखने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R} \Rightarrow \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{4}$।
वज्र गुणन करने पर: $4R^2 = R^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 3R^2 \Rightarrow x = \sqrt{3}R$।

(A) माना वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ होगा।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ प्राप्त होता है।
धारा $I$ के लिए हल करने पर,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ मिलता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I$ का व्यंजक रखने पर,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को किसी कण के चुंबकीय आघूर्ण $(M_0)$ और कोणीय संवेग $(L_0)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{M_0}{L_0}$
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M_0 = \frac{e}{2m} L_0$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
अतः,अनुपात $\frac{M_0}{L_0} = \frac{e}{2m}$ होता है,जो एक नियतांक है।

(D) $l$ लंबाई के चुंबकीय तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m l$ है,जहाँ $m$ प्रत्येक सिरे की ध्रुव प्रबलता है।
जब तार को $L$-आकार में मोड़ा जाता है,तो $l/2$ लंबाई के दो खंड एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
प्रभावी लंबाई (ध्रुवों के बीच का विस्थापन) $l/2$ और $l/2$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण बन जाती है।
प्रभावी लंबाई $l' = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2/4} = \sqrt{l^2/2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ इस प्रकार है: $M' = m l' = m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$.
चूंकि $M = m l$,इसलिए हमें $M' = \frac{M}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि तार की लंबाई $l$ है। वर्गाकार लूप के लिए,वर्ग की भुजा $a = l/4$ है।
अतः,इसका चुंबकीय आघूर्ण $M_{sq} = i A = i (l/4)^2 = i l^2 / 16$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = l / (2 \pi)$ है।
अतः,इसका चुंबकीय आघूर्ण $M_{cir} = i A = i \pi r^2 = i \pi (l / (2 \pi))^2 = i \pi (l^2 / 4 \pi^2) = i l^2 / (4 \pi)$ है।
वृत्त के चुंबकीय आघूर्ण और वर्ग के चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{M_{cir}}{M_{sq}} = \frac{i l^2 / (4 \pi)}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(D) जब कोई आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है, तो वह एकसमान वृत्तीय गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{R} = qvB$.
इसे सरल करने पर $v = \frac{qBR}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.
चूंकि $q$, $m$, और $R$ स्थिर हैं, इसलिए $E \propto B^2$ है।
यदि चुंबकीय क्षेत्र $B$ को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए $(B' = 4B)$, तो नई गतिज ऊर्जा $E'$ होगी:
$E' \propto (4B)^2 = 16B^2$.
अतः, $E' = 16E$। गतिज ऊर्जा $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ है।
इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय बल $F = evB = eB\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ है।
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
दिया गया है कि जब विभव $V^{\prime}$ होता है तो नया बल $F^{\prime} = 2F$ होता है,इसलिए $\frac{F^{\prime}}{F} = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$।
मान रखने पर,$2 = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{V^{\prime}}{V}$,जिसका अर्थ है कि $V^{\prime} = 4V$।
अतः,अनुपात $\frac{V}{V^{\prime}} = \frac{V}{4V} = \frac{1}{4}$ है।

(D) एक स्थिर विद्युत आवेश अपने चारों ओर के स्थान में एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई विद्युत आवेश समान वेग से गति करता है,तो यह विद्युत धारा का निर्माण करता है।
ओर्स्टेड के प्रयोग के अनुसार,विद्युत धारा अपने आसपास के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
चूंकि आवेश गतिमान है,इसलिए यह अपने अंतर्निहित विद्युत क्षेत्र को बनाए रखता है और साथ ही अपनी गति के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी उत्पन्न करता है।
अतः,समान वेग से गति करने वाला आवेश विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उत्पन्न करता है।

(B) एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि गति के दौरान वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ बदल जाता है।
इसलिए,संवेग बदल जाता है जबकि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत वृत्ताकार पथ में गति करता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण वृत्त को पूरा करने में लगा समय है,जो परिधि और वेग का अनुपात है:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi (mv/qB)}{v} = \frac{2 \pi m}{qB}$.
सूत्र $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ से देखा जा सकता है कि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है।
यह आवेश के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = Bqv$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ होती है।
इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर,$F = B e \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B e \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
यदि विभवांतर को बढ़ाकर $2V$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' \propto \sqrt{2V}$ होगा।
अतः,$\frac{F'}{F} = \frac{\sqrt{2V}}{\sqrt{V}} = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$F' = \sqrt{2}F$।

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण जब एक समान लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करता है,तो उसकी वक्रता त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$ होता है।
यहाँ,$p$ आवेशित कण का संवेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए संवेग $p$ समान है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ भी समान है,इसलिए वक्रता त्रिज्या केवल कण के आवेश $q$ पर निर्भर करती है।
इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के आवेश का परिमाण समान $(|q_e| = |q_p| = e)$ होता है।
इसलिए,$r_e = \frac{p}{Be}$ और $r_p = \frac{p}{Be}$,जिसका अर्थ है कि $r_e = r_p$ है।
अतः,परिक्रमण की दिशा (वक्रता की दिशा) को छोड़ दें तो,दोनों कण समान त्रिज्या वाले वक्र पथ पर गति करेंगे।