MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिया गया है:
$v = 340 \,m/s$ (ध्वनि की गति)
$f_0 = 90 \,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v_s = \frac{v}{10} = \frac{340}{10} = 34 \,m/s$ (स्रोत की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$f = 90 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f = 90 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f = 90 \left( \frac{10}{9} \right)$
$f = 100 \,Hz$

(B) अवधारणा: स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहे स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव।
सूत्र: $f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
जहाँ:
$f$ स्रोत की आवृत्ति है = $1152 \ Hz$
$v$ ध्वनि की गति है = $340 \ m/s$
$v_s$ स्रोत की गति है।
सबसे पहले,स्रोत की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_s = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$
अब,मानों को सूत्र में रखें:
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{17}{18} \right)$
$f^{\prime} = 64 \times 17 = 1088 \ Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $1088 \ Hz$ है।

(B) परिणामी तरंग विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती है: $Y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ और $Y_2 = A \sin(\omega t + kx)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$Y = Y_1 + Y_2 = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$।
यह एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है।
निस्पंद (nodes) वहां होते हैं जहां आयाम शून्य होता है,अर्थात $\cos(kx) = 0$।
इसका अर्थ है $kx = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$।
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2\pi}{\lambda} x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) विस्पंद (beats) एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें,जो एक ही दिशा में यात्रा कर रही होती हैं,एक-दूसरे पर अध्यारोपित (superimpose) होती हैं।
यह अध्यारोपण परिणामी ध्वनि की तीव्रता में आवधिक परिवर्तन की ओर ले जाता है,जिसे व्यतिकरण कहा जाता है।
इसलिए,विस्पंदों का उत्पादन ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण का सीधा परिणाम है।

(B) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
चूँकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,जहाँ $a$ आयाम है,हमारे पास है:
$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \frac{9}{1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} \Rightarrow a_1 = 3a_2$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$
$a_1 = 3a_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3a_2 + a_2)^2}{(3a_2 - a_2)^2} = \frac{(4a_2)^2}{(2a_2)^2} = \frac{16a_2^2}{4a_2^2} = \frac{4}{1}$.

(B) दोनों सिरों पर खुली पाइप $P_{O}$ के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए $f_3 = \frac{3 v}{2 L_O}$।
एक सिरे पर बंद पाइप $P_{C}$ के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_C}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $5^{th}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए $f_5 = \frac{5 v}{4 L_C}$।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $f_3 = f_5$।
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{5 v}{4 L_C}$
$\frac{3}{2 L_O} = \frac{5}{4 L_C}$
$\frac{L_C}{L_O} = \frac{5 \times 2}{4 \times 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$।

(C) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
जब लंबाई का $\frac{3}{4}$ भाग पानी में डुबोया जाता है,तो वायु स्तंभ की शेष लंबाई $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{L}{4}$ होती है।
चूंकि अब एक सिरा पानी की सतह द्वारा बंद है,इसलिए यह $\frac{L}{4}$ लंबाई की बंद पाइप के रूप में कार्य करती है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ होती है।
अब,अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $l$ पाइप की लंबाई है और $v$ ध्वनि की गति है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$p^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = (p+1) \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$p^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = (2p+1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_o}{f_c} = \frac{(p+1) \frac{v}{2l}}{(2p+1) \frac{v}{4l}}$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{f_o}{f_c} = \frac{p+1}{2l} \times \frac{4l}{2p+1} = \frac{2(p+1)}{2p+1}$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी कंपन आवृत्ति $f$ समान होगी।
एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(2n+1)v}{4l_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,आवृत्ति $f = \frac{3v}{4l_1}$ है।
दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(n+1)v}{2l_2}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,आवृत्ति $f = \frac{(3+1)v}{2l_2} = \frac{4v}{2l_2} = \frac{2v}{l_2}$ है।
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{3v}{4l_1} = \frac{2v}{l_2}$.
अनुपात $\frac{l_1}{l_2}$ ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{8}$.

(A) खुली ऑर्गन पाइप में $m^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_m = \frac{m v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है।
मूल आवृत्ति $(m=1)$ के लिए, $f_1 = \frac{v}{2 L}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप में $n^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम संख्या है।
बंद ऑर्गन पाइप में $3^{\text{रे}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$ है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ है।

(A) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 320 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $L = 0.8 \ m$ पाइप की लंबाई है।
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
डोरी की लंबाई $l = 0.5 \ m$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार) है और यह अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है। डोरी की आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
डोरी का द्रव्यमान $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(A) माना कि अंत संशोधन (end correction) $e$ है। एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $l_n + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $24.1 + e = \frac{\lambda}{4} \quad ---(1)$
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $74.1 + e = \frac{3\lambda}{4} \quad ---(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(74.1 + e) - (24.1 + e) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4}$
$50 = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 100 \ cm$
$\lambda$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$24.1 + e = \frac{100}{4} = 25$
$e = 25 - 24.1 = 0.9 \ cm$
अंत संशोधन $e$ और व्यास $D$ के बीच संबंध $e = 0.3D$ है।
$0.9 = 0.3D$
$D = \frac{0.9}{0.3} = 3 \ cm$.

(C) $1$. एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_p = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 320 \ m/s$ और $L = 0.8 \ m$ है।
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \ Hz$.
$2$. डोरी अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है। दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_s = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n=2$,$l = 0.5 \ m$,$T = 50 \ N$,और $\mu = \frac{m}{l}$ है।
$3$. चूंकि डोरी पाइप के साथ अनुनाद करती है,इसलिए $f_s = f_p = 100 \ Hz$.
$100 = \frac{2}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{m/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{25}{m}} = 2 \times 5 \sqrt{\frac{1}{m}} = \frac{10}{\sqrt{m}}$.
$4$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $100 = \frac{100}{m}$,जिससे $m = 0.01 \ kg = 10 \ g$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हीलियम $(v_{He})$ और नाइट्रोजन $(v_{N_2})$ में ध्वनि की चाल का अनुपात होगा:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{M_{He}} \cdot \frac{M_{N_2}}{\gamma_{N_2}}}$
दी गई मानों $\gamma_{He} = 5/3$,$M_{He} = 4$,$\gamma_{N_2} = 7/5$,और $M_{N_2} = 28$ को रखने पर:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\left(\frac{5/3}{4}\right) \cdot \left(\frac{28}{7/5}\right)} = \sqrt{\frac{5}{12} \cdot 20} = \sqrt{\frac{100}{12}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: पथ अंतर $(x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\phi = \frac{2 \pi x}{\lambda}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इससे, हम तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{2 \pi x}{\phi}$ के रूप में लिख सकते हैं।
तरंग का वेग $v = \lambda f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
वेग के समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर:
$v = (\frac{2 \pi x}{\phi}) f$
आवृत्ति $f$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$f = \frac{v \phi}{2 \pi x}$
दिए गए मान: $x = 0.54 \, m$, $\phi = 1.8 \pi$, और $v = 330 \, m/s$।
इन मानों को रखने पर:
$f = \frac{330 \times 1.8 \pi}{2 \pi \times 0.54}$
$f = \frac{330 \times 1.8}{2 \times 0.54}$
$f = \frac{594}{1.08} = 550 \, Hz$.

(A) गैसीय माध्यम में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक सूचकांक है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का आण्विक द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए $\gamma$ का मान दोनों के लिए समान $(\gamma = 5/3)$ होगा।
चूँकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए $\gamma, R$ और $T$ स्थिर हैं।
अतः,ध्वनि की गति आण्विक द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इस प्रकार,गैस $A$ और $B$ में ध्वनि की गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ होगा।

(C) गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है।
चूंकि किसी दी गई गैस के लिए $\gamma$,$R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए ध्वनि की गति निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $N.T.P.$ $(T = 273 \ K)$ पर गति $v$ है और तापमान $T'$ पर गति $v'$ है।
दिया गया है कि $v' = 1.5 v$,इसलिए:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 1.5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T'}{T} = (1.5)^2 = 2.25$।
$T' = 2.25 \times 273 \ K = 614.25 \ K$।
इस तापमान को डिग्री सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 614.25 - 273 = 341.25^{\circ} C$।
अतः,तापमान लगभग $341^{\circ} C$ है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{15} \text{ cm}^{-1}$ प्राप्त होती है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$ होगा।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 30 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके अगले प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में,माध्यम के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः $S.H.M.$ में कंपन करते हैं।
सभी कण (निस्पंद बिंदुओं पर स्थित कणों को छोड़कर,जो स्थिर रहते हैं) स्रोत की समान आवृत्ति (और इसलिए समान आवर्तकाल) के साथ कंपन करते हैं।
हालाँकि,कंपन का आयाम कण-कण पर भिन्न होता है,जो निस्पंद बिंदुओं पर शून्य और प्रस्पंद बिंदुओं पर अधिकतम होता है।

(D) स्थिर तरंग का मानक समीकरण $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 0.5 \sin(0.314 x) \cos(600 \pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.314 \ cm^{-1}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $0.314 \approx \frac{\pi}{10}$,इसलिए $k = \frac{\pi}{10} \ cm^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है,अतः $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = 20 \ cm$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की लंबाई $L = n \frac{\lambda}{2}$ होती है।
तीसरे हार्मोनिक के लिए,$n = 3$ रखने पर,$L = 3 \times \frac{20}{2} = 3 \times 10 = 30 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ है।
इसे अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि संचरण नियतांक $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,जो कि $\frac{\lambda}{2}$ है।
अतः,दूरी $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ है।

(C) कथन $A$: एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है और दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी भी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
कथन $B$: ऑर्गन पाइप के खुले सिरे पर,हवा स्वतंत्र रूप से कंपन कर सकती है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन अधिकतम (प्रस्पंद) होता है। चूंकि विस्थापन प्रस्पंद पर दाब परिवर्तन न्यूनतम होता है,इसलिए खुले सिरे पर एक दाब निस्पंद बनता है। अतः,कथन $B$ सत्य है।
इसलिए,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।

(B) एक यात्रा करती तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \pi/3)$ के साथ इसकी तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \text{ rad/s}$
तरंग संख्या $k = 2 \text{ rad/m}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{600}{2} = 300 \text{ m/s}$।

(C) एक तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho \cdot A$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ (तांबा) से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\mu = \rho \cdot \pi r^2$ होगा।
इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$।
चूंकि $T$,$\rho$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि $r_1 > r_2$,इसलिए पतले तार $(r_2)$ में वेग मोटे तार $(r_1)$ की तुलना में अधिक होगा।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से यात्रा करेगी।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = y_0 \sin(\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(100t + 20x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 20 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ को प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे घनत्व $\rho$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के संदर्भ में $\mu = A \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि तार का अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है और व्यास $D$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi \frac{D^2}{4}$ होगा।
इस मान को $\mu$ के सूत्र में रखने पर,हमें $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\mu$ के मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $f \propto \frac{1}{LD}$।

(C) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि तार का द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times A \times L$,इसलिए $\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
घनत्व $\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.

(A) डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ डोरी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है,जिसे $\mu = \frac{M}{L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ प्राप्त होता है।
विक्षोभ को डोरी की $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: कलांतर $\phi = \frac{\pi}{5} \text{ rad}$, आवृत्ति $f = 25 \text{ Hz}$, वेग $v = 75 \text{ m/s}$।
सबसे पहले, $\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{75 \text{ m/s}}{25 \text{ Hz}} = 3 \text{ m}$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{3} x$।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{\pi}{5} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{10} \text{ m} = 0.3 \text{ m}$।

(B) जब समान आवृत्ति और वेग की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (standing wave) बनाती हैं।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $x = \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि तरंग का वेग $v$,आवृत्ति $n$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $v = n \lambda$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{v}{n}$।
दूरी के सूत्र में $\lambda$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{n} \right) = \frac{v}{2n}$।
यहाँ $v = 20 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए:
$x = \frac{20 \ m/s}{2n} = \frac{10}{n} \ m$।

(C) $L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद नली के लिए,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4L$ है। मूल आवृत्ति $f_A = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}$ है।
$L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 2L$ है। मूल आवृत्ति $f_B = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{2L}$ है।
नली $A$ और नली $B$ की मूल आवृत्ति का अनुपात $\frac{f_A}{f_B} = \frac{v/4L}{v/2L} = \frac{2L}{4L} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ---$(1)$
जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
जब तनाव को $8 \,N$ से बढ़ाया जाता है, तो नया तनाव $(T + 8) \,N$ हो जाता है और नई आवृत्ति $3n$ हो जाती है। अतः:
$3n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T + 8}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T + 8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \,N$
अतः, तार पर लगाया गया प्रारंभिक तनाव $1 \,N$ था।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,संभावित आवृत्तियाँ $f_n = (2n + 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ ओवरटोन संख्या को दर्शाता है।
$n$-वें ओवरटोन के लिए,नोड्स की संख्या $(n + 1)$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $(n + 1)$ होती है।
चूंकि वायु स्तंभ चौथे ओवरटोन में कंपन कर रहा है,इसलिए $n = 4$ है।
अतः,नोड्स की संख्या = $4 + 1 = 5$ है।
एंटीनोड्स की संख्या = $4 + 1 = 5$ है।
इस प्रकार,कंपन करते हुए वायु स्तंभ में $5$ नोड और $5$ एंटीनोड हैं।

(A) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $f \propto \frac{1}{l}$, जिसका अर्थ है $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
दिया गया है $f_1 = 800 \,Hz$, $l_1 = 50 \,cm$, और $f_2 = 1000 \,Hz$।
मान रखने पर: $800 \times 50 = 1000 \times l_2$।
$l_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \,cm$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l_1 - l_2 = 50 \,cm - 40 \,cm = 10 \,cm$ होगा।

(C) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तार एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में है,इसलिए आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
पहले मामले में,तनाव $T_1 = w$ है,इसलिए $f = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}}$.
दूसरे मामले में,भार को $3w$ से बढ़ाया जाता है,इसलिए नया तनाव $T_2 = w + 3w = 4w$ हो जाता है। अतः,$f = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$.
$f$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}} = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{4}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{2}{L_2}$
अतः,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$.

(B) $L_O$ लंबाई वाली खुली पाइप की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है। दूसरा ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है। अतः,$f_{O,2} = \frac{3 v}{2 L_O}$.
$L_C$ लंबाई वाली बंद पाइप के लिए,आवृत्ति $f_m = \frac{(2m-1) v}{4 L_C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$ ओवरटोन संख्या है। पहला ओवरटोन $m=2$ ($3^{rd}$ हार्मोनिक) के अनुरूप है। अतः,$f_{C,1} = \frac{3 v}{4 L_C}$.
यह दिया गया है कि $f_{O,2} = f_{C,1}$,इसलिए:
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{3 v}{4 L_C}$
$\frac{1}{2 L_O} = \frac{1}{4 L_C}$
$L_C = \frac{L_O}{2} = \frac{1.5 \ m}{2} = 0.75 \ m$.

(A) $L$ लंबाई के दोनों सिरों पर खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी में डूब जाए,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है।
नली का निचला सिरा अब पानी की सतह से बंद हो जाता है,जिससे यह $L' = \frac{L}{2}$ लंबाई का एक बंद ऑर्गन पाइप बन जाता है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = \frac{L}{2}$ रखने पर,हमें $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$,इसलिए $f' = f$ होता है।
अतः,मूल आवृत्ति समान रहती है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूलभूत विधा लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ के अनुरूप होती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4L$ है।
ध्वनि तरंग को पाइप की लंबाई $L$ तय करने में लगा समय $t$ दिया गया है। चूंकि ध्वनि की गति $v$ स्थिर है,इसलिए $v = \frac{L}{t}$ है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{L/t}{4L} = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,वायु स्तंभ के कंपन की आवृत्ति $\frac{0.25}{t}$ Hz है।
विकल्प $(D)$ सही है।

(B) खींचे गए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
सप्तक (octave) का अर्थ है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $n_2 = 2n_1$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{2 \ kgwt}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{2 \ kgwt}$।
अतः,$T_2 = 8 \ kgwt$।

(D) दोनों सिरों पर खुली $L$ लंबाई की बेलनाकार नली के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का एक-तिहाई हिस्सा पानी में डूब जाए,तो वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
अब यह नली एक सिरे पर बंद (पानी की सतह) और दूसरे सिरे पर खुली पाइप के रूप में कार्य करती है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ होती है।
$L' = \frac{2L}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$,हम लिख सकते हैं कि $f' = \frac{3}{4} \times \frac{v}{2L} = \frac{3}{4}f$.

(D) दोनों सिरों पर बंधी एक डोरी पर अप्रगामी तरंग में,डोरी लूप्स नामक खंडों में विभाजित होती है।
प्रत्येक लूप नोड्स (शून्य विस्थापन के बिंदु) द्वारा अलग होता है।
एक ही लूप के भीतर,सभी कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।
आसन्न लूप्स में कण एक नोड द्वारा अलग होते हैं और $\pi$ रेडियन के कला अंतर के साथ कंपन करते हैं (अर्थात,वे विपरीत कला में होते हैं)।
इसलिए,वैकल्पिक लूप्स में कण (जो सम संख्या में नोड्स द्वारा अलग होते हैं) समान कला में कंपन करते हैं।
चूंकि प्रत्येक प्रस्पंद (antinode) एक लूप के केंद्र में स्थित होता है,इसलिए सभी प्रस्पंदों पर स्थित कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में, डोरी में तनाव पथ के सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर बल का समीकरण: $T_{max} = m \omega_{max}^2 r + mg$ है।
दिया गया है: $T_{max} = 30 \,N$, $m = 0.5 \,kg$, $r = 2 \,m$, और $g = 10 \,m/s^2$।
समीकरण में मान रखने पर:
$30 = (0.5) \cdot \omega_{max}^2 \cdot (2) + (0.5) \cdot (10)$।
$30 = 1 \cdot \omega_{max}^2 + 5$।
$30 - 5 = \omega_{max}^2$।
$25 = \omega_{max}^2$।
$\omega_{max} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$।

(D) '$m$' द्रव्यमान के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें।
क्षैतिज बलों के संतुलन पर विचार करने पर,अभिकेंद्री बल तनाव के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T \sin \theta = m \omega^2 R$
शंक्वाकार लोलक की ज्यामिति का उपयोग करते हुए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
$R$ का मान बल समीकरण में रखने पर:
$T \sin \theta = m \omega^2 (L \sin \theta)$
$\therefore T = m \omega^2 L$
दिया गया है,आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ r.p.s.}$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$.
तनाव के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$T = m (6)^2 L = 36 \ mL$.

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = \frac{\pi}{2} \text{ rev/s}$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 \text{ rad/s}$.
शंक्वाकार लोलक के लिए,$M$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ हैं।
तनाव का क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = M R \omega^2$.
चित्र की ज्यामिति से,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
बल समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $T \sin \theta = M (L \sin \theta) \omega^2$.
सरल करने पर,हमें $T = M L \omega^2$ प्राप्त होता है।
$\omega = \pi^2 \text{ rad/s}$ का मान रखने पर:
$T = M L (\pi^2)^2 = M L \pi^4$.
नोट: यदि आवृत्ति $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ दी गई होती,तो $\omega = 2 \pi (\frac{2}{\pi}) = 4 \text{ rad/s}$,जिससे $T = M L (4)^2 = 16 M L$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,अभीष्ट आवृत्ति $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: $\text{कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा } (K.E.) \text{ में परिवर्तन के बराबर होता है।}$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 20 \,m/s$।
किया गया कार्य $W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$।
$W = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mu^2$।
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 - 0$।
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 5 \times 200 = 1000 \,J = 10^3 \,J$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K = \frac{p^2}{2m}$.
इससे,हम संवेग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $p = \sqrt{2mK}$.
चूंकि दोनों द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा समान $(K_1 = K_2 = K)$ है,इसलिए उनके संवेग का अनुपात होगा:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 4 \,kg$ और $m_2 = 1 \,kg$ का मान रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$.
अतः,उनके रैखिक संवेग के परिमाण का अनुपात $2: 1$ है.

(B) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
प्रथम स्थिति में,$x_1 = 1 \ cm$,इसलिए $U = \frac{1}{2} K (1)^2 = \frac{1}{2} K$ है।
दूसरी स्थिति में,$x_2 = 4 \ cm$,इसलिए नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{1}{2} K (4)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} K)$ होगा।
$U'$ के समीकरण में $U$ का मान रखने पर,हमें $U' = 16 U$ प्राप्त होता है।

(D) एक स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = F \cdot S \cdot \cos(\theta)$, जहाँ $S$ विस्थापन है और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
दिया गया है:
बल $F = 30 \,kg-wt = 30 \times 9.8 \,N = 294 \,N$
विस्थापन $S = 20 \,m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 294 \times 20 \times \cos(60^{\circ})$
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$, हमें प्राप्त होता है:
$W = 294 \times 20 \times 0.5$
$W = 294 \times 10 = 2940 \,J$
अतः, माली द्वारा किया गया कार्य $2940 \,J$ है।

(A) नमूने का आयतन $V$,द्रव्यमान और घनत्व के अनुपात द्वारा प्राप्त होता है: $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
आयतन को $SI$ इकाइयों $(m^3)$ में परिवर्तित करने पर: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ Am}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ Am}^{-1}$.

$(A)$ चुम्बकीय प्रेरण $B$, चुम्बकीय फ्लक्स $\phi$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $B = \frac{\phi}{A}$.
दिया गया है: $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$ और $A = 0.3 \,cm^2 = 0.3 \times 10^{-4} \,m^2$.
$B$ की गणना: $B = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.3 \times 10^{-4}} = 0.8 \,T$.
चुम्बकीय पारगम्यता $\mu$, चुम्बकीय प्रेरण $B$ और चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का अनुपात है: $\mu = \frac{B}{H}$.
यदि $H = 1000 \,A/m$ लिया जाए, तो $\mu = \frac{0.8}{1000} = 8 \times 10^{-4} \,T \cdot m/A$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$ और $\chi_m = 349$.
निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$,निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ के बीच संबंध $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ है।
मान रखने पर:
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times (1 + 349)$
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times 350$
$\mu = 1400 \pi \times 10^{-7}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$\mu \approx 1400 \times 3.14159 \times 10^{-7}$
$\mu \approx 4398.22 \times 10^{-7} \ H/m$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\mu \approx 4400 \times 10^{-7} \ H/m$ प्राप्त होता है।

(C) एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
औसत जीवनकाल $\tau = 1/\lambda$ दिया गया है,इसलिए $t = \tau$ पर,$t = 1/\lambda$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$।
चूंकि $e = 2.71$ दिया गया है,शेष मात्रा $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ है।
विघटित हुई मात्रा प्रारंभिक मात्रा में से शेष मात्रा को घटाने पर प्राप्त होती है।
विघटित मात्रा $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$।
अतः,विघटित अंश लगभग $0.63 N_0$ है,जो $(2/3) N_0$ के सबसे निकट है।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $25 \ min$ दी गई है।
$50 \%$ क्षय के लिए,पदार्थ ने एक अर्ध-आयु पूरी कर ली है,इसलिए $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ है।
चूंकि $12.5 \% = (1/2)^3$ प्रारंभिक मात्रा के बराबर है,यह $3$ अर्ध-आयु के बराबर है,इसलिए $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ क्षय और $87.5 \%$ क्षय के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ होगा।

(C) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ या $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $t_1 = 3 \ days$ में,सक्रियता $A_1 = \frac{A_0}{3}$ हो जाती है।
संबंध $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tau$ मूल मान का $\frac{1}{k}$ होने में लगा समय है:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
यह पुष्टि करता है कि सक्रियता हर $3 \ days$ में $\frac{1}{3}$ के गुणक से कम हो जाती है।
$t_2 = 9 \ days$ के लिए,ऐसे अंतरालों की संख्या $n = \frac{9}{3} = 3$ है।
अतः,$9 \ days$ के बाद सक्रियता $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ होगी।

(D) ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ जहाँ तक गोलक ऊपर उठता है,वह $h = L(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,संतुलन स्थिति में अधिकतम वेग $v$,$v^2 = 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
$h = L(1 - \cos \theta)$ का मान रखने पर और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$v^2 = 2gL(2 \sin^2(\theta/2)) = 4gL \sin^2(\theta/2)$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = 2 \sin(\theta/2) \sqrt{gL}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत $v$ वेग से गति करने वाले $L$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिक e.m.f. $V = BvL$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$V_{\max} = B \cdot [2 \sin(\theta/2) \sqrt{gL}] \cdot L = 2BL \sin(\theta/2) \sqrt{gL} = 2BL \sin(\theta/2) (gL)^{1/2}$.

(A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करता है।
$TIR$ होने के लिए, दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश किरण को प्रकाशीय रूप से सघन माध्यम से प्रकाशीय रूप से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ माध्यमों के दिए गए युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(i_{C})$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए, सही कथन यह है कि किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है और $i > i_{C}$।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$) प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करनी चाहिए।
$2$) आपतन कोण $i$ का मान दोनों माध्यमों के लिए क्रांतिक कोण $i_C$ से अधिक होना चाहिए।

(D) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v$ माध्यम में प्रकाश की गति है।
यहाँ $c_1 = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $c_2 = 2 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है।
चूंकि $c_1 < c_2$,इसलिए अपवर्तनांक $\mu_1 > \mu_2$ होगा। अतः,माध्यम $1$ सघन माध्यम है और माध्यम $2$ विरल माध्यम है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन की स्थिति तब होती है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है।
क्रांतिक कोण $\theta_C$ का सूत्र $\sin \theta_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
चूंकि $\mu = \frac{c}{v}$,इसलिए $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{c/c_2}{c/c_1} = \frac{c_1}{c_2}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर,$\sin \theta_C = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 10^8} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(D) मान लीजिए कि दो पतले लेंसों की शक्तियाँ $P_1$ और $P_2$ हैं।
दिया गया है कि संपर्क में रखे लेंसों की संयुक्त शक्ति $P = P_1 + P_2 = 9 D$ ---$(1)$
जब लेंसों को $d = 20 \,cm = 0.2 \,m$ की दूरी पर रखा जाता है, तो समतुल्य शक्ति $P_{eq}$ का सूत्र है:
$P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$ ---$(2)$
हमारे पास योग $P_1 + P_2 = 9$ और गुणनफल $P_1 P_2 = 18$ है।
ये द्विघात समीकरण $x^2 - (P_1 + P_2)x + P_1 P_2 = 0$ के मूल हैं, जो $x^2 - 9x + 18 = 0$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(x - 3)(x - 6) = 0$
अतः, $x = 3$ या $x = 6$ है।
इस प्रकार, व्यक्तिगत शक्तियाँ $3 D$ और $6 D$ हैं।
सही विकल्प $(D)$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ, $f = 20 \,cm$, $\mu = 1.55$, $R_1 = R$, और $R_2 = -R$ (उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \,cm$
अतः, आवश्यक वक्रता त्रिज्या $22 \,cm$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
द्वि-उत्तल लेंस के लिए, चिह्न परिपाटी के अनुसार पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1$ धनात्मक $(+20 \,cm)$ और दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2$ ऋणात्मक $(-20 \,cm)$ होती है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$, $R_1 = 20 \,cm$, $R_2 = -20 \,cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{2}{20} = 0.5 \times 0.1 = 0.05$
$f = \frac{1}{0.05} = 20 \,cm$.
चूंकि आपतित किरणें अक्ष के समानांतर हैं, वे मुख्य फोकस पर अभिसरित होंगी, जो ध्रुव से $L = f = 20 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_l$ लेंस का अपवर्तनांक है और $n_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $n_l = n_m$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_l} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{f} = 0$ है,इसलिए फोकस दूरी $f$ अनंत हो जाएगी।
इसका अर्थ है कि लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करेगा।

(B) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 20 \,cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -56 \,cm$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए, समतुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
चूंकि आपतित पुंज समानांतर है और निर्गत पुंज भी समानांतर है, इसलिए यह संयोजन एक ऐसी प्रणाली के रूप में कार्य करता है जिसकी फोकस दूरी अनंत है, अर्थात $F = \infty$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{F} = 0$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0 = \frac{1}{20} + \frac{1}{-56} - \frac{d}{20 \times (-56)}$
$\frac{d}{20 \times 56} = \frac{1}{20} - \frac{1}{56}$
$\frac{d}{1120} = \frac{56 - 20}{1120}$
$d = 56 - 20 = 36 \,cm$.
अतः, दूरी $d$ का परिमाण $36 \,cm$ है।

(D) माना वस्तु की दूरी $u$ $(u < 0)$ है और प्रतिबिंब की दूरी $v$ $(v > 0)$ है। लेंस सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
माना वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की दूरी $L$ है। चूंकि वस्तु बाईं ओर $(u < 0)$ है और वास्तविक प्रतिबिंब दाईं ओर $(v > 0)$ है,इसलिए दूरी $L$ होगी:
$L = v + |u| = v - u$
लेंस सूत्र से,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{u+f}{uf}$,इसलिए $v = \frac{uf}{u+f}$.
इसे $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{uf}{u+f} - u = \frac{uf - u(u+f)}{u+f} = \frac{-u^2}{u+f}$
चूंकि $u$ ऋणात्मक है,माना $u = -x$ जहाँ $x > 0$ है। तब $L = \frac{-(-x)^2}{-x+f} = \frac{x^2}{x-f}$.
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,$L$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$\frac{dL}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$
$2x^2 - 2xf - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2xf = 0$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $x = 2f$ प्राप्त होता है।
$x = 2f$ का मान $L$ के व्यंजक में रखने पर:
$L_{\text{min}} = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$.

(B) अभिदृश्यक लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{f_0}$
यहाँ,$u_0$ वस्तु दूरी है जिसे ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $u_0 = -|u_0|$ लें।
$\frac{1}{v_0} + \frac{1}{|u_0|} = \frac{1}{f_0}$
पूरे समीकरण को $v_0$ से गुणा करने पर:
$1 + \frac{v_0}{|u_0|} = \frac{v_0}{f_0}$
चूंकि आवर्धन $m_0 = \frac{v_0}{u_0}$ होता है,और वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $m_0$ ऋणात्मक होता है,हम $m_0 = -\frac{v_0}{|u_0|}$ का उपयोग करते हैं।
लेंस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{v_0}{|u_0|} = \frac{v_0}{f_0} - 1 = \frac{v_0 - f_0}{f_0}$।
वैकल्पिक रूप से,मानक आवर्धन सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ का उपयोग करने पर (जहाँ $u$ वस्तु दूरी है और चिह्न परिपाटी के अनुसार $u < 0$ है):
$m = \frac{f_0}{f_0 + u_0}$।

(A) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के लिए,कुल आवर्धन $M = m_o \times m_e$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D = 25 \ cm)$ पर बनता है,इसलिए नेत्रिका का आवर्धन $m_e = (1 + D/f_e)$ होता है।
यहाँ $M = 24$,$f_e = 5 \ cm$,और $D = 25 \ cm$ दिया गया है:
$m_e = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$.
अब,कुल आवर्धन के सूत्र में मान रखने पर:
$24 = m_o \times 6$.
अतः,$m_o = \frac{24}{6} = 4$.

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,वस्तु को अभिदृश्यक लेंस $(O_1)$ के मुख्य फोकस $(F_0)$ के ठीक बाहर रखा जाता है।
इसके परिणामस्वरूप एक प्रतिबिंब $(A^{\prime} B^{\prime})$ बनता है जो वास्तविक,उल्टा और आवर्धित (बड़ा) होता है।
यह प्रतिबिंब $(A^{\prime} B^{\prime})$ नेत्रिका (eyepiece,$O_2$) के लिए वस्तु का कार्य करता है,जो अंततः अंतिम आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनाता है।

(B) सरल सूक्ष्मदर्शी के लिए,लेंस एक उत्तल लेंस होता है। वस्तु को प्रकाशिक केंद्र और फोकस के बीच रखा जाता है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
यहाँ,अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,इसलिए $v = -D$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
इसे लेंस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{-D} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{u}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{u} = -\frac{1}{D} - \frac{1}{f} = -\left(\frac{f+D}{fD}\right)$.
आवर्धन $m$,$m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = -D$ और $\frac{1}{u} = -\left(\frac{f+D}{fD}\right)$ का मान रखने पर:
$m = (-D) \times \left[ -\left(\frac{f+D}{fD}\right) \right] = \frac{D(f+D)}{fD} = \frac{f+D}{f} = 1 + \frac{D}{f}$.

(B) दिया गया है,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$।
न्यूनतम विचलन के लिए शर्त $\delta = A$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ है।
सूत्र में $\delta = A$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin (A/2)}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin (A/2) \cos (A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin (A/2) \cos (A/2)}{\sin (A/2)} = 2 \cos (A/2)$।
दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = 2 \cos (A/2) \Rightarrow \cos (A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $A/2 = 30^{\circ}$।
अतः,$A = 60^{\circ}$।

(D) दिया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,और आपतन कोण $i_1 = 0^{\circ}$ (क्योंकि किरण फलक के लंबवत है)।
चूंकि $i_1 = 0^{\circ}$,इसलिए अपवर्तन कोण $r_1$ भी $0^{\circ}$ होगा।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करने पर,$0^{\circ} + r_2 = 30^{\circ}$,अतः $r_2 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दूसरे फलक पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot \sin(30^{\circ}) = \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot 0.5 = \sin(i_2) \Rightarrow \sin(i_2) = 0.75$.
दिया है $\sin(48.6^{\circ}) = 0.75$,इसलिए $i_2 = 48.6^{\circ}$।
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (i_1 + i_2) - A$ है।
$\delta = (0^{\circ} + 48.6^{\circ}) - 30^{\circ} = 18.6^{\circ}$।

(B) मान लीजिए $s_1$ सतह से स्रोत की दूरी है और $c$ हवा में प्रकाश की गति है। सतह तक पहुँचने में लगा समय $T_1 = \frac{s_1}{c}$ है।
मान लीजिए $s_2$ कांच के स्लैब की मोटाई $(5 \ cm)$ है और $v$ कांच में प्रकाश की गति है। स्लैब से गुजरने में लगा समय $T_2 = \frac{s_2}{v}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{v}$ है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ है,हम $v = \frac{c}{\mu}$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{c/\mu} = \frac{s_2 \times \mu}{c}$।
इसलिए,$s_1 = s_2 \times \mu$।
यहाँ $s_2 = 5 \ cm$ और $\mu = 1.6$ है,इसलिए $s_1 = 5 \times 1.6 = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
माना मछली की वास्तविक गहराई $h$ है और आभासी गहराई $h'$ है।
समतल सतह पर अपवर्तन की ज्यामिति से, आपतन कोण $i$ और अपवर्तन कोण $r$ के छोटे मानों के लिए:
$\sin(i) \approx \tan(i) = \frac{P}{h}$
$\sin(r) \approx \tan(r) = \frac{P}{h'}$
स्नेल के नियम के अनुसार: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$
यहाँ, $n_1 = \mu = \frac{4}{3}$ (पानी) और $n_2 = 1$ (हवा) है।
अतः, $\mu \times \frac{P}{h} = 1 \times \frac{P}{h'}$
इसे सरल करने पर $h = \mu h'$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $h' = 30 \,cm$ और $\mu = \frac{4}{3}$, इसलिए:
$h = \frac{4}{3} \times 30 \,cm = 40 \,cm$.
इस प्रकार, मछली की वास्तविक गहराई $40 \,cm$ है।

(A) क्रांतिक कोण $\theta$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए अपवर्तन कोण $\frac{\pi}{2}$ होता है।
माध्यम $P$ और माध्यम $Q$ के बीच स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$n_{P} \sin \theta = n_{Q} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए $n_{P} \sin \theta = n_{Q}$।
इसका अर्थ है कि $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{1}{\sin \theta}$।
अपवर्तनांक $n$ माध्यम में प्रकाश की गति $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n = \frac{c}{V})$,इसलिए $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{V_{Q}}{V_{P}}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{1}{\sin \theta}$
अतः,माध्यम $Q$ में प्रकाश की गति $V_{Q} = \frac{V_{P}}{\sin \theta}$ होगी।

(D) माध्यम $i$ के सापेक्ष माध्यम $j$ का अपवर्तनांक ${ }_{i} \mu_{j} = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $\mu$ माध्यम का निरपेक्ष अपवर्तनांक है।
दिया गया व्यंजक: ${ }_2 \mu_1 \times { }_3 \mu_2 \times { }_4 \mu_3$.
अपवर्तनांक की परिभाषा रखने पर:
$= \frac{\mu_1}{\mu_2} \times \frac{\mu_2}{\mu_3} \times \frac{\mu_3}{\mu_4}$.
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$= \frac{\mu_1}{\mu_4}$.
परिभाषा के अनुसार,$\frac{\mu_1}{\mu_4} = { }_4 \mu_1$ होता है।

(D) माना प्लेट की मोटाई $t$ है।
जब प्रकाश $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली प्लेट से गुजरता है,तो प्रकाशीय पथ की लंबाई $\mu t$ होती है।
समान दूरी $t$ के लिए हवा में प्रकाशीय पथ की लंबाई $t$ होती है।
प्रकाशीय पथ में परिवर्तन (प्रकाशीय पथ अंतर) $\Delta = \mu t - t = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,प्रकाशीय पथ में यह परिवर्तन तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर है,अर्थात $\Delta = \frac{\lambda}{2}$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ प्राप्त होता है।

(A) $t$ मोटाई के माध्यम में तरंगों की संख्या $N = \frac{t}{\lambda_m}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है और $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
अतः, $N = \frac{t \cdot \mu}{\lambda_0}$.
यह दिया गया है कि कांच के स्लैब $(t_g = 4 \,cm, \mu_g = 5/3)$ में तरंगों की संख्या पानी के स्तंभ $(t_w = 5 \,cm, \mu_w = ?)$ में तरंगों की संख्या के बराबर है, इसलिए:
$\frac{t_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{t_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$t_g \cdot \mu_g = t_w \cdot \mu_w$
दिए गए मानों को रखने पर:
$4 \times \frac{5}{3} = 5 \times \mu_w$
$\frac{20}{3} = 5 \times \mu_w$
$\mu_w = \frac{20}{3 \times 5} = \frac{4}{3}$.

(C) प्रकाश का पैच उन किरणों के कारण बनता है जो द्रव-वायु इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती हैं। क्रांतिक कोण $\theta_C$ पर आपतित किरणें अभिलंब के साथ $90^\circ$ के कोण पर बाहर निकलती हैं।
समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास $\tan \theta_C = \frac{r}{h}$ है।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए:
$\mu \sin \theta_C = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$
चूंकि $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,हम $\tan \theta_C = \frac{\sin \theta_C}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_C}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - 1/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ संबंध का उपयोग करके $\tan \theta_C$ ज्ञात कर सकते हैं।
$\tan \theta_C$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
वृत्ताकार पैच का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}} \right)^2 = \frac{\pi h^2}{\mu^2 - 1}$ है।

(B) माना $i$ आपतन कोण है,$r$ परावर्तन कोण है और $r_F$ अपवर्तन कोण है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
एक सीधी रेखा (सतह) पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दी गई ज्यामिति के अनुसार,परावर्तन कोण,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण और अपवर्तन कोण का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r + 90^{\circ} + r_F = 180^{\circ}$।
यहाँ $r_F = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $r + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$r + 120^{\circ} = 180^{\circ}$।
$r = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
चूंकि $i = r$,इसलिए आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ होगा।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n^{\text{th}}$ कक्षा में स्थित इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(_1H^1)$ के लिए,$Z_H = 1$ और $n = 2$ है। अतः,$E_H = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$।
हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए,$Z_{He} = 2$ और $n = 2$ है। अतः,$E_{He} = -13.6 \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times 1 \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु और हीलियम आयन की कुल ऊर्जा का अनुपात: $\frac{E_H}{E_{He}} = \frac{-13.6 \times (1/4)}{-13.6 \times 1} = \frac{1}{4}$ है।

(C)
माना कांच के स्लैब की मोटाई $t$ है और एक तरफ से बुलबुले की वास्तविक दूरी $x$ है।
जब एक तरफ से देखा जाता है, तो आभासी गहराई $d_1 = x / \mu = 5 \,cm$ होती है।
जब दूसरी तरफ से देखा जाता है, तो आभासी गहराई $d_2 = (t - x) / \mu = 2 \,cm$ होती है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$d_1 + d_2 = (x / \mu) + ((t - x) / \mu) = t / \mu$
यहाँ $\mu = 1.5$, $d_1 = 5 \,cm$, और $d_2 = 2 \,cm$ दिया गया है:
$5 + 2 = t / 1.5$
$7 = t / 1.5$
$t = 7 \times 1.5 = 10.5 \,cm$
अतः, स्लैब की मोटाई $10.5 \,cm$ है।

(A) एक $p-n$ जंक्शन डायोड में,फॉरवर्ड बायस तब होता है जब $p$-प्रकार के अर्धचालक को बाहरी बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से और $n$-प्रकार के अर्धचालक को ऋणात्मक टर्मिनल से जोड़ा जाता है।
यह विन्यास अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई को कम करता है और विभव प्राचीर (potential barrier) को नीचा करता है,जिससे डायोड के माध्यम से धारा आसानी से प्रवाहित हो सकती है।

(C) $PN$ जंक्शन डायोड की फॉरवर्ड बायस विशेषता गैर-रेखीय और घातांकीय (exponential) प्रकृति की होती है।
जैसे-जैसे फॉरवर्ड वोल्टेज $V$ बढ़ता है,धारा $I$ पहले धीरे-धीरे बढ़ती है और फिर नी (knee) वोल्टेज के बाद तेजी से बढ़ती है।
दिए गए वक्रों में से,वक्र $D$ वोल्टेज के साथ धारा में घातांकीय वृद्धि को दर्शाता है,जो डायोड के फॉरवर्ड बायस क्षेत्र की विशेषता है।
वक्र $A$ एक रेखीय कमी को दर्शाता है,$B$ एक धीमी रेखीय वृद्धि को दर्शाता है,और $C$ एक रेखीय वृद्धि को दर्शाता है।
इसलिए,ग्राफ $D$ फॉरवर्ड बायस विशेषता को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) दिए गए परिपथ में, $10 \,V$ का स्रोत परिपथ से जुड़ा है।
डायोड के अभिविन्यास को देखते हुए:
- डायोड $D_1$ का कैथोड धनात्मक विभव की ओर जुड़ा है ($R_1$ के माध्यम से), जिससे यह रिवर्स बायस में हो जाता है। अतः, $D_1$ एक ओपन सर्किट (खुले स्विच) की तरह कार्य करता है ($R_2$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती)।
- डायोड $D_2$ का एनोड धनात्मक विभव की ओर जुड़ा है, जिससे यह फॉरवर्ड बायस में हो जाता है। अतः, $D_2$ एक बंद स्विच (शॉर्ट सर्किट) की तरह कार्य करता है।
इसलिए, परिपथ $10 \,V$ की बैटरी, प्रतिरोध $R_1 = 2 \,\Omega$ और प्रतिरोध $R_3 = 2 \,\Omega$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_3 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ है।
$R_1$ से प्रवाहित होने वाली धारा ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{4 \,\Omega} = 2.5 \,A$.

(D) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को रिवर्स बायस में रखा जाता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास मेजॉरिटी चार्ज कैरियर्स ($n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र में होल) को जंक्शन से दूर खींचता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई बढ़ जाती है।
चूंकि अवक्षय परत की चौड़ाई बढ़ जाती है,इसलिए विभव प्राचीर की ऊंचाई भी बढ़ जाती है,जिससे मेजॉरिटी चार्ज कैरियर्स के लिए जंक्शन को पार करना अधिक कठिन हो जाता है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: करंट गेन $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\Delta I_C = 1.5 \ mA = 1.5 \times 10^{-3} \ A$ और $\Delta I_B = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$.
$\beta$ की गणना: $\beta = \frac{1.5 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1500}{20} = 75$.
वोल्टेज गेन $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: लोड प्रतिरोध $R_L = 2 \ k\Omega = 2000 \ \Omega$ और इनपुट प्रतिरोध $R_i = 150 \ \Omega$.
मान रखने पर: $A_v = 75 \times \frac{2000}{150} = 75 \times \frac{40}{3} = 25 \times 40 = 1000$.

(A) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर के कॉमन एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन में,इनपुट सिग्नल को बेस-एमिटर जंक्शन पर लगाया जाता है और आउटपुट को कलेक्टर-एमिटर जंक्शन से लिया जाता है।
जब इनपुट सिग्नल वोल्टेज बढ़ता है,तो बेस करंट बढ़ता है,जिससे कलेक्टर करंट में वृद्धि होती है।
कलेक्टर सर्किट में जुड़े लोड रेजिस्टर $R_C$ के पार वोल्टेज ड्रॉप के कारण,कलेक्टर वोल्टेज कम हो जाता है।
इस प्रकार,इनपुट वोल्टेज में वृद्धि के परिणामस्वरूप आउटपुट वोल्टेज में कमी आती है,और इसके विपरीत भी होता है।
यह व्युत्क्रम संबंध इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन के कलांतर (phase shift) को दर्शाता है।

(D) एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,उत्सर्जक $n$-प्रकार का,आधार $p$-प्रकार का और संग्राहक $n$-प्रकार का होता है।
$1$. इलेक्ट्रॉन उत्सर्जक में बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं और वे उत्सर्जक से आधार की ओर गति करते हैं।
$2$. आधार में,इलेक्ट्रॉन होल के साथ पुनर्संयोजित होते हैं,लेकिन चूंकि आधार बहुत पतला और कम डोपिंग वाला होता है,इसलिए अधिकांश इलेक्ट्रॉन संग्राहक क्षेत्र में चले जाते हैं।
$3$. संग्राहक रिवर्स-बायस्ड होता है,जो आधार से आने वाले इलेक्ट्रॉनों को आकर्षित करता है।
$4$. होल आधार में बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,लेकिन वे मुख्य धारा बनाने के लिए आधार से संग्राहक की ओर बड़ी संख्या में नहीं जाते हैं; बल्कि,संग्राहक धारा मुख्य रूप से उत्सर्जक से आधार के माध्यम से संग्राहक तक इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह के कारण होती है।
$5$. कथन $D$ गलत है क्योंकि इलेक्ट्रॉन उत्सर्जक से संग्राहक की ओर जाते हैं,न कि संग्राहक से आधार की ओर।

(C) कॉमन एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर की आउटपुट विशेषताएँ आउटपुट करंट $(I_C)$ और आउटपुट वोल्टेज $(V_{CE})$ के बीच के संबंध को दर्शाती हैं,जबकि इनपुट करंट $(I_B)$ को स्थिर रखा जाता है।
इस कॉन्फ़िगरेशन में,कलेक्टर करंट $I_C$ को $y$-अक्ष पर और कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज $V_{CE}$ को $x$-अक्ष पर बेस करंट $I_B$ के विभिन्न निश्चित मानों के लिए आलेखित किया जाता है।
इसलिए,सही आलेख स्थिर $I_B$ पर $I_C$ बनाम $V_{CE}$ को आलेखित करके प्राप्त किया जाता है।

(B) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर का आउटपुट प्रतिरोध $(R_o)$ स्थिर आधार धारा पर कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज में परिवर्तन $(\Delta V_{CE})$ और कलेक्टर धारा में परिवर्तन $(\Delta I_C)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$R_o = \frac{\Delta V_{CE}}{\Delta I_C}$
दिया गया है:
$\Delta V_{CE} = 0.4 \, V$
$\Delta I_C = 0.04 \, mA = 0.04 \times 10^{-3} \, A$
मान रखने पर:
$R_o = \frac{0.4}{0.04 \times 10^{-3}} = \frac{0.4}{4 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^5 \, \Omega = 10,000 \, \Omega = 10 \, k\Omega$

(A) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ इनपुट वाला $NAND$ गेट, $C$ इनपुट वाला $NOT$ गेट और उनके आउटपुट को जोड़ने वाला $OR$ गेट है।
आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन समीकरण $Y = (\overline{A \cdot B}) + \overline{C}$ है।
स्थिति $1$: जब तीनों इनपुट $A, B, C$ लो $(0, 0, 0)$ हों:
$A = 0, B = 0 \implies A \cdot B = 0 \implies \overline{A \cdot B} = 1$.
$C = 0 \implies \overline{C} = 1$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
स्थिति $2$: जब तीनों इनपुट $A, B, C$ हाई $(1, 1, 1)$ हों:
$A = 1, B = 1 \implies A \cdot B = 1 \implies \overline{A \cdot B} = 0$.
$C = 1 \implies \overline{C} = 0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
अतः, आउटपुट क्रम $1, 0$ है।

(C) $NAND$ गेट एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है。
$NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है。
आइए $A$ और $B$ के सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ का मूल्यांकन करें:
$1$. यदि $A = 0, B = 0$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$2$. यदि $A = 0, B = 1$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$3$. यदि $A = 1, B = 0$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$4$. यदि $A = 1, B = 1$ है, तो $A \cdot B = 1$, इसलिए $Y = \overline{1} = 0$ है。
दी गई सारणियों के साथ तुलना करने पर:
- सारणी $(P)$ एक $OR$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(Q)$ एक $XOR$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(R)$ एक $AND$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(S)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाती है。
अतः, सही सत्यता सारणी $(S)$ है。

(D) इस लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट जुड़ा है।
$NOR$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B+C}$ प्राप्त होता है।
इस आउटपुट को इनपुट $A$ के साथ $AND$ गेट में दिया जाता है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक: $Y = A \cdot \overline{(B+C)}$ है।
आउटपुट $Y$ के ' $HIGH$ ' $(Y=1)$ होने के लिए,$A=1$ होना चाहिए और $\overline{(B+C)}=1$ होना चाहिए।
$\overline{(B+C)} = 1$ का अर्थ है कि $(B+C) = 0$,जिसका अर्थ है कि $B=0$ और $C=0$ दोनों होने चाहिए।
इस प्रकार,जब $A=1, B=0$ और $C=0$ होता है,तब $Y=1$ प्राप्त होता है।

(A) एक यूनिवर्सल गेट वह लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ दोनों गेटों को यूनिवर्सल गेट के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में से $NOR$ इस परिभाषा के अनुरूप है,इसलिए सही उत्तर $NOR$ है।

(D) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
$OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y$ $NAND$ गेट के इनपुट में से एक है,और दूसरा इनपुट $C$ है।
$NAND$ गेट का अंतिम आउटपुट $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ है।
स्थिति $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = 0 + 0 = 0$
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
स्थिति $2$: $A=1, B=1, C=0$
$Y = 1 + 1 = 1$
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
अतः,आउटपुट $D$ की लॉजिक स्थितियाँ $1, 1$ हैं।

(C) $OR$ गेट एक बुनियादी लॉजिक गेट है जो तार्किक योग (logical addition) करता है।
$A$ और $B$ इनपुट वाले $OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$OR$ गेट की सत्य सारणी (truth table) के अनुसार,यदि कम से कम एक इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
विशेष रूप से,यदि इनपुट $A$ का मान $1$ है या इनपुट $B$ का मान $1$ है,या यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ है,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होगा।

(B) दिया गया बूलियन व्यंजक: $\overline{(A+B) \cdot(A \cdot B)}=1$ है।
दोनों पक्षों का पूरक (complement) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $(A+B) \cdot(A \cdot B) = 0$।
हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $B$ $(A=0, B=0)$ के लिए: $(0+0) \cdot (0 \cdot 0) = 0 \cdot 0 = 0$। चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इनपुट $(0, 0)$ है।
विकल्प $A$ $(A=1, B=0)$ के लिए: $(1+0) \cdot (1 \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$। यह भी $0$ परिणाम देता है,लेकिन मूल व्यंजक में $\overline{0} = 1$ होता है।
विकल्प $D$ $(A=1, B=1)$ के लिए: $(1+1) \cdot (1 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1$। अतः $\overline{1} = 0 \neq 1$।
इस प्रकार,$(0, 0)$ सही विकल्प है।

(B) मान लीजिए कि इनपुट $A, B$ और $C$ सर्किट को दिए गए हैं।
गेट-$I$ एक $AND$ गेट है और गेट-$II$ एक $NAND$ गेट है।
$AND$ गेट का आउटपुट $X = A \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$X$ और $C$ का $NAND$ है,इसलिए $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$।
जब $A=1, B=1, C=1$ (सभी हाई):
$Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot 1} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$।
जब $A=0, B=0, C=0$ (सभी लो):
$Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$।

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है। मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तो $X = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y$ $AND$ गेट से प्राप्त होता है,जहाँ $Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ होता है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसलिए,$X = 1$ और $C = 1$ होना आवश्यक है।
चूँकि $X = A + B = 1$,इसलिए $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$
$B) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$
$C) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (0+0) \cdot 1 = 0$
अतः,विकल्प $B$ सही है।