MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) Ex-$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth table) इस प्रकार है:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Y = A \oplus B$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
Ex-$OR$ गेट के लिए आउटपुट समीकरण $Y = A \oplus B = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$ है।
याद रखने योग्य मुख्य बिंदु:
$(1)$ जब दोनों इनपुट समान होते हैं तो आउटपुट लो $(0)$ होता है।
$(2)$ जब दोनों इनपुट अलग-अलग होते हैं तो आउटपुट हाई $(1)$ होता है।

(A) दिए गए इनपुट $P = 0$,$Q = 1$,$R = 0$ और $S = 1$ हैं।
$1$. आउटपुट $X$,$P$ और $Q$ इनपुट वाले $AND$ गेट से प्राप्त होता है। अतः,$X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$2$. $NOT$ गेट का इनपुट,$R$ और $S$ इनपुट वाले $AND$ गेट का आउटपुट है। मान लीजिए यह $W$ है। अतः,$W = R \cdot S = 0 \cdot 1 = 0$. आउटपुट $Y$,$W$ का $NOT$ है,इसलिए $Y = \overline{W} = \overline{0} = 1$.
$3$. आउटपुट $Z$,$X$ और $Y$ इनपुट वाले $NOR$ गेट से प्राप्त होता है। अतः,$Z = \overline{X + Y} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
अतः,आउटपुट $X = 0$,$Y = 1$ और $Z = 0$ हैं।

(D) Exclusive-$OR$ (Ex-$OR$) गेट के लिए बूलियन व्यंजक इस प्रकार है:
$Y = A \oplus B = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$
Ex-$OR$ गेट का आउटपुट केवल तब $HIGH$ $(1)$ होता है जब इसके दोनों इनपुट अलग-अलग लॉजिक स्तर पर हों। यदि दोनों इनपुट समान हैं ($0,0$ या $1,1$),तो आउटपुट $LOW$ $(0)$ होता है।
सत्यता सारणी का मूल्यांकन:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $Y = 0 \oplus 0 = 0$
$2$. $A=0, B=1$ के लिए: $Y = 0 \oplus 1 = 1$
$3$. $A=1, B=0$ के लिए: $Y = 1 \oplus 0 = 1$
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $Y = 1 \oplus 1 = 0$
इन परिणामों की तुलना दी गई सारणियों से करने पर,सारणी $(S)$ इस सत्यता सारणी से मेल खाती है।

(B) $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
$1$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$. अतः, $C = 1$.
$2$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. अतः, $D = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $Y = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. अतः, $E = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$. अतः, $F = 0$.
इसलिए, मान $C = 1, D = 1, E = 1, F = 0$ हैं।

(D) दी गई सर्किट में दो $NAND$ गेट का उपयोग $NOT$ गेट के रूप में (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट का उपयोग किया गया है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट तीसरे $NAND$ गेट में दिए जाते हैं।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
इसलिए,यह संयोजन $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(A) एक फुल-वेव रेक्टिफायर इनपुट $AC$ चक्र के दोनों हिस्सों को एक ही ध्रुवता में परिवर्तित करता है। बिना फिल्टर के,आउटपुट में स्पंदित पल्स की एक श्रृंखला होती है जो हमेशा एक ही दिशा में होती है (एकदिशीय)। हालाँकि,चूंकि करंट का परिमाण समय के साथ बदलता रहता है,इसलिए यह एक स्थिर या निरंतर $DC$ नहीं है। इसलिए,आउटपुट एकदिशीय है लेकिन अस्थिर करंट है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
$p$-प्रकार के अर्धचालक में,पदार्थ का निर्माण एक चतुर्संयोजी (tetravalent) अर्धचालक (जैसे $Si$ या $Ge$) को त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे $B$,$Al$,$Ga$,या $In$) के साथ डोप करके किया जाता है।
चूंकि त्रिसंयोजी परमाणुओं में तीन संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए जब वे चतुर्संयोजी परमाणुओं के साथ बंध बनाते हैं,तो वे क्रिस्टल जालक में एक रिक्ति या 'होल' उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,होल बहुसंख्यक आवेश वाहक बन जाते हैं और इलेक्ट्रॉन अल्पसंख्यक आवेश वाहक बन जाते हैं।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) $n$-प्रकार का अर्धचालक प्राप्त करने के लिए,शुद्ध सिलिकॉन (समूह $IV$ का तत्व) में आवर्त सारणी के समूह $V$ के पंचसंयोजी (दाता) परमाणुओं जैसे आर्सेनिक $(As)$ या फास्फोरस $(P)$ को मिलाना चाहिए।
$p$-प्रकार का अर्धचालक प्राप्त करने के लिए,शुद्ध सिलिकॉन में आवर्त सारणी के समूह $III$ के त्रिसंयोजी (ग्राही) परमाणुओं जैसे बोरॉन $(B)$ या गैलियम $(Ga)$ को मिलाना चाहिए।
इसलिए,$n$-प्रकार और $p$-प्रकार के लिए क्रमशः हमें सिलिकॉन में आर्सेनिक और बोरॉन मिलाना चाहिए।

(A) जो आवेश वाहक बड़ी मात्रा में मौजूद होते हैं,उन्हें बहुसंख्यक आवेश वाहक कहा जाता है।
$p$-प्रकार के अर्धचालक में,बहुसंख्यक आवेश वाहक होल होते हैं क्योंकि त्रिसंयोजी (trivalent) अशुद्धि परमाणु संयोजी बैंड में रिक्तियां (होल) बनाते हैं।
$n$-प्रकार के अर्धचालक में,बहुसंख्यक आवेश वाहक मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं क्योंकि पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि परमाणु चालन बैंड में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं।

(C) एक आंतरिक अर्धचालक में,कमरे के तापमान पर एक चालक की तुलना में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या बहुत कम होती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक सहसंयोजक बंध टूटते हैं,जिससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या में वृद्धि होती है।
परम शून्य तापमान $(T = 0 \ K)$ पर,एक आंतरिक अर्धचालक एक आदर्श कुचालक के रूप में कार्य करता है क्योंकि सहसंयोजक बंधों को तोड़ने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा नहीं होती है।
इसलिए,परम शून्य तापमान पर कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन नहीं होते हैं।
कथन $C$ गलत है क्योंकि परम शून्य से ऊपर के तापमान पर मुक्त इलेक्ट्रॉन मौजूद होते हैं।

(A) एक आंतरिक अर्धचालक के लिए,द्रव्यमान क्रिया का नियम बताता है कि इलेक्ट्रॉन और होल सांद्रता का गुणनफल आंतरिक वाहक सांद्रता के वर्ग के बराबर होता है: $n_e n_h = n_i^2$।
दिया गया है:
आंतरिक वाहक सांद्रता $n_i = 1.5 \times 10^{16} \ m^{-3}$।
नई होल सांद्रता $n_h = 4.5 \times 10^{22} \ m^{-3}$।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n_e = \frac{n_i^2}{n_h}$
$n_e = \frac{(1.5 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = \frac{2.25 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = 0.5 \times 10^{10} \ m^{-3} = 5 \times 10^9 \ m^{-3}$।

(C) अवधारणा: एक $p$-प्रकार का अर्धचालक,आंतरिक अर्धचालक में त्रिसंयोजक (trivalent) अशुद्धियों को मिलाकर बनाया जाता है।
ये अशुद्धियाँ वैलेंस बैंड के ठीक ऊपर ग्राही (acceptor) ऊर्जा स्तर बनाती हैं।
कमरे के तापमान पर,ये ग्राही स्तर वैलेंस बैंड से इलेक्ट्रॉनों को स्वीकार करते हैं,जिससे वैलेंस बैंड में बड़ी संख्या में होल्स उत्पन्न होते हैं।
इसलिए,एक $p$-प्रकार के अर्धचालक में,बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) होल्स होते हैं और अल्पसंख्यक आवेश वाहक (minority charge carriers) मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(B) इन उपकरणों का कार्य सिद्धांत इस प्रकार है:
$(1)$ फोटोवोल्टिक सेल सौर ऊर्जा को सीधे विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करते हैं।
$(2)$ फोटो-थर्मल उपकरण ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न करने के लिए सौर विकिरण को अवशोषित करते हैं।
$(3)$ फोटोडायोड एक प्रकाश-संवेदी उपकरण है जो प्रकाश के संपर्क में आने पर विद्युत धारा उत्पन्न करता है,लेकिन इसका उपयोग मुख्य रूप से एक डिटेक्टर के रूप में किया जाता है।
$(4)$ $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) विद्युत ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में परिवर्तित करता है,जो सोलर सेल के कार्य के विपरीत है।
अतः,वे उपकरण जो मुख्य रूप से सौर ऊर्जा पर कार्य करते हैं,वे फोटोवोल्टिक सेल और फोटो-थर्मल उपकरण हैं।

(C) एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{red})$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{blue})$ से अधिक होती है,इसलिए विवर्तन बैंड की चौड़ाई $\beta$ तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,जब नीले प्रकाश को लाल प्रकाश से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो विवर्तन बैंड चौड़े हो जाते हैं।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$-वें क्रम के उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = x/D$, जहाँ $x$ केंद्र से दूरी है और $D$ स्क्रीन तक की दूरी है।
अतः, $a(x/D) = (n + 1/2) \lambda$.
द्वितीय क्रम के उच्चिष्ठ के लिए, $n = 2$, इसलिए $a = \frac{(2 + 1/2) \lambda D}{x} = \frac{2.5 \lambda D}{x}$.
दिया गया है: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2.5 \,m$, $x = 14.5 \times 10^{-3} \,m$.
मान रखने पर: $a = \frac{2.5 \times 580 \times 10^{-9} \times 2.5}{14.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$a = \frac{3625 \times 10^{-9}}{14.5 \times 10^{-3}} \,m = 250 \times 10^{-6} \,m = 0.25 \times 10^{-3} \,m \approx 0.26 \times 10^{-3} \,m$.

(B) $n$-वें विवर्तन निम्निष्ठ के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ निम्निष्ठ का क्रम है।
दूसरे निम्निष्ठ के लिए,हम $n = 2$ रखते हैं,जिससे पथ अंतर $\Delta x = 2\lambda$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दूसरे निम्निष्ठ के लिए $\Delta x$ का मान रखने पर:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (2\lambda) = 4\pi$.
अतः,दूसरे निम्निष्ठ पर स्लिट के दो किनारों से आने वाली किरणों के बीच का कलांतर $4\pi$ है।

(B) एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$\theta \propto \frac{1}{d}$)।
इसलिए,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $d$ बढ़ती है,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई घटती जाती है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,निम्निष्ठ की शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,$d \sin 30^{\circ} = \lambda$.
चूँकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $d(0.5) = \lambda$,जिसका अर्थ है $d = 2\lambda$.
द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2})\lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$d \sin \theta = (1 + \frac{1}{2})\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
समीकरण में $d = 2\lambda$ रखने पर:
$2\lambda \sin \theta = \frac{3}{2}\lambda$
$\sin \theta = \frac{3}{4}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\beta = d$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि जब एक तरंग का शृंग दूसरी तरंग के शृंग के साथ संपाती होता है,तो आयाम जुड़ जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप संपोषी व्यतिकरण होता है,न कि विनाशी व्यतिकरण।
कथन $B$ सही है क्योंकि,परिभाषा के अनुसार,कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।

(A) व्यतिकरण में,फ्रिंज समान रूप से चमकीले और समान दूरी पर होते हैं,और चमकीले फ्रिंज की तीव्रता प्रत्येक आपतित तरंग की तीव्रता की चार गुना होती है।
किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\delta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_1$ और $I_2$ दो स्रोतों से आने वाली तरंगों की तीव्रता हैं।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के श्रृंग के साथ संपाती होता है,या गर्त गर्त के साथ संपाती होता है। कथन $C$ गलत है क्योंकि वर्णित स्थिति (श्रृंग और गर्त का संपाती होना) विनाशी व्यतिकरण की ओर ले जाती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर संपोषी व्यतिकरण के लिए,कलांतर $\delta = 0$ होता है।
यदि $I_1 = I_2 = I$ है,तो $I_{\max} = I + I + 2\sqrt{I}\sqrt{I}\cos(0) = 4I$.
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
कलान्तर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथांतर के व्यंजक को कलान्तर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ रेडियन।
अतः,$n$वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए कलान्तर $(2n-1) \pi$ है।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I = I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2$,जो कि $2: 1$ है।

(B) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{87}{2} \lambda = 87 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ है।
इसकी तुलना अदीप्त फ्रिंज की शर्त से करने पर: $(2n - 1) \frac{\lambda}{2} = 87 \frac{\lambda}{2}$.
$2n - 1 = 87$
$2n = 88$
$n = 44$.
अतः,यह बिंदु $44^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज को दर्शाता है।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें गौण उच्चिष्ठ के लिए,स्लिट के किनारों से आने वाली किरणों के बीच का पथ अंतर $x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ गौण उच्चिष्ठ के क्रम को दर्शाता है।
पहले गौण उच्चिष्ठ $(n = 1)$ के लिए,पथ अंतर $x_1 = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$ है।
$x_1$ का मान रखने पर,हमें $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{3\lambda}{2} \right) = 3\pi$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1 = 5x$ और $A_2 = x$ हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ आयामों के योग के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (5x + x)^2 = (6x)^2 = 36x^2$.
न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ आयामों के अंतर के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (5x - x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36x^2}{16x^2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ है।

(B) पर्दे पर केंद्र से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए $n = 1$ है,अतः $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,पहली अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के ठीक सामने देखी जाती है। केंद्र से स्लिट की दूरी $d/2$ है। अतः,$y = d/2$।
इन मानों को पथ अंतर के सूत्र में रखने पर:
$\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2}$
$\frac{d^2}{D} = \lambda$
अतः,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{d^2}{D}$ है।

(D) अभ्रक फिल्म द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta y$ का पथ अंतर के साथ संबंध $\Delta y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम विस्थापन को $\Delta y = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दिया गया है कि विस्थापन फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर है,$\Delta y = \beta$,इसलिए $\beta = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$।
यह समीकरण $(\mu - 1)t = \lambda$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\mu - 1 = \frac{\lambda}{t} = \frac{6 \times 10^{-5} \text{ cm}}{12 \times 10^{-5} \text{ cm}} = 0.5$।
अतः,$\mu = 0.5 + 1 = 1.5$।

(B) फ्रिंजों के बीच कोणीय पृथक्करण $\theta$ को सूत्र $\theta = \frac{\beta}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है और $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ होती है,इसे $\theta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर $\theta = \frac{(\frac{D \lambda}{d})}{D} = \frac{\lambda}{d}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूंकि $\theta$ के व्यंजक में $D$ पद शामिल नहीं है,इसलिए कोणीय पृथक्करण स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी से स्वतंत्र है।
अतः,जब दूरी दोगुनी की जाती है,तो कोणीय पृथक्करण समान रहता है।

(C) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि प्रति इकाई लंबाई में फ्रिंजों की संख्या $n$,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $n \propto \frac{1}{\beta}$ होता है।
अतः,$n \propto \frac{1}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $n_1 = 15$ फ्रिंज/$cm$,$\lambda_1 = 5600$ Å,और $\lambda_2 = 7000$ Å.
मान रखने पर: $15 \times 5600 = n_2 \times 7000$.
$n_2 = \frac{15 \times 5600}{7000} = \frac{15 \times 56}{70} = \frac{15 \times 8}{10} = \frac{120}{10} = 12$.
इस प्रकार,प्रति $cm$ $12$ फ्रिंज प्राप्त होंगे।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
पहली स्थिति के लिए: $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d}$
दूसरी स्थिति के लिए: $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $W_1 - W_2 = \frac{\lambda}{d}(D_1 - D_2)$
$d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda(D_1 - D_2)}{(W_1 - W_2)}$

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर (phase difference) है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
दी गई तीव्रता $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
अब,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
नई तीव्रता $K'$ का मान $K' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ होगा।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $K' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = \frac{K}{2}$ है।
अतः,तीव्रता $\frac{K}{2}$ होगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
पर्दे की दूरी में परिवर्तन $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ और फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \omega = 3 \times 10^{-5} \, m$ दिया गया है, इसलिए संबंध $\Delta \omega = \frac{\lambda (\Delta D)}{d}$ होगा।
$\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{d \cdot \Delta \omega}{\Delta D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(10^{-3} \, m)(3 \times 10^{-5} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \, m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \, \text{\AA} = 6000 \, \text{\AA}$.

(B) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\theta = \frac{\lambda}{d}$
दिया गया है कि हवा में,$\theta = 0.20$ रेडियन है।
जब पूरी प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है।
नई कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta'$ है:
$\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$
दिया गया है $\mu = \frac{4}{3}$,इसलिए:
$\theta' = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15$ रेडियन।
अतः,पानी में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $0.15$ रेडियन होगी।

(D) अवधारणा: बाइप्रिज्म प्रयोग में,$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है: $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$.
दिया गया है कि $4^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से स्लिट की दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
$n = 4$ के लिए,स्थिति $y_4 = (2(4) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{7 \lambda D}{2d}$ होगी।
$y_4$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{7 \lambda D}{2d} = \frac{d}{2}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $7 \lambda D = d^2 \implies \lambda = \frac{d^2}{7D}$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और आईपीस के बीच की दूरी है,और $d$ दो सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
नई स्थिति में,स्रोतों के बीच की दूरी $d' = 2d$ हो जाती है और स्लिट तथा आईपीस के बीच की दूरी $D' = 2D$ हो जाती है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d}$ है।
अतः,$\beta' = \beta$,जिसका अर्थ है कि फ्रिंज की चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि स्लिट पृथक्करण $d$ को तीन गुना कर दिया जाता है,अर्थात $d' = 3d$,जबकि $\lambda$ और $D$ स्थिर रहते हैं।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{1}{3} \beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $\frac{1}{3}$ गुना हो जाती है।

(D) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली पारदर्शी प्लेट को व्यतिकरण करने वाली तरंगों में से एक के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न अतिरिक्त प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यह पथ अंतर प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर है,अर्थात $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ प्राप्त होता है।

(C) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में $L$ भौतिक पथ लंबाई के लिए ऑप्टिकल पथ लंबाई को $\Delta = \mu L$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पहली किरण के लिए,ऑप्टिकल पथ $\Delta_1 = \mu_1 L_1$ है।
दूसरी किरण के लिए,ऑप्टिकल पथ $\Delta_2 = \mu_2 L_2$ है।
दोनों किरणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = |\Delta_1 - \Delta_2| = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,कलांतर $\frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $\frac{2 \pi}{\lambda} [\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2]$ है।

(B) माना कि दो तरंगों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं।
दिया गया है: $I_1/I_2 = 49/16$.
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\sqrt{I_1}/\sqrt{I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{49}/\sqrt{16} = 7/4$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2}\right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{7 + 4}{7 - 4}\right)^2 = \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9}$.
अतः,अनुपात $121:9$ है।

(B) विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त यह है कि पथ अंतर $\Delta x$,$\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = 31.5 \lambda = \frac{63}{2} \lambda = 63 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूँकि $63$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज है।
अतः,यह बिंदु विनाशी व्यतिकरण को दर्शाता है,जिसके परिणामस्वरूप एक अंधेरा बिंदु प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q_2$ है।
माना बिंदु $D$ पर विभव $V$ है।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $Q_2 = C_2(V - V_2)$ है।
आवेशों को बराबर करने पर: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$।
पदों का विस्तार करने पर: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$।
$V$ के लिए हल करने पर: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$।
अतः,बिंदु $D$ पर विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ होगा।