बिंदु $(2,2,1)$ से गुजरने वाले और समतलों $x+2y-3z+1=0$ तथा $3x-2y+4z+3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण है

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है और मूल बिंदु से अधिकतम दूरी पर है।

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $\bar{i}-3 \bar{j}$ है और $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ एक रेखा है। यदि $P$ इस रेखा पर एक बिंदु है और समतल $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए:

समतल का सदिश समीकरण जो रेखाओं $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ और $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ को समाहित करता है,है

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है। तो $(\alpha, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(3, 3, -1)$ से होकर गुजरती है और एक समतल $\pi$ बिंदुओं $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ और $(0, 2, -1)$ से होकर गुजरता है। यदि $\theta$ रेखा $L$ और समतल $\pi$ के बीच का कोण है,तो $27 \cos^2 \theta = $