MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) रेखा के समतल पर स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि रेखा बिंदु $(4, 2, k)$ से होकर गुजरती है,इसलिए यह बिंदु समतल समीकरण $2x - 4y + z = 7$ को संतुष्ट करना चाहिए।
बिंदु के निर्देशांकों को समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(A) दिया गया बिंदु $P = (3, 2, 6)$ है।
रेखा पर बिंदु $Q = (1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$ है।
समतल $x - 4y + 3z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल के समांतर है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$.
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2$.
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(C) चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए। मान लीजिए बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चार बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)$ के समतलीय होने की शर्त के अनुसार:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 2 & 0 \\ 2 & -\lambda^2+1 & 0 \\ 2 & 2 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(-\lambda^2-1) [(-\lambda^2+1)^2 - 4] = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^4 - 2\lambda^2 - 3) = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^2-3) (\lambda^2+1) = 0$
चूंकि $\lambda$ वास्तविक है,$\lambda^2+1 \neq 0$। अतः,$\lambda^2-3 = 0$,जिससे $\lambda^2 = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{3}$।
अतः,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 1, 2)$ है और समतल $2x-4y+z=7$ का अभिलंब $\vec{n} = (2, -4, 1)$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समांतर है,इसके लिए अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ की गणना करें। चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।
रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। रेखा पर स्थित बिंदु $(4, 2, k)$ लें।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि रेखा $\langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\langle -3, 2, 5 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$1a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$a = (2)(5) - (3)(2) = 10 - 6 = 4$
$b = (3)(-3) - (1)(5) = -9 - 5 = -14$
$c = (1)(2) - (2)(-3) = 2 + 6 = 8$
अतः,दिक अनुपात $\langle 4, -14, 8 \rangle$ प्राप्त होते हैं,जिसे सरल करने पर $\langle 2, -7, 4 \rangle$ मिलता है।
बिंदु $(2, 1, 3)$ से गुजरने वाली और $\langle 2, -7, 4 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-3}{4}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x-2}{2} = \frac{1-y}{7} = \frac{z-3}{4}$

(C) हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right) = \tan \left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
अतः,$\cos ^{-1}\left(\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) = \cos ^{-1}(-1)$.
चूंकि $\cos (\pi) = -1$,इसलिए $\cos ^{-1}(-1) = \pi$.

(A) माना $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$.
तब $2\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,जिसका अर्थ है $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
हमें $\tan \theta$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{3}}{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{9-5}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
मान लीजिए $\cot ^{-1}(x+1) = \theta$,तो $\cot \theta = x+1$. सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
मान लीजिए $\tan ^{-1} x = \phi$,तो $\tan \phi = x$. सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ का उपयोग करने पर,$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1 = x^2+2x+2$.
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c}) \implies \vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \quad (i)$
$\vec{b} \perp (\vec{c}+\vec{a}) \implies \vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \quad (ii)$
$\vec{c} \perp (\vec{a}+\vec{b}) \implies \vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \quad (iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \quad (iv)$
अब,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ की लंबाई इस प्रकार है:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})}$
दिए गए मान $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ और $(iv)$ से प्राप्त परिणाम को रखने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{3^2+4^2+5^2 + 2(0)}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(B) सदिश $\vec{v} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$ का निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेप उसके घटकों के निरपेक्ष मान होते हैं।
$x$-अक्ष पर प्रक्षेप $|p| = |4| = 4$ है।
$y$-अक्ष पर प्रक्षेप $|q| = |-5| = 5$ है।
$z$-अक्ष पर प्रक्षेप $|r| = |7| = 7$ है।
इन प्रक्षेपों की लंबाइयों का योग $|p| + |q| + |r| = 4 + 5 + 7 = 16 \text{ इकाई}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 5 \vec{c} = \vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 5 \vec{c}$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,$\vec{c} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{2 + 3}$ प्राप्त होता है।
यह आंतरिक विभाजन के लिए अनुभाग सूत्र $\vec{r} = \frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m + n}$ के रूप में है,जहाँ बिंदु $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
यहाँ,$m = 3$ और $n = 2$ है।
अतः,बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - (-20)) - \hat{j}(-6 - (-24)) + \hat{k}(15 - 6) = 18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18^2 + (-18)^2 + 9^2} = \sqrt{324 + 324 + 81} = \sqrt{729} = 27$
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}}{27} = \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}$ है।
$3$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\pm 3 \left( \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} \right) = \pm(2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$ है।

(B) चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,हम लिख सकते हैं $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ कुछ अदिश $m$ और $n$ के लिए।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ होगा।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 - 2(x-2)) - 1(-1 - 2x) + 1((x-2) - (-x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
कोण $\angle ABC$,सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = (1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k})$ है।
सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\overrightarrow{AB} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z - (-1))\hat{k} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 1)\hat{k}$ है।
हमें $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ दिया गया है।
घटकों की तुलना करने पर:
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$
$z + 1 = -1 \Rightarrow z = -2$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(3, 5, -2)$ हैं।

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|=0$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2 = 0^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
दिए गए मान $|\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, |\vec{w}|=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+4^2+5^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$9+16+25+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$50+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$।
$\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u} = -25$।
प्रश्न के अनुसार मापांक (absolute value) लेने पर:
$|\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}| = |-25| = 25$।

(B) चार बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$।
दिए गए बिंदु $A(3,2,1), B(4, x, 5), C(4,2,-2), D(6,5,-1)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (4-3)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = \hat{i} + (x-2)\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{AC} = (4-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AD} = (6-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & x-2 & 4 \\ 1 & 0 & -3 \\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(0 - (-9)) - (x-2)(-2 - (-9)) + 4(3 - 0) = 0$
$1(9) - (x-2)(7) + 4(3) = 0$
$9 - 7x + 14 + 12 = 0$
$-7x + 35 = 0$
$7x = 35$
$x = 5$

(B) हमें व्यंजक $(a \vec{b} + b \vec{a}) \cdot (a \vec{b} - b \vec{a})$ दिया गया है।
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम इसका विस्तार करते हैं:
$= (a \vec{b}) \cdot (a \vec{b}) - (a \vec{b}) \cdot (b \vec{a}) + (b \vec{a}) \cdot (a \vec{b}) - (b \vec{a}) \cdot (b \vec{a})$
$= a^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - ab (\vec{b} \cdot \vec{a}) + ab (\vec{a} \cdot \vec{b}) - b^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
चूंकि अदिश गुणन क्रमविनिमेय है,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,इसलिए मध्य के पद कट जाएंगे:
$= a^2 |\vec{b}|^2 - b^2 |\vec{a}|^2$
यदि $a = |\vec{a}|$ और $b = |\vec{b}|$ है,तो:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ (मानते हुए कि $\theta$ न्यून कोण है)।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \frac{1}{\sqrt{26}} = 7$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$,और $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ है।
सबसे पहले,$\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\vec{p} \times \vec{c}| = 3$ और $\vec{p}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए:
$|\vec{p}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3$
$3 \cdot |\vec{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec{c}| = 2$.
अब,शर्त $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ का उपयोग करें:
$|\vec{c}-\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$
$|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$ है।
मान रखने पर: $4 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$13 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$.

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों के अंतर का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})}$
यहाँ दिया गया है कि $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 2$,और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2(5)}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{9 + 4 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{13 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3}$

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण होता है यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
दिया गया है $\vec{a} = 2\lambda^2 \hat{i} + 4\lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + \lambda \hat{k}$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda^2)(7) + (4\lambda)(-2) + (1)(\lambda) < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 8\lambda + \lambda < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 7\lambda < 0$
$\Rightarrow 7\lambda(2\lambda - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $\lambda = 0$ और $\lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,व्यंजक $7\lambda(2\lambda - 1)$ का मान $\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,$\lambda$ का मान $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
हमें $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=1$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = 1^2$
$|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2+2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 1$
चूंकि $\bar{b} \perp \bar{c}$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
साथ ही,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}||\bar{c}| \cos \beta = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$1+1+1+2(\cos \alpha + 0 + \cos \beta) = 1$
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = -2$
$\cos \alpha + \cos \beta = -1$

(B) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में किसी भी सदिश $\vec{V}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान $\vec{V}$ में रखने पर:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
अतः,$\vec{c} - \vec{a} = \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,तो $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + \lambda(4) = 0 \Rightarrow 4\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{r} = t\vec{a} + u\vec{b}$ जहाँ $t$ और $u$ अदिश हैं।
$\vec{r} = t(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + u(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (t+u)\hat{i} + (t-u)\hat{j} + (t+u)\hat{k} \dots (i)$
दिया गया है कि $\vec{r}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
$\vec{r} \cdot \vec{c} = (t+u)(1) + (t-u)(-1) + (t+u)(-1) = t+u - t+u - t-u = u-t$.
अतः,$\frac{u-t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow u-t = 1 \Rightarrow u = t+1$.
समीकरण $(i)$ में $u = t+1$ रखने पर:
$\vec{r} = (t + t + 1)\hat{i} + (t - (t + 1))\hat{j} + (t + t + 1)\hat{k}$
$\vec{r} = (2t+1)\hat{i} - \hat{j} + (2t+1)\hat{k}$.

(B) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b} = \lambda \vec{c} \quad \dots(i)$ और $\vec{b}+\vec{c} = \mu \vec{a} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{a}-\vec{c} = \lambda \vec{c} - \mu \vec{a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+\mu)\vec{a} = (1+\lambda)\vec{c}$.
चूंकि दो सदिश संरेख हैं,मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख हैं,तो $\vec{b} = k\vec{a}$.
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $|k\vec{a}| = |\vec{a}| \Rightarrow |k|=1$,अतः $k=1$ या $k=-1$.
यदि $k=1$ है,तो $\vec{b}=\vec{a}$,तो $\vec{a}+\vec{a} = 2\vec{a}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
यदि $\vec{c} = -\vec{a}$ है,तो $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{a}+\vec{a}-\vec{a} = \vec{a} \neq 0$. हालाँकि,संरेखता की शर्तों से $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ प्राप्त होता है.
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ सूत्र का उपयोग करते हुए.
चूंकि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$,इसलिए $0 = 2+2+2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$.
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -6$.
इस प्रकार,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -3$.

(D) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$।
यहाँ दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = \sqrt{2}$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(C) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के सदिश गुणनफल (cross product) का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta$
दी गई आकृति से,हमारे पास है:
$|\vec{u}| = 4$
$|\vec{v}| = 5$
$\theta = 150^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 4 \times 5 \times \sin 150^{\circ}$
चूंकि $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 20 \times \frac{1}{2} = 10$

(C) दिया गया है: $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
मान रखने पर: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{\sqrt{26}})^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times (\pm \frac{1}{\sqrt{26}}) = \pm 7$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+5^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$,जहाँ $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$9+25+2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34+30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49-34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}=\vec{0} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{b} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \times \vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + 0 - 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{0} \times \vec{c}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0 = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{c} \times \vec{a} = 2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(3)$
अब,$(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{c} \times \vec{a})$ व्यंजक में $(2)$ और $(3)$ का मान रखने पर:
$= 3(\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
$= (3+1+2)(\vec{b} \times \vec{c}) = 6(\vec{b} \times \vec{c})$
इसकी तुलना $\lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ से करने पर,हमें $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना शीर्ष $A = (1, y, 0)$,$B = (1, 0, 2)$ और $C = (0, 3, 1)$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-y)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -y\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (0-1)\hat{i} + (3-y)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (3-y)\hat{j} + \hat{k}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -y & 2 \\ -1 & 3-y & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-y - 2(3-y)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - y) = \hat{i}(y-6) - 2\hat{j} - y\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(y-6)^2 + (-2)^2 + (-y)^2} = \sqrt{y^2 - 12y + 36 + 4 + y^2} = \sqrt{2y^2 - 12y + 40}$.
चूंकि $\frac{1}{2} \sqrt{2y^2 - 12y + 40} = \sqrt{6}$,इसलिए $\sqrt{2y^2 - 12y + 40} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2y^2 - 12y + 40 = 24 \Rightarrow 2y^2 - 12y + 16 = 0 \Rightarrow y^2 - 6y + 8 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y-2)(y-4) = 0$,अतः $y = 2, 4$.

(C) दिया गया है $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
चूंकि $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta|$,जहाँ $\theta$ सदिश $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है,हमारे पास है $|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\phi$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,हमें प्राप्त होता है: $|\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
इसका अर्थ है $\sin \phi = 1$ और $|\cos \theta| = 1$.
अतः,$\phi = 90^{\circ}$ (अर्थात $\vec{a} \perp \vec{b}$) और $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ (अर्थात $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के अभिलंब के समानांतर है)।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{c} \perp \vec{a}$ और $\vec{c} \perp \vec{b}$ होगा।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
हम जानते हैं कि $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,इसलिए $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें मिलता है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका अर्थ है $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका मतलब है कि सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ सदिश $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ के समानांतर है।
माना $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
दिया गया है $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,जिससे $\lambda = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
अब,अदिश गुणनफल की गणना करते हैं: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
इसलिए,एक संभावित मान $4$ है।

(C) दिया गया है कि $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$,$\vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
सबसे पहले,$(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ की गणना करें:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$
अब,$\vec{c} = 3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
साथ ही,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$ मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) दी गई शर्त: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$.
पहली समानता पर विचार करें: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS}$.
उभयनिष्ठ सदिशों को बाहर निकालने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OS} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR})$.
इसका अर्थ है: $(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = 0$.
चूंकि $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{SP}$ और $\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{RQ}$,इसलिए हमें $\overrightarrow{SP} \cdot \overrightarrow{RQ} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{QR}$.
इसी प्रकार,समानता के अन्य भागों पर विचार करने पर,हमें $\overrightarrow{QS} \perp \overrightarrow{PR}$ और $\overrightarrow{RS} \perp \overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S$ त्रिभुज $PQR$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $S$ लंबकेंद्र है।

(D) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ है।
अब,$3 \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} + 3 \vec{b}$ भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})|$ होगा।
सदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})| = |3 \vec{a} \times \vec{a} + 9 \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + 3 \vec{b} \times \vec{b}|$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$\vec{b} \times \vec{b} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए:
$|0 + 9(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = |8(\vec{a} \times \vec{b})| = 8 |\vec{a} \times \vec{b}|$.
दिया गया क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= 8 \times 15 = 120$ वर्ग इकाई।

(A) माना इकाई सदिश $\hat{a}$ के दिशा कोण $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,और $\gamma = \theta$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश के लिए,दिशा कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \theta = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,हमारे पास दो संभावित मान हैं:
यदि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
यदि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{3}$ सही उत्तर है।

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a}$,$\vec{v} = \vec{b}$,और $\vec{w} = (\vec{a} \times \vec{c})$ है।
अतः $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$ होगा।
अब,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a})$ होगा।
अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-2) - 1(-2+4) + 1(1-4) = 2 - 2 - 3 = -3$ है।
और $(\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a}) = (3) - (-1+2-2) = 3 - (-1) = 4$ है।
अतः,परिणाम $(-3) \times 4 = -12$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(i)$ $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$
(ii) $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$
(ii) से,हम जानते हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,इसलिए $\vec{r} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$.
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(\vec{r} \times \vec{a}) + (\vec{r} \times \vec{b}) = (\vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{r} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{0}$
इसका अर्थ है कि $\vec{r}$,$(\vec{a} + \vec{b})$ के समांतर है।
दिया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$,तो $\vec{a} + \vec{b} = (1+2)\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अतः,$\vec{r} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम विकल्पों की जाँच करते हैं। $\lambda = 1$ के लिए,$\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,जो बिंदु $(3, 1, -1)$ के अनुरूप है।

(A) हमें दिया गया है $|\vec{a}|=5$,$|\vec{b}|=13$,और $|\vec{a} \times \vec{b}|=25$।
सूत्र $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$25 = 5 \times 13 \sin \theta$
$25 = 65 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,जहाँ $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 13 \times (-\frac{12}{13}) = -60$।

(A) सबसे पहले,हम सदिश $\overline{PQ}$ और $\overline{AB}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{PQ} = (3 - (-2)) \hat{i} + (2 - 1) \hat{j} + (5 - 3) \hat{k} = 5 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$\overline{AB} = (7 - 4) \hat{i} + (-5 - (-3)) \hat{j} + (-1 - 5) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overline{PQ}$ का $\overline{AB}$ पर सदिश प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = \frac{(\overline{PQ} \cdot \overline{AB}) \overline{AB}}{|\overline{AB}|^2}$
अदिश गुणनफल $\overline{PQ} \cdot \overline{AB}$ की गणना करें:
$\overline{PQ} \cdot \overline{AB} = (5)(3) + (1)(-2) + (2)(-6) = 15 - 2 - 12 = 1$
परिमाण का वर्ग $|\overline{AB}|^2$ की गणना करें:
$|\overline{AB}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$
अतः,सदिश प्रक्षेप है:
$\frac{1}{49}(3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k})$

(C) माना $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{b}$,$\vec{a}$ के संरेख है,हम $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{b}| = 14$,अतः सदिश $\vec{b} = \pm |\vec{b}| \hat{a}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
धनात्मक दिशा लेने पर,$\vec{b} = 14 \left( \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} \right) = 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}) = 4 \hat{i}-6 \hat{j}+12 \hat{k}$।

(B) $\text{माना } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx \text{ है।}
x = \tan \theta \text{ प्रतिस्थापित करने पर } dx = \sec^2 \theta \,d\theta \text{ प्राप्त होता है।}
\text{जब } x = 0, \text{तब } \theta = 0; \text{जब } x = 1, \text{तब } \theta = \frac{\pi}{4}।
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \log (1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log (1+\tan \theta) \,d\theta \quad \dots(i)
\text{गुणधर्म } \int_0^a f(\theta) \,d\theta = \int_0^a f(a-\theta) \,d\theta \text{ का उपयोग करने पर:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) \,d\theta
\text{चूँकि } \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}, \text{अतः:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta \quad \dots(ii)
(i) \text{ और } (ii) \text{ को जोड़ने पर:}
2I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left[ \log(1+\tan \theta) + \log\left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \right] \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( (1+\tan \theta) \cdot \frac{2}{1+\tan \theta} \right) \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \,d\theta = 8 \log 2 [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 8 \log 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \log 2।
\text{अतः } I = \pi \log 2।$

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$ को $\vec{b} \times \vec{c}$ सदिश के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b} \times \vec{c}$ के बीच का कोण $0$ या $\pi$ है।
मान लीजिए कि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ की दिशा में है,तो हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \cos(0) = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5 \times 3 \times 4 \times \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 60 \times \frac{1}{2} = 30$.

(A) अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ सदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (1+x) - x = 1$
चूंकि परिणाम $1$ है,जो एक स्थिरांक है,इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान न तो $x$ पर और न ही $y$ पर निर्भर करता है।

(D) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,और $D(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \end{bmatrix} \right|$
दिए गए शीर्ष $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, \lambda)$,और $D(7, -4, 7)$ हैं।
सदिशों की गणना करने पर:
$\vec{AB} = (-2, 3, -3)$,$\vec{AC} = (4, 5, \lambda-10)$,$\vec{AD} = (6, 2, -3)$
आयतन $11$ है,इसलिए:
$11 = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix} \right|$
$66 = | 22\lambda - 88 |$
$22$ से विभाजित करने पर: $3 = | \lambda - 4 |$
अतः $\lambda - 4 = 3 \Rightarrow \lambda = 7$ या $\lambda - 4 = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\lambda = 7$ है।

(A) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$V(a) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V(a) = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a = a^3 - a + 1$.
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,अवकलज $V'(a)$ ज्ञात करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$V'(a) = 3a^2 - 1 = 0$.
$3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $V''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$V''(a) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।