$(4, -1, 2)$ और $(-3, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा समतल को $(-10, 5, 4)$ बिंदु पर समकोण पर मिलती है,तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि दो समतल $P_1 : 2x - y + z = 2$ और $P_2 : x + 2y - z = 3$ दिए गए हैं। दी गई जानकारी के आधार पर,$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन और बिंदु $(3, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक रेखा जिसके दिक्कोसाइन समान हैं,बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा,रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ को $A$ पर और समतल $2 x - y + 2 z + 7 = 0$ को $B$ पर मिलती है। तो $AB = $

मान लीजिए कि बिंदु $(1, 2, 4)$ से रेखा $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3}$ पर डाले गए लंब का पाद $P$ है। तो समतल $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?