MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) રેખા સમતલ પર આવેલી હોવા માટે,રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
રેખા બિંદુ $(4, 2, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુએ સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + z = 7$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
બિંદુના યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
આમ,$k$ ની કિંમત $7$ છે.

(A) આપેલ બિંદુ $P = (3, 2, 6)$.
રેખા પરનું બિંદુ $Q = (1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$.
સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ સમતલને સમાંતર છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$.
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2$.
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(C) ચાર બિંદુઓ એક જ સમતલમાં હોવા માટે,તેમના દ્વારા રચાયેલા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ. ધારો કે બિંદુઓ $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
ચાર બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)$ સમતલીય હોવાની શરત મુજબ:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
બિંદુઓ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 2 & 0 \\ 2 & -\lambda^2+1 & 0 \\ 2 & 2 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(-\lambda^2-1) [(-\lambda^2+1)^2 - 4] = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^4 - 2\lambda^2 - 3) = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^2-3) (\lambda^2+1) = 0$
અહીં $\lambda$ વાસ્તવિક હોવાથી,$\lambda^2+1 \neq 0$. તેથી,$\lambda^2-3 = 0$,જે $\lambda^2 = 3$ આપે છે.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{3}$.
આમ,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 1, 2)$ છે અને સમતલ $2x-4y+z=7$ નો અભિલંબ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ છે.
પ્રથમ,રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ ગણો. ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. રેખા પરનું બિંદુ $(4, 2, k)$ લો.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
રેખા $\langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\langle -3, 2, 5 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$1a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (2)(5) - (3)(2) = 10 - 6 = 4$
$b = (3)(-3) - (1)(5) = -9 - 5 = -14$
$c = (1)(2) - (2)(-3) = 2 + 6 = 8$
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle 4, -14, 8 \rangle$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\langle 2, -7, 4 \rangle$ થાય છે.
બિંદુ $(2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $\langle 2, -7, 4 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-3}{4}$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x-2}{2} = \frac{1-y}{7} = \frac{z-3}{4}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right) = \tan \left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) = \cos ^{-1}(-1)$.
કારણ કે $\cos (\pi) = -1$,તેથી $\cos ^{-1}(-1) = \pi$.

(A) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેથી $2\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
આપણે $\tan \theta$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{3}}{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{9-5}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
ધારો કે $\cot ^{-1}(x+1) = \theta$,તેથી $\cot \theta = x+1$. નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
ધારો કે $\tan ^{-1} x = \phi$,તેથી $\tan \phi = x$. નિત્યસમ $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1 = x^2+2x+2$.
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c}) \implies \vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \quad (i)$
$\vec{b} \perp (\vec{c}+\vec{a}) \implies \vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \quad (ii)$
$\vec{c} \perp (\vec{a}+\vec{b}) \implies \vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \quad (iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \quad (iv)$
હવે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ મળે:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})}$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ અને $(iv)$ પરથી મળતું પરિણામ મૂકતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{3^2+4^2+5^2 + 2(0)}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(B) સદિશ $\vec{v} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$ ના યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો તેના ઘટકોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો છે.
$x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|p| = |4| = 4$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|q| = |-5| = 5$ છે.
$z$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|r| = |7| = 7$ છે.
આ પ્રક્ષેપોની લંબાઈનો સરવાળો $|p| + |q| + |r| = 4 + 5 + 7 = 16 \text{ એકમ}$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 5 \vec{c} = \vec{0}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 5 \vec{c}$ મળે છે.
$5$ વડે ભાગતા,$\vec{c} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{2 + 3}$ મળે છે.
આ અંતઃવિભાજન માટેના વિભાજન સૂત્ર $\vec{r} = \frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m + n}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં બિંદુ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
અહીં,$m = 3$ અને $n = 2$ છે.
તેથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - (-20)) - \hat{j}(-6 - (-24)) + \hat{k}(15 - 6) = 18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18^2 + (-18)^2 + 9^2} = \sqrt{324 + 324 + 81} = \sqrt{729} = 27$
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}}{27} = \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}$ છે.
$3$ એકમનું માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\pm 3 \left( \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} \right) = \pm(2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$ છે.

(B) કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નું સુરેખ સંયોજન છે,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ કોઈ અદિશ $m$ અને $n$ માટે.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ થાય.
નિશ્ચાયક ગણતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - 2(x-2)) - 1(-1 - 2x) + 1((x-2) - (-x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ખૂણો $\angle ABC$ એ સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = (1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k})$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z - (-1))\hat{k} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 1)\hat{k}$.
આપણને $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$
$z + 1 = -1 \Rightarrow z = -2$
તેથી,$B$ ના યામ $(3, 5, -2)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|=0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2 = 0^2$ મળે.
નિત્યસમ $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, |\vec{w}|=5$ મૂકતા:
$3^2+4^2+5^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$9+16+25+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$50+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$.
$\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u} = -25$.
પ્રશ્ન મુજબ માનાંક લેતા:
$|\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}| = |-25| = 25$.

(B) ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય જો સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC},$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
આપેલ બિંદુઓ $A(3,2,1), B(4, x, 5), C(4,2,-2), D(6,5,-1)$ છે.
સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (4-3)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = \hat{i} + (x-2)\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{AC} = (4-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AD} = (6-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
સમતલીયતા માટે,આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & x-2 & 4 \\ 1 & 0 & -3 \\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - (-9)) - (x-2)(-2 - (-9)) + 4(3 - 0) = 0$
$1(9) - (x-2)(7) + 4(3) = 0$
$9 - 7x + 14 + 12 = 0$
$-7x + 35 = 0$
$7x = 35$
$x = 5$

(B) આપેલ પદાવલિ $(a \vec{b} + b \vec{a}) \cdot (a \vec{b} - b \vec{a})$ છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (a \vec{b}) \cdot (a \vec{b}) - (a \vec{b}) \cdot (b \vec{a}) + (b \vec{a}) \cdot (a \vec{b}) - (b \vec{a}) \cdot (b \vec{a})$
$= a^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - ab (\vec{b} \cdot \vec{a}) + ab (\vec{a} \cdot \vec{b}) - b^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,જેથી વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$= a^2 |\vec{b}|^2 - b^2 |\vec{a}|^2$
જો $a = |\vec{a}|$ અને $b = |\vec{b}|$ હોય,તો:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ (ધારો કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \frac{1}{\sqrt{26}} = 7$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$,અને $|\vec{c}-\vec{a}|=3$.
પ્રથમ,$\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$.
આપેલ છે કે $|\vec{p} \times \vec{c}| = 3$ અને $\vec{p}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી:
$|\vec{p}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3$
$3 \cdot |\vec{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec{c}| = 2$.
હવે,શરત $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$|\vec{c}-\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$
$|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $4 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$13 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોના તફાવતનું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})}$
અહીં આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 2$,અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2(5)}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{9 + 4 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{13 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3}$

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\lambda^2 \hat{i} + 4\lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + \lambda \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda^2)(7) + (4\lambda)(-2) + (1)(\lambda) < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 8\lambda + \lambda < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 7\lambda < 0$
$\Rightarrow 7\lambda(2\lambda - 1) < 0$
આ અસમતાને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $\lambda = 0$ અને $\lambda = \frac{1}{2}$ મેળવીએ છીએ.
અંતરાલોની ચકાસણી કરતા,પદાવલિ $7\lambda(2\lambda - 1)$ એ $\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ માટે ઋણ છે.
આમ,$\lambda$ ની કિંમતો $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ માં રહેલી છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપણને $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=1$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = 1^2$
$|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2+2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 1$
કારણ કે $\bar{b} \perp \bar{c}$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
વળી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}||\bar{c}| \cos \beta = \cos \beta$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$1+1+1+2(\cos \alpha + 0 + \cos \beta) = 1$
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = -2$
$\cos \alpha + \cos \beta = -1$

(B) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $\vec{V}$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોવાથી,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ની કિંમત $\vec{V}$ માં મૂકતા:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
તેથી,$\vec{c} - \vec{a} = \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,તેથી $\vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + \lambda(4) = 0 \Rightarrow 4\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે $\vec{r} = t\vec{a} + u\vec{b}$ લખી શકીએ,જ્યાં $t$ અને $u$ અદિશ છે.
$\vec{r} = t(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + u(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (t+u)\hat{i} + (t-u)\hat{j} + (t+u)\hat{k} \dots (i)$
આપેલ છે કે $\vec{r}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
$\vec{r} \cdot \vec{c} = (t+u)(1) + (t-u)(-1) + (t+u)(-1) = t+u - t+u - t-u = u-t$.
તેથી,$\frac{u-t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow u-t = 1 \Rightarrow u = t+1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $u = t+1$ મૂકતા:
$\vec{r} = (t + t + 1)\hat{i} + (t - (t + 1))\hat{j} + (t + t + 1)\hat{k}$
$\vec{r} = (2t+1)\hat{i} - \hat{j} + (2t+1)\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b} = \lambda \vec{c} \quad \dots(i)$ અને $\vec{b}+\vec{c} = \mu \vec{a} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,આપણને મળે $\vec{a}-\vec{c} = \lambda \vec{c} - \mu \vec{a}$.
પદોને ગોઠવતા,$(1+\mu)\vec{a} = (1+\lambda)\vec{c}$.
બે સદિશો સમરેખ હોવાથી,ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ છે,તેથી $\vec{b} = k\vec{a}$.
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,$|k\vec{a}| = |\vec{a}| \Rightarrow |k|=1$,તેથી $k=1$ અથવા $k=-1$.
જો $k=1$ હોય,તો $\vec{b}=\vec{a}$,તેથી $\vec{a}+\vec{a} = 2\vec{a}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
જો $\vec{c} = -\vec{a}$ હોય,તો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{a}+\vec{a}-\vec{a} = \vec{a} \neq 0$. જોકે,સમરેખતાની શરતો પરથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ મળે છે.
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ હોવાથી,$0 = 2+2+2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -6$.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -3$.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = \sqrt{2}$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(C) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta$
આપેલ આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$|\vec{u}| = 4$
$|\vec{v}| = 5$
$\theta = 150^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 4 \times 5 \times \sin 150^{\circ}$
કારણ કે $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી આપણને મળે છે:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 20 \times \frac{1}{2} = 10$

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{\sqrt{26}})^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times (\pm \frac{1}{\sqrt{26}}) = \pm 7$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$,જેનો અર્થ થાય છે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2+5^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$9+25+2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34+30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49-34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}=\vec{0} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{b} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \times \vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + 0 - 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{0} \times \vec{c}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0 = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{c} \times \vec{a} = 2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(3)$
હવે,$(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{c} \times \vec{a})$ પદમાં $(2)$ અને $(3)$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3(\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
$= (3+1+2)(\vec{b} \times \vec{c}) = 6(\vec{b} \times \vec{c})$
આને $\lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 6$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A = (1, y, 0)$,$B = (1, 0, 2)$ અને $C = (0, 3, 1)$ છે.
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-y)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -y\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (0-1)\hat{i} + (3-y)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (3-y)\hat{j} + \hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -y & 2 \\ -1 & 3-y & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-y - 2(3-y)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - y) = \hat{i}(y-6) - 2\hat{j} - y\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(y-6)^2 + (-2)^2 + (-y)^2} = \sqrt{y^2 - 12y + 36 + 4 + y^2} = \sqrt{2y^2 - 12y + 40}$.
તેથી $\frac{1}{2} \sqrt{2y^2 - 12y + 40} = \sqrt{6}$,એટલે કે $\sqrt{2y^2 - 12y + 40} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2y^2 - 12y + 40 = 24 \Rightarrow 2y^2 - 12y + 16 = 0 \Rightarrow y^2 - 6y + 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y-2)(y-4) = 0$,તેથી $y = 2, 4$.

(C) આપેલ છે કે $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta|$,જ્યાં $\theta$ એ $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$ મૂકતા,જ્યાં $\phi$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,આપણને મળે: $|\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \phi = 1$ અને $|\cos \theta| = 1$.
આમ,$\phi = 90^{\circ}$ (એટલે કે $\vec{a} \perp \vec{b}$) અને $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ (એટલે કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમતલના લંબને સમાંતર છે).
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} \perp \vec{a}$ અને $\vec{c} \perp \vec{b}$ થાય.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,તેથી $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\vec{a}+\vec{b})$ એ $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,જે આપે છે $\lambda = \pm 1$.
આમ,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
તેથી,એક શક્ય કિંમત $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
સૌ પ્રથમ,$(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$
હવે,$\vec{c} = 3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
વળી,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) આપેલ શરત: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$.
પ્રથમ સમાનતા ધ્યાનમાં લો: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS}$.
સામાન્ય સદિશોને બહાર કાઢતા: $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OS} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR})$.
આનો અર્થ એ છે કે: $(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = 0$.
કારણ કે $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{SP}$ અને $\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{RQ}$,તેથી આપણને $\overrightarrow{SP} \cdot \overrightarrow{RQ} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{QR}$.
તે જ રીતે,સમાનતાના અન્ય ભાગોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\overrightarrow{QS} \perp \overrightarrow{PR}$ અને $\overrightarrow{RS} \perp \overrightarrow{PQ}$ મળે છે.
જેથી $S$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે,તેથી $S$ એ લંબકેન્દ્ર છે.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ છે.
હવે,$3 \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{a} + 3 \vec{b}$ બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})|$ થાય.
સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})| = |3 \vec{a} \times \vec{a} + 9 \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + 3 \vec{b} \times \vec{b}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$\vec{b} \times \vec{b} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી:
$|0 + 9(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = |8(\vec{a} \times \vec{b})| = 8 |\vec{a} \times \vec{b}|$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 15 = 120$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{a}$ ના દિશા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,અને $\gamma = \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકમ સદિશ માટે,દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \theta = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
કારણ કે $\theta \in (0, \pi)$,આપણી પાસે બે શક્ય કિંમતો છે:
જો $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$.
જો $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{2\pi}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) સદિશ ત્રિગુણન નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\vec{u} = \vec{a}$,$\vec{v} = \vec{b}$,અને $\vec{w} = (\vec{a} \times \vec{c})$.
તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$ થાય.
હવે,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a})$.
અદિશ ત્રિગુણન $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-2) - 1(-2+4) + 1(1-4) = 2 - 2 - 3 = -3$.
અને $(\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a}) = (3) - (-1+2-2) = 3 - (-1) = 4$.
તેથી,પરિણામ $(-3) \times 4 = -12$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(i)$ $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$
(ii) $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$
(ii) પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,તેથી $\vec{r} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(\vec{r} \times \vec{a}) + (\vec{r} \times \vec{b}) = (\vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{r} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{0}$
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ને સમાંતર છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$,તેથી $\vec{a} + \vec{b} = (1+2)\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,$\vec{r} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ. $\lambda = 1$ માટે,$\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,જે બિંદુ $(3, 1, -1)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $|\vec{a}|=5$,$|\vec{b}|=13$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}|=25$.
સૂત્ર $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 = 5 \times 13 \sin \theta$
$25 = 65 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 13 \times (-\frac{12}{13}) = -60$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{PQ}$ અને $\overline{AB}$ શોધીએ:
$\overline{PQ} = (3 - (-2)) \hat{i} + (2 - 1) \hat{j} + (5 - 3) \hat{k} = 5 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$\overline{AB} = (7 - 4) \hat{i} + (-5 - (-3)) \hat{j} + (-1 - 5) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overline{PQ}$ નો $\overline{AB}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = \frac{(\overline{PQ} \cdot \overline{AB}) \overline{AB}}{|\overline{AB}|^2}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{PQ} \cdot \overline{AB}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{PQ} \cdot \overline{AB} = (5)(3) + (1)(-2) + (2)(-6) = 15 - 2 - 12 = 1$
માનાંકનો વર્ગ $|\overline{AB}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\overline{AB}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$
આમ,સદિશ પ્રક્ષેપ:
$\frac{1}{49}(3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$.
સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમરેખ હોવાથી,આપણે $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{b}| = 14$,તેથી સદિશ $\vec{b} = \pm |\vec{b}| \hat{a}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
ધન દિશા લેતા,$\vec{b} = 14 \left( \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} \right) = 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}) = 4 \hat{i}-6 \hat{j}+12 \hat{k}$.

(B) $\text{ધારો કે } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx.
x = \tan \theta \text{ આદેશ લેતા } dx = \sec^2 \theta \,d\theta \text{ મળે.}
\text{જ્યારે } x = 0, \text{ત્યારે } \theta = 0; \text{જ્યારે } x = 1, \text{ત્યારે } \theta = \frac{\pi}{4}.
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \log (1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log (1+\tan \theta) \,d\theta \quad \dots(i)
\text{ગુણધર્મ } \int_0^a f(\theta) \,d\theta = \int_0^a f(a-\theta) \,d\theta \text{ નો ઉપયોગ કરતા:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) \,d\theta
\text{કારણ કે } \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}, \text{તેથી:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta \quad \dots(ii)
(i) \text{ અને } (ii) \text{ નો સરવાળો કરતા:}
2I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left[ \log(1+\tan \theta) + \log\left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \right] \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( (1+\tan \theta) \cdot \frac{2}{1+\tan \theta} \right) \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \,d\theta = 8 \log 2 [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 8 \log 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \log 2.
\text{તેથી } I = \pi \log 2.$

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ સદિશને સમાંતર હોવો જોઈએ.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b} \times \vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ અથવા $\pi$ છે.
ધારો કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ની દિશામાં છે,તો આપણને મળે:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \cos(0) = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5 \times 3 \times 4 \times \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 60 \times \frac{1}{2} = 30$.

(A) અદિશ ત્રિગુણક $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (1+x) - x = 1$
પરિણામ $1$ મળે છે,જે અચળ છે,તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત $x$ કે $y$ બંનેમાંથી એક પણ પર આધાર રાખતી નથી.

(D) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,અને $D(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \end{bmatrix} \right|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, \lambda)$,અને $D(7, -4, 7)$ છે.
સદિશોની ગણતરી કરતા:
$\vec{AB} = (-2, 3, -3)$,$\vec{AC} = (4, 5, \lambda-10)$,$\vec{AD} = (6, 2, -3)$
ઘનફળ $11$ છે,તેથી:
$11 = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix} \right|$
$66 = | 22\lambda - 88 |$
$22$ વડે ભાગતા: $3 = | \lambda - 4 |$
આથી $\lambda - 4 = 3 \Rightarrow \lambda = 7$ અથવા $\lambda - 4 = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\lambda = 7$ છે.

(A) સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ અને $\vec{w} = (a, 0, 1)$ છે.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$V(a) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{array}\right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V(a) = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a = a^3 - a + 1$.
ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,વિકલન $V'(a)$ શોધીને તેને $0$ સાથે સરખાવો:
$V'(a) = 3a^2 - 1 = 0$.
$3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $V''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$V''(a) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
તેથી,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.