રેખાઓ $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})$ અને $\bar{r}=(3\hat{i}+\hat{k})+\lambda^{\prime}(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,જ્યાં $\lambda, \lambda^{\prime} \in R$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો બિંદુ $(a, 2, 5)$ નું રેખા $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2}$ માં બિંદુ $(1, 2, 7)$ ના પ્રતિબિંબથી અંતર $4$ હોય,તો $a$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો બિંદુઓ $(k, 3, 4)$ અને $(4, 7, 8)$ ને જોડતી રેખા,બિંદુઓ $(-1, -2, 1)$ અને $(1, 2, l)$ ને જોડતી રેખાને સમાંતર હોય,તો $k + l =$

જો બિંદુ $(4,4,3)$ નું રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}$ માં પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ અને $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ દર્શાવે છે. જો $L_3$ એક એવી રેખા હોય જે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય અને બંનેને છેદતી હોય,તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ $L_3$ નું વર્ણન કરે છે?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

બિંદુ $(5, -2, 4)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $3\hat{i}-2\hat{j}+8\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ . . . . . . છે.