MHT CET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ है।
केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2\sin \alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। $\triangle PAC$ में,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
अतः,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
इस प्रकार,बिंदुपथ का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है। इसे $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=3$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ होता है।
दिया गया अभिलंब $x+y=k$ है,जिसे $y = -x + k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = -tx + 2at + at^{3}$ की तुलना $y = -x + k$ से करने पर,हमें $t=1$ प्राप्त होता है।
$t=1$ और $a=3$ का मान $k$ के व्यंजक में रखने पर:
$k = 2at + at^{3} = 2(3)(1) + 3(1)^{3} = 6 + 3 = 9$.
अतः,$k=9$।

(C) वृत्त के अभिलंब उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। $(x - 1)(y - 2) = 0$ को देखते हुए,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
चूंकि रेखा $3x + 4y = 6$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $r$ केंद्र $(1, 2)$ से रेखा $3x + 4y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 1$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$.

(A) दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$.
वृत्त $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2k+3)(k-2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -3/2$.

(D) बिंदु $P(8, 27)$ के लिए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ की स्पर्श जीवा $QR$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$\frac{8x}{4} + \frac{27y}{9} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 1$.
मूल बिंदु से गुजरने वाली और $Q, R$ को जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण दीर्घवृत्त के समीकरण को स्पर्श जीवा के साथ समघात बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = (2x + 3y)^{2}$.
$9x^{2} + 4y^{2} = 36(4x^{2} + 12xy + 9y^{2})$.
$135x^{2} + 432xy + 320y^{2} = 0$.
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,$a = 135, h = 216, b = 320$.
कोण $\theta = \tan^{-1} \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \tan^{-1} \left( \frac{48 \sqrt{6}}{455} \right)$.

(B) अतिपरवलय $xy = c^{2}$ पर एक बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(ct, c/t)$ हैं।
बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $xt^{3} - yt - ct^{4} + c = 0$ है।
यदि यह अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $t'$ पर मिलता है,तो निर्देशांक $(ct', c/t')$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$(ct', c/t')$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(ct')t^{3} - (c/t')t - ct^{4} + c = 0$.
$c$ से विभाजित करने पर ($c \neq 0$ मानते हुए): $t't^{3} - t/t' - t^{4} + 1 = 0$.
$t'$ से गुणा करने पर: $t'^{2}t^{3} - t - t't^{4} + t' = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t^{3}t'(t' - t) + (t' - t) = 0$.
$(t' - t)(t^{3}t' + 1) = 0$.
चूंकि $t \neq t'$,इसलिए $t^{3}t' + 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t^{3}t' = -1$।

(A) माना $L = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{a+bx}\right)^{c+dx}$. यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
सूत्र $\lim_{x \to \infty} (1 + f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to \infty} f(x)g(x)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{a+bx}\right) \cdot (c+dx)}$
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{c+dx}{a+bx}}$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{c/x + d}{a/x + b}}$
जैसे $x \to \infty$,$c/x \to 0$ और $a/x \to 0$:
$L = e^{\frac{0+d}{0+b}} = e^{d/b}$

(D) दिए गए परिपथ में,ऊपरी शाखा में $\sim p$ और $q$ स्विच श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(\sim p \wedge q)$ है।
निचली शाखा में $p$ और $\sim q$ स्विच श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर (parallel) जुड़ी हुई हैं,इसलिए परिपथ के लिए कुल बूलियन बहुपद दोनों व्यंजकों का वियोजन (disjunction) होगा:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y)$.
वर्गसम नियम (idempotent law) द्वारा,$x \wedge x = x$,इसलिए व्यंजक $x \vee (x \wedge y)$ हो जाता है।
अवशोषण नियम (absorption law) द्वारा,$x \vee (x \wedge y) = x$.

(B) एक सशर्त कथन $P \Rightarrow Q$ का प्रतिलोम $\sim P \Rightarrow \sim Q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $(p \wedge \sim q) \Rightarrow r$ के लिए,$P = (p \wedge \sim q)$ और $Q = r$ है।
अतः,इसका प्रतिलोम $\sim(p \wedge \sim q) \Rightarrow \sim r$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \wedge \sim q)$ का मान $(\sim p \vee \sim(\sim q))$ के बराबर है,जो सरल होकर $(\sim p \vee q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,प्रतिलोम $(\sim p \vee q) \Rightarrow \sim r$ है।

(C) कथन $(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:

$p$	$\sim p$	$p \Rightarrow \sim p$	$\sim p \Rightarrow p$	$(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ के सभी संभावित सत्य मानों के लिए केवल $F$ (असत्य) है,इसलिए यह कथन एक विरोधाभास है।

(A) रेखाओं के युग्म $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^{2}-2pxy-y^{2}=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, h=-p, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ है,जो $\frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{xy}{-p}$ में सरल हो जाता है।
इससे $x^{2}-y^{2} = -\frac{2}{p}xy$ प्राप्त होता है,या $x^{2} + \frac{2}{p}xy - y^{2} = 0$।
यह दिया गया है कि यह युग्म $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ के समान है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $-2q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$pq = -1$।

(B) धनात्मक $x$-अक्ष और धनात्मक $y$-अक्ष के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा $y=x$ है।
चूंकि यह रेखा $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ युग्म का हिस्सा है,इसलिए इसे समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण में $y=x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^{2}+2hx(x)+b(x)^{2}=0$
$ax^{2}+2hx^{2}+bx^{2}=0$
$(a+2h+b)x^{2}=0$
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$a+b+2h=0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a+b=-2h$।

(C) परवलय $y^{2}=4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है,जहाँ $a=1$ है। अतः,$y=mx+\frac{1}{m}$।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ को भी स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r=3$ है।
केंद्र $(3,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{1}{m}=0$ की लंबवत दूरी $3$ होनी चाहिए:
$\frac{|m(3)-0+\frac{1}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=3$
$|3m+\frac{1}{m}|=3\sqrt{m^{2}+1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3m+\frac{1}{m})^{2}=9(m^{2}+1)$
$9m^{2}+6+\frac{1}{m^{2}}=9m^{2}+9$
$\frac{1}{m^{2}}=3$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए हम $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $m$ का मान रखने पर:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर $\sqrt{3}y=x+3$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए,$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{y_{1}}$ है।
$(a, 2a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{2a} = 1$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-1$ है।
$(a, 2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2a = -1(x - a)$ है,जो $x + y - 3a = 0$ में सरल हो जाता है।
$(a, -2a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{-2a} = -1$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $1$ है।
$(a, -2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-2a) = 1(x - a)$ है,जो $x - y - 3a = 0$ में सरल हो जाता है।
संयुक्त समीकरण $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$((x - 3a) + y)((x - 3a) - y) = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0$ है।
अतः,$x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$,या $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$ है।

(A) माना $W$ सफेद गेंद और $B$ काली गेंद को दर्शाता है। बक्सों की सामग्री इस प्रकार है:
बक्सा $I$: $3W, 1B$ (कुल $4$ गेंदें)
बक्सा $II$: $2W, 2B$ (कुल $4$ गेंदें)
बक्सा $III$: $1W, 3B$ (कुल $4$ गेंदें)
हमें $2$ सफेद और $1$ काली गेंद निकालनी है। यह तीन परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. बक्सा $I$ से $B$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $W$
$2$. बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $B$,बक्सा $III$ से $W$
$3$. बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $B$
आवश्यक प्रायिकता है:
$P = P(B_I)P(W_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(B_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(W_{II})P(B_{III})$
$P = (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4})$
$P = \frac{2}{64} + \frac{6}{64} + \frac{18}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) माना $y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
हम इस व्यंजक को $y = \frac{(x^{2}+x+1) - 2x}{x^{2}+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^{2}+x+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $\frac{2x}{x^{2}+x+1}$ पद को अधिकतम करना होगा।
माना $f(x) = \frac{x}{x^{2}+x+1}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर और इसे $0$ के बराबर रखने पर:
$f'(x) = \frac{(x^{2}+x+1)(1) - x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{x^{2}+x+1-2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $1-x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ के लिए,$f(-1) = \frac{-1}{1-1+1} = -1$.
चूंकि हम $y = 1 - 2f(x)$ को न्यूनतम करना चाहते हैं,इसलिए हम $f(x)$ का अधिकतम मान $1/3$ चुनेंगे।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $1 - 2(1/3) = 1 - 2/3 = 1/3$ है।

(B) रेखा $y=4$ परवलय $y^{2}=x$ को बिंदु $A$ पर मिलती है। परवलय के समीकरण में $y=4$ रखने पर,हमें $4^{2}=x$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=16$ है। अतः,बिंदु $A$ $(16, 4)$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल परवलय $x=y^{2}$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y=4$ द्वारा $y=0$ से $y=4$ तक परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^{2} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{a}{|\sin x|}}$.
माना $u = |\sin x|$। जैसे $x \to 0$,$u \to 0^+$। सीमा $\lim_{u \to 0^+} (1+u)^{a/u} = e^a$ हो जाती है।
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}}$.
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan k\theta}{\theta} = k$ का उपयोग करते हुए,$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\tan 2x / 2x) \cdot 2x}{(\tan 3x / 3x) \cdot 3x} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{2/3}$।
चूंकि $f(0) = b$,निरंतरता के लिए $e^a = e^{2/3} = b$ होना चाहिए।
इसलिए,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ है।

(B) $LHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x-1) = 0$
$RHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x^3-1) = 0$
साथ ही,$f(1) = 1-1 = 0$
चूँकि $LHL$ $=$ $RHL$ $= f(1)$,इसलिए $f$ बिंदु $x=1$ पर सतत है।
अब,$Lf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1-h)-1-0}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{-h} = 1$
और $Rf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^3-1-0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1+h^3+3h+3h^2-1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (h^2+3h+3) = 3$
चूँकि $Lf'(1) \neq Rf'(1)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan x}$.
हम $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ लिख सकते हैं,इसलिए $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos(\pi / 2 - x)}{\sin(\pi / 2 - x) + \cos(\pi / 2 - x)} d x = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} d x$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \pi / 2$.
अतः,$I = \pi / 4$.

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -\pi / 2$ और $b = \pi / 2$,अतः $a+b = 0$.
इसलिए,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{-x}} d x$
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^x \cos x}{e^x + 1} d x$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} d x$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos x d x$
चूँकि $\cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$
$2I = 2[\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 2(1 - 0) = 2$
अतः,$I = 1$.

(C) यहाँ $n=4$ दिया गया है,इसलिए अंतराल $[0, 1]$ को $h = \frac{1-0}{4} = 0.25$ चौड़ाई के $4$ उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है।
$x_i$ पर $y = \frac{1}{1+x^2}$ के मान इस प्रकार हैं:

$x$	$y$
$0$	$1.0$
$0.25$	$0.941176$
$0.5$	$0.8$
$0.75$	$0.64$
$1$	$0.5$

सिम्पसन के $\frac{1}{3}$ नियम का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{h}{3} [(y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [(1.0 + 0.5) + 4(0.941176 + 0.64) + 2(0.8)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.581176) + 1.6]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 6.324704 + 1.6] = \frac{0.25}{3} [9.424704] \approx 0.785392$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.785$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\left|\begin{array}{ccc} a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सरल करने के लिए पंक्तियों को आपस में बदलने पर:
$-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक के गुणधर्म $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x=a, y=a+1, z=a+2$:
$-(a-(a+1))((a+1)-(a+2))((a+2)-a)(a+(a+1)+(a+2)) = 0$
$-(-1)(-1)(2)(3a+3) = 0$
$-2(3a+3) = 0$
$3a+3 = 0 \Rightarrow a = -1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}}{\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)}+\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=x^{2}-1$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ से गुणा करके भिन्न को हटाते हैं:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5} \cdot \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right) + 4 \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2} = (x^{2}-1) \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$.
समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है जब समीकरण अवकलजों में एक बहुपद के रूप में हो। यहाँ,$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-k) \frac{dy}{dx} = 0$
$(x-h) + (y-k) \frac{dy}{dx} = 0$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + (y-k) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
$(y-k) = -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}}$ ... (iii)
(ii) से,$(x-h) = -(y-k) \frac{dy}{dx}$. इसमें (iii) का मान रखने पर:
$(x-h) = \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]}{d^{2}y/dx^{2}} \cdot \frac{dy}{dx}$ ... (iv)
$(i)$ में (iii) और (iv) का मान रखने पर:
$\left[ \frac{[1 + (dy/dx)^{2}] \cdot (dy/dx)}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} + \left[ -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} = a^{2}$
$\frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{2}}{ (d^{2}y/dx^{2})^{2} } \left[ (dy/dx)^{2} + 1 \right] = a^{2}$
$\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3} = a^{2} \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}$

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
इसका विस्तार करने पर,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ का मान मूल समीकरण $x^{2} + y^{2} = 2ay$ में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
चूँकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,इसलिए $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
अतः,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,या $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ होगा।
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
अतः,समाकलन गुणक $\log x$ है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = 16 - 2t + 3t^{3}$
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(16 - 2t + 3t^{3}) = -2 + 9t^{2}$
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-2 + 9t^{2}) = 18t$
$t = 2 \ s$ पर,त्वरण: $a = 18 \times 2 = 36 \ m/s^{2}$

(A) दिया गया है,$x^{p} y^{q}=(x+y)^{p+q}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$p \ln x + q \ln y = (p+q) \ln (x+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x+y) - y(p+q)}{y(x+y)} \right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x+y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}$.
दोनों पक्षों से उभयनिष्ठ पद $(qx - py)$ और $(x+y)$ को हटाने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) दिया गया है $x = 2 \cos t - \cos 2t$ और $y = 2 \sin t - \sin 2t$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = -2 \sin t + 2 \sin 2t$
$\frac{dy}{dt} = 2 \cos t - 2 \cos 2t$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2 \cos t - 2 \cos 2t}{-2 \sin t + 2 \sin 2t} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{3t}{2} \sin \frac{t}{2}}{2 \cos \frac{3t}{2} \sin \frac{t}{2}} = \tan \frac{3t}{2}$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \tan \frac{3t}{2} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \sec^2 \frac{3t}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-2 \sin t + 2 \sin 2t}$।
$t = \pi/2$ पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \sec^2 \left( \frac{3\pi}{4} \right) \cdot \frac{1}{-2 \sin(\pi/2) + 2 \sin(\pi)} = \frac{3}{2} (2) \cdot \frac{1}{-2} = -3/2$।

(A) दिया गया है $y = \log(\tan(x/2)) + \sin^{-1}(\cos x)$.
सबसे पहले,$\log(\tan(x/2))$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\log(\tan(x/2))) = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\sin^{-1}(\cos x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
चूँकि $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$,इसलिए $\sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\pi/2 - x)) = \pi/2 - x$.
अतः,$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\cos x)) = \frac{d}{dx}(\pi/2 - x) = -1$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec} x - 1$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = e^{x} g(x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$f^{\prime}(x) = e^{x} g^{\prime}(x) + e^{x} g(x)$.
$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime}(0) = e^{0} \cdot g^{\prime}(0) + e^{0} \cdot g(0)$.
चूंकि $e^{0} = 1$,$g^{\prime}(0) = 1$,और $g(0) = 2$ है:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2$.
$f^{\prime}(0) = 1 + 2 = 3$.

(D) हमें फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ दिया गया है।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
दिए गए समीकरण का उपयोग करते हुए,$f(3+h)=f(3) \cdot f(h)$.
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3) \cdot f(h)-f(3)}{h} = f(3) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
चूंकि $f(0+0)=f(0) \cdot f(0)$,इसलिए $f(0)=f(0)^2$,जिसका अर्थ है $f(0)=1$.
अतः,$f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
$f(3)=3$ और $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$ के मानों को $f^{\prime}(3)$ के समीकरण में रखने पर:
$f^{\prime}(3) = 3 \times 11 = 33$.

(B) माना $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx$.
इसे हम $I = \int \left( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right) \, dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2}(\sin x + \cos x)}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
चूंकि $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$,माना $t = \sin x - \cos x$.
तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + C = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + C$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}}\right) + C = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\right) + C$.
अंश और हर को $\sqrt{\cos x}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + C$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}(x \sin x+\cos x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} \right) d x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,माना $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} d x$ और $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$.
$I = \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) - \int \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^{2} x d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$.
सरल करने पर,$I = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin(\pi-x)} = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\cos \alpha \sin x}$
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $dx = \frac{2 \sec^2(x/2) \, d(x/2)}{1}$ का उपयोग करते हुए,माना $t = \tan(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \, dx$:
$2I = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{2 \, dt}{1+t^2 + 2t \cos \alpha} = 2\pi \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{(t+\cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$
$I = \pi \left[ \frac{1}{\sin \alpha} \tan^{-1} \left( \frac{t+\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \right]_{0}^{\infty}$
$I = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \cot \alpha \right) \right) = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \alpha) \right) = \frac{\pi \alpha}{\sin \alpha}$

(C) व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{G(x)-G(1)}{x-1}$,$x=1$ पर $G(x)$ का अवकलज (derivative) दर्शाता है,जिसे $G'(1)$ कहते हैं।
दिया गया है $G(x) = -\sqrt{25-x^{2}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$G'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{25-x^{2}}} \cdot (-2x) = \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}$।
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$G'(1) = \frac{1}{\sqrt{25-(1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$।

(B) सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$) $-x_{1} + x_{2} \leq 1$
$2$) $-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$
$3$) $x_{1}, x_{2} \geq 0$
इन रेखाओं को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर:
- $-x_{1} + x_{2} = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
- $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
ऋणेतरता की शर्तें $x_{1}, x_{2} \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती हैं।
असमिकाओं द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन को देखने पर,हम पाते हैं कि यह क्षेत्र $x_{1}$ के बढ़ने की दिशा में अनंत तक विस्तृत है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र एक अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र है।

(A) मान लीजिए कि $x$ और $y$ क्रमशः खाद्य $A$ और खाद्य $B$ की इकाइयों की संख्या हैं।
उद्देश्य लागत $z = 4x + 3y$ को न्यूनतम करना है।
पोषक तत्वों के आधार पर बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1$. विटामिन: $200x + 100y \geq 4000$
$2$. प्रोटीन: $x + 2y \geq 50$
$3$. कैलोरी: $40x + 40y \geq 1400$
$4$. गैर-ऋणात्मकता: $x \geq 0, y \geq 0$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ तैयार की गई बाधाओं और उद्देश्य फलन से मेल खाता है।

(C) हमारे पास है,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x)$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - \nabla f(x) \}$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - (f(x) - f(x-h)) \}$
$= (1+\Delta) f(x-h)$
चूँकि $E = 1 + \Delta$,इसलिए $E f(x-h) = f(x-h+h) = f(x)$.
अतः,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x) = f(x) = 1 \cdot f(x)$.
इसलिए,$(1+\Delta)(1-\nabla) = 1$.

(B) गुणात्मक प्रतिलोम $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $E_{1}$ योग $6$ प्राप्त करने की घटना है। इसके परिणाम $E_{1} = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$ हैं।
$E_{1}$ में परिणामों की संख्या $n(E_{1}) = 5$ है।
घटना $E_{2}$ दोनों पासों में से कम से कम एक पर $2$ प्राप्त करने की घटना है। $E_{1} \cap E_{2}$ में वे परिणाम होंगे जो $E_{1}$ में हैं और जिनमें कम से कम एक $2$ है।
ये परिणाम $\{(2, 4), (4, 2)\}$ हैं।
अतः,$n(E_{1} \cap E_{2}) = 2$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_{2} / E_{1})$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E_{2} / E_{1}) = \frac{n(E_{1} \cap E_{2})}{n(E_{1})} = \frac{2}{5}$.

(A) द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए $P(X=4) = {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2}$ और $P(X=2) = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$9 P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर,$9 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,समीकरण $9 p^{4} (1-p)^{2} = p^{2} (1-p)^{4}$ में बदल जाता है।
दोनों पक्षों को $p^{2} (1-p)^{2}$ से विभाजित करने पर,$9 p^{2} = (1-p)^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$3p = 1-p$ प्राप्त होता है (क्योंकि $p$ धनात्मक है)।
$4p = 1$,जिससे $p = 1/4$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदुओं $(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $\langle 7-3, 2-1, 12-4 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ हैं। मान लीजिए कि ये $\langle a_1, a_2, a_3 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $\langle b_1, b_2, b_3 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle$ हैं।
मान लीजिए कि दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के कोसाइन का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(4)(2) + (1)(2) + (8)(1)|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{18}{\sqrt{81} \sqrt{9}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(B) हम जानते हैं कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक रेखा के दिक-कोण (direction angles) हैं,इसलिए दिक-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं।
दिक-कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma = (1 - \cos ^{2} \alpha) + (1 - \cos ^{2} \beta) + (1 - \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - (\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.

(B) मान लीजिए कि समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a, b$ और $c$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$.

(C) मान लीजिए कि सदिश $v$ तीनों अक्षों के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। तो $v$ के दिक्-कोसाइन $\langle \cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha \rangle$ होंगे।
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$3 \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,दिक्-कोसाइन $\langle \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ या $\langle -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ हैं।

(B) चूंकि सदिश $a$,$b$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए ऐसे अदिश $x$,$y$ और $z$ (जो सभी एक साथ शून्य न हों) का अस्तित्व होना चाहिए कि $x a + y b + z c = 0$ $(i)$ हो।
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों को क्रमशः $a$ और $b$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$
$x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को $x$,$y$ और $z$ चरों में रैखिक समीकरणों के निकाय के रूप में लेने पर,चूंकि एक गैर-तुच्छ हल मौजूद है,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array}\right| = 0$।

(A) दिया गया है कि $u = a - b$ और $v = a + b$ है।
हमें $|u \times v|$ ज्ञात करना है।
$|u \times v| = |(a - b) \times (a + b)|$
$= |a \times a + a \times b - b \times a - b \times b|$
चूँकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,और $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए:
$|u \times v| = |0 + a \times b + a \times b - 0| = |2(a \times b)| = 2|a \times b|$.
हम जानते हैं कि $|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2}$ होता है।
दिया गया है कि $|a| = |b| = 2$,इसलिए $|a|^{2} = 4$ और $|b|^{2} = 4$ है।
$|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = 4 \times 4 = 16$।
$|a \times b| = \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$।
अतः,$|u \times v| = 2 \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$।