एक समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A, B$ और $C$ पर इस प्रकार मिलता है कि $\Delta ABC$ का केंद्रक $(1, 2, 3)$ है। समतल का समीकरण है

मान लीजिए कि समतल $ax + by + cz = d$,$(2, 3, -5)$ से होकर गुजरता है और समतलों $2x + y - 5z = 10$ और $3x + 5y - 7z = 12$ के लंबवत है। यदि $a, b, c, d$ पूर्णांक हैं,$d > 0$ और $\text{gcd}(|a|, |b|, |c|, d) = 1$ है,तो $a + 7b + c + 20d$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1:$ बिंदु $A(3,1,6)$,समतल $x-y+z=5$ में बिंदु $B(1,3,4)$ का दर्पण प्रतिबिंब है।
कथन $-2:$ समतल $x-y+z=5$,$A(3,1,6)$ और $B(1,3,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करता है।

समतल का कार्तीय रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए,जो मूल बिंदु से $\frac{6}{\sqrt{29}}$ की दूरी पर है और मूल बिंदु से खींचा गया इसका अभिलंब सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ है।

मान लीजिए $\pi_1$ वह समतल है जो बिंदु $2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $a\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ के लंबवत है,और $\pi_2$ वह समतल है जो बिंदु $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $\theta$ समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण है और $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$ है,तो $a$ का पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

यदि उस समतल का समीकरण जो बिंदु $(-2, 3, 5)$ से होकर गुजरता है और $2x + 4y + 5z = 8$ तथा $3x - 2y + 3z = 5$ प्रत्येक समतल के लंबवत है,$\alpha x + \beta y + \gamma z + 97 = 0$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma = ...........$.