आयताकार अतिपरवलय $xy = c^{2}$ के बिंदु $t$ पर अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $t'$ पर मिलता है,तो

अतिपरवलय (hyperbola) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,यदि अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई $8$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2\sqrt{41}$ है,तो इसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता $\frac{5}{4}$ है। यदि अतिपरवलय पर बिंदु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण $8 \sqrt{5} x + \beta y = \lambda$ है,तो $\lambda - \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ के दो व्यासों के समीकरण $2px - y = 1$ और $2x + py = 4p$ हैं। तब वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली अतिपरवलय $3x^{2} - y^{2} = 3$ की स्पर्श रेखा की ढाल $m \in (0, \infty)$ किसके बराबर है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित किसी बिंदु से उसकी अनंतस्पर्शी (asymptotes) रेखाओं पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

अतिपरवलय $49 y^{2}-16 x^{2}=784$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।