MHT CET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2\sin \alpha$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $\triangle PAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
તેથી,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,તેથી $a=3$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરના બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
આપેલ અભિલંબ $x+y=k$ છે,જેને $y = -x + k$ તરીકે લખી શકાય.
$y = -tx + 2at + at^{3}$ ને $y = -x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t=1$ મળે છે.
$t=1$ અને $a=3$ ની કિંમત $k$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = 2at + at^{3} = 2(3)(1) + 3(1)^{3} = 6 + 3 = 9$.
તેથી,$k=9$.

(C) વર્તુળના અભિલંબ તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. આપેલ $(x - 1)(y - 2) = 0$ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
રેખા $3x + 4y = 6$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખા $3x + 4y - 6 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 1$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$.

(A) બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$.
વર્તુળ $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2k+3)(k-2) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = -3/2$.

(D) બિંદુ $P(8, 27)$ માટે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ના સ્પર્શક જીવા $QR$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{8x}{4} + \frac{27y}{9} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $Q, R$ ને જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ ઉપવલયના સમીકરણને સ્પર્શક જીવા વડે સમઘાત બનાવીને મળે છે:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = (2x + 3y)^{2}$.
$9x^{2} + 4y^{2} = 36(4x^{2} + 12xy + 9y^{2})$.
$135x^{2} + 432xy + 320y^{2} = 0$.
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 135, h = 216, b = 320$.
ખૂણો $\theta = \tan^{-1} \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \tan^{-1} \left( \frac{48 \sqrt{6}}{455} \right)$.

(B) અતિવલય $xy = c^{2}$ પરના બિંદુના પ્રચલિત યામ $(ct, c/t)$ છે.
બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $xt^{3} - yt - ct^{4} + c = 0$ છે.
જો આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t'$ બિંદુએ મળે,તો યામ $(ct', c/t')$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે.
$(ct', c/t')$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(ct')t^{3} - (c/t')t - ct^{4} + c = 0$.
$c$ વડે ભાગતા ($c \neq 0$ ધારીને): $t't^{3} - t/t' - t^{4} + 1 = 0$.
$t'$ વડે ગુણતા: $t'^{2}t^{3} - t - t't^{4} + t' = 0$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $t^{3}t'(t' - t) + (t' - t) = 0$.
$(t' - t)(t^{3}t' + 1) = 0$.
$t \neq t'$ હોવાથી,$t^{3}t' + 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t^{3}t' = -1$.

(A) ધારો કે $L = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{a+bx}\right)^{c+dx}$. આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to \infty} (1 + f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to \infty} f(x)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{a+bx}\right) \cdot (c+dx)}$
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{c+dx}{a+bx}}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{c/x + d}{a/x + b}}$
જેમ $x \to \infty$,તેમ $c/x \to 0$ અને $a/x \to 0$:
$L = e^{\frac{0+d}{0+b}} = e^{d/b}$

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ઉપરની શાખામાં $\sim p$ અને $q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(\sim p \wedge q)$ છે.
નીચેની શાખામાં $p$ અને $\sim q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(p \wedge \sim q)$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સર્કિટ માટેની કુલ બુલિયન બહુપદી બંને પદોનો વિયોજન (disjunction) થશે:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y)$.
આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) નિયમ દ્વારા,$x \wedge x = x$,તેથી પદાવલિ $x \vee (x \wedge y)$ બને છે.
શોષણ (absorption) ના નિયમ દ્વારા,$x \vee (x \wedge y) = x$.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow Q$ નું પ્રતિવિધાન $\sim P \Rightarrow \sim Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \Rightarrow r$ માટે,$P = (p \wedge \sim q)$ અને $Q = r$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિવિધાન $\sim(p \wedge \sim q) \Rightarrow \sim r$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \wedge \sim q)$ એ $(\sim p \vee \sim(\sim q))$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $(\sim p \vee q)$ થાય છે.
આમ,પ્રતિવિધાન $(\sim p \vee q) \Rightarrow \sim r$ છે.

(C) વિધાન $(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$\sim p$	$p \Rightarrow \sim p$	$\sim p \Rightarrow p$	$(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

છેલ્લી કોલમમાં $p$ ના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે માત્ર $F$ (ખોટું) હોવાથી,આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(A) રેખાઓની જોડી $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^{2}-2pxy-y^{2}=0$ જોડી માટે,આપણી પાસે $a=1, h=-p, b=-1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ છે,જે $\frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{xy}{-p}$ માં સરળ બને છે.
આનાથી $x^{2}-y^{2} = -\frac{2}{p}xy$ મળે છે,અથવા $x^{2} + \frac{2}{p}xy - y^{2} = 0$.
આપેલ છે કે આ જોડી $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ જેવી જ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $-2q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$pq = -1$.

(B) ધન $x$-અક્ષ અને ધન $y$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખા $y=x$ છે.
આ રેખા $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ જોડનો ભાગ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા:
$ax^{2}+2hx(x)+b(x)^{2}=0$
$ax^{2}+2hx^{2}+bx^{2}=0$
$(a+2h+b)x^{2}=0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$a+b+2h=0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a+b=-2h$.

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a=1$. તેથી,$y=mx+\frac{1}{m}$.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=3$ છે.
કેન્દ્ર $(3,0)$ થી રેખા $mx-y+\frac{1}{m}=0$ નું લંબ અંતર $3$ હોવું જોઈએ:
$\frac{|m(3)-0+\frac{1}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=3$
$|3m+\frac{1}{m}|=3\sqrt{m^{2}+1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3m+\frac{1}{m})^{2}=9(m^{2}+1)$
$9m^{2}+6+\frac{1}{m^{2}}=9m^{2}+9$
$\frac{1}{m^{2}}=3$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,આપણે $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈશું.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા $\sqrt{3}y=x+3$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે,$(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{y_{1}}$ છે.
$(a, 2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{2a} = 1$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ થાય.
$(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2a = -1(x - a)$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x + y - 3a = 0$ થાય છે.
$(a, -2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{-2a} = -1$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $1$ થાય.
$(a, -2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-2a) = 1(x - a)$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x - y - 3a = 0$ થાય છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$((x - 3a) + y)((x - 3a) - y) = 0$ મળે,જે $(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0$ છે.
આમ,$x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$,અથવા $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $W$ સફેદ દડો અને $B$ કાળો દડો દર્શાવે છે. બોક્સની સામગ્રી નીચે મુજબ છે:
બોક્સ $I$: $3W, 1B$ (કુલ $4$ દડા)
બોક્સ $II$: $2W, 2B$ (કુલ $4$ દડા)
બોક્સ $III$: $1W, 3B$ (કુલ $4$ દડા)
આપણે $2$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો મેળવવો છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. બોક્સ $I$ માંથી $B$,બોક્સ $II$ માંથી $W$,બોક્સ $III$ માંથી $W$
$2$. બોક્સ $I$ માંથી $W$,બોક્સ $II$ માંથી $B$,બોક્સ $III$ માંથી $W$
$3$. બોક્સ $I$ માંથી $W$,બોક્સ $II$ માંથી $W$,બોક્સ $III$ માંથી $B$
જરૂરી સંભાવના:
$P = P(B_I)P(W_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(B_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(W_{II})P(B_{III})$
$P = (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4})$
$P = \frac{2}{64} + \frac{6}{64} + \frac{18}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) ધારો કે $y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
આ પદને $y = \frac{(x^{2}+x+1) - 2x}{x^{2}+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^{2}+x+1}$ તરીકે લખી શકાય.
$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\frac{2x}{x^{2}+x+1}$ પદને મહત્તમ બનાવવું પડશે.
ધારો કે $f(x) = \frac{x}{x^{2}+x+1}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને $0$ લેતા:
$f'(x) = \frac{(x^{2}+x+1)(1) - x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{x^{2}+x+1-2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા $1-x^{2} = 0$ મળે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ માટે,$f(-1) = \frac{-1}{1-1+1} = -1$.
આપણે $y = 1 - 2f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1/3$ પસંદ કરીશું.
આમ,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1 - 2(1/3) = 1 - 2/3 = 1/3$ છે.

(B) રેખા $y=4$ એ પરવલય $y^{2}=x$ ને બિંદુ $A$ પર મળે છે. પરવલયના સમીકરણમાં $y=4$ મૂકતા,આપણને $4^{2}=x$ મળે છે,તેથી $x=16$. આમ,બિંદુ $A$ એ $(16, 4)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ પરવલય $x=y^{2}$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y=4$ દ્વારા $y=0$ થી $y=4$ સુધી ઘેરાયેલું છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^{2} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{a}{|\sin x|}}$.
ધારો કે $u = |\sin x|$. જેમ $x \to 0$,તેમ $u \to 0^+$. લક્ષ $\lim_{u \to 0^+} (1+u)^{a/u} = e^a$ થાય.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}}$.
લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan k\theta}{\theta} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\tan 2x / 2x) \cdot 2x}{(\tan 3x / 3x) \cdot 3x} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ મળે.
આમ,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{2/3}$.
$f(0) = b$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $e^a = e^{2/3} = b$ થાય.
તેથી,$a = 2/3$ અને $b = e^{2/3}$ મળે.

(B) $LHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x-1) = 0$
$RHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x^3-1) = 0$
વળી,$f(1) = 1-1 = 0$
$LHL$ $=$ $RHL$ $= f(1)$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ આગળ સતત છે.
હવે,$Lf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1-h)-1-0}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{-h} = 1$
અને $Rf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^3-1-0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1+h^3+3h+3h^2-1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (h^2+3h+3) = 3$
$Lf'(1) \neq Rf'(1)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય નથી.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan x}$.
આપણે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ લખી શકીએ,તેથી $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos(\pi / 2 - x)}{\sin(\pi / 2 - x) + \cos(\pi / 2 - x)} d x = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} d x$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \pi / 2$.
તેથી,$I = \pi / 4$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -\pi / 2$ અને $b = \pi / 2$,તેથી $a+b = 0$.
તેથી,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{-x}} d x$
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^x \cos x}{e^x + 1} d x$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} d x$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos x d x$
કારણ કે $\cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$
$2I = 2[\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 2(1 - 0) = 2$
તેથી,$I = 1$.

(C) અહીં $n=4$ આપેલ છે,તેથી અંતરાલ $[0, 1]$ ને $h = \frac{1-0}{4} = 0.25$ પહોળાઈના $4$ પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$x_i$ પર $y = \frac{1}{1+x^2}$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

$x$	$y$
$0$	$1.0$
$0.25$	$0.941176$
$0.5$	$0.8$
$0.75$	$0.64$
$1$	$0.5$

સિમ્પસનના $\frac{1}{3}$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{h}{3} [(y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [(1.0 + 0.5) + 4(0.941176 + 0.64) + 2(0.8)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.581176) + 1.6]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 6.324704 + 1.6] = \frac{0.25}{3} [9.424704] \approx 0.785392$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $0.785$ મળે છે.

(C) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\left|\begin{array}{ccc} a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
સાદું રૂપ આપવા માટે હારની અદલાબદલી કરતા:
$-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & (a+1) & (a+2) \\ a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x=a, y=a+1, z=a+2$:
$-(a-(a+1))((a+1)-(a+2))((a+2)-a)(a+(a+1)+(a+2)) = 0$
$-(-1)(-1)(2)(3a+3) = 0$
$-2(3a+3) = 0$
$3a+3 = 0 \Rightarrow a = -1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}}{\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)}+\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=x^{2}-1$ છે.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ વડે ગુણીને અપૂર્ણાંક દૂર કરીએ:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5} \cdot \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right) + 4 \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2} = (x^{2}-1) \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$.
સમીકરણમાં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 3$ છે.
ઘાત એ સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોમાં બહુપદી સ્વરૂપે હોય. અહીં,$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-k) \frac{dy}{dx} = 0$
$(x-h) + (y-k) \frac{dy}{dx} = 0$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + (y-k) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
$(y-k) = -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}}$ ... (iii)
(ii) પરથી,$(x-h) = -(y-k) \frac{dy}{dx}$. આમાં (iii) ની કિંમત મૂકતા:
$(x-h) = \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]}{d^{2}y/dx^{2}} \cdot \frac{dy}{dx}$ ... (iv)
$(i)$ માં (iii) અને (iv) ની કિંમત મૂકતા:
$\left[ \frac{[1 + (dy/dx)^{2}] \cdot (dy/dx)}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} + \left[ -\frac{1 + (dy/dx)^{2}}{d^{2}y/dx^{2}} \right]^{2} = a^{2}$
$\frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{2}}{ (d^{2}y/dx^{2})^{2} } \left[ (dy/dx)^{2} + 1 \right] = a^{2}$
$\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3} = a^{2} \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}$

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ થાય છે.
સ્વૈર અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 2ay$ માં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
ગોઠવતા,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,તેથી $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
આમ,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,અથવા $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$ થાય.
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $\log x$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = 16 - 2t + 3t^{3}$
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(16 - 2t + 3t^{3}) = -2 + 9t^{2}$
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-2 + 9t^{2}) = 18t$
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રવેગ: $a = 18 \times 2 = 36 \ m/s^{2}$

(A) આપેલ છે,$x^{p} y^{q}=(x+y)^{p+q}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$p \ln x + q \ln y = (p+q) \ln (x+y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x+y) - y(p+q)}{y(x+y)} \right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x+y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $(qx - py)$ અને $(x+y)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) આપેલ છે કે $x = 2 \cos t - \cos 2t$ અને $y = 2 \sin t - \sin 2t$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt}$ અને $\frac{dy}{dt}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = -2 \sin t + 2 \sin 2t$
$\frac{dy}{dt} = 2 \cos t - 2 \cos 2t$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2 \cos t - 2 \cos 2t}{-2 \sin t + 2 \sin 2t} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{3t}{2} \sin \frac{t}{2}}{2 \cos \frac{3t}{2} \sin \frac{t}{2}} = \tan \frac{3t}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \tan \frac{3t}{2} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \sec^2 \frac{3t}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-2 \sin t + 2 \sin 2t}$.
$t = \pi/2$ માટે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \sec^2 \left( \frac{3\pi}{4} \right) \cdot \frac{1}{-2 \sin(\pi/2) + 2 \sin(\pi)} = \frac{3}{2} (2) \cdot \frac{1}{-2} = -3/2$.

(A) આપેલ છે કે $y = \log(\tan(x/2)) + \sin^{-1}(\cos x)$.
પ્રથમ,$\log(\tan(x/2))$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\log(\tan(x/2))) = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
હવે,$\sin^{-1}(\cos x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
કારણ કે $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$,તેથી $\sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\pi/2 - x)) = \pi/2 - x$.
તેથી,$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\cos x)) = \frac{d}{dx}(\pi/2 - x) = -1$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec} x - 1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x} g(x)$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$f^{\prime}(x) = e^{x} g^{\prime}(x) + e^{x} g(x)$.
$x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime}(0) = e^{0} \cdot g^{\prime}(0) + e^{0} \cdot g(0)$.
$e^{0} = 1$,$g^{\prime}(0) = 1$,અને $g(0) = 2$ હોવાથી:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2$.
$f^{\prime}(0) = 1 + 2 = 3$.

(D) આપણને વિધેયાત્મક સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ આપેલ છે.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
આપેલ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$f(3+h)=f(3) \cdot f(h)$.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3) \cdot f(h)-f(3)}{h} = f(3) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0+0)=f(0) \cdot f(0)$ હોવાથી,$f(0)=f(0)^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=1$.
આમ,$f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
$f(3)=3$ અને $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$ ની કિંમતો $f^{\prime}(3)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(3) = 3 \times 11 = 33$.

(B) ધારો કે $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx$.
આને $I = \int \left( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right) \, dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$ તરીકે લખી શકાય.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sqrt{2}(\sin x + \cos x)}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
કારણ કે $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$,ધારો કે $t = \sin x - \cos x$.
તો $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + C = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + C$.
નિત્યસમ $\sin^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}}\right) + C = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\right) + C$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{\cos x}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{d x}(x \sin x+\cos x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} \right) d x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \frac{x}{\cos x}$ અને $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
તેથી $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} d x$ અને $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$.
$I = \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) - \int \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^{2} x d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$.
$I = \frac{-x + \sin x - x \cos x}{\dots} = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin(\pi-x)} = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\cos \alpha \sin x}$
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ અને $dx = \frac{2 \sec^2(x/2) \, d(x/2)}{1}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તો $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \, dx$:
$2I = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{2 \, dt}{1+t^2 + 2t \cos \alpha} = 2\pi \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{(t+\cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$
$I = \pi \left[ \frac{1}{\sin \alpha} \tan^{-1} \left( \frac{t+\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \right]_{0}^{\infty}$
$I = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \cot \alpha \right) \right) = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \alpha) \right) = \frac{\pi \alpha}{\sin \alpha}$

(C) પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{G(x)-G(1)}{x-1}$ એ $x=1$ આગળ $G(x)$ નું વિકલન દર્શાવે છે,જેને $G'(1)$ કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $G(x) = -\sqrt{25-x^{2}}$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$G'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{25-x^{2}}} \cdot (-2x) = \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}$.
$x=1$ મુકતા:
$G'(1) = \frac{1}{\sqrt{25-(1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$) $-x_{1} + x_{2} \leq 1$
$2$) $-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$
$3$) $x_{1}, x_{2} \geq 0$
આ રેખાઓને કાર્ટેઝિયન સમતલ પર દોરતા:
- $-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
- $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
અન-ઋણતાની શરતો $x_{1}, x_{2} \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
અસમતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલોના છેદને જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રદેશ $x_{1}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ અનુક્રમે ખોરાક $A$ અને ખોરાક $B$ ના એકમોની સંખ્યા છે.
ધ્યેય ખર્ચ $z = 4x + 3y$ ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
પોષક તત્વોના આધારે મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. વિટામિન: $200x + 100y \geq 4000$
$2$. પ્રોટીન: $x + 2y \geq 50$
$3$. કેલરી: $40x + 40y \geq 1400$
$4$. અન-ઋણતા: $x \geq 0, y \geq 0$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ એ તૈયાર કરેલી મર્યાદાઓ અને ઉદ્દેશ્ય વિધેય સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપણી પાસે છે,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x)$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - \nabla f(x) \}$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - (f(x) - f(x-h)) \}$
$= (1+\Delta) f(x-h)$
કારણ કે $E = 1 + \Delta$,તેથી $E f(x-h) = f(x-h+h) = f(x)$.
આમ,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x) = f(x) = 1 \cdot f(x)$.
તેથી,$(1+\Delta)(1-\nabla) = 1$.

(B) ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોના ચિહ્નો બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $E_{1}$ એ સરવાળો $6$ મળવાની ઘટના છે. તેના પરિણામો $E_{1} = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$ છે.
$E_{1}$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_{1}) = 5$ છે.
ઘટના $E_{2}$ એ બે પાસાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક પર $2$ મળવાની ઘટના છે. $E_{1} \cap E_{2}$ માં એવા પરિણામો આવશે જે $E_{1}$ માં હોય અને જેમાં ઓછામાં ઓછો એક $2$ હોય.
આ પરિણામો $\{(2, 4), (4, 2)\}$ છે.
તેથી,$n(E_{1} \cap E_{2}) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(E_{2} / E_{1})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E_{2} / E_{1}) = \frac{n(E_{1} \cap E_{2})}{n(E_{1})} = \frac{2}{5}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2}$ અને $P(X=2) = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$9 P(X=4) = P(X=2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$9 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી સમીકરણ $9 p^{4} (1-p)^{2} = p^{2} (1-p)^{4}$ માં ફેરવાય છે.
બંને બાજુ $p^{2} (1-p)^{2}$ વડે ભાગતા,$9 p^{2} = (1-p)^{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$3p = 1-p$ મળે (કારણ કે $p$ ધન છે).
$4p = 1$,તેથી $p = 1/4$ થાય.

(A) બિંદુઓ $(3, 1, 4)$ અને $(7, 2, 12)$ ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\langle 7-3, 2-1, 12-4 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ છે. ધારો કે આ $\langle a_1, a_2, a_3 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ છે.
આપેલી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\langle b_1, b_2, b_3 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણાના કોસાઇન માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|(4)(2) + (1)(2) + (8)(1)|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{18}{\sqrt{81} \sqrt{9}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખાના દિશા ખૂણાઓ છે,તેથી દિશા કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે.
દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma$ ની કિંમત શોધવી છે.
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma = (1 - \cos ^{2} \alpha) + (1 - \cos ^{2} \beta) + (1 - \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - (\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.

(B) ધારો કે સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$.

(C) ધારો કે સદિશ $v$ ત્રણેય અક્ષો સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તો $v$ ના દિકકોસાઈન $\langle \cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha \rangle$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશ માટે,તેના દિકકોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$3 \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,દિકકોસાઈન $\langle \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ અથવા $\langle -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ છે.

(B) સદિશો $a$,$b$ અને $c$ સમતલીય હોવાથી,એવા અદિશો $x$,$y$ અને $z$ (જે બધા એકસાથે શૂન્ય ન હોય) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x a + y b + z c = 0$ $(i)$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુએ અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$
$x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ ને $x$,$y$ અને $z$ ચલોમાં સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ તરીકે લેતા,કારણ કે શૂન્યતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array}\right| = 0$.

(A) આપેલ છે કે $u = a - b$ અને $v = a + b$.
આપણે $|u \times v|$ શોધવાનું છે.
$|u \times v| = |(a - b) \times (a + b)|$
$= |a \times a + a \times b - b \times a - b \times b|$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,અને $b \times a = -(a \times b)$,તેથી:
$|u \times v| = |0 + a \times b + a \times b - 0| = |2(a \times b)| = 2|a \times b|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2}$.
આપેલ છે કે $|a| = |b| = 2$,તેથી $|a|^{2} = 4$ અને $|b|^{2} = 4$.
$|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = 4 \times 4 = 16$.
$|a \times b| = \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$.
તેથી,$|u \times v| = 2 \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$.