MHT CET 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$, जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, $R$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है, इसलिए $g \propto R$ होगा।
मान लीजिए पृथ्वी पर त्वरण $g$ है और ग्रह पर त्वरण $g^{\prime}$ है।
दिया गया है कि $R^{\prime} = 0.2 R$, इसलिए:
$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = 0.2$
अतः, $g^{\prime} = 0.2 g$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_{e}$ और $R_{e}$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_{m}$ और $R_{m}$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_{e} = 81 M_{m}$ और $R_{e} = 3.5 R_{m}$।
पृथ्वी पर पलायन वेग $(v_{e})$ और चंद्रमा पर पलायन वेग $(v_{m})$ का अनुपात:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{M_{e}}{R_{e}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81 M_{m}}{3.5 R_{m}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81}{3.5}} = \sqrt{23.14} \approx 4.81$.

(B) न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार,एक वृत्ताकार पथ में गति करने वाली वस्तु को अपनी गति बनाए रखने के लिए वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल की आवश्यकता होती है।
चूंकि पृथ्वी सूर्य के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण करती है,इसलिए पृथ्वी पर सूर्य की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल कार्य करना चाहिए।
यह बल सूर्य और पृथ्वी के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
इसलिए,पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण ही इस बात का प्रमाण है कि ऐसा बल मौजूद है।

(A) $\text{डोरी में तनाव } T$ $\text{क्षैतिज वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।}
\text{तनाव का सूत्र } T = \frac{m v^2}{r}$ $\text{है, जहाँ } m$ $\text{द्रव्यमान है, } v$ $\text{चाल है, और } r$ $\text{त्रिज्या (डोरी की लंबाई) है।}
\text{दिया गया है: } m = 0.25 \,kg, r = 1.96 \,m, \text{और अधिकतम तनाव } T_{max} = 25 \,N.
\text{समीकरण में मान रखने पर: } 25 = \frac{0.25 \times v^2}{1.96}.
v^2$ $\text{के लिए हल करने पर: } v^2 = \frac{25 \times 1.96}{0.25}.
v^2 = 100 \times 1.96 = 196.
\text{वर्गमूल लेने पर: } v = \sqrt{196} = 14 \,m/s.$

(D) समतल वृत्ताकार सड़क पर चल रही कार के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए $m$ कार का द्रव्यमान है,$v$ गति है,$r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है और $\mu$ घर्षण गुणांक है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
उपलब्ध अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है।
फिसलने से बचने के लिए,हमारे पास $F_c \leq f_{max}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक $\mu = \frac{v^2}{rg}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $v = 12.5 \ m/s$,$r = 20 \ m$,और $g = 9.8 \ m/s^2$:
$\mu = \frac{12.5 \times 12.5}{20 \times 9.8} = \frac{156.25}{196} \approx 0.797$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\mu = 0.8$ प्राप्त होता है।

(A) किसी स्प्रिंग को $x$ विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग के लिए विस्तार $x$ समान है,इसलिए किया गया कार्य स्प्रिंग नियतांक $k$ के सीधे समानुपाती है $(W \propto k)$।
यह दिया गया है कि $k_{A} > k_{B}$,इसलिए $W_{A} > W_{B}$ होगा।
अतः,स्प्रिंग $A$ को खींचने के लिए अधिक कार्य की आवश्यकता होगी।

(A) बर्नौली का समीकरण बहते हुए तरल पदार्थ पर लागू कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त किया जाता है। यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह के लिए,दाब ऊर्जा,प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है। इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$ होता है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है, तो नई त्रिज्या $R' = 2R$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi (2R)^2 = 2 \times 4 \pi (4R^2) = 32 \pi R^2$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = T \times (32 \pi R^2) = 32 \pi R^2 T$ है।
किया गया कार्य $W = E_f - E_i$ है।
$W = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$।

(B) खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा के अनुसार:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} \implies \text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \left( \frac{\text{प्रतिबल}}{Y} \right)$
यहाँ प्रतिबल $S$ दिया गया है:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right) = \frac{1}{2} \frac{S^{2}}{Y}$

(D) $l$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले तार में $\Delta l$ विस्तार उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल $F = \frac{Y A \Delta l}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम बल को $F = \frac{Y \pi d^2 \Delta l}{4 l}$ के रूप में लिख सकते हैं।
समान पदार्थ के तारों के लिए,$Y$ स्थिर है। अतः,$F \propto \frac{d^2 \Delta l}{l}$।
दिया गया है कि $\Delta l_A = \Delta l_B$,इसलिए बलों का अनुपात $\frac{F_A}{F_B} = \frac{d_A^2}{d_B^2} \times \frac{l_B}{l_A}$ होगा।
दिया है कि $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{l_B}{l_A} = 2$ और $\frac{d_A}{d_B} = \frac{2}{1}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{F_A}{F_B} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$।
अतः,अनुपात $F_A : F_B = 8: 1$ है।

(C) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ विस्तार है।
चूँकि सभी तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए $Y$ स्थिर है। समान लंबाई $L$ वाले तारों के लिए,$A = \frac{FL}{Y \Delta l}$ होता है।
स्थिर भार $F$ के लिए,क्षेत्रफल $A$ विस्तार $\Delta l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(A \propto \frac{1}{\Delta l})$।
ग्राफ से,दिए गए भार $F$ के लिए,रेखा $OA$ के लिए विस्तार $\Delta l$ अधिकतम है (अर्थात,$\Delta l_A > \Delta l_B > \Delta l_C > \Delta l_D$)।
चूँकि $A \propto \frac{1}{\Delta l}$,जिस तार का विस्तार सबसे अधिक होगा,उसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल सबसे कम होगा।
अतः,रेखा $OA$ सबसे पतले तार को दर्शाती है।

(C) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु के लिए रेखीय वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$v = r \omega$
कोणीय वेग $(\omega)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
$\omega = \frac{v}{r}$
अतः,कोणीय वेग $v / r$ है।

(C) घड़ी की घंटे वाली सुई $12$ घंटे में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
सबसे पहले,समय को सेकंड में बदलें: $12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \text{ मिनट} = 12 \times 60 \times 60 \text{ सेकंड} = 43200 \text{ सेकंड}$।
कोणीय चाल $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\theta}{t}$ है।
मान रखने पर: $\omega = \frac{360^{\circ}}{43200 \text{ s}}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\omega = \frac{360}{43200} = \frac{36}{4320} = \frac{1}{120} \text{ डिग्री प्रति सेकंड}$।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन समीकरण $y = a \sin(\omega t)$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय आवृत्ति है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{a}{2} = a \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin(\frac{2\pi}{T} t) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(B) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ अक्ष से $r_i$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान है।
दिए गए द्रव्यमान के लिए जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष से यथासंभव दूर वितरित किया जाना चाहिए।
चूंकि लोहा एल्युमीनियम की तुलना में अधिक सघन होता है,इसलिए अधिक सघन पदार्थ (लोहे) को परिधि पर (आंतरिक भाग के चारों ओर) रखने से जड़त्व आघूर्ण में काफी वृद्धि होती है।
अतः,आंतरिक भाग में एल्युमीनियम और उसके चारों ओर लोहा रखना जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने का सबसे प्रभावी तरीका है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा विकिरण की दर $E$,परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
$T_{1} = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_{2} = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$E_{1} = 5 \ cal/cm^{2}-s$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = (2)^{4} = 16$
$E_{2} = 16 \times 5 = 80 \ cal/cm^{2}-s$
अतः,विकिरित ऊष्मा की दर $80 \ cal/cm^{2}-s$ होगी।

(D) प्रत्येक पिंड हर समय और हर तापमान पर विद्युत चुम्बकीय विकिरण का उत्सर्जन करता है।
मानव शरीर के लिए,जिसका सामान्य तापमान लगभग $37^{\circ}C$ $(310 \ K)$ होता है,उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तरंगदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त (infrared) क्षेत्र में आती है।
इसलिए,मानव शरीर द्वारा उत्सर्जित विकिरण अवरक्त क्षेत्र में होता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
अतः,$\frac{PV}{T} = \frac{m}{M}R$.
प्रारंभ में,$P_1 = 10 \text{ atm}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,और द्रव्यमान $m$ है।
इसलिए,$\frac{10V}{300} = \frac{m}{M}R \implies \frac{m}{M}R = \frac{10V}{300} = \frac{V}{30}$.
आधा द्रव्यमान हटाने के बाद,नया द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ है।
नया तापमान $T_2 = 87 + 273 = 360 \text{ K}$ है।
अंतिम स्थिति के लिए गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $P_2 V = n' R T_2 = \frac{m}{2M} R T_2$.
$\frac{m}{M}R = \frac{V}{30}$ का मान रखने पर:
$P_2 V = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{30} \right) \times 360$.
$P_2 = \frac{360}{60} = 6 \text{ atm}$.

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का एक फलन है,जिसे $U = f(T)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गैस को स्थिर तापमान (समतापीय प्रक्रिया) पर संपीड़ित किया जाता है,इसलिए तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि तापमान नहीं बदलता है,इसलिए गैस की आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसके अलावा,अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$।
चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा और गति भी स्थिर रहती है।
अतः,अणु न तो गति,न गतिज ऊर्जा और न ही आंतरिक ऊर्जा प्राप्त करते हैं।
सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों तरंगों का आयाम $A$ और तीव्रता $I_0$ है। तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I_0 \propto A^2$ है।
जब ये दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) के दौरान अधिकतम आयाम $A_{max} = A + A = 2A$ होता है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ अधिकतम आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{max} \propto (A_{max})^2 = (2A)^2 = 4A^2$।
चूंकि $I_0 \propto A^2$ है,इसलिए $I_{max} = 4I_0$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम तीव्रता प्रत्येक घटक तरंग की तीव्रता की $4$ गुनी होती है।

(A) एक अनुनाद नली में (जो एक बंद पाइप के रूप में कार्य करती है),अनुनाद की लंबाई $l_1 = \frac{\lambda}{4}$ और $l_2 = \frac{3\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
दो अनुनाद लंबाइयों के बीच का अंतर $l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ $l_1 = 16 \ cm = 0.16 \ m$ और $l_2 = 49 \ cm = 0.49 \ m$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = 0.49 \ m - 0.16 \ m = 0.33 \ m$।
इसका अर्थ है कि $\lambda = 0.66 \ m$।
तरंग समीकरण $v = n\lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 330 \ m/s$ ध्वनि का वेग है और $n$ आवृत्ति है:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{330}{0.66} = 500 \ Hz$।

(A) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जो यह दर्शाती है कि ध्वनि की गति $v$ परम तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ध्वनि की गति $v$ बढ़ती है।
ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n$ को $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\lambda$ पाइप की लंबाई द्वारा निर्धारित तरंगदैर्ध्य है,जो स्थिर रहती है।
चूंकि $v$ बढ़ता है और $\lambda$ स्थिर रहता है,इसलिए आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 4 \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right) \cos (96 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,तरंग संख्या $k$ प्राप्त होती है:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = 15 \times 2 = 30$
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
अतः,अभीष्ट दूरी $\frac{30}{4} = 7.5$ है।

(B) समतल प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin (kx + \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण $y = 0.0015 \sin (62.4 x + 316 t)$ है।
इसकी तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 62.4 \text{ rad/unit}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ होगा।
$k$ का मान रखने पर और $\pi \approx 3.14$ लेने पर,हमें $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.4} = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \text{ unit}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि गोले का द्रव्यमान $m$ है और धागे की लंबाई $l$ है।
निलंबन बिंदु की ऊँचाई तक पहुँचने के लिए,गोले को $l$ के बराबर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तय करनी होगी।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सबसे निचले बिंदु पर दी गई गतिज ऊर्जा,निलंबन बिंदु की ऊँचाई पर प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए कि गोले को दिया गया न्यूनतम क्षैतिज वेग $v$ है।
सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$।
निलंबन बिंदु की ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा = $mgl$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = 2gl$,जिससे $v = \sqrt{2gl}$ प्राप्त होता है।

(D) बोर मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-आयनित लिथियम परमाणु $(Li^{2+})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \; eV = -13.6 \times 9 \; eV = -122.4 \; eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत $(E_{\infty} = 0)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
इसलिए,आयनन ऊर्जा $= E_{\infty} - E_1 = 0 - (-122.4 \; eV) = 122.4 \; eV$।

(A) दिया गया $\text{emf } E = E_{0} \cos(\omega t)$ है,जहाँ $E_{0} = 4 \text{ V}$ और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ है।
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{L} = \omega L$ है।
यहाँ $R = 4 \text{ } \Omega$,$L = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$ ज्ञात करें।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ प्राप्त होती है।
धारा का आयाम $i_{0} = \frac{E_{0}}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ A}$ है।

(C) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ होता है।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
$Z = R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुनाद पर शक्ति गुणांक इकाई (unity) होता है।

(A) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
यहाँ,$I$ विद्युत धारा है,जो $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है,जहाँ $v$ कक्षीय वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$r \propto n^2$ और $v \propto \frac{1}{n}$ है।
इन मानों को धारा के सूत्र में रखने पर: $I \propto \frac{(1/n)}{n^2} = n^{-3}$ प्राप्त होता है।
अब,$I$ और $r$ के मानों को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{n^{-3}}{n^2} = n^{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $n^{-5}$ के समानुपाती है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
इससे,वेग $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कक्षीय त्वरण (अभिकेंद्र त्वरण): $a = \frac{v^2}{r}$ है।
$v$ का मान रखने पर: $a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$।

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$
जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभिक धारिता $C = 10 \mu F$ दी गई है।
यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $d' = 2d$ होगी।
नई धारिता $C'$ होगी:
$C' = \frac{\varepsilon_{0} A}{d'} = \frac{\varepsilon_{0} A}{2d}$
प्रारंभिक धारिता के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$C' = \frac{C}{2}$
$C' = \frac{10 \mu F}{2} = 5 \mu F$
अतः,नई धारिता $5 \mu F$ होगी।

(A) संधारित्र का ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के साथ $E = \frac{V}{d}$ के रूप में संबंधित है,
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियो संचार में,सिग्नल को विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में प्रेषित किया जाता है।
ये विद्युत चुम्बकीय तरंगें तारों या केबलों जैसे किसी भी भौतिक माध्यम की आवश्यकता के बिना वायुमंडल या निर्वात में यात्रा करती हैं।
इसलिए,जिस माध्यम से ये तरंगें यात्रा करती हैं उसे मुक्त स्थान (Free space) कहा जाता है।
अतः,मुक्त स्थान रेडियो संचार के लिए संचार चैनल के रूप में कार्य करता है।

(A) वोल्टमीटर की फुल-स्केल विक्षेपण धारा $(I_{g})$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{g} = \frac{V}{R} = \frac{3 \, V}{200 \, \Omega} = 0.015 \, A = 15 \, mA$.
गैल्वेनोमीटर (या वोल्टमीटर) को एमीटर में बदलने के लिए, हम समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध जोड़ते हैं।
एमीटर की रेंज $(I)$ हमेशा परिवर्तित किए जा रहे उपकरण की फुल-स्केल विक्षेपण धारा $(I_{g})$ से अधिक होनी चाहिए।
चूंकि $I_{g} = 15 \, mA$ है, इसलिए एमीटर की रेंज $15 \, mA$ से कम नहीं हो सकती है।
अतः, वोल्टमीटर को $10 \, mA$ की रेंज वाले एमीटर में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

(C) $E$ $\operatorname{emf}$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल को जब बाहरी प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है,तो शक्ति आउटपुट $P = I^{2} R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I = E / (R + r)$,इसलिए $P = (E / (R + r))^{2} R = E^{2} R / (R + r)^{2}$ होता है।
अधिकतम शक्ति प्राप्त करने के लिए,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $dP / dR = E^{2} [((R + r)^{2} - R(2(R + r))) / (R + r)^{4}] = 0$.
इसे सरल करने पर $(R + r)^{2} - 2R(R + r) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $R + r - 2R = 0$,अर्थात $R = r$ मिलता है।
अब $R = r$ का मान शक्ति के सूत्र में रखने पर,$P_{\text{max}} = E^{2} r / (r + r)^{2} = E^{2} r / (2r)^{2} = E^{2} r / 4r^{2} = E^{2} / 4r$ प्राप्त होता है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $E$ गतिज ऊर्जा वाले कण से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
अतः,जब इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ बढ़ाई जाती है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाएगी।

(A) स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{N \phi}{I}$ है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 100$
धारा $I = 5 \ A$
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 5 \times 10^{-5} \ Wb$
सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{100 \times 5 \times 10^{-5}}{5}$
$L = 100 \times 10^{-5} \ H$
$L = 10^{-3} \ H = 1 \ mH$.

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{i} q_{j}}{r_{ij}}$.
$10 \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$ के तीन समान आवेशों और $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,तीन समान युग्म बनते हैं।
$U_{\text{system}} = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r} \right)$.
मान रखने पर:
$U_{\text{system}} = 3 \times (9 \times 10^{9}) \times \frac{(10 \times 10^{-6})^{2}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times \frac{100 \times 10^{-12}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times 1000 \times 10^{-12}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{12} \times 10^{-12} = 27 \ J$.

(D) केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे भागों और वृत्ताकार चाप $PQR$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. सीधे भागों $AP$ और $RB$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
$2$. वृत्ताकार चाप $PQR$ (जो एक अर्धवृत्त है) के कारण इसके केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{arc} = \frac{\mu_{0} i}{4R}$ (कागज के तल के अंदर की ओर)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $D$ है।

(D) $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$N_1 = 2$ और $B_1 = B = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_1} = \frac{\mu_0 I}{r_1}$ है।
जब कुंडली को फिर से लपेटकर $N_2 = 4$ फेरे किए जाते हैं,तो तार की कुल लंबाई समान रहती है। चूंकि लंबाई $L = N(2\pi r)$ है,इसलिए $N_1 r_1 = N_2 r_2$ होगा।
मान रखने पर: $2 r_1 = 4 r_2$,जिससे $r_2 = r_1 / 2$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2r_2} = \frac{\mu_0 (4) I}{2(r_1 / 2)} = \frac{4 \mu_0 I}{r_1}$ है।
$B_2$ की $B_1$ से तुलना करने पर: $B_2 = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{r_1}) = 4 B_1 = 4 B$।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $B_{P} = B_{Q}$,इसलिए $\frac{\mu_{0} I_{P}}{2 r_{P}} = \frac{\mu_{0} I_{Q}}{2 r_{Q}}$.
चूंकि $r_{Q} = 2 r_{P}$,हमें $\frac{I_{P}}{r_{P}} = \frac{I_{Q}}{2 r_{P}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I_{Q} = 2 I_{P}$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{2 \pi r}{A}$ है। चूंकि तार समान है,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto r$.
अतः,$R_{Q} = 2 R_{P}$.
विभवांतर $V = IR$ है। इस प्रकार,$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{I_{Q} R_{Q}}{I_{P} R_{P}} = \left(\frac{2 I_{P}}{I_{P}}\right) \times \left(\frac{2 R_{P}}{R_{P}}\right) = 2 \times 2 = 4$.
अतः,$V_{Q} = 4 V_{P}$.

(D) विरामावस्था से $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक आवेशित कण का संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$m = m_{e}$ और $q = e$ है।
$\alpha$-कण के लिए,$m = m_{\alpha}$ और $q = 2e$ है।
संवेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2 m_{e} e V}}{\sqrt{2 m_{\alpha} (2e) V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{2 m_{e} e V}{4 m_{\alpha} e V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2 m_{\alpha}}}$

(A) $t$ मोटाई के माध्यम में तरंगों की संख्या $N = t / \lambda_m$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_m = \lambda_0 / n$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है और $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$N = (t \cdot n) / \lambda_0$.
चूंकि कांच और पानी दोनों के लिए तरंगों की संख्या समान है:
$N_{glass} = N_{water}$
$(t_g \cdot n_g) / \lambda_0 = (t_w \cdot n_w) / \lambda_0$
$t_g \cdot n_g = t_w \cdot n_w$
यहाँ $t_g = 4 \ cm$,$t_w = 5 \ cm$,और $n_w = 4/3$ दिया गया है:
$4 \cdot n_g = 5 \cdot (4/3)$
$n_g = (5 \cdot 4) / (3 \cdot 4)$
$n_g = 5/3$.

(B) जब एक $pn$-जंक्शन डायोड रिवर्स बायस में होता है,तो बाहरी बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास बहुसंख्यक आवेश वाहकों ( $p$-क्षेत्र में होल्स और $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन) को जंक्शन से दूर खींचता है।
परिणामस्वरूप,जंक्शन के पास स्थिर आयनों की सांद्रता बढ़ जाती है,जिससे अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई बढ़ जाती है।

(A) ट्रांजिस्टर को एम्पलीफायर के रूप में कार्य करने के लिए,इसे सक्रिय (active) क्षेत्र में होना चाहिए।
सक्रिय क्षेत्र में,उत्सर्जक-आधार जंक्शन अग्र-अभिनत (forward-biased) होता है,जो आवेश वाहकों को उत्सर्जक से आधार में प्रवाहित होने देता है।
आधार-संग्राहक जंक्शन पश्च-अभिनत (reverse-biased) होता है,जो संग्राहक को उत्सर्जक से इंजेक्ट किए गए अधिकांश आवेश वाहकों को एकत्र करने की अनुमति देता है।
इसलिए,सही विन्यास यह है कि उत्सर्जक-आधार जंक्शन अग्र-अभिनत हो और आधार-संग्राहक जंक्शन पश्च-अभिनत हो।

(C) एक थर्मोकपल में,उदासीन तापमान $(T_n)$ दो जंक्शनों के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्रियों का एक विशिष्ट गुण है। इसे गर्म जंक्शन के उस तापमान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर थर्मो-इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ अधिकतम हो जाता है और थर्मोइलेक्ट्रिक पावर शून्य हो जाती है। उदासीन तापमान केवल थर्मोकपल की सामग्रियों पर निर्भर करता है और ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,यदि ठंडे जंक्शन का तापमान कम हो जाता है,तो उदासीन तापमान समान रहता है।

(A) टूरमैलीन क्रिस्टल एक डाइक्रोइक (dichroic) पदार्थ है। जब अध्रुवित प्रकाश इससे होकर गुजरता है,तो क्रिस्टल चुनिंदा रूप से साधारण किरण (ऑप्टिक अक्ष के लंबवत कंपन करने वाला प्रकाश का घटक) को अवशोषित कर लेता है और असाधारण किरण (ऑप्टिक अक्ष के समानांतर कंपन करने वाला प्रकाश का घटक) को प्रसारित करता है। इसलिए,क्रिस्टल से निकलने वाला प्रकाश समतल-ध्रुवित होता है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन में,निम्निष्ठ के लिए शर्त $b \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\theta = \frac{n\lambda}{b}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ प्रथम निम्निष्ठ $\theta = -\frac{\lambda}{b}$ और $\theta = \frac{\lambda}{b}$ के बीच स्थित होता है।
द्वितीयक उच्चिष्ठ निम्निष्ठों के बीच लगभग $\theta = \pm \frac{3\lambda}{2b}, \pm \frac{5\lambda}{2b}, \dots$ पर स्थित होते हैं।
किसी भी द्वितीयक उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई उसके चारों ओर के दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी होती है।
कोणीय चौड़ाई $= \theta_{n+1} - \theta_{n-1} = \frac{(n+1)\lambda}{b} - \frac{(n-1)\lambda}{b} = \frac{2\lambda}{b}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) सबसे अधिक चमकीला और चौड़ा होता है। जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठों (secondary maxima) की तीव्रता तेजी से घटती जाती है और फ्रिंज की चौड़ाई केंद्रीय उच्चिष्ठ की तुलना में असमान रहती है। इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता दोनों असमान होती हैं।

(A) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
दिया गया है कि स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $w_1 / w_2 = 1 / 9$ है,इसलिए दोनों स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $I_1 / I_2 = 1 / 9$ होगा।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ (जहाँ $a$ आयाम है),आयामों का अनुपात $a_1 / a_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{1 / 9} = 1 / 3$ होगा।
मान लीजिए $a_1 = a$ और $a_2 = 3a$ है।
न्यूनतम तीव्रता और अधिकतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a_1 - a_2}{a_1 + a_2} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a - 3a}{a + 3a} \right)^2 = \left( \frac{-2a}{4a} \right)^2 = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।