यदि f(x) = begin{cases} (1+|sin x|)^{frac{a}{ | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं

Vedclass · Accepted Answer

$2/3, e^{2/3}$

Vedclass · Answer

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{a}{|\sin x|}}$.माना $u = |\sin x|$। जैसे $x 	o 0$,$u 	o 0^+$। सीमा $\lim_{u 	o 0^+} (1+u)^{a/u} = e^a$ हो जाती है।अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} e^{\frac{	an 2x}{	an 3x}}$.सीमा $\lim_{	heta 	o 0} \frac{	an k	heta}{	heta} = k$ का उपयोग करते हुए,$\lim_{x 	o 0^+} \frac{	an 2x}{	an 3x} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{(	an 2x / 2x) \cdot 2x}{(	an 3x / 3x) \cdot 3x} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = e^{2/3}$।चूंकि $f(0) = b$,निरंतरता के लिए $e^a = e^{2/3} = b$ होना चाहिए।इसलिए,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ है।

यदि $f(x) = \begin{cases} (1+|\sin x|)^{\frac{a}{|\sin x|}}, & -\pi/6 < x < 0 \\ b, & x = 0 \\ e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}}, & 0 < x < \pi/6 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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$k$ का वह मान जो $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ को $x = 0$ पर संतत बनाता है,वह है

$f(x) = x^{3} + x^{2} - 1$ द्वारा दिए गए फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $(0, \pi )$ पर सतत नहीं है?

माना $f(x) = \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }, x \ne \frac{\pi }{4}, x \in [0, \frac{\pi }{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi }{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi }{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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