પરવલય y^2=4x+1 એ તકતી x^2+y^2 leq 1 ને A_1 અન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -1/4$ પર હોવાથી,છેદબિંદુ $x=0$ (જ્યાં $y = \pm 1$) મળે છે.છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ નીચે મુજબ છે:$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$સંકલન ગણતા:$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.તેથી,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi$ છે. તેથી,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.અંતે,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

પરવલય $y^2=4x+1$ એ તકતી $x^2+y^2 \leq 1$ ને $A_1$ અને $A_2$ ક્ષેત્રફળવાળા બે પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરે છે. તો,$|A_1-A_2|$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વક્રો $y^{2}=2x$ અને $y=x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર $y = x^2 - 1$ અને રેખા $x + y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો:

વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=4$ અને $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

જો વક્રો $y=4-\frac{x^2}{4}$ અને $y=\frac{x-4}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\alpha$ હોય,તો $6 \alpha$ ની કિંમત શોધો.

$x^2 + y^2 = \pi^2$ અને $y = \sin x$ વચ્ચે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module