KVPY 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $a, b, c$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ચાર અક્ષરનો શબ્દ બનાવવા માટે જેમાં ત્રણેય અક્ષરો આવે,આપણે એક અક્ષરને બે વાર પસંદ કરવો પડે અને બાકીના બે અક્ષરો એક-એક વાર આવે.
પગલું $1$: $\{a, b, c\}$ માંથી પુનરાવર્તિત થનાર અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $^3C_1 = 3$ છે.
પગલું $2$: ચાર અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની રીત $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
પગલું $3$: કુલ શબ્દોની સંખ્યા $3 \times 12 = 36$ થાય.

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સંબંધ:
$(\frac{1}{3} \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta)^2 = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{1}{9} \sin^2 \theta + \frac{4}{9} \cos^2 \theta + \frac{4}{9} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
$9$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 3 \sin^2 \theta + 6 \cos^2 \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 0$
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1$
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,$\tan \theta = 1$ નો અર્થ છે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$A \cap [0, \pi] = \{\frac{\pi}{4}\}$,જેમાં બરાબર એક બિંદુ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા $2a$ છે. કેન્દ્ર $C$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર અને $AB$ ને $X$-અક્ષ પર લો. તેથી $B = (2a, 0)$,$A = (-2a, 0)$,$C = (0, 0)$,અને $D = (-a, 0)$.
$E$ એ $C_1$ પર છે અને $EC \perp AB$ હોવાથી,$E$ ના યામ $(0, 2a)$ છે.
$F$ એ $C_2$ પર છે (વ્યાસ $AC$,કેન્દ્ર $D(-a, 0)$,ત્રિજ્યા $a$) અને $DF \perp AB$ હોવાથી,$F$ ના યામ $(-a, -a)$ છે.
આપણે $\sin \angle FEC$ શોધવાનું છે. ધારો કે $\angle FEC = \theta$.
સદિશ $\vec{EC} = C - E = (0, 0) - (0, 2a) = (0, -2a)$.
સદિશ $\vec{EF} = F - E = (-a, -a) - (0, 2a) = (-a, -3a)$.
$\vec{EC}$ અને $\vec{EF}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{EF}}{|\vec{EC}| |\vec{EF}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{EC} \cdot \vec{EF} = (0)(-a) + (-2a)(-3a) = 6a^2$.
$|\vec{EC}| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2} = 2a$.
$|\vec{EF}| = \sqrt{(-a)^2 + (-3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = a\sqrt{10}$.
$\cos \theta = \frac{6a^2}{(2a)(a\sqrt{10})} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(B) ગણ $S = \{(x, y) : |x| + 2|y| = 1\}$ એ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (-1, 0), (0, 1/2)$ અને $(0, -1/2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતું અને $S$ સાથે અરિક્ત છેદ ધરાવતું સૌથી નાનું વર્તુળ એ આ સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં અંતઃવૃત છે.
આ અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર છે.
પ્રથમ ચરણમાં આવેલી બાજુ ધ્યાનમાં લો,જે રેખા $x + 2y = 1$ અથવા $x + 2y - 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $r = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$A = 1, B = 2, C = -1$ અને $(x_0, y_0) = (0, 0)$ મૂકતા:
$r = \frac{|1(0) + 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin(9x) + \sin(3x) = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(6x) \cos(3x) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(6x) = 0$ અથવા $\cos(3x) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\sin(6x) = 0$ $\Rightarrow 6x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$n$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ હોઈ શકે.
કુલ $13$ કિંમતો મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\cos(3x) = 0$ $\Rightarrow 3x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{6}$,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
આ કિંમતો પહેલેથી જ કિસ્સા $1$ માં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $13$ છે.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 10$ અને $d_2 = 4$ છે. વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \sin \theta = 20 \sin \theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin \theta = 1$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
જ્યારે વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે,ત્યારે તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ છે.
પરિમિતિ $P = 4s = 4\sqrt{29}$ છે.
$\sqrt{29} \approx 5.385$ હોવાથી,$P \approx 21.54$,જે $(21, 22]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(C) ધારો કે $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ અને $\frac{2b-1}{a} = \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
$a, b \ge 1$ હોવાથી,$2a-1 \ge 1$ અને $2b-1 \ge 1$ મળે,તેથી $\alpha, \beta \ge 1$.
સમીકરણો પરથી,$2a-1 = \alpha b$ અને $2b-1 = \beta a$.
બીજા સમીકરણમાં $b = \frac{2a-1}{\alpha}$ મૂકતા: $2(\frac{2a-1}{\alpha}) - 1 = \beta a$.
$4a - 2 - \alpha = \alpha \beta a$,જે દર્શાવે છે કે $a(4 - \alpha \beta) = \alpha + 2$.
$a > 0$ અને $\alpha + 2 > 0$ હોવાથી,$4 - \alpha \beta > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\alpha \beta < 4$.
શક્ય જોડીઓ $(\alpha, \beta)$ એ $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: $(\alpha, \beta) = (1, 1) \implies 3a = 3 \implies a = 1$. તેથી $b = 1$. જોડી: $(1, 1)$.
કિસ્સો $2$: $(\alpha, \beta) = (1, 2) \implies 2a = 3$,પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $(\alpha, \beta) = (1, 3) \implies a = 3$. તેથી $b = 5$. જોડી: $(3, 5)$.
કિસ્સો $4$: $(\alpha, \beta) = (2, 1) \implies 2a = 4 \implies a = 2$. તેથી $b = 1.5$,જે પૂર્ણાંક નથી.
કિસ્સો $5$: $(\alpha, \beta) = (3, 1) \implies a = 5$. તેથી $b = 3$. જોડી: $(5, 3)$.
આમ,કુલ $3$ ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય.
આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$.
આપેલ છે $z^2+w^2=1$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ મળે છે.
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $\bar{w}=\frac{1}{w}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ થાય છે.
$z^2+w^2=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z^2w^2}=1$ મળે,તેથી $z^2w^2=1$,જેનો અર્થ છે કે $(zw)^2=1$,એટલે કે $zw=1$ અથવા $zw=-1$.
કિસ્સો $1$: $zw=1$. તો $w=\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ મળે. આ $z^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ આપે છે. આમ $z$ ની $4$ કિંમતો મળે.
કિસ્સો $2$: $zw=-1$. તો $w=-\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ મળે,જે કિસ્સા $1$ જેવું જ છે. આ પણ $z$ ની $4$ કિંમતો આપે છે.
કુલ ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા $4+4=8$ છે.

(A) $26$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા કુલ ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $26^4 = 456976$ છે.
માત્ર $V$ (સ્વરો) ના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $5^4 = 625$ છે.
માત્ર $C$ (વ્યંજનો) ના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $21^4 = 194481$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક સ્વર અને ઓછામાં ઓછો એક વ્યંજન ધરાવતા શબ્દોની સંખ્યા કુલ શબ્દોમાંથી માત્ર સ્વરો ધરાવતા શબ્દો અને માત્ર વ્યંજનો ધરાવતા શબ્દો બાદ કરવાથી મળે છે.
શબ્દોની સંખ્યા $= 26^4 - 5^4 - 21^4$
$= 456976 - 625 - 194481$
$= 261870$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(1+a^2)(1+b^2) = 4ab$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + b^2 + a^2 + a^2b^2 = 4ab$
પદોને ગોઠવતા: $a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 - 2ab + 1 = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-b)^2 + (ab-1)^2 = 0$
$a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$(a-b)^2 = 0 \implies a = b$
$(ab-1)^2 = 0 \implies ab = 1$
$b=a$ ને $ab=1$ માં મૂકતા,આપણને $a^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a > 0$ અને $a \neq 1$. તેથી,આપેલ શરતો હેઠળ સમીકરણનું સમાધાન કરતી $b$ ની કોઈ કિંમત નથી.
તેથી,ગણ $S$ એ ખાલી ગણ છે.

(B) ધારો કે વ્યાસ $AB = x$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ACB = 90^\circ$ અને $\angle ADB = 90^\circ$ થાય.
$\triangle ACB$ માં,$BC = \sqrt{x^2 - 1}$.
$\triangle ADB$ માં,$AD = \sqrt{x^2 - 9}$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ACDB$ માટે ટોલેમીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB \cdot CD + AC \cdot DB = AD \cdot BC$
$x(2) + (1)(3) = \sqrt{x^2 - 9} \cdot \sqrt{x^2 - 1}$
$2x + 3 = \sqrt{(x^2 - 9)(x^2 - 1)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2x + 3)^2 = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$
$4x^2 + 12x + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$
$x^4 - 14x^2 - 12x = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x^3 - 14x - 12 = 0$ મળે.
ધારો કે $f(x) = x^3 - 14x - 12$.
$f(4) = -4$.
$f(4.1) = -0.479$.
$f(4.2) = 3.288$.
$f(4.1) < 0$ અને $f(4.2) > 0$ હોવાથી,ઉકેલ $[4.1, 4.2)$ અંતરાલમાં છે.

(A) ધારો કે $\angle CAD = \theta_2$ અને $\angle BAD = \theta_1$. આપણને $\cot \theta_2 : \cot \theta_1 = 2 : 1$ આપેલ છે,તેથી $\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$.
$\triangle ADC$ અને $\triangle ADB$ માં કોટિજ્યાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $AD$ સામાન્ય બાજુ છે અને $BD = DC = a/2$ છે:
$\cot \theta_2 = \frac{AD^2 + b^2 - a^2/4}{2 \cdot \text{Area}(\triangle ADC)}$
$\text{Area}(\triangle ADC) = \text{Area}(\triangle ADB)$ હોવાથી,$\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$ શરત સૂચવે છે કે:
$AD^2 + b^2 - a^2/4 = 2(AD^2 + c^2 - a^2/4)$
$AD^2 = b^2 - 2c^2 + a^2/4$
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$10c^2 = 2b^2 + 2a^2 \Rightarrow b^2 + a^2 = 5c^2$.
$\triangle BGA$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos(\angle BGA) = \frac{AG^2 + BG^2 - AB^2}{2 \cdot AG \cdot BG} = 0$.
તેથી,$\angle BGA = 90^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^6 - 2x^5 + x^3 + x^2 - x - 1$ અને $g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$.
$f(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = (x^2 - x)g(x) + (2x^2 - 2x - 1)$.
કારણ કે $a, b, c, d$ એ $g(x) = 0$ ના બીજ છે,તેથી $g(a) = g(b) = g(c) = g(d) = 0$.
આમ,$f(a) = 2a^2 - 2a - 1$,$f(b) = 2b^2 - 2b - 1$,$f(c) = 2c^2 - 2c - 1$,અને $f(d) = 2d^2 - 2d - 1$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\sum f(a) = 2\sum a^2 - 2\sum a - 4$.
$g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ માટે,વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\sum a = 1$ અને $\sum ab = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum a^2 = (\sum a)^2 - 2\sum ab = (1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\sum f(a) = 2(3) - 2(1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sin(\pi \sin^2 \theta) + \sin(\pi \cos^2 \theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$ છે.
નિત્યસમ $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{\pi(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2}) \cos(\frac{\pi(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos 2\theta$ હોવાથી:
$2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ અને $\cos(-x) = \cos x$ હોવાથી,આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\cos(\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\pi}{2} \cos 2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \cos \theta$,તેથી $n \in Z$ માટે $\cos 2\theta = 4n \pm \cos \theta$.
કિસ્સો $I$: $\cos 2\theta - \cos \theta = 4n$. $n=0$ માટે,$2\cos^2 \theta - 1 - \cos \theta = 0$,તેથી $(2\cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$. આમ $\cos \theta = 1$ અથવા $\cos \theta = -1/2$. $[0, 2\pi]$ માં ઉકેલો $\theta = 0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3$ છે.
કિસ્સો $II$: $\cos 2\theta + \cos \theta = 4n$. $n=0$ માટે,$2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$,તેથી $(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$. આમ $\cos \theta = 1/2$ અથવા $\cos \theta = -1$. $[0, 2\pi]$ માં ઉકેલો $\theta = \pi, \pi/3, 5\pi/3$ છે.
કુલ ઉકેલો ${0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3, \pi, \pi/3, 5\pi/3}$ છે,જે કુલ $7$ ઉકેલો છે.

(C) લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,ધારો કે $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા અને $r$ એ અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{a}{2(\sqrt{3}/2)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{a}{\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$.
આ ગુણોત્તર $2$ છે,જે $a$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે અચળ રહે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે,તેથી વિવેચક $D > 0$ થાય.
$D = b^2 - 4(2)(\frac{1}{b}) > 0$
$b^2 - \frac{8}{b} > 0 \Rightarrow \frac{b^3 - 8}{b} > 0$
અવયવીકરણ $b^3 - 8 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$ નો ઉપયોગ કરતા,અને નોંધતા કે $b^2 + 2b + 4 = (b + 1)^2 + 3 > 0$ તમામ વાસ્તવિક $b$ માટે,અસમતા નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\frac{b - 2}{b} > 0$
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $b \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ હોય.
હવે,વિકલ્પ $(c)$ તપાસો:
$b^2 - 3b > -2 \Rightarrow b^2 - 3b + 2 > 0$
$(b - 2)(b - 1) > 0$
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $b \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ હોય.
જેમ કે $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ એ $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ નો ઉપગણ છે,તેથી મૂળ દ્વિઘાત સમીકરણની શરતનું પાલન કરતા તમામ $b$ માટે $b^2 - 3b > -2$ શરત સંતોષાય છે.

(B) આપેલ છે કે $p(x) = x^2 + ax + b$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ $r_1$ અને $r_2$ છે. તેથી,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.
તેથી $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(x^3 - r_2)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $r$ માટે $x^3 - r = 0$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ હોય છે,તેથી $g(x)$ ના બીજ $x = \sqrt[3]{r_1}$ અને $x = \sqrt[3]{r_2}$ છે.
$r_1 \neq r_2$ હોવાથી,$\sqrt[3]{r_1} \neq \sqrt[3]{r_2}$ થાય. આમ,$g(x)$ ને બરાબર બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે. વિધાન $I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$ માટે,$g(x) = (x^3)^2 + a(x^3) + b = x^6 + ax^3 + b$. જેમ $x \to \infty$,તેમ $g(x) \to \infty$. $g(x)$ એ બેકી ઘાત $(6)$ ધરાવતી સતત બહુપદી હોવાથી,તેની પાસે વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય હશે. તેથી,એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) \geq \alpha$ થાય. વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,$I$ અને $III$ બંને સાચા છે.

(A) પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)4] = \frac{n}{2}[4 + 4n - 4] = 2n^2$.
પ્રથમ $n$ પદોની સરેરાશ $M_n = \frac{S_n}{n} = \frac{2n^2}{n} = 2n$ છે.
આપણે $\sum_{n=1}^{10} M_n = \sum_{n=1}^{10} 2n$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= 2 \sum_{n=1}^{10} n = 2 \times \frac{10(11)}{2} = 110$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 90^{\circ}$ અને $AD$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ છે.
$AB = 15$ અને $BC = 25$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$.
તેમજ,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 25 \times AD$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 25 \times AD = 150 \implies AD = \frac{300}{25} = 12$.
ચતુષ્કોણ $AEDF$ માં,$\angle FAE = 90^{\circ}$,$\angle AFD = 90^{\circ}$,અને $\angle AED = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$AEDF$ એક લંબચોરસ છે.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણો સમાન હોય છે. તેથી,$EF = AD$.
$AD = 12$ હોવાથી,$EF$ ની લંબાઈ $12$ છે.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ માટે આપેલા સંબંધો:
$c^2 = 2ab$ $(i)$
$a^2 + c^2 = 3b^2$ $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a^2 + 2ab = 3b^2$
$a^2 + 2ab - 3b^2 = 0$
$(a + 3b)(a - b) = 0$
અહીં $a$ અને $b$ બાજુની લંબાઈ હોવાથી,$a, b > 0$,તેથી $a = b$.
$a = b$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$c^2 = 2(b)(b) = 2b^2$
$c = \sqrt{2}b$
હવે,આપણી પાસે બાજુઓ $a = b$,$b = b$,અને $c = \sqrt{2}b$ છે.
$a^2 + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2 = c^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો $C$ પાસે છે (એટલે કે $\angle C = 90^{\circ}$).
$a = b$ હોવાથી,આ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$.
$\angle BAC$ નું માપ $45^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે. જ્યારે $N$ ની પાછળ શૂન્યતર અંક $c$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10N + c$ બને છે.
આપેલ છે કે $10N + c$ એ દરેક $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે $c$ વડે વિભાજ્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $10N$ એ દરેક $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે $c$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$10N$ એ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
તેથી,$10N$ એ $2520$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $N$ એ $252$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $N = 252$ છે.
$N$ ના અંકોનો સરવાળો $2 + 5 + 2 = 9$ થાય છે.

(C) ધારો કે $11$ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં છે: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9 < x_{10} < x_{11}$.
આ $11$ પૂર્ણાંકોનો મધ્યસ્થ $x_6$ છે.
બાકીના $10$ પૂર્ણાંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ છે.
આ $10$ પૂર્ણાંકોનો મધ્યસ્થ $m = \frac{x_5 + x_6}{2}$ છે.
કારણ કે $x_5 < x_6$,તેથી $x_5 < \frac{x_5 + x_6}{2} < x_6$,એટલે કે $x_5 < m < x_6$.
સૌથી મોટા પૂર્ણાંક $x_{11}$ ને $m$ દ્વારા બદલતા,નવા $11$ પૂર્ણાંકોનો ચડતો ક્રમ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, m, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ થશે.
નવો મધ્યસ્થ $6^{th}$ પદ છે,જે $m$ છે.
$m < x_6$ હોવાથી,મધ્યસ્થ ઘટે છે.

(D) બે અંકની સંખ્યા $\overline{ab}$ ઓલમોસ્ટ પ્રાઇમ છે જો તેને વધુમાં વધુ એક અંક બદલીને અવિભાજ્ય સંખ્યામાં ફેરવી શકાય.
કુલ $90$ બે અંકની સંખ્યાઓ છે ($10$ થી $99$ સુધી).
દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા પોતે ઓલમોસ્ટ પ્રાઇમ છે.
ચકાસણી કરતા જણાય છે કે તમામ $90$ બે અંકની સંખ્યાઓ આ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,કુલ સંખ્યા $90$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું એક આંતરિક બિંદુ છે અને $K, L, M, N$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળો નીચે મુજબ ધારો:
$\text{Area}(\triangle AKP) = \text{Area}(\triangle BKP) = x$
$\text{Area}(\triangle BLP) = \text{Area}(\triangle CLP) = y$
$\text{Area}(\triangle CPM) = \text{Area}(\triangle DPM) = z$
$\text{Area}(\triangle DNP) = \text{Area}(\triangle ANP) = w$
આપેલ છે:
$\text{Area}(PKAN) = x + w = 25$
$\text{Area}(PLBK) = x + y = 36$
$\text{Area}(PMDN) = z + w = 41$
આપણે $\text{Area}(PLCM) = y + z$ શોધવાનું છે.
સમીકરણો પરથી:
$(x + y) + (z + w) = 36 + 41 = 77$
$(x + w) + (y + z) = 77$
$25 + (y + z) = 77$
$y + z = 77 - 25 = 52$
આમ,$\text{Area}(PLCM) = 52$.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$6x + 4y + z = 200$ $(i)$
$x + y + z = 100$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$5x + 3y = 100$
અહીં $x$ અને $y$ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,તેથી $y = \frac{5(20 - x)}{3}$.
$y$ પૂર્ણાંક મળે તે માટે $(20 - x)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. ધારો કે $20 - x = 3k$,જ્યાં $k \ge 0$.
$k$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
આમ,કુલ $7$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $N_2 = 165 = 3 \times 5 \times 11$ અને $N_1 = 2^{55} + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો $x^n + y^n$ એ $x + y$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં $55$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$N_1 = 2^{55} + 1^{55}$ એ $2 + 1 = 3$ વડે વિભાજ્ય છે.
વળી,$N_1 = (2^5)^{11} + 1^{11} = 32^{11} + 1^{11}$,જે $32 + 1 = 33$ વડે વિભાજ્ય છે.
$33 = 3 \times 11$ હોવાથી,$N_1$ એ $3$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.
$N_2 = 165 = 5 \times 33$.
આમ,$N_1$ અને $N_2$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $33$ છે.

(A) વર્તુળ $C$ નો પરિઘ $l$ આપેલ છે,તેથી $2 \pi r = l$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{l}{2 \pi}$.
આમ,વર્તુળ $C$ નું ક્ષેત્રફળ $A_C = \pi r^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
$l$ પરિમિતિ ધરાવતા ત્રિકોણ $T$ માટે,ખૂબ જ પાતળો ત્રિકોણ પસંદ કરીને ક્ષેત્રફળ $A_T$ ને શૂન્યની નજીક લાવી શકાય છે.
આપેલ $l$ માટે $A_C$ નિશ્ચિત છે અને $A_T$ ને શૂન્યની નજીક લાવી શકાતું હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{A_C}{A_T}$ ને ગમે તેટલો મોટો બનાવી શકાય છે.
તેથી,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ માટે,આપણે $T$ ને એવી રીતે પસંદ કરી શકીએ કે જેથી $\frac{\operatorname{Area}(C)}{\operatorname{Area}(T)} > \alpha$ થાય.

(B) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $\overline{abc}$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ છે.
$b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{b+c}{2}$ છે.
$b$ અને $c$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{bc}$ છે. ગુણોત્તર મધ્યકનો વર્ગ $bc$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{b+c}{2} = bc$,જેનો અર્થ છે $b+c = 2bc$.
કિસ્સો $1$: જો $b=0$ હોય,તો $c=0$ થાય. $a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે,તેથી આવી $9$ સંખ્યાઓ છે $(100, 200, \dots, 900)$.
કિસ્સો $2$: જો $b, c \neq 0$ હોય,તો $\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 2$ થાય. $b, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે,એકમાત્ર ઉકેલ $b=1$ અને $c=1$ છે.
$a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે,તેથી આવી $9$ સંખ્યાઓ છે $(111, 211, \dots, 911)$.
આવી કુલ ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ = $9 + 9 = 18$.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ એ $x^2-5cx-6d=0$ ના બીજ છે,તેથી:
$a+b=5c$ $(1)$
$ab=-6d$ $(2)$
આપેલ છે કે $c, d$ એ $x^2-5ax-6b=0$ ના બીજ છે,તેથી:
$c+d=5a$ $(3)$
$cd=-6b$ $(4)$
$(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(a+b)-(c+d) = 5c-5a$
$(a-c)+(b-d) = -5(a-c)$
$b-d = 6(c-a)$ $(5)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a+b)+(c+d) = 5c+5a$
$b+d = 4(a+c)$ $(6)$
$(2)$ અને $(4)$ પરથી,$ab-cd = -6d+6b = 6(b-d)$.
$(5)$ ની કિંમત મૂકતા: $ab-cd = 36(c-a)$.
વળી,$ab-cd = c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$.
$a, b, c, d$ ભિન્ન હોવાથી,$c-a \neq 0$,તેથી $c+a = 36$.
$(6)$ માં કિંમત મૂકતા: $b+d = 4(36) = 144$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2+bx+c=0$ ના બીજ સમાન હોય જો તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4(4)(c) = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2 = 16c$,અથવા $b^2 = (4\sqrt{c})^2$,જેનો અર્થ છે કે $b = 4\sqrt{c}$.
કારણ કે $b$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $b \in S$,તેથી $c$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોવી જોઈએ જેથી $4\sqrt{c} \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.
ધારો કે $c = k^2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તો $b = 4k$.
$1 \le b \le 100$ હોવાથી,આપણને $1 \le 4k \le 100$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $1 \le k \le 25$.
વળી,$c = k^2$ એ $S$ માં હોવું જોઈએ,તેથી $1 \le k^2 \le 100$,જેનો અર્થ છે કે $1 \le k \le 10$.
આમ,$k$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
આવી $10$ જોડી $(b, c)$ શક્ય છે.
$S$ માંથી $b$ અને $c$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $100 \times 100 = 10000$ છે.
સંભાવના $\frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0.001$ છે.

(B) આપેલ છે કે $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ જ્યાં $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
કિસ્સો $I$: જો $p_1, p_2, p_3, p_4$ બધા એકી હોય,તો $p_1 + p_2$ બેકી થાય,જેનો અર્થ છે કે $p$ બેકી છે. $p$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p = 2$. પરંતુ $p_1 + p_2 = 2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે શક્ય નથી.
કિસ્સો $II$: $p_1, p_2$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ હોવી જોઈએ. ધારો કે $p_2 = 2$. તો $p = p_1 + 2$. $p$ અને $p_1$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p_1$ એકી હોવું જોઈએ. જો $p_1$ એકી હોય,તો $p$ પણ એકી થાય.
$p = p_3 - p_4$ પરથી,$p_3 = p + p_4$. $p$ એકી હોવાથી,$p_3$ અવિભાજ્ય બને તે માટે $p_4 = 2$ હોવું જરૂરી છે.
આમ,$p = p_1 + 2$ અને $p = p_3 - 2$,જેનો અર્થ છે કે $p_3 = p + 2$ અને $p_1 = p - 2$.
આપણે $p-2, p, p+2$ ત્રણેય અવિભાજ્ય જોઈએ. આ પ્રકારની એકમાત્ર ત્રિપુટી $(3, 5, 7)$ છે.
તેથી,$p = 5$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.
વિશેષ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$AB=BC$ અને $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$.
$AB = AX + XB$ હોવાથી,$\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}{AX} = 1 + \frac{XB}{AX} = 1 + \frac{1}{k}$.
તેથી,$k = 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow k^2 - k - 1 = 0$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
તેથી $\frac{AX}{AB} = \frac{1}{k} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
ધારો કે $\angle ABC = \theta$. $AB=BC$ હોવાથી,$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ}-\theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$.
$\triangle AXC$ માં,$AC=AX$,તેથી $\angle AXC = \angle ACX = \angle BCA = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$.
તેથી $\angle XAC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) = \theta$.
$\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ હોવાથી,$\angle BAX = \angle BAC - \angle XAC = (90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) - \theta = 90^{\circ} - \frac{3\theta}{2}$.
$\triangle BAX$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ: $\frac{AX}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})}$.
$\frac{AX}{AB} = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)$.
$\frac{AX}{AB}$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $2\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin 18^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\theta}{2} = 18^{\circ} \Rightarrow \theta = 36^{\circ}$.

(B) આપેલ વક્રો:
$x(y-e^x)=\sin x \implies y = \frac{\sin x}{x} + e^x$
$2xy = 2\sin x + x^3 \implies y = \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2}$
$x \in [1, 2]$ માટે,$e^x > \frac{x^2}{2}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{1}^{2} \left( \left( \frac{\sin x}{x} + e^x \right) - \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2} \right) \right) dx$
$A = \int_{1}^{2} \left( e^x - \frac{x^2}{2} \right) dx$
$A = \left[ e^x - \frac{x^3}{6} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( e^2 - \frac{8}{6} \right) - \left( e^1 - \frac{1}{6} \right)$
$A = e^2 - e - \frac{7}{6}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D = \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix}$ ની કિંમત શોધીએ.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(x^2 \cdot x^6 - x^4 \cdot x^3) - x(1 \cdot x^6 - x^4 \cdot 1) + x^2(1 \cdot x^3 - x^2 \cdot 1)$
$D = (x^8 - x^7) - x(x^6 - x^4) + x^2(x^3 - x^2)$
$D = x^8 - x^7 - x^7 + x^5 + x^5 - x^4 = x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$-3x^4 + x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4 = 0$
$x^8 - 2x^7 + 2x^5 - 4x^4 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$x^4(x^4 - 2x^3 + 2x - 4) = 0$
$x^4(x^3(x - 2) + 2(x - 2)) = 0$
$x^4(x^3 + 2)(x - 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x^4 = 0 \implies x = 0$
$x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$ (જે પૂર્ણાંક નથી)
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,શક્ય કિંમતો $x = 0$ અને $x = 2$ છે.
આમ,આવા $2$ પૂર્ણાંકો મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x)$ એ એક શૂન્યતર બહુપદી છે જે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $P(1+x)=P(1-x)$ અને $P(1)=0$ નું પાલન કરે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$P'(1+x) = -P'(1-x)$.
$x=0$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$.
કારણ કે $P(1)=0$ અને $P'(1)=0$,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x-1)^2$ એ $P(x)$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
શું $m$ મોટો હોઈ શકે તે તપાસવા માટે,$P(x) = (x-1)^2$ ધ્યાનમાં લો. આ $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ અને $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ નું પાલન કરે છે. આમ,$P(1+x)=P(1-x)$ સાચું છે.
તેથી,સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $m$ જે $(x-1)^m$ ને $P(x)$ વડે ભાગી શકાય તે $2$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{જ્યારે } x \neq 0 \\ 1 & \text{જ્યારે } x = 0 \end{cases}$ છે.
આપણે ગણ $A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 1\}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $f(0) = 1$. આમ,$0 \in A$.
કિસ્સો $2$: જો $x \neq 0$ હોય,તો આપણે $x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 1$ ઉકેલીએ,જેનો અર્થ છે $\sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. તો સમીકરણ $\sin(t) = t$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $t \neq 0$ માટે,$|\sin(t)| < |t|$.
ખાસ કરીને,જો $t > 0$ હોય,તો $\sin(t) < t$,અને જો $t < 0$ હોય,તો $\sin(t) > t$.
તેથી,સમીકરણ $\sin(t) = t$ નો માત્ર એક જ ઉકેલ $t = 0$ આગળ મળે છે.
જોકે,આપણી ધારણા $t = \frac{1}{x}$ હતી,અને $x \neq 0$ હોવાથી $t$ ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$x \neq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
પરિણામે,ગણ $A$ માં માત્ર એક જ ઘટક ${0}$ છે.
તેથી,$A$ માં માત્ર એક જ ઘટક છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમીકરણો તેમના લંબ સદિશો અને સ્થાન સદિશ $(x, y, z)$ ના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\sigma_1: x + y + z = 0$
$\sigma_2: ax + by + cz = 0$
$\sigma_3: a^2x + b^2y + c^2z = 0$
આ ત્રણ સમતલોનો છેદબિંદુ એક બિંદુ (ઉગમબિંદુ) હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \neq 0$
આ એક પ્રમાણિત વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે. સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા તેને સરળ બનાવી શકાય છે:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & b+a & c+a \end{vmatrix}$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a^2 & b+a & c-b \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$
$\Delta \neq 0$ માટે,$a \neq b, b \neq c$ અને $c \neq a$ હોવું જોઈએ. આમ,$a, b$ અને $c$ એ ત્રણ ભિન્ન ધન કિંમતો હોવી જોઈએ.

(A) શરૂઆતમાં,રવિ પાસે ${2R, 2B}$ અને રશ્મિ પાસે ${2R, 2B}$ છે. દરેક પાસે કુલ $4$ કાર્ડ છે.
પગલું $1$: રવિ રશ્મિ પાસેથી એક કાર્ડ પસંદ કરે છે. રશ્મિ પાસે હવે $3$ કાર્ડ છે. પછી રશ્મિ રવિ પાસેથી એક કાર્ડ પસંદ કરે છે. રવિ પાસે હવે ફરીથી $4$ કાર્ડ છે.
બધા $4$ કાર્ડ સમાન રંગના હોય તે માટે,રવિ પાસે અંતે $4$ લાલ કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ હોવા જોઈએ,અથવા તેનાથી ઉલટું.
કિસ્સો $1$: રવિ પાસે $4$ લાલ કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ હોય.
પ્રથમ અદલાબદલીમાં,રવિએ રશ્મિ પાસેથી લાલ કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{2}{4}$) અને રશ્મિએ રવિ પાસેથી કાળું કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{2}{4}$). આ પછી,રવિ પાસે ${3R, 1B}$ અને રશ્મિ પાસે ${1R, 3B}$ હોય છે.
બીજી અદલાબદલીમાં,રવિએ રશ્મિ પાસેથી બાકીનું લાલ કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{1}{4}$) અને રશ્મિએ રવિ પાસેથી બાકીનું કાળું કાર્ડ પસંદ કરવું જોઈએ (સંભાવના $\frac{1}{4}$).
કિસ્સો $1$ ની સંભાવના = $(\frac{2}{4} \times \frac{2}{4}) \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = \frac{4}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$.
કિસ્સો $2$: રવિ પાસે $4$ કાળા કાર્ડ અને રશ્મિ પાસે $4$ લાલ કાર્ડ હોય.
સમાનતા દ્વારા,આ સંભાવના પણ $\frac{1}{64}$ છે.
કુલ સંભાવના $p = \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} = 0.03125 = 3.125 \%$.
$3.125 \% \leq 5 \%$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રદેશ $A_1$ એ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1 > x + y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
અસમતા $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1$ ને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 2x + y^2 - 2y < -1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(x-1)^2 + (y-1)^2 < 1$ થાય છે. આ $(1, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ છે. શરત $x + y < 1$ એ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$A_2$ માટે,પ્રદેશ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $x + y > 1 > x^2 + y^2$ છે. આ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$A_3$ માટે,પ્રદેશ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $x + y > 1 > x^3 + y^3$ છે. આ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ અને વક્ર $x^3 + y^3 = 1$ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
સંમિતિ અને ભૌમિતિક રૂપાંતરણ દ્વારા,$|A_1| = |A_2|$.
પ્રથમ ચરણમાં વક્રો $x^2 + y^2 = 1$ અને $x^3 + y^3 = 1$ ની સરખામણી કરતા,$0 < x < 1$ માટે,$x^3 < x^2$ અને $y^3 < y^2$ હોવાથી,$x^3 + y^3 < x^2 + y^2$ થાય છે. આમ,$x^3 + y^3 = 1$ અને $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એ $x^2 + y^2 = 1$ અને $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ કરતા મોટો છે.
તેથી,$|A_3| > |A_2| = |A_1|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x^2) = f(x^3)$.
કોઈપણ $x > 0$ માટે,ધારો કે $x = t^6$. તો $f(t^{12}) = f(t^{18})$.
વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ $x > 0$ માટે,આપણે $x = t^{6^n}$ લખી શકીએ છીએ.
આદેશનું પુનરાવર્તન કરતા,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $(2/3)^n \to 0$,તેથી તમામ $x > 0$ માટે $f(x) = f(x^0) = f(1)$.
કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(1)$.
$x < 0$ માટે,ધારો કે $x = -t$ જ્યાં $t > 0$. તો $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$.
કારણ કે $f(t^2) = f(1)$,તેથી $f(-t^3) = f(1)$.
જેમ $t^3$ તમામ ધન કિંમતો આવરી લે છે,તેથી તમામ $x < 0$ માટે $f(x) = f(1)$.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = c$ (અચળ).
અચળ વિધેય એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = c = f(x)$.
અચળ વિધેય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય પણ છે અને $f'(x) = 0$.
તેથી,$II$ અને $III$ બંને સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે સતત વિધેય $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એ $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ નું પાલન કરે છે.
વિકલન માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2x f(x)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 2x dx$.
$\ln |f(x)| = x^2 + C$.
$f(x) = K e^{x^2}$,જ્યાં $K = e^C$.
$K$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા:
$f(0) = 2 \int_0^0 t f(t) dt + 1 = 0 + 1 = 1$.
$f(x) = K e^{x^2}$ માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = K e^0 = K$ મળે છે.
આમ,$K = 1$,જે આપણને $f(x) = e^{x^2}$ આપે છે.
છેલ્લે,$f(1) = e^{(1)^2} = e^1 = e$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ છે.
પ્રથમ,$x=0$ આગળ સાતત્ય ચકાસો:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 \cdot 1 = 0 = f(0)$.
કારણ કે લક્ષ એ વિધેયના મૂલ્ય જેટલું છે,તેથી $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.
હવે,$x=0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસો:
$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin(h^2)}{h} - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h^2)}{h^2} = 1$.
કારણ કે લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(0) = 1$.
હવે,$x \neq 0$ માટે $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \cos(x^2) \cdot 2x - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$.
ચકાસો કે $f'(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે કે નહીં:
$\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) = 2(1) - 1 = 1$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = f'(0) = 1$,તેથી વિકલિત $x=0$ આગળ સતત છે.
આમ,$f$ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત સતત છે.

(A) સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ એ સમતલ $x + y + z = 5$ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ એ અવકાશમાં ઉપવલય (ellipse) દર્શાવે છે જેના નાભિઓ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે,જો સમતલ આ નાભિઓને સમાવતું હોય.
પ્રથમ,તપાસો કે શું $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમતલ $x + y + z = 5$ પર છે:
$\vec{b}(2, 2, 1)$ માટે,$2 + 2 + 1 = 5$ (સાચું).
$\vec{c}(5, 1, -1)$ માટે,$5 + 1 - 1 = 5$ (સાચું).
બંને નાભિઓ સમતલ પર હોવાથી,છેદગણ એ સમતલમાં એક ઉપવલય છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |\vec{b} - \vec{c}| = |(2-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}| = |-3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$.
આમ,$2ae = \sqrt{14} \Rightarrow 4e = \sqrt{14} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{14}}{4}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 4(1 - \frac{14}{16}) = 4(\frac{2}{16}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi(2)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}\pi \approx 1.414 \times 3.14159 \approx 4.44$ છે.
સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે વિધાનોનું વિશ્લેષણ કરીએ.
વિધાન $I$ માટે:
દરેક $x \in (0, 1)$ માટે $1+x^8 < 2$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{2}$ મળે છે.
$x > 0$ વડે ગુણતા,$\frac{x}{1+x^8} > \frac{x}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે:
$x \in (0, 1)$ માટે $x^8 < x^4$ હોવાથી,$1+x^8 < 1+x^4$ થાય.
તેથી $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{1+x^4}$.
તેથી $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx$.
ધારો કે $u = x^2$,$du = 2x dx$. તો $\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2} [\tan^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$.
કારણ કે $J > \frac{\pi}{8}$,વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $I$ સાચું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ પરથી,આપણને $(f^{\prime}(x))^2 = \pm 4f(x)$ મળે છે.
કારણ કે $(f^{\prime}(x))^2 \geq 0$ છે,તેથી $4f(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $f(x) \geq 0$.
આમ,$(f^{\prime}(x))^2 = 4f(x)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(x) = \pm 2\sqrt{f(x)}$.
જો $f(x) > 0$ હોય,તો $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} = \pm 2$ થાય. બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $2\sqrt{f(x)} = \pm 2x + C$ મળે છે. $f(0)=0$ હોવાથી,$C=0$ મળે,તેથી $\sqrt{f(x)} = \pm x$,જે $f(x) = x^2$ આપે છે.
આપણે $f(x) = x^2$ અને $f(x) = 0$ નો ઉપયોગ કરીને ટુકડાઓમાં વિધેય બનાવી શકીએ છીએ જે $x=0$ આગળ વિકલનીય રહે. આવા અસંખ્ય સંયોજનો શક્ય હોવાથી,આવા વિધેયોની સંખ્યા $4$ કરતા વધારે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = |\sin x|$ અને $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$.
$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$.
આપણે $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi}(x + \pi)$ ની ગણતરી કરીએ.
$g(x + \pi) = \int_0^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi} |\sin t| \, dt + \int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt$.
કારણ કે $|\sin t|$ એ $\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,તેથી $\int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^x |\sin t| \, dt = g(x)$.
વળી,$\int_0^{\pi} |\sin t| \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin t \, dt = 2[-\cos t]_0^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2$.
આમ,$g(x + \pi) = 2 + g(x)$.
આ કિંમત $p(x + \pi)$ માં મૂકતા:
$p(x + \pi) = (2 + g(x)) - \frac{2}{\pi} x - \frac{2}{\pi} \cdot \pi = 2 + g(x) - \frac{2}{\pi} x - 2 = g(x) - \frac{2}{\pi} x = p(x)$.
તેથી,બધા $x$ માટે $p(x + \pi) = p(x)$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{a_1^2}{4} + \frac{a_2^2}{16} + \frac{a_3^2}{64} + \frac{a_1 a_2}{4} + \frac{a_2 a_3}{16} + \frac{a_3 a_1}{8} = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $64$ વડે ગુણતા: $16a_1^2 + 4a_2^2 + a_3^2 + 16a_1 a_2 + 4a_2 a_3 + 8a_3 a_1 = 32a_1^2 + 16a_2^2 + 8a_3^2$.
પદોને ગોઠવતા: $16a_1^2 + 12a_2^2 + 7a_3^2 - 16a_1 a_2 - 4a_2 a_3 - 8a_3 a_1 = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $8(a_1 - a_2)^2 + (2a_2 - a_3)^2 + 2(a_3 - 2a_1)^2 + 4a_3^2 = 0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a_1 - a_2 = 0$,$2a_2 - a_3 = 0$,$a_3 - 2a_1 = 0$,અને $a_3 = 0$.
આ સૂચવે છે કે $a_1 = a_2 = a_3 = 0$.
આમ,ગણ $A$ માં બરાબર એક ઘટક છે,જે શૂન્ય સદિશ $(0, 0, 0)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ કારણ કે $f(x) \geq 0$ છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ મળે છે.
સંકલન $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,તેથી સમાનતા જળવાવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ થાય.
હવે,આપણે $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરીએ.
આ $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ બરાબર છે.

(A) ધારો કે $P(x)$ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે. આપણને $x = 1, 2, 3, 4$ માટે $P(x) = 2x$ આપેલ છે.
એક નવી બહુપદી $Q(x) = P(x) - 2x$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કારણ કે $P(x)$ ત્રિઘાત બહુપદી છે,$Q(x)$ પણ મહત્તમ $3$ ઘાતની બહુપદી છે.
આપેલ શરતો પરથી,$Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 0, Q(4) = 0$.
આમ,$1, 2, 3, 4$ એ $Q(x)$ ના શૂન્યો છે.
કારણ કે $Q(x)$ મહત્તમ $3$ ઘાતની બહુપદી છે અને તેના $4$ ભિન્ન શૂન્યો છે,તેથી $Q(x)$ એ શૂન્ય બહુપદી હોવી જોઈએ.
તેથી,$P(x) - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(x) = 2x$.
જોકે,$P(x) = 2x$ એ $1$ ઘાતની બહુપદી છે,$3$ ઘાતની નહીં.
આમ,એવી કોઈ ત્રિઘાત બહુપદી $P(x)$ શક્ય નથી જે આપેલ શરતોનું પાલન કરે.
તેથી,આવી ત્રિઘાત બહુપદીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A) નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $a = (n+1)^{1/3}$ અને $b = n^{1/3}$.
તેથી $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$.
કારણ કે $n < n+1$,આપણી પાસે $n^{2/3} < (n+1)^{2/3}$ છે.
આમ,$3n^{2/3} < (n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} < 3(n+1)^{2/3}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n < \frac{1}{3n^{2/3}}$ મળે છે.
$n$ ને $n+1$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{3(n+2)^{2/3}} < f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}}$ મળે છે.
આ અસમતાઓ જોડતા,આપણી પાસે બધા $n \in N$ માટે $f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n$ છે.
તેથી,$A = N$.