KVPY 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x+y^2=12 \quad \dots(i)$
$x^2+y=12 \quad \dots(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(x^2-x) + (y-y^2) = 0$
$(x^2-y^2) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y-1) = 0$
આથી $x=y$ અથવા $x+y=1$.
કિસ્સો $1$: જો $x=y$,તો $x^2+x=12$ $\Rightarrow x^2+x-12=0$ $\Rightarrow (x+4)(x-3)=0$. આમ,$x=3, y=3$ અને $x=-4, y=-4$. આ $2$ ઉકેલો આપે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x+y=1$,તો $y=1-x$. $(ii)$ માં મૂકતા: $x^2+(1-x)=12 \Rightarrow x^2-x-11=0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(-11) = 1+44 = 45 > 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણના $x$ માટે $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે,જે પ્રત્યેક માટે $y$ ની વાસ્તવિક કિંમત મળે છે. આ બીજા $2$ ઉકેલો આપે છે.
કુલ ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા $2+2=4$ છે.

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$.
ધારો કે $z = re^{i\theta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3\theta} + r^{-3}e^{-i3\theta}| \leq 2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$.
જો કે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$.
$AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$r^3 + r^{-3} \geq 2$.
કારણ કે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ અને $r^3+r^{-3} \geq 2$,તેથી શરત સંતોષવા માટે $|z|=1$ હોવું જરૂરી છે.
જો $|z|=1$,તો $z = e^{i\theta}$,તેથી $|z+z^{-1}| = |e^{i\theta} + e^{-i\theta}| = |2\cos\theta|$.
$|2\cos\theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $\cos\theta = \pm 1$ હોય.

(C) ધારો કે $S = 2014^3 - 2013^3 + 2012^3 - 2011^3 + \ldots + 2^3 - 1^3$.
પદોને જોડકાંમાં ગોઠવતા: $(2014^3 - 2013^3) + (2012^3 - 2011^3) + \ldots + (2^3 - 1^3)$.
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં દરેક જોડકા માટે $a - b = 1$ છે:
$S = (2014^2 + 2014 \times 2013 + 2013^2) + (2012^2 + 2012 \times 2011 + 2011^2) + \ldots + (2^2 + 2 \times 1 + 1^2)$.
આવા કુલ $1007$ જોડકાં છે.
ગણતરી કરતા $S = 1007^2 \times 4031$ મળે છે.
તેથી,$S$ ને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $1007^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $BOAC$ એ $XY$-સમતલમાં એક લંબચોરસ છે જ્યાં $O(0,0)$ ઉગમબિંદુ છે અને બિંદુઓ $A, B$ પરવલય $y=x^2$ પર આવેલા છે.
ધારો કે $A = (t_1, t_1^2)$ અને $B = (t_2, t_2^2)$.
$BOAC$ લંબચોરસ હોવાથી,વિકર્ણો $OA$ અને $BC$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે,અને બાજુઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{t_1^2 - 0}{t_1 - 0} = t_1$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{t_2^2 - 0}{t_2 - 0} = t_2$ છે.
$OA \perp OB$ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 t_2 = -1$.
ધારો કે $C = (h, k)$. $BOAC$ લંબચોરસ હોવાથી,સદિશ $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ થાય.
તેથી,$h = t_1 + t_2$ અને $k = t_1^2 + t_2^2$.
આપણે $k$ ને $h$ ના પદમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ:
$k = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2$
$k = h^2 - 2(-1)$
$k = h^2 + 2$.
તેથી,$C(h, k)$ નો બિંદુપથ $y = x^2 + 2$ છે.

(B) ધારો કે $O$ એ વર્તુળ $C_1$ નું કેન્દ્ર છે અને $O'$ એ વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર છે. કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે લો.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $R-r$ છે.
ધારો કે $M$ એ $P$ નો $OO'$ રેખા પરનો પ્રક્ષેપ છે. $l$ એ $C_1$ ને $P$ આગળ સ્પર્શતી હોવાથી,$PM \perp OO'$,તેથી $PM = r$.
ધારો કે $N$ એ $B$ નો $OO'$ રેખા પરનો પ્રક્ષેપ છે. $l$ એ $OO'$ ને સમાંતર હોવાથી,$BN = PM = r$.
$\triangle O'NB$ માં,$O'B = R$ અને $BN = r$.
આપેલ છે કે $R^2 = 2r^2$,તેથી $R = \sqrt{2}r$.
તેથી $O'N = \sqrt{O'B^2 - BN^2} = \sqrt{2r^2 - r^2} = r$.
$O'N = BN = r$ હોવાથી,$\triangle O'NB$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle BO'N = 45^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle AO'M = 45^{\circ}$.
આમ,$\angle AO'B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$.
જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O'$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તે જ જીવા $AB$ દ્વારા વર્તુળ $C_2$ ના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુ $O$ આગળ બનતો ખૂણો કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા કરતા અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AO'B = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sin (\lambda \alpha) \cos (\lambda \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \lambda - 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{\sin (2 \lambda \alpha)}{\sin (2 \alpha)} = \lambda - 1$
$\Rightarrow \sin (2 \lambda \alpha) = (\lambda - 1) \sin (2 \alpha)$.
આ સમીકરણ $\lambda = 1$ અને $\lambda = 2$ માટે સાચું ઠરે છે.
તેથી,$\lambda$ ના બે મૂલ્યો શક્ય છે.

(B) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $1$ અને $2$ લંબાઈની જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ ખૂણા બનાવે છે.
ધારો કે $2\theta$ એ $1$ લંબાઈની જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે,અને $2\alpha$ એ $2$ લંબાઈની જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1/2}{r} = \frac{1}{2r}$ અને $\sin \alpha = \frac{1}{r}$ થાય.
કેન્દ્રની આસપાસના ખૂણાઓનો સરવાળો $3(2\theta) + 3(2\alpha) = 360^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta + \alpha = 60^{\circ}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos(\theta + \alpha) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $\cos(\theta + \alpha) = \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\sin \theta = \frac{1}{2r}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{1}{4r^2}} = \frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{r}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{r^2}} = \frac{\sqrt{r^2-1}}{r}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r} \cdot \frac{\sqrt{r^2-1}}{r} - \frac{1}{2r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)}}{2r^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2r^2} = \frac{r^2+1}{2r^2}$.
$\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)} = r^2+1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4r^2-1)(r^2-1) = (r^2+1)^2$.
$4r^4 - 5r^2 + 1 = r^4 + 2r^2 + 1$.
$3r^4 = 7r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{7}{3}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{7}{3}}$.

(A) ધારો કે $p = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{6/x^2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(\frac{x}{\sin x}\right)$.
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{\sin x} = \frac{x}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)^{-1} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)$.
હવે,$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)$.
$u = \frac{x^2}{6}$ માટે $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \left(\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + O(x^2)) = 1$.
તેથી $\ln p = 1$,એટલે કે $p = e^1 = e$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{(3x-1)}(x-2) = \log _{(9x^2-6x+1)}(2x^2-10x-2)$.
અહીં $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$ છે.
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{(3x-1)}(x-2) = \frac{1}{2} \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$.
તેથી,$\log _{(3x-1)}(x-2)^2 = \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$.
ઘાતાંક સરખાવતા: $(x-2)^2 = 2x^2-10x-2$.
$x^2-4x+4 = 2x^2-10x-2$.
$x^2-6x-6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 3 \pm \sqrt{15}$ મળે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x-2 > 0$ હોવું જોઈએ.
જો $x = 3-\sqrt{15}$ લઈએ,તો $x-2 < 0$ થાય,જે શક્ય નથી.
જો $x = 3+\sqrt{15}$ લઈએ,તો તે શરતોનું પાલન કરે છે.
તેથી,$x = 3+\sqrt{15}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^a + 2^{2b} + 2^{3c} = 328$ છે.
અહીં $328 = 2^6 + 2^8 + 2^3$ તરીકે લખી શકાય.
જો આપણે $c=1$ લઈએ,તો $2^a + 2^{2b} = 328 - 8 = 320$.
$320 = 2^6 \times 5$ હોવાથી,$a=6$ અને $1 + 2^{2b-6} = 5$ મળે.
તેથી $2^{2b-6} = 4 = 2^2$,એટલે કે $2b-6=2$,જેનો અર્થ $b=4$ થાય.
આમ,$(a, b, c) = (6, 4, 1)$.
હવે,$\frac{a + 2b + 3c}{abc} = \frac{6 + 2(4) + 3(1)}{6 \times 4 \times 1} = \frac{17}{24}$.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે,જ્યાં $c$ કર્ણ છે. કાટકોણ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a+b-c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે એક બાજુ $12$ છે. ધારો કે $a = 12$.
તેથી $r = \frac{12+b-c}{2}$ $\Rightarrow 2r = 12+b-c$ $\Rightarrow c-b = 12-2r$.
વળી,$a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$.
$144 = (12-2r)(c+b) \Rightarrow c+b = \frac{144}{2(6-r)} = \frac{72}{6-r}$.
$c+b$ અને $c-b$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $6-r$ એ $72$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$r$ મહત્તમ મેળવવા માટે,આપણે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ.
જો $a=12$ એ કર્ણ હોય,તો $12^2 = b^2+c^2$. શૂન્યતર બાજુઓ માટે આ શક્ય નથી.
જો $a=12$ એ એક બાજુ હોય,તો $r = \frac{12+b-c}{2}$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 35, 37)$ માટે $r = \frac{12+35-37}{2} = 5$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 16, 20)$ માટે $r = \frac{12+16-20}{2} = 4$.
પૂર્ણાંક બાજુઓ $(12, 9, 15)$ માટે $r = \frac{12+9-15}{2} = 3$.
આમ,મહત્તમ ત્રિજ્યા $5$ છે.

(A) આપેલ છે,$x = (\sqrt{50} + 7)^{1/3} - (\sqrt{50} - 7)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x^3 = (\sqrt{50} + 7) - (\sqrt{50} - 7) - 3[(\sqrt{50} + 7)(\sqrt{50} - 7)]^{1/3} \cdot x$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^3 = 14 - 3(50 - 49)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3(1)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x^3 + 3x - 14 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $x = 2$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
બહુપદીના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x^2 + 2x + 7) = 0$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 + 2x + 7$ માટે વિવેચક $D = 2^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$ છે,તેથી તેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = (1+x+x^2)^{2014} = \sum_{r=0}^{4028} a_r x^r$.
એકમનું સંકર ઘનમૂળ $\omega$ લો,જેથી $1+\omega+\omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
રૂટ્સ ઓફ યુનિટી ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરીને,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $|A| = |C| < |B|$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $xy=1$ છે,જેને $y = \frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
બિંદુ $(2, 1/2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1/2)} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ છે.
$(2, 1/2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $n = -\frac{1}{(-1/4)} = 4$ થાય.
ધારો કે આપાત કિરણનો ઢાળ $m$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ $\infty$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાત કિરણ અને અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો એ પરાવર્તિત કિરણ અને અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો હોય છે. બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય ત્યારે તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\frac{4 - m}{1 + 4m}\right| = \left|\frac{\infty - 4}{1 + 4(\infty)}\right| = \left|\frac{1}{4}\right|$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = \frac{1}{4}$ ને ઉકેલતા:
$16 - 4m = 1 + 4m$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = -\frac{1}{4}$ ને ઉકેલતા:
$16 - 4m = -1 - 4m$
$16 = -1$,જે અશક્ય છે.
આમ,આપાત કિરણનો ઢાળ $\frac{15}{8}$ છે.

(D) આપેલ છે $C(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{n!}$.
$C(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$.
$C(\pi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}$.
$(A)$ $C(0) \cdot C(\pi) = e \cdot e^{-1} = 1$ (સાચું).
$(B)$ $C(0) + C(\pi) = e + \frac{1}{e} > 2$ (સાચું).
$(C)$ $C(\theta) = e^{\cos \theta} \cos(\sin \theta) > 0$ (સાચું).
$(D)$ $C^{\prime}(\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{(n-1)!}$. $\theta = 0$ માટે $C^{\prime}(0) = 0$ થાય છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x+a^{3-x}-\left(a^2+a\right)}{a^{3-x}-a^{x / 2}}$.
જ્યારે $x = 2$ હોય ત્યારે લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(a^x+a^{3-x}-a^2-a)}{\frac{d}{dx}(a^{3-x}-a^{x/2})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x \ln a - a^{3-x} \ln a}{-a^{3-x} \ln a - \frac{1}{2} a^{x/2} \ln a}$
અંશ અને છેદમાંથી $\ln a$ દૂર કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x - a^{3-x}}{-a^{3-x} - \frac{1}{2} a^{x/2}}$
$x = 2$ મૂકતા:
$L = \frac{a^2 - a^1}{-a^1 - \frac{1}{2} a^1} = \frac{a^2 - a}{-\frac{3}{2} a}$
$L = \frac{a(a-1)}{-\frac{3}{2} a} = -\frac{2}{3}(a-1) = \frac{2}{3}(1-a)$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $f(x)=0$ અને $g(x)=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + 2 = 0$ અને $\alpha^2 + 2\alpha + a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a-2)\alpha + (2-a) = 0$.
$(a-2)(\alpha - 1) = 0$.
બહુપદીઓ ભિન્ન હોવાથી,$a \neq 2$. તેથી,$\alpha = 1$.
$f(x)=0$ માં $\alpha = 1$ મૂકતા: $1^2 + a(1) + 2 = 0 \Rightarrow a = -3$.
સમીકરણ $f(x)+g(x)=0$ એ $(x^2-3x+2) + (x^2+2x-3) = 0$ બને છે.
$2x^2 - x - 1 = 0$.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = n + 2n + 3n + \ldots + 99n$ છે.
આને $S = n(1 + 2 + 3 + \ldots + 99)$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$,આપણને મળે:
$S = n \times \frac{99 \times 100}{2} = n \times 99 \times 50 = n \times 4950$.
$4950$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $4950 = 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ છે.
$S$ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે $n \times 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ પૂર્ણ વર્ગ હોવું જોઈએ.
આ માટે $n$ એ $2 \times 11 \times k^2 = 22k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ મેળવવા માટે $k=1$ લેતા,$n = 22$ મળે.
તેથી $n^2 = 22^2 = 484$.
$484$ માં $3$ અંકો છે.

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$,તેથી $x=y=z$.
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ મળે છે. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ હોય,જે $x=y=z$ સૂચવે છે.
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. જો $x=1, y=2, z=0.5$ લઈએ,તો $3.25 \neq 3$ મળે છે. આ શરત હંમેશા $x=y=z$ સૂચવતી નથી.
$IV.$ $AM$-$GM$ દ્વારા,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. તેથી $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $x=y=z$ હોય.
આમ,$I, II,$ અને $IV$ એ $x=y=z$ સૂચવે છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના એકરૂપ લંબચોરસના માપ $x$ અને $y$ છે.
આકૃતિ પરથી,મોટા લંબચોરસની કુલ પહોળાઈ $4x$ અને $3y$ છે. તેથી,$4x = 3y$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{4}{3}x$.
મોટા લંબચોરસની પરિમિતિ $2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) = 76$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોટા લંબચોરસની લંબાઈ $4x$ (અથવા $3y$) છે અને ઊંચાઈ $x + y$ છે.
તેથી,$2(4x + x + y) = 76$,જેનું સાદું રૂપ $5x + y = 38$ થાય છે.
સમીકરણમાં $y = \frac{4}{3}x$ મૂકતા: $5x + \frac{4}{3}x = 38$.
$\frac{15x + 4x}{3} = 38 \implies 19x = 114 \implies x = 6$.
તેથી $y = \frac{4}{3}(6) = 8$.
દરેક નાના લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28 \text{ એકમ}$ છે.

(B) $24^k$ એ $13!$ ને ભાગી શકે તેવી સૌથી મોટી $k$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $13!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $24^k = (2^3 \times 3)^k = 2^{3k} \times 3^k$.
$24^k$ એ $13!$ ને ભાગી શકે તે માટે,$3k \le 10$ અને $k \le 5$ હોવું જોઈએ.
$3k \le 10$ પરથી,આપણને $k \le \frac{10}{3} \approx 3.33$ મળે છે.
$k \le 5$ પરથી,આપણને $k \le 5$ મળે છે.
બંને શરતોનું પાલન કરતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $k = 3$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$I$. $\triangle BCX$ અને $\triangle BCY$ સમાન પાયા $BC$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $XY$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. આમ,$[BCX] = [BCY]$ સાચું છે.
$II$. ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[ACX] = \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A$
$[ABY] = \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A$
$[ACX] \cdot [ABY] = \left( \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A \right)$
$= \left( \frac{1}{2} (AX)(AY) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin A \right)$
$= [AXY] \cdot [ABC]$
આમ,$II$ પણ સાચું છે.
તેથી,$I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે $\angle PAB = \theta$ અને $\angle PAC = \phi$.
$Q$ એ $AB$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$AQ = AP$ અને $\angle QAB = \angle PAB = \theta$ થાય.
$R$ એ $AC$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$AR = AP$ અને $\angle RAC = \angle PAC = \phi$ થાય.
આપેલ છે કે $Q, A, R$ સમરેખ છે,તેથી $\angle QAR = 180^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle QAR = \angle QAB + \angle BAC + \angle RAC = \theta + (\theta + \phi) + \phi = 2(\theta + \phi) = 180^{\circ}$.
તેથી,$\theta + \phi = 90^{\circ}$.
$\angle BAC = \theta + \phi$ હોવાથી,$\angle BAC = 90^{\circ}$ થાય.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $1$ છે. ધારો કે $O$ એ વર્તુળ $\Gamma$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $BC$ એ વર્તુળની જીવા હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ માંથી $BC$ પરનો લંબ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,$OM \perp BC$. $BC$ શિરોલંબ છે અને $AD$ ને સમાંતર છે,તેથી $OM$ સમક્ષિતિજ છે.
ધારો કે $N$ એ $AD$ પરનું સ્પર્શબિંદુ છે. તેથી $ON \perp AD$. $AD$ શિરોલંબ હોવાથી,$ON$ સમક્ષિતિજ છે.
$AD$ અને $BC$ સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $1$ છે,તેથી $AD$ અને $BC$ વચ્ચેનું કુલ સમક્ષિતિજ અંતર $1$ છે.
ધારો કે $O$ એ $N$ થી $r$ અંતરે છે. $O$ થી $M$ નું અંતર $1-r$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMC$ માં,$OC = r$,$CM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}$,અને $OM = 1-r$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $OC^2 = OM^2 + CM^2$.
$r^2 = (1-r)^2 + (\frac{1}{2})^2$.
$r^2 = 1 - 2r + r^2 + \frac{1}{4}$.
$2r = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
$r = \frac{5}{8}$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.
$P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે $AD, BC, AB, CD$ પર હોવાથી,આપણે તેમના યામ $P(0, p)$,$Q(1, q)$,$R(r, 0)$,અને $S(s, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ,જ્યાં $0 < p, q, r, s < 1$.
$PQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{q-p}{1-0} = q-p$ છે.
$RS$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1-0}{s-r} = \frac{1}{s-r}$ છે.
$PQ \perp RS$ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,તેથી $(q-p) \cdot \frac{1}{s-r} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $q-p = r-s$.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (q-p)^2} = \sqrt{1 + (q-p)^2}$.
આપેલ છે કે $PQ = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,તેથી $\frac{27}{16} = 1 + (q-p)^2$,એટલે કે $(q-p)^2 = \frac{11}{16}$.
લંબાઈ $RS = \sqrt{(s-r)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(r-s)^2 + 1}$.
કારણ કે $(r-s)^2 = (q-p)^2 = \frac{11}{16}$,તેથી $RS = \sqrt{\frac{11}{16} + 1} = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x\,m$ છે.
ટ્રેનને માણસને પસાર કરવામાં લાગતો સમય $9\,s$ છે.
તેથી,ટ્રેનની ઝડપ $v = \frac{x}{9}\,m/s$ છે.
ટ્રેનને પ્લેટફોર્મ પસાર કરવામાં લાગતો સમય $21\,s$ છે.
પ્લેટફોર્મ પસાર કરતી વખતે,કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે,જે $(x + 88)\,m$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + 88 = v \times 21$
$v = \frac{x}{9}$ મૂકતા:
$x + 88 = \frac{x}{9} \times 21$
$x + 88 = \frac{7x}{3}$
$3(x + 88) = 7x$
$3x + 264 = 7x$
$4x = 264$
$x = 66\,m$.
આમ,ટ્રેનની લંબાઈ $66\,m$ છે.

(C) ધારો કે $f(n) = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $\frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} < \frac{1}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} > 12$.
$n=7$ માટે: $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{7} = 2 - 1.9129 = 0.0871$,જે $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ કરતા મોટું છે.
$n=8$ માટે: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{8} = 2.08008 - 2 = 0.08008$,જે $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ કરતા નાનું છે.
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $8$ છે.

(B) ધારો કે $n$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $r$ છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2\}$.
કિસ્સો $1$: જો $n \equiv 0 \pmod{3}$ હોય,તો $n$ એ $3$ નો ગુણક છે. પરિણામે,$n^{19}$ એ $3$ નો ગુણક છે.
કિસ્સો $2$: જો $n \equiv 1 \pmod{3}$ હોય,તો $n^{38} \equiv 1^{38} \equiv 1 \pmod{3}$. તેથી,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,એટલે કે $n^{38} - 1$ એ $3$ નો ગુણક છે.
કિસ્સો $3$: જો $n \equiv 2 \pmod{3}$ હોય,તો $n^{38} \equiv 2^{38} \equiv (-1)^{38} \equiv 1 \pmod{3}$. તેથી,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,એટલે કે $n^{38} - 1$ એ $3$ નો ગુણક છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં,$\{n^{19}, n^{38}-1\}$ સમૂહમાંની ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $12! + 13! + 14!$
$12!$ સામાન્ય લેતા: $12!(1 + 13 + 13 \times 14)$
કૌંસમાં રહેલી પદાવલિનું સાદુંરૂપ: $12!(1 + 13 + 182) = 12! \times 196$
$196$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $196 = 14^2 = (2 \times 7)^2 = 2^2 \times 7^2$
$12!$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $12! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$
બંનેને જોડતા,$12! \times 196 = 2^{12} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^1$
ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
તેથી,ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા $5$ છે.

(A) $EDUCATION$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $5$ સ્વરો $(E, U, A, I, O)$ અને $4$ વ્યંજનો $(D, C, T, N)$.
પ્રથમ,$5$ સ્વરોને આપેલ ક્રમમાં ગોઠવો: $E, U, A, I, O$. આ $1$ રીતે કરી શકાય છે.
કોઈ પણ બે વ્યંજનો એકબીજાની બાજુમાં ન હોય તે શરત પૂરી કરવા માટે,આપણે વ્યંજનોને સ્વરો દ્વારા બનાવેલી જગ્યાઓમાં મૂકીએ છીએ. સ્વરોની ગોઠવણી $6$ સંભવિત જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત):
$ \_ V \_ 1 \_  V \_ 2   \_  V \_ 3  \_  V \_ 4  \_  V \_ 5 \_ $
આપણે $4$ વ્યંજનોને મૂકવા માટે ઉપલબ્ધ $6$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
કારણ કે વ્યંજનો નિશ્ચિત ક્રમમાં $(D, C, T, N)$ દેખાવા જોઈએ,એકવાર $4$ જગ્યાઓ પસંદ થઈ જાય પછી તેમને ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
$6$ માંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{6}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
તેથી,આવી $15$ ગોઠવણીઓ છે.

(D) આકૃતિ પરથી,લંબચોરસના પરિમાણો $12 \times 9$ છે. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $12 \times 9 = 108 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
લંબચોરસમાંથી કાપેલા ત્રિકોણાકાર ખૂણાની બાજુઓની લંબાઈ $3$ અને $4$ છે,અને કર્ણની લંબાઈ $5$ છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
પરિણામી પંચકોણનું ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતાં મળે છે: $108 - 6 = 102 \text{ ચોરસ એકમ}$.
પંચકોણના ક્ષેત્રફળનો લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{102}{108}$ છે.
અંશ અને છેદ બંનેને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{17}{18}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $[x]\{x\} = 5$ છે,જ્યાં $x \in [0, 2015]$.
ધારો કે $n = [x]$ અને $f = \{x\}$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq f < 1$.
સમીકરણ $n \cdot f = 5$ બને છે,જેનો અર્થ છે $f = \frac{5}{n}$.
$0 \leq f < 1$ હોવાથી,$0 \leq \frac{5}{n} < 1$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $n > 5$.
વળી,$x = n + f = n + \frac{5}{n}$.
$x \leq 2015$ હોવાથી,$n + \frac{5}{n} \leq 2015$.
$n$ પૂર્ણાંક છે અને $n > 5$ હોવાથી,$n$ ની શક્ય કિંમતો $6, 7, \dots, 2014$ છે.
દરેક $n$ માટે,$x = n + \frac{5}{n}$ એ ઉકેલ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2014 - 6 + 1 = 2009$ છે.

(B) ધારો કે $ABCD$ સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $h$ છે.
$AP \perp BC$ અને $DQ \perp BC$ લો. તેથી,$AP = DQ = h$.
$AB = AM$ હોવાથી,$\triangle ABM$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $\triangle ABM$ માં,$AP$ એ પાયા $BM$ પરનો વેધ છે,તેથી $P$ એ $BM$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે $BP = PM$.
$\triangle ABM$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BM \times h = \frac{1}{2} \times (2PM) \times h = PM \times h$.
તે જ રીતે,$DC = DM$ હોવાથી,$\triangle DCM$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $\triangle DCM$ માં,$DQ$ એ પાયા $MC$ પરનો વેધ છે,તેથી $Q$ એ $MC$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે $MQ = QC$.
$\triangle DCM$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times MC \times h = \frac{1}{2} \times (2MQ) \times h = MQ \times h$.
$\triangle AMD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AD \times h$.
$AD$ એ $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$AD = PQ = PM + MQ$.
$\triangle AMD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (PM + MQ) \times h = \frac{1}{2} \times PM \times h + \frac{1}{2} \times MQ \times h$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABM) + \text{Area}(\triangle AMD) + \text{Area}(\triangle DCM) = PM \times h + \frac{1}{2}(PM + MQ)h + MQ \times h = \frac{3}{2}(PM + MQ)h$.
ગુણોત્તર $= \frac{\text{Area}(ABCD)}{\text{Area}(\triangle AMD)} = \frac{\frac{3}{2}(PM + MQ)h}{\frac{1}{2}(PM + MQ)h} = 3$.

(C) ધારો કે બે ગામોમાં લોકોની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે,$x$ લોકોની સરેરાશ આવક $P$ છે અને $y$ લોકોની સરેરાશ આવક $Q$ છે.
તેથી,બે ગામોમાં લોકોની કુલ આવક અનુક્રમે $Px$ અને $Qy$ છે.
$I$ આવક ધરાવતી એક વ્યક્તિ પ્રથમ ગામમાંથી બીજા ગામમાં જાય છે.
ત્યારે,પ્રથમ ગામમાં લોકોની સંખ્યા $x-1$ અને બીજા ગામમાં $y+1$ થાય છે.
નવી સરેરાશ આવક $P^{\prime} = \frac{Px - I}{x-1}$ અને $Q^{\prime} = \frac{Qy + I}{y+1}$ છે.
જો $P^{\prime} = P$ હોય,તો $Px - I = P(x-1) = Px - P$,જેનો અર્થ છે કે $I = P$.
જો $Q^{\prime} = Q$ હોય,તો $Qy + I = Q(y+1) = Qy + Q$,જેનો અર્થ છે કે $I = Q$.
કારણ કે $P \neq Q$,વ્યક્તિ પાસે એવી આવક $I$ ન હોઈ શકે કે જેથી $P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ બંને એકસાથે થાય.
આમ,$P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ ની સ્થિતિ અશક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-6)^2=1$ છે.
આ એક એવો ગોલક છે જેનું કેન્દ્ર $C = (2, 3, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(2, 3, 6)$ સુધીનું અંતર $d$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$d = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
ગોલક પરના કોઈપણ બિંદુનું ઉગમબિંદુથી લઘુત્તમ અંતર એ ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરમાંથી ગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
લઘુત્તમ અંતર $= d - r = 7 - 1 = 6$.

(A) આપેલ છે $p(x) - p'(x) = x^n$.
બહુપદીના ગુણાંક સરખાવતા,$p(x) = x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} + \dots + n!$ મળે છે.
તેથી,$x = 0$ મૂકતા $p(0) = n!$ મળે છે.

(D) ધારો કે વૃત્તાંશની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) છે.
ચાપની લંબાઈ $l = r\theta$ છે.
વૃત્તાંશની પરિમિતિ $P = 2r + l = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ છે.
આના પરથી,આપણે ત્રિજ્યાને $r = \frac{P}{2 + \theta}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ છે.
$P$ અને $\theta$ ના પદોમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \left(\frac{P}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
$(2 + \theta)$ સામાન્ય લેતા:
$(2 + \theta)(2 + \theta - 2\theta) = 0$.
$(2 + \theta)(2 - \theta) = 0$.
કારણ કે $\theta > 0$,તેથી $\theta = 2$ રેડિયન મળે છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $2$ રેડિયન છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.
આપણે $\int_0^{2n} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંતરાલ $[0, 2n]$ માટે,ગણ $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ ની મહત્તમ કિંમત અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ખાસ કરીને,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$.
આપણે સંકલનને $x = n$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$
$x \in [0, n]$ માટે,$|x-2n| \geq |x|$,તેથી $f(x) = |x-2n| = 2n-x$.
$x \in [n, 2n]$ માટે,$|x| \geq |x-2n|$,તેથી $f(x) = |x| = x$.
આમ,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$.

(D) ધારો કે $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
આપેલ છે કે $p(0) = 2$,તેથી $d = 2$.
આપેલ છે કે $p(1) = a + b + c + d = 3 \Rightarrow a + b + c = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $p(-1) = -a + b - c + d = 4 \Rightarrow -a + b - c = 2$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $2b = 3$ મળે છે,તેથી $b = \frac{3}{2}$.
આપણે $I = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$ax^3$ અને $cx$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 (bx^2 + d) dx = 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx$.
$I = 2 \left[ \frac{bx^3}{3} + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$.
$b = \frac{3}{2}$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$I = 2 \left( \frac{3/2}{3} + 2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{5}{2} \right) = 5$.

(A) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. કારણ કે $x > 0$,આપણે સંકલનને $t = x$ આગળ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t + \int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t$
પ્રથમ સંકલન માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t = [-(x-t)e^{-t}]_0^x - \int \limits_0^x e^{-t} d t = (0 - (-x)) - [-e^{-t}]_0^x = x - (1 - e^{-x}) = x - 1 + e^{-x}$
બીજા સંકલન માટે:
$\int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t = [-(t-x)e^{-t}]_x^{\infty} + \int \limits_x^{\infty} e^{-t} d t = (0 - 0) + [-e^{-t}]_x^{\infty} = 0 - (0 - e^{-x}) = e^{-x}$
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા:
$I = (x - 1 + e^{-x}) + e^{-x} = x + 2e^{-x} - 1$.

(B) ધારો કે લાલ,સફેદ,વાદળી અને લીલા લખોટાની સંખ્યા અનુક્રમે $r, w, b, g$ છે અને $r + w + b + g = n$.
આપેલ છે કે ઘટનાઓ સમાન રીતે સંભવિત છે,તેથી:
$\frac{{}^rC_4}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^rC_3}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2}{{}^nC_4} = \frac{{}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1}{{}^nC_4}$
પ્રથમ સમાનતા પરથી: ${}^rC_4 = {}^wC_1 \cdot {}^rC_3 \Rightarrow r = 4w + 3$.
બીજી સમાનતા પરથી: ${}^wC_1 \cdot {}^rC_3 = {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 \Rightarrow r = 3b + 2$.
ત્રીજી સમાનતા પરથી: ${}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 = {}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1 \Rightarrow r = 2g + 1$.
$r$ માટેના સમીકરણો સરખાવતા: $r = 4w + 3 = 3b + 2 = 2g + 1$.
$r$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $11$ મળે છે.
તેથી $w = 2, b = 3, g = 5$.
કુલ લખોટા $n = 11 + 2 + 3 + 5 = 21$.

(D) ધારો કે $X_i$ એ $i$-મા પ્રયત્નમાં બોક્સ $B_1$ માં ઉમેરવામાં આવેલા દડાઓની સંખ્યા છે.
દરેક પ્રયત્નમાં,$D_1$ પર $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $D_2$ પર $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે છે.
જો $k=1$ હોય તો બોક્સ $B_1$ માં $j$ દડા ઉમેરવામાં આવે છે,અને જો $k \neq 1$ હોય તો $0$ દડા ઉમેરવામાં આવે છે.
$n$ પ્રયત્નો પછી $B_1$ માં વધુમાં વધુ એક દડો હોય તે માટે,કાં તો બધા $n$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે,અથવા એક પ્રયત્નમાં બરાબર એક દડો અને બાકીના $n-1$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે.
કિસ્સો $1$: બધા $n$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે દરેક પ્રયત્નમાં $k \neq 1$ હોય. તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^n$ છે.
કિસ્સો $2$: એક પ્રયત્નમાં બરાબર એક દડો અને બાકીનામાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે એક પ્રયત્નમાં $j=1$ અને $k=1$ હોય (સંભાવના $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$),અને બાકીના $n-1$ પ્રયત્નોમાં $k \neq 1$ હોય (સંભાવના $(\frac{5}{6})^{n-1}$).
જે પ્રયત્નમાં દડો ઉમેરવામાં આવે છે તેના માટે $n$ પસંદગીઓ હોવાથી,સંભાવના $n \times \frac{1}{36} \times (\frac{5}{6})^{n-1} = n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$ છે.
કુલ સંભાવના = $(\frac{5}{6})^n + n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ અને $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{b}$ એ $\vec{d}$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $\vec{b} = \lambda \vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$,તેથી $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (6 - \lambda) \hat{i} - (3 + \lambda) \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{d}$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$(6 - \lambda)(1) + (-3 - \lambda)(1) + (-6 - \lambda)(1) = 0$.
$6 - \lambda - 3 - \lambda - 6 - \lambda = 0$.
$-3 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $\vec{c}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{c} = (6 - (-1)) \hat{i} - (3 + (-1)) \hat{j} - (6 + (-1)) \hat{k} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.
તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ હોવાથી,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ થવું જોઈએ.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ મેળવીએ.
$g'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,તેથી $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (કારણ કે $x > 0$).
દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = 6\alpha x > 0$ હોવાથી,આ બિંદુએ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.
$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.
$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.
$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.
$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.
આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{2^5}{3^3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$f'(x) + x f(x) + 2x = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$f'(x) = -x(f(x) + 2)$.
આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ચલ અલગ કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x) + 2} = -x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|f(x) + 2| = -\frac{x^2}{2} + C$.
આમ,$f(x) + 2 = A e^{-x^2/2}$,અથવા $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f(0) + \int_{0}^{0} t f(t) dt + 0^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$.
$f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$ માં $x = 0$ મૂકતા:
$0 = A(1) - 2 \Rightarrow A = 2$.
તેથી,$f(x) = 2 e^{-x^2/2} - 2$.
હવે,લક્ષની કિંમત શોધતા:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$.
$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=2x-4x^3$ છે. ધારો કે $2x-4x^3=c$ ના બીજ $a, b$ અને $\alpha$ છે.
$4x^3-2x+c=0$ હોવાથી,$a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$,અને $ab\alpha=-\frac{c}{4}$ મળે.
આકૃતિ પરથી,પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx$ છે અને પ્રદેશ $II$ નું ક્ષેત્રફળ $c(b-a)$ છે.
આપેલ છે કે $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx = c(b-a)$,તેથી $\int_a^b (2x-4x^3) dx = 2c(b-a)$.
સંકલન કરતા: $[x^2-x^4]_a^b = 2c(b-a) \Rightarrow (b^2-a^2)-(b^4-a^4) = 2c(b-a)$.
$(b-a)$ વડે ભાગતા,$(b+a)(1-(b^2+a^2)) = 2c$ મળે.
$a+b=-\alpha$ હોવાથી,$-\alpha(1-(a^2+b^2)) = 2c$ મળે.
$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = \alpha^2-2(\alpha^2-\frac{1}{2}) = 1-\alpha^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\alpha(1-(1-\alpha^2)) = 2c \Rightarrow -\alpha^3 = 2c$ મળે.
વળી $ab\alpha = -c/4 \Rightarrow c = -4ab\alpha = -4\alpha(\alpha^2-1/2) = -4\alpha^3+2\alpha$.
$2c = -2\alpha^3$ અને $2c = -8\alpha^3+4\alpha$ ને સરખાવતા,$6\alpha^3=4\alpha$ મળે.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha^2 = 2/3$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $\frac{2}{\sqrt{7}}$ છે.

(C) ધારો કે $S_n$ એ $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા છે જેમાં કોઈપણ બે ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. ધારો કે $a_n$ એ આવા ઉપગણોની સંખ્યા છે.
$n=10$ માટે,આપણે કુલ માન્ય ઉપગણોની સંખ્યા $N$ ગણીએ છીએ.
ધારો કે $f(n)$ એ $X_n$ માટે આવા ઉપગણોની સંખ્યા છે. પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(n) = f(n-1) + f(n-3) + 1$ છે (જ્યાં $1$ એ ખાલી ગણ માટે છે).
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=9, f(6)=13, f(7)=19, f(8)=28, f(9)=41, f(10)=60$.
કુલ ઉપગણો $N = 60$.
$1$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા: જો $1 \in A$,તો $2, 3 \notin A$. આપણે $\{4, 5, \ldots, 10\}$ માંથી એવો ઉપગણ પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેમાં ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. આ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ માંથી સમાન શરત સાથે ઉપગણ પસંદ કરવા જેવું છે. તેથી,$N(1 \in A) = f(7) = 19$.
તેથી,$p = \frac{19}{60}$.
$2$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા: જો $2 \in A$,તો $1, 3, 4 \notin A$. આપણે $\{5, 6, \ldots, 10\}$ માંથી એવો ઉપગણ પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેમાં ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. આ $\{1, 2, \ldots, 6\}$ માંથી સમાન શરત સાથે ઉપગણ પસંદ કરવા જેવું છે. તેથી,$N(2 \in A) = f(6) = 13$.
તેથી,$q = \frac{13}{60}$.
તેથી,$p > q$ અને $p - q = \frac{19-13}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

(D) જ્યારે નિશ્ચાયક $D$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે ઘટકોને $5$ ના મોડ્યુલોમાં ગણીએ છીએ.
$2014 \equiv -1 \pmod{5}$,$2015 \equiv 0 \pmod{5}$,$2016 \equiv 1 \pmod{5}$,$2017 \equiv 2 \pmod{5}$,$2018 \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}$,$2019 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$,$2020 \equiv 0 \pmod{5}$,$2021 \equiv 1 \pmod{5}$,$2022 \equiv 2 \pmod{5}$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} (-1)^{2014} & 0^{2015} & 1^{2016} \\ 2^{2017} & (-2)^{2018} & (-1)^{2019} \\ 0^{2020} & 1^{2021} & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2^{2017} & 2^{2018} & -1 \\ 0 & 1 & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D \equiv 1(2^{2018} \cdot 2^{2022} - (-1)(1)) - 0 + 1(2^{2017} \cdot 1 - 0) \pmod{5}$
$D \equiv 2^{4040} + 1 + 2^{2017} \pmod{5}$
ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$a^4 \equiv 1 \pmod{5}$:
$2^{4040} = (2^4)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{5}$
$2^{2017} = (2^4)^{504} \cdot 2^1 \equiv 1^{504} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$
આમ,$D \equiv 1 + 1 + 2 = 4 \pmod{5}$.
તેથી,શેષ $4$ છે.

(B) પ્રથમ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $= 2xy + \frac{1}{2}(2y+y)x = 3.5xy$.
બીજી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $= 2xy + y^2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $3.5xy = 2xy + y^2$ $\Rightarrow 1.5xy = y^2$ $\Rightarrow 1.5x = y$ $\Rightarrow 3x = 2y$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સંબંધ $x=2y$ છે.