रेखाएँ frac{x-2}{1}=frac{y-3}{1}=frac{z-4}{-K | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ हैं।दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-

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$K=0$

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(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ हैं।दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ है।साथ ही,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -K)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (K, 2, 1)$ है।इन मानों को सारणिक में रखने पर:$\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \ 1 & 1 & -K \ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & -K \ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर:$-1(1 - (-2K)) - 1(1 - (-K^2)) + 1(2 - K) = 0$$-1(1 + 2K) - 1(1 + K^2) + 2 - K = 0$$-1 - 2K - 1 - K^2 + 2 - K = 0$$-K^2 - 3K = 0$$K(K + 3) = 0$अतः,$K = 0$ या $K = -3$ है। विकल्पों में $K = 0$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $K = 0$ है।

रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ समतलीय हैं यदि

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उस बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए जिसका स्थिति सदिश $(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ है,समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=9$ से।

सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ $\frac{x-a+d}{\alpha-\delta}=\frac{y-a}{\alpha}=\frac{z-a-d}{\alpha+\delta}$ और $\frac{x-b+c}{\beta-\gamma}=\frac{y-b}{\beta}=\frac{z-b-c}{\beta+\gamma}$ समतलीय हैं।

रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{4}$ से गुजरने वाले और समतल $x+2y+z=12$ के लंबवत समतल का समीकरण $ax+by+cz+4=0$ द्वारा दिया गया है,तो:

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