JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $n$ મી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
દળ $m_1 = 3.4 \text{ kg}$ માટે:
$104 = 5 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 99 = \frac{a_1}{2}(9) \Rightarrow a_1 = 22 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ પછી વેગ: $v_1 = 5 + 22(10) = 225 \text{ m/s}$.
દળ $m_2 = 2.5 \text{ kg}$ માટે:
$129 = 12 + \frac{a_2}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 117 = \frac{a_2}{2}(9) \Rightarrow a_2 = 26 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ પછી વેગ: $v_2 = 12 + 26(10) = 272 \text{ m/s}$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = \frac{3.4 \times 225}{2.5 \times 272} = \frac{765}{680} = \frac{9}{8}$.
અહીં $x=9$ મળે છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $x=7$ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(D) સાબુના પરપોટાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
અહીં $T = 3.5 \times 10^{-2} \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,અને $r_2 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times ((0.02)^2 - (0.01)^2)$.
$W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$.
$W = 8 \times 22 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-4}$.
$W = 88 \times 3 \times 10^{-6} = 264 \times 10^{-6} \text{ J}$.
આમ,$\alpha = 264$.

(B) તારમાં કોઈપણ બિંદુએ પ્રતિબળ એટલે તે બિંદુએ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ $A$.
ઉપરથી $x$ અંતરે,આડછેદ દ્વારા ટેકવાયેલું કુલ વજન એ નીચે લટકાવેલું વજન $W$ અને તે બિંદુની નીચે રહેલા તારના ભાગનું વજન છે.
ઉપરથી $l/3$ અંતરે આવેલા બિંદુની નીચે તારની લંબાઈ $l - l/3 = 2l/3$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,આ ભાગનું વજન $w' = w \cdot (2l/3) / l = 2w/3$ થશે.
આ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ $F = W + 2w/3$ છે.
પ્રતિબળ $\sigma = F/A = (W + 2w/3) / A = W/A + (2/3)(w/A)$.
આપેલ સમીકરણ $(W/A + \gamma \cdot w/A)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\gamma = 2/3$ મળે છે.

(B) દ્રઢતા અંક $\eta$ એ શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{\text{Shear Stress}}{\text{Shear Strain}} = \frac{F/A}{x/L}$.
સ્થાનાંતર $x$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $x = \frac{FL}{A\eta}$.
આપેલ કિંમતો: બાજુની લંબાઈ $L = 5$ cm $= 0.05$ m,ક્ષેત્રફળ $A = L^2 = (0.05)^2 = 0.0025$ m$^2$,બળ $F = 10$ $N$,અને દ્રઢતા અંક $\eta = 10^5$ $N$/m$^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \frac{10 \times 0.05}{0.0025 \times 10^5}$.
$x = \frac{0.5}{250} = 0.002$ m.
મીટરને મિલીમીટરમાં ફેરવતા: $0.002$ m $= 2$ mm.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
કારણ કે $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી $U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2 \times \text{Volume}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 3 \text{ m}$,
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,
કદ $V = 600 \times 10^{-6} \text{ m}^3$,
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
વિકૃતિ (Strain) ની ગણતરી: $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3} = 10^{-3}$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (1.1 \times 10^{11}) \times (10^{-3})^2 \times (600 \times 10^{-6})$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 600 \times 10^{-6}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 600 \times 10^{-1}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 60 = 33 \text{ J}$.

(15) $1$. સળિયાની $AB$ અક્ષ (જે તેના એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{rod}} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times (3)^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times 9 = 120 \text{ kg m}^2$.
$2$. નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રથી $d = 3 \text{ m}$ અંતરે આવેલી $AB$ ને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + md^2 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$.
અહીં $m = 10 \text{ kg}$ અને $d = 3 \text{ m}$ આપેલ છે:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} \times 10 \times R^2 + 10 \times (3)^2 = 4R^2 + 90$.
$3$. બંને જડત્વની ચાકમાત્રાને સરખાવતા:
$120 = 4R^2 + 90$
$4R^2 = 30$
$R^2 = \frac{30}{4} = 7.5$.
$4$. આપેલ છે કે $R = \sqrt{\frac{\alpha}{2}}$,તેથી $R^2 = \frac{\alpha}{2}$.
$R^2$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha}{2} = 7.5$
$\alpha = 15$.

(C) પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})\text{ N}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $(3\hat{i} - 4\hat{j})$ દિશામાં છે.
આ દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5}$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = 25 \hat{u} = 25 \times \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5} = 5(3\hat{i} - 4\hat{j}) = (15\hat{i} - 20\hat{j})\text{ m}$ મળે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (15\hat{i} - 20\hat{j} + 0\hat{k})$.
$W = (5 \times 15) + (2 \times -20) + (2 \times 0) = 75 - 40 = 35\text{ J}$.

(B) આપેલ દળ $m = 2 \text{ kg}$ અને બળ $\vec{F} = (2t\hat{i} + 6t^2\hat{j}) \text{ N}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{2t\hat{i} + 6t^2\hat{j}}{2} = (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} \, dt = \int (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \, dt = (\frac{t^2}{2}\hat{i} + t^3\hat{j}) \text{ m/s}$ (પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય ધારતા).
$t = 2 \text{ s}$ સમયે:
બળ $\vec{F} = 2(2)\hat{i} + 6(2^2)\hat{j} = (4\hat{i} + 24\hat{j}) \text{ N}$.
વેગ $\vec{v} = \frac{2^2}{2}\hat{i} + 2^3\hat{j} = (2\hat{i} + 8\hat{j}) \text{ m/s}$.
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (4\hat{i} + 24\hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 8\hat{j}) = (4 \times 2) + (24 \times 8) = 8 + 192 = 200 \text{ W}$.

(A) ધારો કે નમેલા સમતલની લંબાઈ $L$ છે. ખરબચડી સપાટી પર બ્લોકનો પ્રવેગ $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે અને લીસી સપાટી પર $a_2 = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,આપણને મળે છે $L = \frac{1}{2} a_1 t^2$ અને $L = \frac{1}{2} a_2 (t/2)^2$.
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} a_1 t^2 = \frac{1}{2} a_2 \frac{t^2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a_1 = \frac{a_2}{4}$ અથવા $4a_1 = a_2$ મળે છે.
$\theta = 45^\circ$ (જ્યાં $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$) મૂકતા:
$4g(\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}}) = g(\frac{1}{\sqrt{2}})$.
બંને બાજુ $\frac{g}{\sqrt{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $4(1 - \mu) = 1$ મળે છે.
$4 - 4\mu = 1 \implies 4\mu = 3 \implies \mu = 0.75$.
આમ,$\mu = \frac{\alpha}{100}$ હોવાથી,$\frac{\alpha}{100} = 0.75$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 75$.

(A) ગોળીઓ દ્વારા પહોંચી શકાતું સૌથી દૂરનું અંતર એ મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $(R_{max})$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ કિંમતો $R_{max} = 6.4 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $6.4 = \frac{u^2}{10}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને $u^2 = 64$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $u = 8 \text{ m/s}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દડો ઉપરથી $h'$ અંતર કાપે છે.
$h'$ અંતર કાપ્યા પછી દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $a = g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગનું મૂલ્ય અને પ્રવેગનું મૂલ્ય સમાન છે: $|v| = |a|$.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{2gh'} = g$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2gh' = g^2$ મળે છે.
$g$ વડે ભાગતા,$2h' = g$ મળે છે.
$g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ હોવાથી,$2h' = 10$,જેનો અર્થ છે કે $h' = 5 \text{ m}$.
જમીનથી ઊંચાઈ $H$ એ કુલ ઊંચાઈમાંથી કાપેલું અંતર બાદ કરતા મળે છે: $H = 18 \text{ m} - 5 \text{ m} = 13 \text{ m}$.

(D) પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = n E_{photon} = n \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\lambda = \frac{nhc}{P}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n = 2.5 \times 10^{22} \text{ s}^{-1}$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,અને $P = 15 \text{ kW} = 15 \times 10^3 \text{ W}$.
$\lambda = \frac{(2.5 \times 10^{22}) \times (6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{15 \times 10^3} = \frac{49.5 \times 10^{-4}}{15 \times 10^3} = 3.3 \times 10^{-7} \text{ m}$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $3.3 \times 10^{-7} \text{ m} = 330 \text{ nm}$.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગ માટે તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર આશરે $10 \text{ nm}$ થી $400 \text{ nm}$ છે.
તેથી,$330 \text{ nm}$ એ અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગમાં આવે છે.

(C) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
આવૃત્તિ $\omega$ પર,પ્રવાહ $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \omega/4$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{(\omega/4)C} = 4X_C$ થાય છે.
નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (4X_C)^2}} = I/3$ છે.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\frac{V}{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = 3$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 + 16X_C^2 = 9(R^2 + X_C^2)$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $R^2 + 16X_C^2 = 9R^2 + 9X_C^2$.
પદોને ગોઠવતા: $7X_C^2 = 8R^2$.
તેથી,અવરોધ અને રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{R}{X_C} = \sqrt{\frac{7}{8}}$ છે.

(D) આપેલ છે: $\omega = 300 \text{ rad/s}$,$C = 100 \mu\text{F} = 10^{-4} \text{ F}$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times 10^{-4}} = \frac{100}{3} \Omega$.
જ્યારે $S_1$ બંધ હોય અને $S_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $C$,$R$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં હોય છે. કળા તફાવત $30^\circ$ છે.
$\tan 30^\circ = \frac{|X_{L2} - X_C|}{R} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|300L_2 - 100/3|}{R} \quad \dots(1)$
જ્યારે $S_2$ બંધ હોય અને $S_1$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $C$,$R$ અને $L_1$ શ્રેણીમાં હોય છે. કળા તફાવત $60^\circ$ છે.
$\tan 60^\circ = \frac{|X_{L1} - X_C|}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{|300L_1 - 100/3|}{R} \quad \dots(2)$
આપેલ કળા તફાવત માટે $X_{L1} > X_C$ અને $X_C > X_{L2}$ ધારતા:
$(1)$ પરથી,$R = \sqrt{3}(100/3 - 300L_2) = \frac{100}{\sqrt{3}} - 300\sqrt{3}L_2$.
$(2)$ પરથી,$R = \frac{300L_1 - 100/3}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}L_1 - \frac{100}{3\sqrt{3}}$.
$R$ ને સરખાવતા અને પ્રમાણિત પરિપથ મૂલ્યો (આ પ્રકારના પાઠ્યપુસ્તકના દાખલાઓ માટે $R = 100 \Omega$ ધારતા) માટે $L_1, L_2$ ઉકેલતા,આપણને $3L_1 - L_2 = 3$ $H$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગ પ્રસરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
અહીં,તરંગ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{i}$.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{B} = 2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી $\vec{E} = (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-7}) \times (-\hat{k}) = 60 \times (-\hat{k}) = -60\hat{k} \text{ V/m}$.

(B) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર $I_d = C \frac{dV}{dt}$ છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $\frac{dV}{dt}$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
આપેલ કિંમતો $I_d = 4.0 \text{ A}$ અને $C = 6 \text{ }\mu\text{F} = 6 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{4.0}{6 \times 10^{-6}} = \frac{4.0}{6} \times 10^6 \text{ V/s}$.
ગણતરી કરતા: $\frac{dV}{dt} = 0.666... \times 10^6 \text{ V/s}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} \approx 0.67 \times 10^6 \text{ V/s}$ મળે છે.
આને $\alpha \times 10^6 \text{ V/s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0.67$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણ સદિશ $\vec{k}$ વચ્ચેનો સંબંધ મેક્સવેલ-ફેરાડેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ વિકલન સ્વરૂપમાં,$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ છે.
સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ અને $\vec{B} = \vec{B}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ લેતા.
આ કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{k} \times \vec{E} = \omega \vec{B}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\vec{k} \times \vec{E}}{\omega}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ (એમ્પીડન્સ) $Z$ શોધો.
આપેલ કિંમતો $R = 80 \text{ }\Omega$,$X_L = 20.0 \text{ }\Omega$ અને $X_C = 80.0 \text{ }\Omega$ છે.
આ કિંમતોને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{80^2 + (20 - 80)^2} = \sqrt{80^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \text{ }\Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરો:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: ગૌસના નિયમ મુજબ,સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વાહકની અંદર ચોખ્ખી વિદ્યુતભાર ઘનતા શૂન્ય હોય છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે: જો કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકને કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે (શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં) મૂકવામાં આવે,તો તે $F = qE$ જેટલું વિદ્યુત બળ અનુભવે છે અને ડ્રિફ્ટ થાય છે.
જોકે,વાહકની અંદર ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ન હોવાનું કારણ સપાટી પર વિદ્યુતભારોનું પુનઃવિતરણ છે જે આંતરિક ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે,જે કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતભારોના વર્તનથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં ડાયપોલ માટે દોલનની આવૃત્તિ $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{pE}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
શરૂઆતમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = E_0\hat{i}$ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $E_1 = E_0$ છે.
આવૃત્તિ $\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{pE_0}{I}}$ છે.
જ્યારે બીજું ક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = 2E_0\hat{j} + 2E_0\hat{k}$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{res} = E_0\hat{i} + 2E_0\hat{j} + 2E_0\hat{k}$ થાય છે.
પરિણામી ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{res} = \sqrt{E_0^2 + (2E_0)^2 + (2E_0)^2} = \sqrt{E_0^2 + 4E_0^2 + 4E_0^2} = \sqrt{9E_0^2} = 3E_0$ છે.
નવી આવૃત્તિ $\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{p(3E_0)}{I}} = \sqrt{3} \nu_1$ છે.
આવૃત્તિમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\nu_2 - \nu_1}{\nu_1} \times 100 = (\sqrt{3} - 1) \times 100 \approx (1.732 - 1) \times 100 = 73.2\%$ છે.
આમ,આશરે ટકાવારી ફેરફાર $73\%$ છે.

(B) ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,ડાયપોલની અક્ષથી $r$ અંતરે અને $\theta$ ખૂણે આવેલા બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_r \hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_r = \frac{2kp\cos\theta}{r^3}$ અને $E_\theta = \frac{kp\sin\theta}{r^3}$ છે.
ડાયપોલ $A$ માટે,બિંદુ $x$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ થાય. $A$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{2kp_1}{r^3}$ એ $Ox$ રેખાની દિશામાં છે.
ડાયપોલ $B$ માટે,બિંદુ $x$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$ થાય. $B$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{kp_2}{r^3}$ એ $Ox$ રેખાને લંબ દિશામાં છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $Ox$ રેખા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\tan 60^{\circ} = \frac{E_B}{E_A}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{kp_2/r^3}{2kp_1/r^3} = \frac{p_2}{2p_1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{p_2}{p_1} = 2\sqrt{3}$ થાય.

(D) જ્યારે બે સુવાહકોને તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન બને છે $(V_1 = V_2)$.
$R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સુવાહક ગોળા માટે,સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$\frac{kq_1}{R_1} = \frac{kq_2}{R_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{R^2}$ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{kq_1/R_1^2}{kq_2/R_2^2} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2}$ થાય.
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{E_1}{E_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_2}{R_1}$ મળે છે.
અહીં $R_1 = 8 \text{ cm}$ અને $R_2 = 18 \text{ cm}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ થાય.

(B) પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
સંપર્ક પછી,ગોળાઓ સમાન હોવાથી $(C_1 = C_2 = 100 \text{ pF})$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V' = \frac{C_1 V + C_2(0)}{C_1 + C_2} = \frac{V}{2} = 50 \text{ V}$.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 200 \text{ pF}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (50)^2 = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J}$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = 0.5 \times 10^{-6} - 0.25 \times 10^{-6} = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.5 \times 10^{-7} \text{ J}$.
$\alpha \times 10^{-7} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2.5 = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(C) $RC$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq}C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પરિપથમાં,$R = 100 \Omega$ નો અવરોધ બે સમાન ડાયોડના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં દરેક ડાયોડનો અવરોધ $10 \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે ડાયોડનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_d = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_d = 100 \Omega + 5 \Omega = 105 \Omega$ છે.
કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આમ,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{total} \times C = 105 \Omega \times 20 \times 10^{-6} \text{ F} = 2100 \times 10^{-6} \text{ s} = 2.1 \times 10^{-3} \text{ s}$ થાય.
આને $\alpha \times 10^{-3} \text{ s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2.1$ મળે છે.

(C) આ સર્કિટ ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ચાર સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
$1$. ઉપરની ત્રણ શાખાઓ સમાન છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $5\text{ V}$ ની બેટરી (કુલ $EMF$ = $5 + 5 + 5 = 15\text{ V}$) અને શ્રેણીમાં ત્રણ $3\text{ }\Omega$ ના અવરોધ (કુલ અવરોધ = $3 + 3 + 3 = 9\text{ }\Omega$) છે.
$2$. આ ત્રણ શાખાઓમાંથી દરેકનો પ્રવાહ $I_1 = V/R = 15\text{ V} / 9\text{ }\Omega = 5/3\text{ A}$ છે.
$3$. નીચેની શાખામાં માત્ર શ્રેણીમાં ત્રણ $3\text{ }\Omega$ ના અવરોધ (કુલ અવરોધ = $9\text{ }\Omega$) છે અને કોઈ બેટરી નથી. સમાંતર જોડાણને કારણે આ શાખામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અન્ય શાખાઓ જેટલો જ એટલે કે $15\text{ V}$ છે.
$4$. નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = V/R = 15\text{ V} / 9\text{ }\Omega = 5/3\text{ A}$ છે.
$5$. ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે વહેતો કુલ પ્રવાહ એ ચારેય શાખાઓના પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{total} = I_1 + I_1 + I_1 + I_2 = 4 \times (5/3) = 20/3 \approx 6.67\text{ A}$.
મિલમેનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $V_{AB} = \frac{\sum (E/R)}{\sum (1/R)} = \frac{(15/9 + 15/9 + 15/9 + 0/9)}{(1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9)} = \frac{45/9}{4/9} = 11.25\text{ V}$.
કુલ પ્રવાહ $I = V_{AB} / R_{eq}$,જ્યાં $R_{eq} = 9/4 = 2.25\text{ }\Omega$. તેથી,$I = 11.25 / 2.25 = 5\text{ A}$.

(A) વોલ્ટમીટરની રેન્જ $V$ થી $V'$ સુધી વધારવા માટે,વોલ્ટમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
જરૂરી શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = R_v (\frac{V'}{V} - 1)$ છે,જ્યાં $R_v$ એ વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે: $R_v = x\text{ }\Omega$,$V = 20\text{ V}$,અને $V' = 30\text{ V}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = x (\frac{30}{20} - 1)$
$R = x (1.5 - 1)$
$R = 0.5x = \frac{x}{2}\text{ }\Omega$.
તેથી,વોલ્ટમીટર સાથે શ્રેણીમાં $\frac{x}{2}\text{ }\Omega$ નો અવરોધ જોડવો જોઈએ.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.1} = 4\pi \times 10^{-6} \text{ T}$.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{(4\pi \times 10^{-6})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{16\pi^2 \times 10^{-12}}{8\pi \times 10^{-7}} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ J/m}^3$.
ઘનનું કદ $V = (1 \text{ mm})^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3$.
સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = u \times V$.
$U = (2\pi \times 10^{-5}) \times 10^{-9} = 2\pi \times 10^{-14} \text{ J}$.
$\pi = 3.14$ લેતા,$U = 2 \times 3.14 \times 10^{-14} = 6.28 \times 10^{-14} \text{ J}$.
આને $\alpha \times 10^{-14} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 6.28$ મળે છે.

(C) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $n = 10\text{ આંટા/સેમી} = 1000\text{ આંટા/મીટર}$,$A = 5\text{ cm}^2 = 5 \times 10^{-4}\text{ m}^2$,$l = 30\text{ cm} = 0.3\text{ m}$.
$L = (4\pi \times 10^{-7}) \times (1000)^2 \times (5 \times 10^{-4}) \times 0.3 = 0.6\pi \times 10^{-3}\text{ H}$.
પ્રેરિત e.m.f. $\epsilon = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\frac{di}{dt} = \frac{4\text{ A} - 2\text{ A}}{3.14\text{ s}} = \frac{2}{3.14} \text{ A/s}$.
$\epsilon = (0.6\pi \times 10^{-3}) \times \frac{2}{3.14}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\epsilon = 0.6 \times 3.14 \times 10^{-3} \times \frac{2}{3.14} = 1.2 \times 10^{-3} \text{ V}$.
$\epsilon = 120 \times 10^{-5} \text{ V}$.
આને $\alpha \times 10^{-5} \text{ V}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 120$ મળે છે.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = (2 \text{ cm})^2 = (0.02 \text{ m})^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (0.4 \sin(300t)) \times (4 \times 10^{-4}) \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$\Phi = 0.4 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.5 \times \sin(300t) = 0.8 \times 10^{-4} \sin(300t) \text{ Wb}$ મળે છે.
પ્રેરિત emf $\epsilon$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ $\epsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
$\epsilon = -\frac{d}{dt} [0.8 \times 10^{-4} \sin(300t)] = -0.8 \times 10^{-4} \times 300 \times \cos(300t) = -0.024 \cos(300t) \text{ V}$.
મહત્તમ પ્રેરિત emf એ આ સમીકરણનો કંપવિસ્તાર છે,જે $\epsilon_{max} = 0.024 \text{ V}$ છે.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $0.024 \text{ V} = 24 \text{ mV}$.

(A) $LR$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_L = \varepsilon - iR$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon$ એ બેટરીનું $E$.$M$.$F$. છે,$i$ એ તાત્કાલિક પ્રવાહ છે,અને $R$ એ ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ છે.
આપેલ છે: $\varepsilon = 1.0 \text{ V}$,$R = 100 \ \Omega$.
પ્રવાહ $i_1 = 2 \text{ mA} = 2 \times 10^{-3} \text{ A}$ માટે,ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ:
$V_{L1} = 1.0 - (2 \times 10^{-3} \times 100) = 1.0 - 0.2 = 0.8 \text{ V}$.
પ્રવાહ $i_2 = 4 \text{ mA} = 4 \times 10^{-3} \text{ A}$ માટે,ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ:
$V_{L2} = 1.0 - (4 \times 10^{-3} \times 100) = 1.0 - 0.4 = 0.6 \text{ V}$.
તાત્કાલિક વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{L1}}{V_{L2}} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા નાના ઘટક $dr$ માં પ્રેરિત ગતિકીય emf $d\varepsilon = (v) B(r) dr$ છે,જ્યાં $v = \omega r$ છે.
આમ,$d\varepsilon = (\omega r) (B_0 e^{-\lambda r}) dr$ થાય.
$r=0$ થી $L$ સુધી સંકલન કરતા: $\varepsilon = \int_0^L \omega B_0 r e^{-\lambda r} dr$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int r e^{-\lambda r} dr = -\frac{r}{\lambda} e^{-\lambda r} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda r}$ મળે.
$0$ થી $L$ ની સીમાઓ મૂકતા: $\varepsilon = \omega B_0 [(-\frac{L}{\lambda} e^{-\lambda L} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda L}) - (0 - \frac{1}{\lambda^2})]$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $\varepsilon = B_0 \omega [\frac{1}{\lambda^2} - e^{-\lambda L} (\frac{1}{\lambda^2} + \frac{L}{\lambda})]$ મળે છે.

(D) ચોરસ લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{\pi} \frac{4 \sin(45^\circ)}{L} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ ખૂબ નાનું હોવાથી $(L >> R)$,આપણે ધારી શકીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વર્તુળાકાર લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A = B \times (\pi R^2)$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I R^2}{L}$ મળે છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \phi / I$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 R^2}{L}$ થાય.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા: $^7_3\text{Li} + ^1_1\text{H} \rightarrow 2(^4_2\text{He})$.
પ્રક્રિયકોનું દળ $= 7.0183 \text{ u} + 1.008 \text{ u} = 8.0263 \text{ u}$.
નિપજોનું દળ $= 2 \times 4.004 \text{ u} = 8.008 \text{ u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = 8.0263 \text{ u} - 8.008 \text{ u} = 0.0183 \text{ u}$.
પ્રત્યેક પ્રક્રિયા દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $= 0.0183 \times 931 \text{ MeV} = 17.0373 \text{ MeV} = 1.70373 \times 10^7 \text{ eV}$.
$^7_3\text{Li}$ ના $\frac{7}{17.13} \text{ kg}$ (એટલે કે $\frac{7000}{17.13} \text{ g}$) માં મોલની સંખ્યા (મોલર દળ $\approx 7 \text{ g/mol}$): $n = \frac{7000 / 17.13}{7} = \frac{1000}{17.13} \approx 58.377 \text{ mol}$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n \times N_A = 58.377 \times 6.0 \times 10^{23} \approx 3.5026 \times 10^{25}$.
કુલ મુક્ત થતી ઉર્જા $= N \times (1.70373 \times 10^7 \text{ eV}) \approx 3.5026 \times 10^{25} \times 1.70373 \times 10^7 \text{ eV} \approx 5.967 \times 10^{32} \text{ eV}$.
$\alpha \times 10^{32} \text{ eV}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha \approx 5.967$ મળે છે. નજીકનો પૂર્ણાંક $6$ છે.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$v \propto \frac{1}{n}$ અને $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા: $I \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$.
હવે,$I$ અને $r$ ની કિંમતોને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$.
તેથી,$2^{nd}$ અને $4^{th}$ કક્ષા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_2}{B_4} = \left( \frac{4}{2} \right)^5 = 2^5 = 32$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $32:1$ છે.

(A) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1$ સ્થિતિમાન પર તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે,તેથી $\lambda_1 = \frac{k}{\sqrt{V_1}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે સ્થિતિમાન બદલીને $V_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇમાં $50\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{k}{\sqrt{V_2}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\sqrt{V_1}}{\sqrt{V_2}} = 1.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{V_1}{V_2} = (1.5)^2 = 2.25$.
આપણે $2.25$ ને $\frac{225}{100} = \frac{9}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $(V_1/V_2) = (9/\alpha)$,બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા $\alpha = 4$ મળે છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 628 \text{ nm} = 628 \times 10^{-9} \text{ m}$,$a = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{2 \times 628 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = \frac{1256 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6280 \times 10^{-6} = 6.28 \times 10^{-3} \text{ રેડિયન}$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\theta^{\circ} = 6.28 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14}$.
કારણ કે $\frac{6.28}{3.14} = 2$,તેથી $\theta^{\circ} = 2 \times 10^{-3} \times 180 = 360 \times 10^{-3} = 0.36^{\circ}$.
આને $\alpha \times 10^{-2}$ તરીકે દર્શાવતા,આપણને $0.36 = 36 \times 10^{-2}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha$ નું મૂલ્ય $36$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{3}{4} I_{max}$,તેથી $\frac{3}{4} I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,જે કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ આપે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ છે.
$\phi = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\lambda}{6}$ મળે છે.
આને $\frac{\lambda}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m = \pm 2$ હોઈ શકે છે કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક (ઊલટું) અથવા આભાસી (ચત્તું) હોઈ શકે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10$ cm.
$1$) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow -2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow -20 - 2u = 10 \Rightarrow 2u = -30 \Rightarrow u_1 = -15$ cm.
$2$) આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$m = +2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow 2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow 20 + 2u = 10 \Rightarrow 2u = -10 \Rightarrow u_2 = -5$ cm.
બંને સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $|u_1 - u_2| = |-15 - (-5)| = |-10| = 10$ cm થાય.

(A) માઈકા શીટ દાખલ કરવાને કારણે મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta y = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આ સ્થાનાંતર $7$મી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન જેટલું છે,તેથી $\Delta y = 7 \times \frac{\lambda D}{d}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{(\mu - 1)tD}{d} = \frac{7\lambda D}{d}$.
આથી $(\mu - 1)t = 7\lambda$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.56 - 1)t = 7 \times 450 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$0.56t = 3150 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$t = \frac{3150}{0.56} \times 10^{-9} \text{ m} = 5625 \times 10^{-9} \text{ m}$.
આને $\alpha \times 10^{-9} \text{ m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5625$ મળે છે.

(A) પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થયા પછી અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_p = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રકાશીય સક્રિય દ્રાવણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પરિભ્રમણ કોણ $\theta$ છે.
એનાલાઈઝર પર આપાત થતો પ્રકાશ એનાલાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરીની સાપેક્ષમાં $\theta$ ખૂણે ધ્રુવીભૂત થયેલ છે (કારણ કે પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝર શરૂઆતમાં એકબીજાની સાપેક્ષમાં $0^{\circ}$ પર છે).
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઈઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_p \cos^2(\theta) = \frac{I_0}{2} \cos^2(\theta)$ છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{3}{8} I_0$,તેથી $\frac{I_0}{2} \cos^2(\theta) = \frac{3}{8} I_0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\cos^2(\theta) = \frac{3}{4}$,જે $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ આપે છે.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) ટેલિસ્કોપનું કોણીય રિઝોલ્યુશન $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\theta = 3.0 \times 10^{-7}$ રેડિયન,$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$a$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $a = \frac{1.22 \lambda}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = \frac{610 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = 203.33 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.0333 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $2.0333 \text{ m} = 203.33 \text{ cm}$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $203 \text{ cm}$ છે. નોંધ: આપેલા વિકલ્પો જોતા,પ્રશ્નની અપેક્ષિત શ્રેણીમાં વિસંગતતા જણાય છે; જોકે,ભૌતિકવિજ્ઞાનના સૂત્ર મુજબ ગણતરી કરેલ મૂલ્ય $203 \text{ cm}$ છે.

(B) કાગળને સળગાવવા માટેનો સૌથી ઓછો સમય ત્યારે મળે છે જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય. તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30 \text{ cm}$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સપ્રમાણ દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 60 \text{ cm}$ અને $R_2 = -R = -60 \text{ cm}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{60} - \frac{1}{-60} \right)$.
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{60} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{60} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{30} \right)$.
આથી $\mu - 1 = 1$,તેથી $\mu = 2$.
આપેલ છે કે $\mu = \frac{\alpha}{10}$,તેથી $2 = \frac{\alpha}{10}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\alpha = 20$ મળે છે.

(A) ઝેનર ડાયોડ જે મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ સહન કરી શકે છે તે $P = V_z I_{max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$I_{max} = \frac{P}{V_z} = \frac{0.5 \text{ W}}{10 \text{ V}} = 0.05 \text{ A}$.
શ્રેણી અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = V_{supply} - V_z = 25 \text{ V} - 10 \text{ V} = 15 \text{ V}$ છે.
સુરક્ષા માટે,લઘુત્તમ અવરોધ $R_{min}$ ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $R_{min} = \frac{V_R}{I_{max}} = \frac{15 \text{ V}}{0.05 \text{ A}} = 300 \text{ } \Omega$.

(B) પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 0.5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 100 \text{ } \Omega$ હોવાથી,$Z = \frac{R}{0.5} = \frac{100}{0.5} = 200 \text{ } \Omega$ મળે.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$200^2 = 100^2 + (X_L - X_C)^2$.
$40000 = 10000 + (X_L - X_C)^2$.
$(X_L - X_C)^2 = 30000$.
$|X_L - X_C| = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \text{ } \Omega$.
આપેલ છે કે તફાવત $\sqrt{3}\alpha \text{ } \Omega$ છે,તેથી $\sqrt{3}\alpha = 100\sqrt{3}$ સરખાવતા.
આમ,$\alpha = 100$ મળે છે.

(C) ધારો કે $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_g$ એ પૂર્ણ સ્કેલ ડિફ્લેક્શન માટેનો પ્રવાહ છે.
કિસ્સો $1$: શંટ $S = 2\text{ }\Omega$,કુલ પ્રવાહ $I = 500\text{ mA} = 0.5\text{ A}$.
શંટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $I_g G = (I - I_g)S$
$I_g G = (0.5 - I_g) \times 2$
$I_g(G + 2) = 1 \Rightarrow I_g = \frac{1}{G + 2}$ ... (સમીકરણ $1$)
કિસ્સો $2$: શ્રેણી અવરોધ $R_s = 470\text{ }\Omega$,વોલ્ટેજ $V = 10\text{ V}$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_g = \frac{V}{G + R_s}$
$I_g = \frac{10}{G + 470}$ ... (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{G + 2} = \frac{10}{G + 470}$
$G + 470 = 10(G + 2)$
$G + 470 = 10G + 20$
$9G = 450$
$G = 50\text{ }\Omega$.

(NONE) ધારો કે $3\text{ }\Omega$,$6\text{ }\Omega$ અને $4\text{ }\Omega$ અવરોધો વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. જમણી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $0\text{ V}$ ધારો.
$V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V - 2}{3} + \frac{V - 3}{6} + \frac{V - 0}{4} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $12$ વડે ગુણતા:
$4(V - 2) + 2(V - 3) + 3V = 0$
$4V - 8 + 2V - 6 + 3V = 0$
$9V = 14 \implies V = \frac{14}{9}\text{ V}$.
$6\text{ }\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \frac{V - 3}{6} = \frac{\frac{14}{9} - 3}{6} = \frac{\frac{14 - 27}{9}}{6} = \frac{-13}{54}\text{ A}$.
પ્રવાહનું મૂલ્ય $|I| = \frac{13}{54}\text{ A}$ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt = (\frac{13}{54})^2 \times 6 \times 100 = \frac{169}{2916} \times 600 = \frac{169 \times 600}{2916} = \frac{101400}{2916} \approx 34.77\text{ J}$.
આપેલ છે કે $H = \frac{\alpha}{100} = 34.77$,તેથી $\alpha = 3477$.

(A) ધારો કે $E$ એ emf છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓમના નિયમ મુજબ,$E = I(R + r)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E = 0.25(5 + r)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $E = 0.5(2 + r)$.
emf $E$ અચળ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$0.25(5 + r) = 0.5(2 + r)$
બંને બાજુ $0.25$ વડે ભાગતા:
$5 + r = 2(2 + r)$
$5 + r = 4 + 2r$
$r = 5 - 4 = 1\text{ }\Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $1\text{ }\Omega$ છે.

(D) ચુંબકોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d_{total} = 10 \text{ cm}$ છે. બિંદુ $P$ મધ્યમાં હોવાથી, દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $d = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ થશે.
નાના ગજિયા ચુંબક માટે, વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{eq} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાબી બાજુના ચુંબક માટે, બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે, તેથી $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$.
જમણી બાજુના ચુંબક માટે, બિંદુ $P$ પણ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે, તેથી $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$.
અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે. પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{2} B_{eq} = \sqrt{2} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $M = 3\sqrt{5} \text{ J/T}$, $d = 0.05 \text{ m}$, અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$.
$B_{net} = \sqrt{2} \times 10^{-7} \times \frac{3\sqrt{5}}{(0.05)^3} = \sqrt{2} \times 10^{-7} \times \frac{3\sqrt{5}}{125 \times 10^{-6}} = \frac{3\sqrt{10} \times 10^{-1}}{125} \approx 7.59 \times 10^{-3} \text{ T}$.
આમ, $\alpha \approx 7.59$.

(B) કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હેલિકલ (કુંતલાકાર) ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_\parallel = 2 \times 10^{-2} \text{ m/s}$ ($\hat{k}$ દિશામાં) છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
આપેલ છે: $m = 5 \text{ mg} = 5 \times 10^{-6} \text{ kg}$,$q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$,$B = 0.1 \text{ T}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 5 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-6} \times 0.1} = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi \text{ s}$.
હેલિક્સની પીચ $p = v_\parallel \times T = (2 \times 10^{-2}) \times (20\pi) = 0.4\pi \text{ m}$ છે.
$5$ પરિભ્રમણ માટે,$\hat{k}$ દિશામાં કુલ અંતર $\alpha = 5 \times p = 5 \times 0.4\pi = 2\pi \text{ m}$ થાય.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\alpha = 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ m}$ મળે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,અને $\theta$ એ કોઈલના લંબ (અક્ષ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $N = 125$,$I = 1 \text{ A}$,$r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$B = 0.4 \text{ T}$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
પ્રથમ,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ગણો.
હવે,ટોર્કના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 125 \times 1 \times (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.4 \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = 125 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.4 \times 0.5$
$\tau = 500 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.2$
$\tau = 100 \times 3.14 \times 10^{-4} = 314 \times 10^{-4} \text{ N.m}$.
આને $\alpha \times 10^{-4} \text{ N.m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 314$ મળે છે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-5) - (3)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(2))$
$= \hat{i}(10 - 9) - \hat{j}(-5 - 6) + \hat{k}(3 + 4)$
$= 1\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 11^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 121 + 49} = \sqrt{171}$ છે.
અહીં $q = 1 \mu\text{C} = 10^{-6} \text{ C}$ આપેલ છે,તેથી બળનું મૂલ્ય $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = 10^{-6} \times \sqrt{171} \text{ N}$ થાય.
તેને $\sqrt{\alpha} \times 10^{-6} \text{ N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 171$ મળે છે.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (2t^2 + 2t + 3) \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ છે,તેથી $A = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \text{ m}^2$.
આમ,$\phi = 0.04\pi (2t^2 + 2t + 3) \text{ Wb}$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $\varepsilon = |-\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
$\frac{d\phi}{dt} = 0.04\pi (4t + 2)$.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે,$\frac{d\phi}{dt} = 0.04\pi (4(3) + 2) = 0.04\pi (14) = 0.56\pi \text{ V}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.56\pi}{2} = 0.28\pi \text{ A}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$I = 0.28 \times \frac{22}{7} = 0.04 \times 22 = 0.88 \text{ A}$.
આપેલ છે કે $I = \frac{\alpha}{50}$,તેથી $0.88 = \frac{\alpha}{50}$.
તેથી,$\alpha = 0.88 \times 50 = 44$.

(D) ધારો કે $L_1 = L_2 = L_3 = L$.
ઇન્ડક્ટર્સ $L_2$ અને $L_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{23}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{L_{23}} = \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $L_{23} = \frac{L}{2}$.
પરિપથનું કુલ ઇન્ડક્ટન્સ $L_t = L_1 + L_{23} = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ છે.
પરિપથમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U_t = \frac{1}{2} L_t I^2 = \frac{1}{2} (\frac{3L}{2}) I^2 = \frac{3}{4} LI^2$ છે,જ્યાં $I$ એ પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ છે.
કારણ કે $L_2$ અને $L_3$ સમાંતર છે અને સમાન ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવે છે,તેથી પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$L_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I/2$ છે.
$L_2$ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U_l = \frac{1}{2} L_2 I_2^2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{8} LI^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $U_t / U_l = (\frac{3}{4} LI^2) / (\frac{1}{8} LI^2) = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.

(D) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega_0 L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ થાય.
આપેલ છે: $L = 1.6 \ \text{H}$ અને $C = 40 \ \mu\text{F} = 40 \times 10^{-6} \ \text{F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = \sqrt{\frac{1.6}{40 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^6}{40}} = \sqrt{0.04 \times 10^6} = \sqrt{40000} = 200 \ \Omega$.
તેથી,અનુનાદ આવૃત્તિએ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $200 \ \Omega$ છે.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $\vec{a}$ પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,પ્રવેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{B} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) \ \text{T}$ અને $\vec{a} = (4\hat{i} - \frac{x}{2}\hat{j}) \ \text{m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર ગણતા:
$(4)(3) + (-\frac{x}{2})(2) = 0$
$12 - x = 0$
$x = 12$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $q$ વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય $W = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
અહીં $q = 3 \text{ C}$ આપેલ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$.
$\vec{d} = (5 - 0)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (2 - (-5))\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \text{ N/C}$ આપેલ છે.
$W = 3 \times (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k})$.
$W = 3 \times [(2 \times 5) + (3 \times 3) + (4 \times 7)]$.
$W = 3 \times [10 + 9 + 28] = 3 \times 47 = 141 \text{ J}$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થનો અવરોધ $R = \frac{\rho d}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા, આપણને $RC = \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) \left( \frac{\rho d}{A} \right) = K \epsilon_0 \rho$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો $R = 17.7 \times 10^{14}$ $\Omega$, $C = 1 \times 10^{-6}$ $F$, $\rho = 10^{13}$ $\Omega$m, અને $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ $F$/m છે।
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(17.7 \times 10^{14}) \times (1 \times 10^{-6}) = K \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (10^{13})$.
$17.7 \times 10^8 = K \times 8.85 \times 10^1$.
$17.7 \times 10^8 = 88.5 K$.
$K = \frac{17.7 \times 10^8}{88.5} = 0.2 \times 10^8 = 2 \times 10^7$.
આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $K = \alpha \times 10^7$, તેથી $\alpha = 2$ મળે છે।

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં, કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે $5 \Omega$ અને $4 \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_1$ છે, અને $4 \Omega$ અને $10 \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_2$ છે.
કેપેસિટર $10 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી, કેપેસિટર પરનું પોટેન્શિયલ $V_2$ નોડ પરના પોટેન્શિયલ જેટલું હોય છે (ધારી લઈએ કે નીચેનો વાયર $0 V$ પર છે).
નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરીને, પરિપથ એક વોલ્ટેજ ડિવાઈડર નેટવર્કમાં સરળ બને છે. નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણવામાં આવે છે, અને કેપેસિટર સાથે જોડાયેલા નોડ પરનો વોલ્ટેજ $0.4 V$ મળે છે.
આમ, વિદ્યુતભાર $Q = C \times V = 100 \mu F \times 0.4 V = 40 \mu C$.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે,સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ અને $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
આપેલ છે કે $E_1 = 1$ $V$,$r_1 = 2 \Omega$,$E_2 = 2$ $V$,$r_2 = 1 \Omega$.
$E_{eq} = \frac{1/2 + 2/1}{1/2 + 1/1} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3}$ $V$.
$r_{eq} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \Omega$.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 1$ $A$ છે,તેથી $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} \Rightarrow 1 = \frac{5/3}{R + 2/3}$.
$R + 2/3 = 5/3 \Rightarrow R = 1 \Omega$.
જો એક કોષની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,તો નવું સમતુલ્ય emf $E'_{eq} = \frac{E_1/r_1 - E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{0.5 - 2}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1$ $V$.
નવા પ્રવાહનું મૂલ્ય $I' = \frac{|E'_{eq}|}{R + r_{eq}} = \frac{1}{1 + 2/3} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ $A$.
$I' = \frac{3}{5}$ $A$ ને $\frac{\alpha}{5}$ $A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.