JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સ્પ્રિંગનો ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $K$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \ell = \text{અચળ}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $\ell$ છે અને મૂળ ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $K = 15 \ N/m$ છે.
સ્પ્રિંગને $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બે ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે. તેથી,ટુકડાઓની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ અને $\ell_2 = \frac{3\ell}{4}$ છે.
નાના ટુકડાની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\ell}{4}$ છે.
સંબંધ $K \ell = K^{\prime} \ell_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$15 \times \ell = K^{\prime} \times (\frac{\ell}{4})$
$K^{\prime} = 15 \times 4 = 60 \ N/m$.

(D) પાણીને આપેલી ઉષ્મા $Q = m S \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $m = 4 \ kg$,$S = 4200 \ J/kg \cdot K$,અને $\Delta T = 20 - 4 = 16 \ K$ છે.
$Q = 4 \times 4200 \times 16 = 268800 \ J$.
વિસ્તરણ દરમિયાન પાણી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = m(\frac{1}{\rho_f} - \frac{1}{\rho_i}) = 4(\frac{1}{998} - \frac{1}{1000}) = 4(\frac{1000 - 998}{998000}) = 4(\frac{2}{998000}) = \frac{8}{998000} \ m^3$ છે.
આપેલ $P = 10^5 \ Pa$ માટે,કાર્ય $W = 10^5 \times \frac{8}{998000} = \frac{800000}{998000} \approx 0.8016 \ J$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 268800 - 0.8016 = 268799.1984 \ J \approx 268799.2 \ J$.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$\rho A h g = M g$
જ્યાં $h$ એ ડૂબેલી ઊંડાઈ છે.
જ્યારે બ્લોકને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = \rho A x g$ છે.
આ બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\rho A x g$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$M a = -\rho A x g$,જે પ્રવેગ $a = -\left(\frac{\rho A g}{M}\right) x$ આપે છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{\rho A g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 100 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R = (\frac{5}{2} + 1)R = \frac{7}{2}R$ છે.
વાયુને આપેલી ઉષ્મા $Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R) \Delta T$ છે.
$nR \Delta T = 100 \ J$ મૂકતા,આપણને $Q = \frac{7}{2} \times 100 = 350 \ J$ મળે છે.

(B) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
અહીં,$r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ દડાના દ્રવ્યની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
દડાનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$v_T \propto r^2$ થાય.
આપેલ છે: $r_1 = 6 \ mm$,$v_{T1} = 20 \ cm/s$,અને $r_2 = 3 \ mm$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_{T2}}{v_{T1}} = (\frac{r_2}{r_1})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{T2}}{20} = (\frac{3}{6})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$v_{T2} = \frac{20}{4} = 5 \ cm/s$.

(C) આપેલ છે: $m = 2 \ kg$,$x(t) = t^2 + t + 1 \ m$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t + 1 \ m/s$ છે.
પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = 2 \ m/s^2$ છે.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = m \times a = 2 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 4 \ N$ છે.
સમયગાળા $t = 2 \ s$ થી $t = 3 \ s$ દરમિયાન સ્થાનાંતર $s = x(3) - x(2)$ છે.
$x(3) = (3)^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 \ m$.
$x(2) = (2)^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \ m$.
$s = 13 - 7 = 6 \ m$.
થયેલ કાર્ય $W = F \times s = 4 \ N \times 6 \ m = 24 \ J$ છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતો પદાર્થ ફરતા ડ્રમની અંદરની દીવાલ પર ચોંટેલો રહે તે માટે,દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$N = M \omega^2 R$
ઘર્ષણ બળ $f$ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ ને સંતુલિત કરવા માટે ઉપરની તરફ લાગે છે:
$f = Mg$
પદાર્થ સરકવાની તૈયારીમાં હોવાથી,ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,જે $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Mg = \mu N$
$N$ નું સૂત્ર ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mg = \mu (M \omega^2 R)$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા અને $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$g = \mu \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{g}{\mu R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\mu R}}$

(C) આપેલ છે: નદીની પહોળાઈ $d = 200 \ m$,નદીનો વેગ $v_R = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$,સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_{BR} = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$.
નદીને ન્યૂનતમ સમયમાં પાર કરવા માટે,હોડીએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં ગતિ કરવી જોઈએ.
નદીને એકવાર પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{BR}} = \frac{200}{10} = 20 \ s$ છે.
રાઉન્ડ ટ્રીપ (જઈને પાછા આવવા) માટે,કુલ સમય $T = 20 + 20 = 40 \ s$ થાય.
આ સમય દરમિયાન,હોડી નદીના પ્રવાહ સાથે નીચેની તરફ જાય છે. નદીના કાંઠાની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_R = 5 \ m/s$ છે.
નદીના કાંઠા પરનું સ્થાનાંતર $x = v_R \times T = 5 \times 40 = 200 \ m$ છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ છે.
ધારો કે બંને પ્રવાહી માટે સંપર્કકોણ $\theta$ સમાન છે અને ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી $h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી $\frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}$ થાય.
આથી,$h_1 < h_2$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી સાચો સંબંધ $h_1 < h_2$ અને $T_1 = T_2$ છે.

(B) ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_0$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_0 = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\sigma - \rho)$
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{v_0} (\sigma - \rho)$
કારણ કે $\sigma, \rho$ અને $g$ અચળ છે અને તેમાં ત્રુટિ નહિવત છે,તેથી $\eta$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $r$ અને $v_0$ ચલો દ્વારા નક્કી થાય છે.
ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટે ત્રુટિ પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta \eta}{\eta} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta v_0}{v_0}$ થાય છે.

(D) ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે આપેલી કિંમતોનો સરવાળો કરીએ છીએ: $52.01 \ m + 153.2 \ m + 0.123 \ m = 205.333 \ m$
સરવાળા માટે સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અહીં આપેલી કિંમતો $52.01$ (બે દશાંશ સ્થાન),$153.2$ (એક દશાંશ સ્થાન) અને $0.123$ (ત્રણ દશાંશ સ્થાન) છે.
સૌથી ઓછું દશાંશ સ્થાન ધરાવતી સંખ્યા $153.2 \ m$ છે,જેમાં એક દશાંશ સ્થાન છે.
તેથી,આપણે $205.333 \ m$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $205.3 \ m$ મળે છે.

(A) ગતિઊર્જાના દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_k = 176 \ rad/s$ આપેલ છે.
સરળ આવર્ત દોલક માટે,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$K = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 - \cos(2\omega t + 2\phi))$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $\omega_k = 2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,જ્યાં $\omega$ એ દોલકની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $\omega_k = 176 \ rad/s$,તેથી $2\omega = 176 \ rad/s$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 88 \ rad/s$.
દોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{88}{2 \times (22/7)} = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14 \ Hz$ થાય.

(C) ધારો કે રીમની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગરગડીની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ એ રીમ અને બે સળિયાનો બનેલો છે.
$I = I_{\text{rim}} + 2 \times I_{\text{rod}}$
$I = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{M(2r)^2}{12} \right) = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{4Mr^2}{12} \right) = Mr^2 + \frac{2}{3}Mr^2 = \frac{5}{3}Mr^2$.
ધારો કે બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T_1, T_2$ છે.
ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$Mg - T_2 = Ma$ ... $(1)$
$T_1 - mg = ma$ ... $(2)$
$(T_2 - T_1)r = I \alpha = I \left( \frac{a}{r} \right) \implies T_2 - T_1 = \frac{I}{r^2} a = \frac{5}{3}Ma$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$,અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M - m)g = (M + m + \frac{5}{3}M)a$
$(M - m)g = (\frac{8}{3}M + m)a$
$a = \frac{(M - m)g}{\frac{8}{3}M + m}$.

(B) એક કણનું બીજા કણની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L = m \cdot v_{\text{rel}} \cdot r_{\perp}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કાર $A$ નું દળ $m = 10^3 \text{ kg}$ છે.
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{\text{rel}} = v_A - v_B = 72 \text{ km/h} - 36 \text{ km/h} = 36 \text{ km/h}$ છે.
સાપેક્ષ વેગને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $v_{\text{rel}} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 10 \text{ m/s}$.
ટ્રેક વચ્ચેનું લંબ અંતર $r_{\perp} = 10 \text{ m}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $L = 1000 \times 10 \times 10 = 10^5 \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ (અથવા $\text{J} \cdot \text{s}$).

(C) r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $V_{rms, O_2} = V_{rms, H_2}$ આપેલ છે.
ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_{O_2} = 273 + 47 = 320 \ K$.
ઝડપને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{320}{32} = \frac{T_{H_2}}{2}$.
$10 = \frac{T_{H_2}}{2} \implies T_{H_2} = 20 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 20 - 273 = -253^{\circ}C$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 2\,atm$
$V_1 = 60\,cm^{3}$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$V_2 = 20\,cm^{3}$
$T_2 = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350\,K$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times 60}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$\frac{120}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$0.4 = P_2 \times \frac{20}{350}$
$P_2 = 0.4 \times \frac{350}{20} = 0.4 \times 17.5 = 7\,atm$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$2m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$2m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $(2m)gh$.
$m$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $mgh$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ચોખ્ખો ઘટાડો = $(2m)gh - mgh = mgh$.
આ ઉર્જા બે દળની ગતિ ઉર્જા અને ગરગડીની ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા = $K_{m} + K_{2m} + K_{pulley} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $I = \frac{1}{2}Mr^2 = \frac{1}{2}(30m)r^2 = 15mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,$K_{pulley} = \frac{1}{2}(15mr^2)(\frac{v^2}{r^2}) = 7.5mv^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mv^2 + 7.5mv^2 = 9mv^2$.
$v^2 = \frac{gh}{9} = \frac{10 \times 3.6}{9} = 4$.
$v = 2 \ m/s$.

(A) વિધાન $I$ વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે: કણોની પ્રણાલીની કુલ ગતિઊર્જા એ વ્યક્તિગત કણોની ગતિઊર્જાનો અદિશ સરવાળો છે,$K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$.
વિધાન $II$ પણ કણોની પ્રણાલી માટે ગતિઊર્જાના પ્રમેય મુજબ સાચું છે. જો $\vec{v}_i$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $i$-માં કણનો વેગ હોય,$\vec{V}_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ હોય,અને $\vec{v}_i'$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$-માં કણનો વેગ હોય,તો $\vec{v}_i = \vec{V}_{cm} + \vec{v}_i'$.
કુલ ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2} m_i (\vec{V}_{cm} + \vec{v}_i')^2 = \frac{1}{2} M V_{cm}^2 + \sum \frac{1}{2} m_i (v_i')^2$ થાય,જ્યાં $M = \sum m_i$.
આમ,કુલ ગતિઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.

(D) વિધાન-$I$: ખોટું.
બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ને $-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,કાર્ય માટેનું આપેલ સમીકરણ ખોટું છે.
વિધાન-$II$: ખોટું.
સંરક્ષી બળ એ એવું બળ છે જેના માટે કરવામાં આવતું કાર્ય બે બિંદુઓ વચ્ચે લેવાયેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય અનુસરવામાં આવતા માર્ગ સાથે બદલાતું નથી.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3$ હોવાથી,જ્યાં $\rho$ એ પૃથ્વીની ઘનતા છે,આપણે $M$ ને સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3)}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}$.
આ દર્શાવે છે કે $T$ એ પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
સપાટીની ખૂબ નજીકના ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેનાથી $g = \frac{GM}{R_e^2}$ મળે છે.
$GM = gR_e^2$ ને સામાન્ય સમયગાળાના સૂત્ર $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ માં મૂકતા,આપણને $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{gR_e^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ છે.
ધારો કે સંપર્કકોણ $\theta$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ રહે છે, તો સાપેક્ષ ફેરફાર: $\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta T}{T} - \frac{\Delta \rho}{\rho} - \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આપેલ છે કે $T$, $\rho$, અને $r$ દરેક $1\%$ ઘટે છે, તેથી $\frac{\Delta T}{T} = -0.01$, $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -0.01$, અને $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta h}{h} = (-0.01) - (-0.01) - (-0.01) = -0.01 + 0.01 + 0.01 = +0.01$.
તેથી, ઊંચાઈમાં $+1\%$ નો ફેરફાર થશે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \left( \frac{v}{2L} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $v_3 = 3 \left( \frac{v}{2L} \right)$ અને $v_6 = 6 \left( \frac{v}{2L} \right)$.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_6 - v_3 = 2200 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા: $6 \left( \frac{v}{2L} \right) - 3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$v = 330 \text{ m/s}$ લેતા,$3 \left( \frac{330}{2L} \right) = 2200$.
$990 / (2L) = 2200$.
$2L = 990 / 2200 = 0.45 \text{ m}$.
$L = 0.225 \text{ m} = 225 \text{ mm}$.

(D) ધારો કે દરેક નાના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના પરપોટાનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે આવા ત્રણ પરપોટા જોડાય છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$3 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R^3 = 3r^3 \implies R = 3^{1/3}r$.
મોટા પરપોટા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 3q$ છે. મોટા પરપોટાનું સ્થિતિમાન $V_f = \frac{kQ}{R} = \frac{k(3q)}{3^{1/3}r}$ છે.
સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_i}{V_f} = \frac{kq/r}{3kq / (3^{1/3}r)} = \frac{1}{3 / 3^{1/3}} = \frac{3^{1/3}}{3} = \frac{1}{3^{1 - 1/3}} = \frac{1}{3^{2/3}}$ થાય.

(A) ધારો કે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ છે. તેના કેન્દ્રની આસપાસ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{(20m)(12)^2}{12} = 240m \text{ cm}^2$ છે.
સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L_i = L_f$
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (2m)(v)(2) + (m)(v)(4) = 4mv + 4mv = 8mv$.
સિસ્ટમની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{rod} + I_{mass1} + I_{mass2} = 240m + (2m)(2)^2 + (m)(4)^2 = 240m + 8m + 16m = 264m \text{ cm}^2$.
$L_f = I_f \omega$ હોવાથી,આપણને $8mv = 264m \omega$ મળે છે.
તેથી,$\frac{v}{\omega} = \frac{264}{8} = 33$.

(B) અથડામણની આવૃત્તિ $(Z)$ નું સૂત્ર: $Z = \sqrt{2} \pi d^2 N \bar{v}$,જ્યાં $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $(T)$ અને સંખ્યા ઘનતા $(N)$ સમાન હોવાથી,$Z \propto d^2 \sqrt{\frac{1}{M}}$.
આપેલ છે: $d_A = \frac{d_B}{2}$ અને $M_A = 4M_B$.
તેથી,અથડામણની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{d_A}{d_B} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{4M_B}} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$Z_B = 32 \times 10^{18} /s$ આપેલ હોવાથી:
$Z_A = \frac{32 \times 10^{18}}{8} = 4 \times 10^{18} /s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{g}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{T^2} = \frac{g}{4\pi^2 L}$.
આ સમીકરણ $y = \frac{k}{x}$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $y = \frac{1}{T^2}$,$x = L$,અને $k = \frac{g}{4\pi^2}$ એ અચળાંક છે.
આ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ પદ $\frac{\epsilon_0 E}{t}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\epsilon_0 E$ એ વિદ્યુત સ્થાનાંતર ક્ષેત્ર $D$ દર્શાવે છે,જેનું પરિમાણ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{A}$ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$\epsilon_0 E$ ના પરિમાણ $[I T L^{-2}]$ છે.
તેને સમય $t$ (પરિમાણ $[T]$) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{[I T L^{-2}]}{[T]} = [I L^{-2}]$.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નો એકમ $A$ (એમ્પિયર) અને લંબાઈ $L$ નો એકમ $m$ (મીટર) હોવાથી,એકમ $A / m^2$ થાય છે.

(C) વર્તુળાકાર સ્કેલનું શૂન્ય પિચ લાઇનથી $3$ વિભાગ ઉપર છે,જે ઋણ શૂન્ય ત્રુટિ સૂચવે છે.
શૂન્ય ત્રુટિ $e = -3 \times LC = -3 \times 0.01 \ mm = -0.03 \ mm$.
અવલોકિત રીડિંગ $= \text{પિચ સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ} \times LC)$.
અવલોકિત રીડિંગ $= 1 \ mm + 51 \times 0.01 \ mm = 1 \ mm + 0.51 \ mm = 1.51 \ mm$.
સાચું રીડિંગ $= \text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ}$.
સાચું રીડિંગ $= 1.51 \ mm - (-0.03 \ mm) = 1.51 \ mm + 0.03 \ mm = 1.54 \ mm$.

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (v_1 + v_2)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m_1 = 15 \ kg$,$m_2 = 25 \ kg$,$v_1 = 10 \ m/s$,$v_2 = 30 \ m/s$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{15 \times 25}{15 + 25} \right) (10 + 30)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{375}{40} \right) (40)^2 = \frac{1}{2} \times 375 \times 40 = 7500 \ J$.
આ ઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $Q = (m_1 + m_2) S \Delta T$.
અહીં $S = 31 \ cal/kg \cdot ^{\circ}C = 31 \times 4.2 \ J/kg \cdot ^{\circ}C = 130.2 \ J/kg \cdot ^{\circ}C$.
$7500 = (15 + 25) \times 130.2 \times \Delta T$.
$7500 = 40 \times 130.2 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{7500}{5208} \approx 1.44^{\circ}C$.

(A) કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે. તેથી,$\omega = \frac{L}{I}$.
પ્રથમ,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નું સ્થાન શોધો. ધારો કે $m$ દળ $x = 0$ પર છે અને $2m$ દળ $x = d$ પર છે. $CM$ નું સ્થાન $x_{cm} = \frac{m(0) + 2m(d)}{m + 2m} = \frac{2md}{3m} = \frac{2d}{3}$ છે.
$CM$ થી $m$ દળનું અંતર $r_1 = \frac{2d}{3}$ છે,અને $CM$ થી $2m$ દળનું અંતર $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ છે.
$CM$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(r_1)^2 + 2m(r_2)^2 = m(\frac{2d}{3})^2 + 2m(\frac{d}{3})^2$ છે.
$I = m(\frac{4d^2}{9}) + 2m(\frac{d^2}{9}) = \frac{4md^2 + 2md^2}{9} = \frac{6md^2}{9} = \frac{2}{3}md^2$.
કોણીય વેગના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $\omega = \frac{L}{\frac{2}{3}md^2} = \frac{3L}{2md^2}$.

(D) બિંદુ $A$ આગળ, ગતિઊર્જા $(KE)_A = K = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુ $B$ આગળ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે, તેથી વેગ $v_B = u \cos 60^{\circ} = \frac{u}{2}$ થાય.
બિંદુ $B$ આગળ ગતિઊર્જા $(KE)_B = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2) = \frac{K}{4}$ થાય.
બિંદુ $A$ અને $C$ એક જ સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી, $C$ આગળની ઝડપ $A$ આગળની ઝડપ જેટલી જ હોય છે. તેથી, $(KE)_C = (KE)_A = K$.
બિંદુ $B$ અને $C$ આગળની ગતિઊર્જાનો તફાવત $|(KE)_C - (KE)_B| = |K - \frac{K}{4}| = \frac{3K}{4}$ થાય.
આ તફાવતનો બિંદુ $A$ આગળની ગતિઊર્જા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{3K/4}{K} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટ્રેઈન $y$-અક્ષ પર અને સ્ટ્રેસ $x$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{\text{Strain}}{\text{Stress}} = \frac{1}{Y}$ થશે.
સૌથી વધુ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ મેળવવા માટે,$\frac{1}{Y}$ ની કિંમત સૌથી ઓછી હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે સ્ટ્રેઈન-સ્ટ્રેસ આલેખનો ઢાળ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આકૃતિ જોતા,પદાર્થ $C$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
આમ,પદાર્થ $C$ નો યંગ મોડ્યુલસ સૌથી વધુ છે.

(D) ધારો કે દરેક નળાકારનું દળ $M' = M/4$ છે.
અક્ષને લંબ રહેલા બે નળાકારોને ધ્યાનમાં લો (આકૃતિમાં $I_1$ તરીકે દર્શાવેલ છે). અક્ષ તેમની લંબાઈને લંબ તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આવા એક નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}$ છે.
અક્ષને સમાંતર રહેલા બે નળાકારોને ધ્યાનમાં લો (આકૃતિમાં $I_2$ તરીકે દર્શાવેલ છે). અક્ષ તેમના કેન્દ્રથી $L/2$ અંતરે છે. નળાકારની તેની પોતાની અક્ષ (લંબાઈની દિશામાં) પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{M'R^2}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_2 = \frac{M'R^2}{2} + M'(L/2)^2 = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4}$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = 2I_1 + 2I_2 = 2(\frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}) + 2(\frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4})$ છે.
$I_{net} = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{6} + M'R^2 + \frac{M'L^2}{2} = \frac{3}{2}M'R^2 + \frac{2}{3}M'L^2$.
$M' = M/4$ મૂકતા: $I_{net} = \frac{3}{2}(M/4)R^2 + \frac{2}{3}(M/4)L^2 = \frac{3}{8}MR^2 + \frac{1}{6}ML^2$.

(C) સંતુલિત સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $kx = mg$,જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
આથી,વિસ્તરણ $x = \frac{mg}{k}$ થાય.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{2k}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી,$U \propto \frac{m^2}{k}$ છે.
આપેલ છે કે $m_{A} = 100 \text{ g}$,$m_{B} = 200 \text{ g}$,અને $4k_{A} = 3k_{B}$,તેથી ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_{A}}{U_{B}} = \left(\frac{m_{A}}{m_{B}}\right)^2 \cdot \left(\frac{k_{B}}{k_{A}}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E}{U_{B}} = \left(\frac{100}{200}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$U_{B} = 3E$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \sqrt{\ell}$.
આપેલ છે કે સમયગાળો $t$ અચળ છે,તેથી દોલનોની સંખ્યા $n$ એ આવર્તકાળ $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(n = \frac{t}{T})$.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 \propto \frac{1}{\ell}$ અથવા $\ell \propto \frac{1}{n^2}$.
શરૂઆતમાં,$n_1 = 20$ અને $\ell_1 = 30 \ cm$.
અંતે,$n_2 = 40$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$.
$\ell_2 = 30 \times \left( \frac{20}{40} \right)^2 = 30 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 30 \times \frac{1}{4} = 7.5 \ cm$.

(C) પગલું $1$: સળિયાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરો:
$\ell_{\text{mean}} = \frac{20.00 + 19.75 + 17.01 + 18.25}{4} = \frac{75.01}{4} = 18.7525 \ cm \approx 18.75 \ cm$.
પગલું $2$: દરેક માપન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$|\Delta \ell_1| = |20.00 - 18.75| = 1.25 \ cm$
$|\Delta \ell_2| = |19.75 - 18.75| = 1.00 \ cm$
$|\Delta \ell_3| = |17.01 - 18.75| = 1.74 \ cm$
$|\Delta \ell_4| = |18.25 - 18.75| = 0.50 \ cm$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\Delta \ell_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.00 + 1.74 + 0.50}{4} = \frac{4.49}{4} = 1.1225 \ cm \approx 1.12 \ cm$.
પગલું $4$: સાપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\text{સાપેક્ષ ત્રુટિ} = \frac{\Delta \ell_{\text{mean}}}{\ell_{\text{mean}}} = \frac{1.12}{18.75} \approx 0.06$.

(B) $1$. ધારો કે $l = 1 \ m$ એ સળિયાની લંબાઈ છે. સૌથી નીચલા બિંદુએ ગોળા $A$ નો વેગ $V_A$ યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ દ્વારા મળે છે:
$mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} m V_A^2$
$V_A = \sqrt{2gl(1 - \cos 60^{\circ})} = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (1 - 0.5)} = \sqrt{10} \ m/s$.
$2$. સમાન ગોળાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,વેગની આપ-લે થાય છે. તેથી,અથડામણ પછી,ગોળો $B$,$V_B = V_A = \sqrt{10} \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
$3$. ગોળો $B$ એ $R$ ત્રિજ્યાનો શિરોલંબ વર્તુળાકાર માર્ગ પૂર્ણ કરે તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગના તળિયે લઘુત્તમ વેગ $V_{min} = \sqrt{5gR}$ હોવો જોઈએ.
$4$. વેગને સરખાવતા: $\sqrt{10} = \sqrt{5gR} \implies 10 = 5 \times 10 \times R \implies 10 = 50R \implies R = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \ m$.

(C) વર્તુળાકાર ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિસ્ક સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલી હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે.
ડિસ્કનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 T) \rho$ છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} (\pi R^2 T \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho R^4 T$ થાય.
આપેલ છે કે $I_1 = I_2$,તેથી:
$\frac{1}{2} \pi \rho R_1^4 T_1 = \frac{1}{2} \pi \rho R_2^4 T_2$
$R_1^4 T_1 = R_2^4 T_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_2^4}{R_1^4} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^4$.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = 2$,તેથી $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
આને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 16$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ નું સ્પીકર્સને જોડતી રેખાથી અંતર $D = 40 \ m$ છે. સ્પીકર્સ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $10 \ m$ છે,તેથી તેમને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુની સાપેક્ષમાં તેમના યામ $(0, 5)$ અને $(0, -5)$ છે. બિંદુ $A$ ના યામ $(40, 0)$ છે.
જ્યારે રેકોર્ડર $A$ થી $25 \ m$ ના અંતરે બિંદુ $B$ પર જાય છે,ત્યારે તેના યામ $(40, 25)$ થાય છે.
સ્પીકર્સથી બિંદુ $B$ સુધીના અંતર:
$L_1B = \sqrt{40^2 + (25-5)^2} = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \ m$.
આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.23$,તેથી $L_1B = 20 \times 2.23 = 44.6 \ m$.
$L_2B = \sqrt{40^2 + (25+5)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ m$.
બિંદુ $B$ પર પથ તફાવત $\Delta x = L_2B - L_1B = 50 - 44.6 = 5.4 \ m$ છે.
રેકોર્ડર $10$ વખત ન્યૂનતમ અને મહત્તમમાંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુ $B$ એ $10$ મુ મહત્તમ છે,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 10$.
$5.4 = 10 \times \lambda \implies \lambda = 0.54 \ m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{324}{0.54} = 600 \ Hz$.

$(D)$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$: $F = kx$ પરથી, $[k] = [F]/[x] = [MLT^{-2}]/[L] = [ML^0 T^{-2}]$. તેથી, $A-II$.
$B$. ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$: $dQ/dt = kA(\Delta T/l)$ પરથી, $[k] = [ML^2 T^{-3}][L]/([L^2][K]) = [MLT^{-3} K^{-1}]$. તેથી, $B-IV$.
$C$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$: $E = (3/2)k_B T$ પરથી, $[k_B] = [E]/[T] = [ML^2 T^{-2}]/[K] = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$. તેથી, $C-I$.
$D$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$: $X_L = \omega L$. તેનું પરિમાણ અવરોધ $(R = V/I)$ જેવું જ છે. $[R] = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$. તેથી, $D-III$.
આમ, સાચી જોડ $A-II, B-IV, C-I, D-III$ છે.

(D) પ્રતિવર્તી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે: $V_2 = 8V_1$ અને $T_2 = T_1/4$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = (T_1/4) (8V_1)^{\gamma-1}$.
બંને બાજુ $T_1 V_1^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા: $1 = (1/4) \cdot 8^{\gamma-1}$.
$4 = 8^{\gamma-1}$.
$2$ ના આધારમાં દર્શાવતા: $2^2 = (2^3)^{\gamma-1} = 2^{3\gamma-3}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2 = 3\gamma - 3$.
$3\gamma = 5$, જે આપે છે $\gamma = 5/3$.
$\gamma = 5/3$ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વિક (monoatomic) વાયુ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, હિલિયમ (He) એકપરમાણ્વિક વાયુ છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે સળિયા $x$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{\ell}{k_x A}$ છે. સળિયા $x$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $y$ કરતા $3$ ગણી હોવાથી $(k_x = 3k_y)$,સળિયા $y$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $3R$ થશે.
આકૃતિ પરથી,$B$ અને $E$ વચ્ચેનું નેટવર્ક બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે: એક શાખામાં $y$ અને $y$ સળિયા છે (કુલ અવરોધ $3R + 3R = 6R$) અને બીજી શાખામાં $x$ અને $x$ સળિયા છે (કુલ અવરોધ $R + R = 2R$).
$B$ અને $E$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BE}$ માટે $\frac{1}{R_{BE}} = \frac{1}{6R} + \frac{1}{2R} = \frac{1+3}{6R} = \frac{4}{6R} = \frac{2}{3R}$,તેથી $R_{BE} = 1.5R$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{AB} + R_{BE} + R_{EF} = R + 1.5R + 3R = 5.5R = \frac{11R}{2}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય પ્રવાહ $H = \frac{100 - 40}{5.5R} = \frac{60}{5.5R} = \frac{120}{11R}$.
હવે,$T_B = 100 - H \cdot R = 100 - \frac{120}{11R} \cdot R = 100 - 10.91 \approx 89.09^{\circ}C$.
અને $T_E = 40 + H \cdot (3R) = 40 + \frac{120}{11R} \cdot 3R = 40 + 32.73 \approx 72.73^{\circ}C$.
આમ,$T_B \approx 89^{\circ}C$ અને $T_E \approx 73^{\circ}C$.

(A) ભ્રમણની અક્ષ $A$ થી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના વાયુના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. ધારો કે ટ્યુબનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ જે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપે છે તે $(P+dP)A - PA = (dm) \omega^2 x$ છે.
$AdP = (dm) \omega^2 x$.
કારણ કે $dm = \rho A dx$,તેથી $dP = \rho \omega^2 x dx$ મળે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PM = \rho RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\rho = \frac{PM}{RT}$ મળે.
$\rho$ ની કિંમત મૂકતા,$dP = \left(\frac{PM}{RT}\right) \omega^2 x dx$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} x dx$.
$x=0$ થી $x=l$ અને $P=P_A$ થી $P=P_B$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_A}^{P_B} \frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} \int_0^l x dx$.
$\ln\left(\frac{P_B}{P_A}\right) = \frac{M \omega^2}{RT} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^l = \frac{M \omega^2 l^2}{2RT}$.
તેથી,$P_B = P_A \exp\left(\frac{M \omega^2 l^2}{2RT}\right)$.

(A) ધારો કે કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ છે. કેન્દ્ર પર $m_{0}$ જેટલું પરીક્ષણ દળ મૂકવામાં આવ્યું છે.
પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં,ખૂણાઓ પરના દળો દ્વારા $m_{0}$ પર લાગતું બળ ખૂણાઓ તરફ હોય છે. ધારો કે $k = \frac{Gm_{0}}{r^{2}}$.
બળો $F_{M} = kM$,$F_{2M} = 2kM$,$F_{3M} = 3kM$,અને $F_{4M} = 4kM$ છે.
સામેની જોડીઓ $(M, 3M)$ અને $(2M, 4M)$ છે.
$M$ અને $3M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{diag1} = (3M - M)k = 2kM$ ($3M$ તરફ) છે.
$2M$ અને $4M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{diag2} = (4M - 2M)k = 2kM$ ($4M$ તરફ) છે.
વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$F_{1} = \sqrt{(2kM)^{2} + (2kM)^{2}} = 2\sqrt{2}kM$.
નવી ગોઠવણીમાં,$3M$ અને $4M$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે. ખૂણાઓ પર હવે $M, 2M, 4M,$ અને $3M$ ક્રમમાં છે.
સામેની જોડીઓ $(M, 4M)$ અને $(2M, 3M)$ છે.
$M$ અને $4M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F'_{diag1} = (4M - M)k = 3kM$ ($4M$ તરફ) છે.
$2M$ અને $3M$ વાળા વિકર્ણ પરનું ચોખ્ખું બળ $F'_{diag2} = (3M - 2M)k = kM$ ($3M$ તરફ) છે.
$F_{2} = \sqrt{(3kM)^{2} + (kM)^{2}} = \sqrt{9+1}kM = \sqrt{10}kM$.
ગુણોત્તર $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{2\sqrt{2}kM}{\sqrt{10}kM} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\frac{\alpha}{\sqrt{5}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ દબાણ બધી દિશામાં સમાન હોય છે.
પ્રવાહીનું દબાણ પ્રવાહીની અંદરના દરેક બિંદુએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,માત્ર સીમાઓ પર કે સંપર્કમાં રહેલી ઘન સપાટીઓ પર જ નહીં. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ ના સંદર્ભમાં,પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ પાસે અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓ કરતા ઓછા પાડોશી અણુઓ હોય છે,જેના કારણે ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ લાગે છે. આના પરિણામે સપાટી પરના અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા અંદરના અણુઓ કરતા વધારે હોય છે,જે પૃષ્ઠતાણનું ભૌતિક કારણ છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે કોઈ એક બિંદુએ,સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ઝડપ $v = 20 \text{ m/s}$ છે,તેથી આ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ m/s}$ થાય.
કારણ કે $u_x = v_x$,તેથી:
$u \cos 60^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u \times \frac{1}{2} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \text{ m/s}$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. દળ $M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$ મૂકતા,આપણને મળે $V_{e} = \sqrt{\frac{2G \times \rho \times 4\pi R^{3}}{3R}} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}}$.
આમ,$V_{e} \propto R\sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે ગ્રહ $B$ માટે,$\rho_{B} = 0.1 \rho_{A}$ અને $R_{B} = 0.1 R_{A}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{(V_{e})_{B}}{(V_{e})_{A}} = \frac{R_{B}}{R_{A}} \times \sqrt{\frac{\rho_{B}}{\rho_{A}}} = (0.1) \times \sqrt{0.1} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10\sqrt{10}}$.
આપેલ છે $(V_{e})_{A} = 10 \ km/s = 10000 \ m/s$.
તેથી,$(V_{e})_{B} = 10000 \times \frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{1000}{\sqrt{10}} = 100\sqrt{10} \ m/s$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
બે ગોળાઓની સિસ્ટમ માટે,સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતા સામાન્ય સ્પર્શકને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક ગોળાની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{7}{5}m_1R_1^2 + \frac{7}{5}m_2R_2^2 = \frac{7}{5}[m_1R_1^2 + m_2R_2^2]$.
આપેલ છે: $m_1 = 5 \ kg$,$R_1 = 0.1 \ m$; $m_2 = 10 \ kg$,$R_2 = 0.2 \ m$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times (0.1)^2 + 10 \times (0.2)^2]$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times 0.01 + 10 \times 0.04] = \frac{7}{5} [0.05 + 0.4] = \frac{7}{5} [0.45]$.
$I = 7 \times 0.09 = 0.63 \ kg \cdot m^{2}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા અચળ કદ પર થાય છે,તેથી $C_v = C_p - R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C_v = 7 - 2 = 5 \text{ cal/mol}^{\circ} C$.
મોલની સંખ્યા $n = 10 \text{ mol}$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$.
તેથી,$\Delta U = 10 \times 5 \times 10 = 500 \text{ cal}$.

(B) ધારો કે ઉભો સળિયો $1$ છે અને આડો સળિયો $2$ છે.
સળિયા $1$ માટે,તેના છેડા $P$ માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
સળિયા $2$ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + Md^2$ થશે,જ્યાં $d = L$ એ $P$ થી સળિયા $2$ ના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + M(L)^2 = \frac{13ML^2}{12}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{13ML^2}{12} = \frac{4ML^2 + 13ML^2}{12} = \frac{17ML^2}{12}$ છે.
આને $\frac{x}{12} ML^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ એક $10 \ V$ ની બેટરીમાં રૂપાંતરિત થાય છે જે $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
બે $8 \ \Omega$ ના સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = (8 \ \Omega \times 8 \ \Omega) / (8 \ \Omega + 8 \ \Omega) = 4 \ \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \ \Omega + 4 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 10 \ V / 5 \ \Omega = 2 \ A$ છે.
એમીટર પરિપથના રિટર્ન પાથમાં મૂકવામાં આવે છે. કેપેસિટર શાખા ઓપન હોવાથી,$I = 2 \ A$ પ્રવાહ $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે અને પછી બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે. એમીટર પરિપથની જમણી બાજુએ વહેતો પ્રવાહ માપે છે,જે સૌથી જમણી બાજુના $8 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે. કારણ કે $I = 2 \ A$ પ્રવાહ બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી દરેકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = I / 2 = 2 \ A / 2 = 1 \ A$ છે.
તેથી,એમીટરનું અવલોકન $1 \ A$ છે.

(C) ઝેનર ડાયોડનો ઉપયોગ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેશન માટે થાય છે. ઝેનર ડાયોડનું પાવર ડિસીપેશન $P_D = V_Z \times i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_Z$ એ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ છે અને $i$ એ ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $P_D = 0.4 \ W$ અને $V_Z = 10 \ V$,તેથી:
$0.4 = 10 \times i$
$i = \frac{0.4}{10} = 0.04 \ A$
પ્રોટેક્ટિવ અવરોધ $R$ ને ઝેનર ડાયોડ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_R = V_{source} - V_Z = 15 \ V - 10 \ V = 5 \ V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V_R = i \times R$,આપણને મળે છે:
$R = \frac{V_R}{i} = \frac{5 \ V}{0.04 \ A} = 125 \ \Omega$.

(C) વાહક ગોલીય કવચ પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન એ કવચ પર હાજર તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,$R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કવચને કારણે સ્થિતિમાન $\frac{kq}{R}$ થાય છે જો $r \le R$ હોય અને $\frac{kq}{r}$ થાય છે જો $r > R$ હોય.
ગોળા $A$ (ત્રિજ્યા $a$) માટે: તે $B$ અને $C$ ની અંદર છે,તેથી સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{a} + \frac{q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ છે.
ગોળા $B$ (ત્રિજ્યા $b$) માટે: તે $B$ ની સપાટી પર,$C$ ની અંદર અને $A$ ની બહાર છે. તેથી,$V_B = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ છે.
ગોળા $C$ (ત્રિજ્યા $c$) માટે: તે $C$ ની સપાટી પર અને $A$ તથા $B$ ની બહાર છે. તેથી,$V_C = \frac{kq_1}{c} + \frac{kq_2}{c} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2+q_3}{c} \right)$ છે.

(A) સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = ar^3 + b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન સાથે $E = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $E = -\frac{d}{dr}(ar^3 + b) = -3ar^2$ મળે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \epsilon_0 \oint E \cdot dA$ દ્વારા મળે છે.
$r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2 = 4\pi(1)^2 = 4\pi$ થાય.
$r=1$ આગળ કિંમતો મૂકતા,$E = -3a(1)^2 = -3a$ મળે.
આમ,$q_{enc} = \epsilon_0 \times (-3a) \times 4\pi = -12\pi a \epsilon_0$.
આને આપેલ પદ $\alpha \times \pi a \epsilon_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -12$ મળે છે.

(D) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ દળ ક્રમાંકનું એકધારી રીતે વધતું વિધેય નથી. તે શરૂઆતમાં વધે છે,આયર્ન $(Fe)$ માટે મહત્તમ સુધી પહોંચે છે,અને ત્યારબાદ ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ઘટે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે ઓછી ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ધરાવતા ન્યુક્લિયસ ઓછા સ્થાયી હોય છે. ન્યુક્લિયર વિખંડન (ભારે ન્યુક્લિયસ માટે) અથવા ન્યુક્લિયર સંલયન (હલકા ન્યુક્લિયસ માટે) જેવી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા,તેઓ વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતરિત થવાનું વલણ ધરાવે છે જેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે,જેથી તેઓ ઓછી ઉર્જા ધરાવતી સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી શકે.

(B) શરૂઆતમાં,મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 2 \Omega$ અને $Q = 3 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$2(100-l) = 3l \Rightarrow 200 - 2l = 3l \Rightarrow 5l = 200 \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$.
જ્યારે $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં અજ્ઞાત અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $Q' = \frac{3R}{3+R}$ થાય છે.
નલ પોઈન્ટ $Y$ તરફ $22.5 \text{ cm}$ ખસે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ થાય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
$Q'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2}{\frac{3R}{3+R}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{2(3+R)}{3R} = \frac{5}{3}$.
$6(3+R) = 15R \Rightarrow 18 + 6R = 15R \Rightarrow 9R = 18 \Rightarrow R = 2 \Omega$.

(C) રેડિયો તરંગો એરિયલ્સમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઝડપી પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
માઇક્રોવેવ્સ ક્લાઇસ્ટ્રોન, મેગ્નેટ્રોન અને ગન ડાયોડ જેવા ખાસ વેક્યુમ ટ્યુબ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
ઇન્ફ્રારેડ તરંગો ગરમ પદાર્થો અને અણુઓમાં તેમના કંપન અને પરિભ્રમણ મોડમાં ફેરફારને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
$X$-રે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અચાનક અટકી જાય છે અથવા જ્યારે આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે.
તેથી, સાચી જોડ છે: $A - IV, B - I, C - II, D - III$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ ગણીએ:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
અહીં $R = 60 \ \Omega$,$X_{L} = 70 \ \Omega$,અને $X_{C} = 150 \ \Omega$ આપેલ છે.
$Z = \sqrt{60^{2} + (70 - 150)^{2}}$
$Z = \sqrt{60^{2} + (-80)^{2}}$
$Z = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટર:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{60}{100} = \frac{6}{10}$.
આપેલ પાવર ફેક્ટર $\frac{\alpha}{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 6$ મળે છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ આઈપીસના મુખ્ય કેન્દ્ર પર પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવના બીજા મુખ્ય કેન્દ્ર અને આઈપીસના પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = \left( \frac{L}{f_o} \right) \times \left( \frac{D}{f_e} \right)$.
આપેલ છે: $L = 10 \ cm$,$f_o = 2 \ cm$,$f_e = 5 \ cm$,અને સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર $D = 25 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \left( \frac{10}{2} \right) \times \left( \frac{25}{5} \right) = 5 \times 5 = 25$.
આપણને $M = (5)^k$ આપેલ છે.
તેથી,$25 = (5)^k \implies 5^2 = 5^k$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{Z}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સંબંધો પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $r \propto \frac{n}{v}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા લગભગ સમાન છે $(r_1 \approx r_2)$,તેથી $\frac{n_1}{v_1} = \frac{n_2}{v_2}$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^5} = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5}$.
આમ,ઉર્જા અવસ્થાઓનો ($n_1$ અને $n_2$) શક્ય ક્રમ $6$ અને $5$ છે.

(A) લઘુત્તમ વિચલન માટેની શરત મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r$ એ $r = A/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
બહાર નીકળતી સપાટી પર,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમ (વક્રીભવનાંક $n$) અને કોટિંગ (વક્રીભવનાંક $n/2$) વચ્ચેની સપાટી પર અથડાય છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ ની શરત માટે,વક્રીભવન કોણ $r$ એ $\theta_{c}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બહાર નીકળતી સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n \sin(r) = (n/2) \sin(90^{\circ})$.
કારણ કે $\sin(90^{\circ}) = 1$,તેથી $n \sin(r) = n/2$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin(r) = 1/2$ મળે છે.
કારણ કે $r = A/2$,તેથી $\sin(A/2) = 1/2$.
તેથી,$A/2 = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $A = 60^{\circ}$.

(C) ધારો કે બે અવરોધો $R_1 = 100 \Omega$ અને $R_2 = 100 \Omega$ છે. $R_v = 400 \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $R_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
$R_2$ અને $R_v$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{R_2 \times R_v}{R_2 + R_v} = \frac{100 \times 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80 \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_p = 100 + 80 = 180 \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
સમાંતર જોડાણ પર વોલ્ટેજ ડ્રોપ (જે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ છે) $V_v = I \times R_p = 0.05 \times 80 = 4 \text{ V}$ છે.

(C) વિદ્યુતભારોના તંત્રની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલા વિદ્યુતભારો $q_1 = +2q$ સ્થાન $\vec{r}_1 = (0, -3a) = -3a\hat{j}$ પર,$q_2 = +3q$ સ્થાન $\vec{r}_2 = (2a, 0) = 2a\hat{i}$ પર,અને $q_3 = -4q$ સ્થાન $\vec{r}_3 = (-2a, 0) = -2a\hat{i}$ પર છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{p} = (2q)(-3a\hat{j}) + (3q)(2a\hat{i}) + (-4q)(-2a\hat{i})$
$\vec{p} = -6qa\hat{j} + 6qa\hat{i} + 8qa\hat{i}$
$\vec{p} = (6qa + 8qa)\hat{i} - 6qa\hat{j}$
$\vec{p} = 14qa\hat{i} - 6qa\hat{j}$
$\vec{p} = 2qa(7\hat{i} - 3\hat{j})$

(D) $1$. ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$: $F = qvB$ નો ઉપયોગ કરતા, $[B] = [F] / ([q][v]) = [MLT^{-2}] / ([AT][LT^{-1}]) = [MT^{-2}A^{-1}]$. જે $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$: $\phi = B \cdot A$. તેથી, $[\phi] = [MT^{-2}A^{-1}] \cdot [L^2] = [ML^2T^{-2}A^{-1}]$. જે $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$: $B = \mu_0 H$ અથવા $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi r}$ નો ઉપયોગ કરતા, $[\mu] = [MLT^{-2}A^{-2}]$. જે $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$: $U = \frac{1}{2}LI^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $[L] = [U] / [I^2] = [ML^2T^{-2}] / [A^2] = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$. જે $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં જ્યારે પાતળી પારદર્શક શીટ દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_{\text{shift}} = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
આપેલ કિંમતો: $d = 0.4 \ mm = 0.4 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1 \ m$,$t = 20 \ \mu m = 20 \times 10^{-6} \ m$,અને $y_{\text{shift}} = 20 \ mm = 20 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$20 \times 10^{-3} = \frac{(\mu - 1) \times 20 \times 10^{-6} \times 1}{0.4 \times 10^{-3}}$
$20 \times 10^{-3} = \frac{(\mu - 1) \times 20 \times 10^{-6}}{0.4 \times 10^{-3}}$
$20 \times 10^{-3} = (\mu - 1) \times 50 \times 10^{-3}$
$\mu - 1 = \frac{20}{50} = 0.4$
$\mu = 1.4$
વક્રીભવનાંક $\frac{\alpha}{10} = 1.4$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = 14$ મળે છે.

(C) સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,$q = 3 \times 10^{-19} \text{ C}$,$m = 6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,અને $V = 1.21 \text{ V}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (6 \times 10^{-27}) \times (3 \times 10^{-19}) \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{36 \times 10^{-46} \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6 \times 10^{-23} \times 1.1}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-23}}$
$\lambda = 10^{-11} \text{ m} = 10 \times 10^{-12} \text{ m}$.
આને $\alpha \times 10^{-12} \text{ m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 10$ મળે છે.

(A) વાહક પ્રવાહ ઘનતા $j_c = \sigma E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,તેથી મહત્તમ વાહક પ્રવાહ ઘનતા $(j_c)_{\max} = \sigma E_0$ થાય.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $j_d = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $j_d = \epsilon_0 E_0 \omega \cos(\omega t - kx)$ મળે છે,તેથી મહત્તમ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $(j_d)_{\max} = \epsilon_0 E_0 \omega$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{(j_c)_{\max}}{(j_d)_{\max}} = \frac{\sigma E_0}{\epsilon_0 \omega E_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \omega}$ છે.
અહીં $\sigma = 10 \text{ mho/m}$,$f = 100 \times 10^6 \text{ Hz}$,અને $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10^8 \text{ rad/s}$ આપેલ છે.
વળી,$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 4 \pi \times 9 \times 10^9 = 36 \pi \times 10^9$ થાય.
ગુણોત્તર $= \frac{10 \times 36 \pi \times 10^9}{2 \pi \times 10^8} = \frac{360 \pi \times 10^9}{2 \pi \times 10^8} = 180 \times 10 = 1800$.

(A) ધારો કે પ્રિઝમ $PDC$ છે જેનો પાયો $DC$ છે. આપાત કિરણ પાયા $DC$ ને સમાંતર છે.
બીજી સપાટી પર ઘસાઈને બહાર નીકળતા કિરણ માટે,વક્રીભવન કોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{2}$,તેથી $\sin r_2 = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $r_2 = 45^{\circ}$.
આપાત કિરણ પાયાને સમાંતર હોવાથી,પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ એ પાયાના ખૂણા $45^{\circ}$ જેટલો થશે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \times \sin(45^{\circ}) = \sqrt{2} \times \sin(r_1)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin(r_1) \implies \sin(r_1) = \frac{1}{2} \implies r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમનો ઉપરનો ખૂણો $A = r_1 + r_2 = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$45^{\circ} + \theta + A = 180^{\circ}$.
$45^{\circ} + \theta + 75^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta + 120^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 60^{\circ}$.

(B) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા વિભાગો $AB$,$DE$ અને વર્તુળાકાર ચાપ $BCD$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેના છેડાથી $r$ અંતરે અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વિભાગ $AB$ માટે,$O$ પર ક્ષેત્ર $\vec{B}_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વિભાગ $DE$ માટે,$O$ પર ક્ષેત્ર $\vec{B}_{DE} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વર્તુળાકાર ચાપ $BCD$ માટે,ક્ષેત્ર $\vec{B}_{BCD} = -\frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k}$ છે.
આનો સરવાળો કરતા: $\vec{B}_O = \vec{B}_{AB} + \vec{B}_{DE} + \vec{B}_{BCD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 - \pi) \hat{k} = -\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (\pi - 1) \hat{k}$.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{2\pi L}{h} = n$ મળે છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ છે કે $E_n = -0.04 E_0$,તેથી $-\frac{E_0}{n^2} = -0.04 E_0$.
બંને બાજુ $-E_0$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n^2} = 0.04$ મળે છે.
$n^2 = \frac{1}{0.04} = \frac{100}{4} = 25$.
તેથી,$n = 5$.
જેમ કે $\frac{2\pi L}{h} = n$,તેથી તેની કિંમત $5$ છે.

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,$2R$ અને $X$ અવરોધ શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = 2R + X$ છે.
આ સંયોજન $R$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R \cdot (2R + X)}{R + (2R + X)}$
આપેલ છે કે $R_{eq} = X$,તેથી:
$X = \frac{R(2R + X)}{3R + X}$
$X(3R + X) = 2R^{2} + RX$
$3RX + X^{2} = 2R^{2} + RX$
$X^{2} + 2RX - 2R^{2} = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^{2} - 4(1)(-2R^{2})}}{2(1)}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^{2} + 8R^{2}}}{2}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^{2}}}{2} = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$X = -R \pm R\sqrt{3}$
અવરોધ હંમેશા ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$X = (\sqrt{3} - 1)R$

(D) પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R+r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R$ છે.
મહત્તમ પાવર માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ: $\frac{dP}{dR} = 0$.
$\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(R+r)^2(1) - R(2)(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$.
આ સૂચવે છે કે $(R+r)^2 - 2R(R+r) = 0$.
$(R+r)$ વડે ભાગતા,આપણને $(R+r) - 2R = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $r - R = 0$ અથવા $R = r$ થાય છે.
આમ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ બેટરીના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય ત્યારે પાવરનો વપરાશ મહત્તમ થાય છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\theta$ નું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વિધાન $I$: કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને સ્લિટના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. તે પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,પડદાને દૂર ખસેડવાથી કોણીય અંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$: કારણ કે $\theta = \frac{\lambda}{d}$,કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે. જો સ્ત્રોતને વધુ તરંગલંબાઇ ધરાવતા સ્ત્રોત સાથે બદલવામાં આવે,તો $\theta$ વધશે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી ગોઠવણી દર્શાવે છે જ્યાં ગેલ્વેનોમીટર બિંદુ $P$ પર શૂન્ય વિચલન દર્શાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AP}}{R_{PB}}$
અહીં $R_1 = 6 \ \Omega$ અને $R_2 = 4 \ \Omega$ આપેલ છે.
ધારો કે વાયર $AB$ ની કુલ લંબાઈ $L = 50 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે $\ell_{AP} = x$ અને $\ell_{PB} = 50 - x$.
વાયરનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R = \rho \frac{\ell}{A})$,આપણને મળે છે:
$\frac{6}{4} = \frac{x}{50 - x}$
$\frac{3}{2} = \frac{x}{50 - x}$
$3(50 - x) = 2x$
$150 - 3x = 2x$
$5x = 150$
$x = 30 \text{ cm}$.
તેથી,લંબાઈ $AP = 30 \text{ cm}$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથને જોતા,$3 \Omega$ વાળી શાખામાં રહેલ ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે,તેથી તે શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$4 \Omega$ વાળી શાખામાં રહેલ ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે,તેથી $2.5 \text{ V}$ ની બેટરી,$1 \Omega$ નો અવરોધ અને $4 \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી પ્રવાહ વહે છે.
આ માર્ગમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \Omega + 4 \Omega = 5 \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5 \text{ V}}{5 \Omega} = 0.5 \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ એ $4 \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$V_C = i \times 4 \Omega = 0.5 \text{ A} \times 4 \Omega = 2 \text{ V}$.
કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_C = 5 \mu\text{F} \times 2 \text{ V} = 10 \mu\text{C}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $r_i = 4R$ છે અને જ્યારે તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે અંતિમ અંતર $r_f = 2R$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા = કુલ અંતિમ ઉર્જા.
પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = 2 \times (\frac{1}{2} m u^2) - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R}$.
અંતિમ ઉર્જા (સ્પર્શતી વખતે,ઝડપ શૂન્ય છે): $E_f = 0 - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$m u^2 = \frac{k Q^2}{4R} - \frac{G m^2}{4R} = \frac{1}{4R} (k Q^2 - G m^2)$.
$u = \sqrt{\frac{k Q^2}{4 m R} (1 - \frac{G m^2}{k Q^2})}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.2 \ mm^{2} = 0.2 \times 10^{-6} \ m^{2}$,પ્રવાહ $I = 1.6 \ A$,વોલ્ટેજ $V = 2 \ V$,સાંદ્રતા $n = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$,વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d} = \frac{I}{neA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોબિલિટી $\mu = \frac{V_{d}}{E}$ છે,જ્યાં $E = \frac{V}{l}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = \frac{I \cdot l}{neA \cdot V}$.
$\mu = \frac{1.6 \times 2}{5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 \times 10^{-6} \times 2} = 1 \times 10^{-3} \ m^{2}/V \cdot s$.
તેથી,$\alpha = 1$.

(D) કેપેસિટર $P$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V_1 = (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6.0 \text{ V}) = 60 \times 10^{-6} \text{ C} = 6 \times 10^{-5} \text{ C}$ છે.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
અહીં $C_1 = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$,$V_1 = 6.0 \text{ V}$,$C_2 = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,અને $V_2 = 0 \text{ V}$ છે.
$V = \frac{(10 \times 10^{-6} \times 6) + (20 \times 10^{-6} \times 0)}{10 \times 10^{-6} + 20 \times 10^{-6}} = \frac{60 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}} = 2 \text{ V}$.
સંતુલન સમયે કેપેસિટર $Q$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V = (20 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (2 \text{ V}) = 40 \times 10^{-6} \text{ C} = 4 \times 10^{-5} \text{ C}$ છે.
આને $\alpha \times 10^{-5} \text{ C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(B) પરિભ્રમણ કરતી લૂપમાં પ્રેરિત $EMF$ નું સૂત્ર $E = B A \omega \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $B = 0.5 \ T$,$\omega = 100 \ rad/s$,$E = 15.4 \ mV = 15.4 \times 10^{-3} \ V$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $15.4 \times 10^{-3} = 0.5 \times (\pi r^2) \times 100 \times \sin(30^{\circ})$.
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી: $15.4 \times 10^{-3} = 0.5 \times \pi r^2 \times 100 \times 0.5$.
$15.4 \times 10^{-3} = 25 \times \pi r^2$.
$\pi = 22/7$ લેતા: $15.4 \times 10^{-3} = 25 \times (22/7) \times r^2$.
$r^2 = \frac{15.4 \times 10^{-3} \times 7}{25 \times 22} = \frac{107.8 \times 10^{-3}}{550} = 0.196 \times 10^{-3} = 196 \times 10^{-6} \ m^2$.
$r = \sqrt{196 \times 10^{-6}} = 14 \times 10^{-3} \ m = 14 \ mm$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,જ્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય ત્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ વર્ક ફંક્શન જેટલી હોય છે.
$ E = h\nu = \phi $
જ્યાં $ \phi = 110 \times 10^{-20} \ J $ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $ h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s $ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આવૃત્તિ $ \nu $ એ $ \nu = \frac{\phi}{h} $ દ્વારા મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $ \omega $ એ $ \omega = 2\pi\nu $ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ \omega = 2\pi \left( \frac{\phi}{h} \right) = \frac{2 \times 3.14 \times 110 \times 10^{-20}}{6.63 \times 10^{-34}} $
$ \omega \approx 1.04 \times 10^{16} \ rad/s $.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
આના પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = B_0 c$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B_0 = \frac{E_0}{c}$.
$E_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B_0 = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$ મળે છે.
અહીં $I = 4.0 \times 10^{14} \ W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/Nm^2$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 4.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times 27 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{238.95 \times 10^{12}}} = \sqrt{\frac{800}{238.95}} \approx \sqrt{3.348} \approx 1.83 \ T$.

(A) $1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ એ અદિશ રાશિ છે. $r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે. અહીં પાંચ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ સ્થિતિમાન તેમનો બેઝિક સરવાળો થશે: $V = 5 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\vec{E})$ એ સદિશ રાશિ છે. નિયમિત બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0$ થશે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને રેખીય પહોળાઈ $\beta_{cm} = \frac{2\lambda D}{a}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ પડદાનું અંતર છે, અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે。
$(A)$ $\beta_{cm} \propto \lambda$ હોવાથી, તરંગલંબાઈ વધતા મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ વધે છે. તેથી, $(A)$ સાચું છે。
$(B)$ $\beta_{cm} \propto \lambda$ હોવાથી, તરંગલંબાઈ ઘટતા પહોળાઈ ઘટે છે. તેથી, $(B)$ ખોટું છે。
$(C)$ $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$ હોવાથી, સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટતા મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ વધે છે. તેથી, $(C)$ સાચું છે。
$(D)$ $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$ હોવાથી, સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધતા પહોળાઈ ઘટે છે. તેથી, $(D)$ ખોટું છે。
$(E)$ મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં અને તરંગલંબાઈના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\text{Intensity} \propto \frac{a^2}{\lambda^2})$. તેથી, જેમ $\lambda$ ઘટે છે, તેમ મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા (તેજસ્વિતા) વધે છે. તેથી, $(E)$ સાચું છે。
નિષ્કર્ષ: વિધાનો $(A)$, $(C)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(A) જ્યારે સ્વિચ $K$ ચાલુ કરવામાં આવે છે તે ક્ષણે $(t = 0)$,ઇન્ડક્ટર્સમાંથી વહેતો પ્રવાહ ત્વરિત બદલાઈ શકતો નથી. તેથી,ઇન્ડક્ટર્સ ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
આપેલ સર્કિટમાં,પ્રથમ ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખા અને બીજા ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખામાં પ્રવાહ શૂન્ય હશે.
માત્ર વચ્ચેની શાખા,જેમાં $9 \ \Omega$ નો એક અવરોધક છે,તેમાંથી જ પ્રવાહ વહેશે.
$t = 0$ સમયે સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 9 \ \Omega$ છે.
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 9 \ V$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{9 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
$v = f \lambda$ અને $v = \frac{c}{\mu}$ હોવાથી,$\frac{c}{\mu} = f \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\mu \lambda = \frac{c}{f} = \text{અચળ}$.
તેથી,$\mu_1 \lambda_1 = \mu_2 \lambda_2$.
આપેલ છે: $\mu_1 = \frac{4}{3}$,$\lambda_1 = 540 \ nm$,અને $\mu_2 = \frac{3}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4}{3}\right) \times 540 = \left(\frac{3}{2}\right) \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{4}{3} \times \frac{2}{3}$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{8}{9} = 60 \times 8 = 480 \ nm$.

(A) આપેલ છે: આઉટપુટ પાવર $P_{out} = 1 \ kW = 1000 \ W$,વોલ્ટેજ $V = 250 \ V$,અવરોધ $R = 2 \ \Omega$.
લાઇનમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{1000}{250} = 4 \ A$ છે.
ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં પાવરનો વ્યય $P_{loss} = I^2 R = (4)^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \ W$ છે.
સ્ત્રોત પર ઉત્પન્ન થતો કુલ પાવર $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 1000 + 32 = 1032 \ W$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = \left( \frac{1000}{1032} \right) \times 100 \approx 96.898 \% \approx 96.9 \%$.

(B) લોજિક સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ $(A, B)$,ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ $(C, D)$,એક $AND$ ગેટ અને છેલ્લે એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે. $NOT$ ગેટ પછી,તે $\overline{A \cdot B}$ બને છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $C + D$ છે.
આ બંને સિગ્નલ એક $AND$ ગેટમાં જાય છે,જે $(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)$ આપે છે.
અંતિમ $NOT$ ગેટ આઉટપુટ $Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)}$ આપે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(C + D)} = (A \cdot B) + (\overline{C + D})$.
આપેલ ઇનપુટ્સ માટે ગણતરી કરતા:
$1$. $A=1, B=1, C=0, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(0+1)} = 1 + 0 = 1$.
$2$. $A=0, B=0, C=1, D=1$: $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(1+1)} = 0 + 0 = 0$.
$3$. $A=1, B=0, C=1, D=0$: $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(1+0)} = 0 + 0 = 0$.
$4$. $A=1, B=1, C=1, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1+1)} = 1 + 0 = 1$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) Rydberg સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
Lyman શ્રેણી માટે,સૌથી નાની તરંગલંબાઇ $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{L,min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R = \frac{1}{91} \ nm^{-1}$.
Balmer શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{B,max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_{B,max} = \frac{91 \times 36}{5} = 655.2 \ nm$.
Paschen શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{P,max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{7}{144} \right)$.
$\lambda_{P,max} = \frac{91 \times 144}{7} = 1872 \ nm$.
તફાવત $\Delta\lambda = \lambda_{P,max} - \lambda_{B,max} = 1872 - 655.2 = 1216.8 \ nm \approx 1217 \ nm$ છે.

(B) લંબન પદ્ધતિમાં,પ્રતિબિંબ અને સોય વચ્ચેનું લંબન અવલોકન કરવા માટે આપણે વસ્તુનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવું જરૂરી છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ત્યારે જ રચાય છે જ્યારે વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની બહાર મૂકવામાં આવે.
જો વસ્તુને ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે,તો રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત હોય છે,જેનો ઉપયોગ લંબન પદ્ધતિ માટે થઈ શકતો નથી કારણ કે તેને પડદા પર મેળવી શકાતું નથી અથવા વાસ્તવિક સંપાત બિંદુ તરીકે જોઈ શકાતું નથી.
તેથી,વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની બહાર કોઈપણ બિંદુએ મૂકવી આવશ્યક છે.

\(C _1=\frac{5 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{5 \in_0 A}{ d }=5 C\)
\(C _2=\frac{2 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{2 \in_0 A}{ d }=2 C\)
\(C _1 \& C _2\) શ્રેણીમાં છે.
\(C^{\prime}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{(5 C)(2 C)}{7 C}=\frac{10}{7} C\)
\(C _3=\frac{3 \in_0 A / 2}{d / 2}=3 C\)
\(C _4=\frac{2 \epsilon_0 A / 2}{d / 2}=2 C\)
\(C _4 \& C _3\) શ્રેણીમાં છે; \(C ^{\prime \prime}=\frac{(2 C )(3 C )}{5 C }=\frac{6}{5} C\)
\(C ^{\prime} \& C ^{\prime \prime}\) સમાંતરમાં છે;
તેથી, \(C _{ eq }= C \left(\frac{6}{5}+\frac{10}{7}\right)= C \left(\frac{42+50}{35}\right)=\left(\frac{92}{35}\right) C\)
\(\frac{92}{35} C =\frac{ nC }{3}\)
\(n =\frac{92 \times 3}{35}=7.9 \Rightarrow n \simeq 8\)

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ સમાન છે,તેથી $\beta_1 = \beta_2$.
તેથી,$\frac{D_1 \lambda_1}{d_1} = \frac{D_2 \lambda_2}{d_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{D_1}{D_2}$ શોધવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ મળે છે.
સ્લિટના અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = 2$ અને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{D_1}{D_2} = 2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(B) $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = 5 \sin(100t)$ પરથી,આપણને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપેલ $L = 2 \text{ H}$ છે,આપણે આ મૂલ્યોને અનુનાદના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$100 = \frac{1}{\sqrt{2 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$10000 = \frac{1}{2C}$
$C = \frac{1}{2 \times 10000} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu\text{F}$.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ છે,જ્યાં $E_0 = \sqrt{377} \text{ V/m}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સરેરાશ પાવર) $I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી $I = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \varepsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2$.
આપેલ છે કે $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 377$,તેથી $\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} = \frac{1}{377}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{377} \times (\sqrt{377})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{377} \times 377 = \frac{1}{2} \text{ W/m}^2$.
આને $\frac{1}{\alpha} \text{ W/m}^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતા $\ell$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{B \omega \ell^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega_{\max}$ શોધવા માટે,આપણે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$60^{\circ}$ ના ખૂણે સ્થિતિ ઉર્જાનું રૂપાંતર સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં થાય છે.
$mg\ell(1 - \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} I \omega_{\max}^2$,જ્યાં $I = m\ell^2$.
$mg\ell(1 - 0.5) = \frac{1}{2} m\ell^2 \omega_{\max}^2$.
$g(0.5) = \frac{1}{2} \ell \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max} = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
હવે,કિંમતોને $EMF$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = \frac{2 \times 10 \times (0.1)^2}{2} = 10 \times 0.01 = 0.1 \ V$.
$mV$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \ V = 100 \ mV$.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો નાના પ્રદેશોના બનેલા હોય છે જેને ડોમેન્સ કહેવામાં આવે છે,જ્યાં મજબૂત એક્સચેન્જ આંતરક્રિયાઓને કારણે પરમાણુ ચુંબકીય ડાયપોલ્સ ગોઠવાયેલા હોય છે.
કારણ $(R)$ પણ સાચું છે કારણ કે ઊંચા તાપમાને થતી ઉષ્મીય હલચલ આ ચુંબકીય ડાયપોલ્સની ગોઠવણીને ખલેલ પહોંચાડે છે,જેના કારણે ડોમેન માળખું તૂટી જાય છે.
જ્યારે તાપમાન ક્યુરી તાપમાન $(T_c)$ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિકમાંથી પેરામેગ્નેટિક વર્તણૂકમાં પરિવર્તિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્વયંભૂ ચુંબકીયકરણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
કારણ કે ઊંચા તાપમાને ડોમેન માળખાનું વિઘટન એ મૂળભૂત કારણ છે કે શા માટે ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મ (અને આમ સ્વયંભૂ ચુંબકીયકરણ) ખોવાઈ જાય છે,તેથી કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Bv\ell$ છે।
પ્રથમ, ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h = 200 \ m$ અંતર કાપ્યા પછી તારનો વેગ $(v)$ શોધો, $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને। પ્રારંભિક વેગ $(u = 0)$ હોવાથી, $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 200} = \sqrt{4000} = 20\sqrt{10} \ m/s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ $0.5 \ Gauss = 0.5 \times 10^{-4} \ T$ છે।
તારની લંબાઈ $(\ell)$ $20 \ m$ છે।
આ કિંમતોને $EMF$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\varepsilon = (0.5 \times 10^{-4} \ T) \times (20\sqrt{10} \ m/s) \times (20 \ m)$.
$\varepsilon = 20\sqrt{10} \times 10^{-4} \times 10 = 20\sqrt{10} \times 10^{-3} \ V$.
$1 \ V = 1000 \ mV$ હોવાથી, પ્રેરિત $EMF$ $20\sqrt{10} \ mV$ થાય।

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $Q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
$1$. વિદ્યુતભાર $2q$ ને શિરોબિંદુ $A$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. સમઘનનું એક શિરોબિંદુ $8$ પાસપાસેના સમઘનો દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. તેથી,સમઘનની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\frac{2q}{8} = \frac{q}{4}$ થશે.
$2$. વિદ્યુતભાર $q$ ને ફલક $CDEF$ ના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે. સમઘનનું એક ફલક $2$ પાસપાસેના સમઘનો દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. તેથી,સમઘનની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ થશે.
$3$. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}}$ એ આ બંનેનો સરવાળો છે: $Q_{\text{in}} = \frac{q}{4} + \frac{q}{2} = \frac{q + 2q}{4} = \frac{3q}{4}$.
$4$. આમ,સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} = \frac{3q}{4\varepsilon_0}$ થશે.

(B) કોઈપણ સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઇ $n_i = 2$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$ દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$ માટે,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $n_i = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{min} = \frac{9}{R}$. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ માટે,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $n_i = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( 1 - 0 \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$. તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $A, B$ અને $C$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે: ઝેનર વોલ્ટેજ $V_Z = 5 \text{ V}$,લોડ કરંટ $I_L = 5 \text{ mA}$.
મહત્તમ ઝેનર કરંટ $I_Z = 4 \times I_L = 4 \times 5 \text{ mA} = 20 \text{ mA}$.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ માંથી પસાર થતો કુલ કરંટ $I = I_L + I_Z = 5 \text{ mA} + 20 \text{ mA} = 25 \text{ mA} = 25 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{\text{in}} = 25 \text{ V}$.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R_S} = V_{\text{in}} - V_Z = 25 \text{ V} - 5 \text{ V} = 20 \text{ V}$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$R_S = \frac{V_{R_S}}{I} = \frac{20 \text{ V}}{25 \times 10^{-3} \text{ A}} = 800 \Omega$.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ. અહીં,માધ્યમ $A$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_A = 2.4 \times 10^8 \ m/s)$ એ માધ્યમ $B$ $(v_B = 2.7 \times 10^8 \ m/s)$ કરતા ઓછી છે,તેથી માધ્યમ $A$ ઘટ્ટ છે.
ક્રાંતિકોણ $c$ પર,વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ હોય છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu_A \sin c = \mu_B \sin 90^\circ$
$\mu = \frac{c_{light}}{v}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{c_{light}}{v_A} \sin c = \frac{c_{light}}{v_B} \times 1$
$\sin c = \frac{v_A}{v_B} = \frac{2.4 \times 10^8}{2.7 \times 10^8} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
હવે,ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan c = \frac{\sin c}{\sqrt{1 - \sin^2 c}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan c = \frac{8/9}{\sqrt{1 - (8/9)^2}} = \frac{8/9}{\sqrt{1 - 64/81}} = \frac{8/9}{\sqrt{17/81}} = \frac{8}{\sqrt{17}}$
તેથી,$c = \tan^{-1}(\frac{8}{\sqrt{17}})$.