JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલા અચળાંકો માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$A$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$: $E = k_B T$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}K^{-1}]$ થાય છે. જે $III$ સાથે બંધ બેસે છે.
$B$. સ્ટેફન અચળાંક $(sigma)$: $I = sigma T^4$ હોવાથી,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા $(MT^{-3})$ છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-3}K^{-4}]$ થાય છે. જે $IV$ સાથે બંધ બેસે છે.
$C$. પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$: $E = h
u$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ થાય છે. જે $II$ સાથે બંધ બેસે છે.
$D$. ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$: $F = G(m_1m_2)/r^2$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ થાય છે. જે $I$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,કારની ઝડપને $\text{km/h}$ માંથી $\text{m/s}$ માં ફેરવો:
$v = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \text{ m/s}$.
ત્યારબાદ,કારની અંદર લોલક દ્વારા અનુભવાતા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી કરો:
$a = \frac{v^2}{R} = \frac{15^2}{20} = \frac{225}{20} = 11.25 \text{ m/s}^2$.
જ્યારે કાર વળાંક લે છે,ત્યારે લોલક આડી દિશામાં આભાસી બળ અનુભવે છે,જેના કારણે તે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે.
ખૂણા $\theta$,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{11.25}{10} = 1.125$.
તેથી,ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(1.125)$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ છે.
બે કોટિકોણ $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે,સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન હોય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2v \sin \theta}{g} = 5 \text{ s}$ અને $T_2 = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g} = 10 \text{ s}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$T_1$ અને $T_2$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને $T_1 T_2 = \frac{4v^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2} = \frac{2}{g} \left( \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$ મળે છે.
તેથી,$R = \frac{1}{2} g T_1 T_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \times 10 = 250 \text{ m}$.

(B) પ્રવેગ સદિશ એ વેગના વિકલન દ્વારા મળે છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} = -x\hat{i} + 2y\hat{j} - z\hat{k}$,તેથી ઘટકોની ગણતરી કરીએ:
$a_x = v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = (-x)(-1) + (2y)(0) + (-z)(0) = x$.
$a_y = v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(2) + (-z)(0) = 4y$.
$a_z = v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(0) + (-z)(-1) = z$.
આમ,$\vec{a} = x\hat{i} + 4y\hat{j} + z\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 2, 4)$ પર,$\vec{a} = 1\hat{i} + 4(2)\hat{j} + 4\hat{k} = 1\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 \text{ m/s}^2$ થાય.

(A) $1$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$h = E/\nu$ મળે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}] / [T^{-1}] = ML^2T^{-1}$ $(III)$ છે.
$2$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$: તે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$V_s = E/q$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}] / [AT] = ML^2T^{-3}A^{-1}$ $(IV)$ છે.
$3$. કાર્ય વિધેય $(Phi)$: તે ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર ઉર્જા જેવું જ $ML^2T^{-2}$ $(I)$ છે.
$4$. થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(
u_0)$: તે આપાત પ્રકાશની લઘુત્તમ આવૃત્તિ છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર આવૃત્તિ જેવું જ $T^{-1}$ $(II)$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(A) લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ = $\frac{\text{પિચ}}{\text{કુલ વિભાગો}} = \frac{0.1 \text{ mm}}{100} = 0.001 \text{ mm}$.
શૂન્ય ત્રુટિ = $5 \times LC = 5 \times 0.001 \text{ mm} = 0.005 \text{ mm}$.
અવલોકિત વાંચન = $\text{મુખ્ય સ્કેલનું વાંચન} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલનો વિભાગ} \times LC) = 5 \text{ mm} + (50 \times 0.001 \text{ mm}) = 5.050 \text{ mm}$.
સાચું વાંચન = $\text{અવલોકિત વાંચન} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 5.050 \text{ mm} - 0.005 \text{ mm} = 5.045 \text{ mm}$.

(C) લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$.
આપેલ છે કે $10 \text{ VSD} = 9 \text{ MSD}$,તેથી $1 \text{ VSD} = 0.9 \text{ MSD} = 0.9 \text{ mm}$.
$LC$ = $1 \text{ mm} - 0.9 \text{ mm} = 0.1 \text{ mm} = 0.01 \text{ cm}$.
શૂન્ય ત્રુટિ = $+ (n \times \text{LC})$,જ્યાં $n$ એ સંપાત થતો વિભાગ છે.
શૂન્ય ત્રુટિ = $+ (7 \times 0.01 \text{ cm}) = +0.07 \text{ cm}$.
વર્નિયરનો શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની જમણી બાજુએ હોવાથી,શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P, V_1 = V$.
અંતિમ કદ: $V_2 = 27V$.
એડિબેટિક સંબંધ $P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતિમ દબાણ $P_2$ શોધીએ છીએ:
$P_2 = P(V_1/V_2)^\gamma = P(V/27V)^{5/3} = P(1/27)^{5/3} = P(1/3^3)^{5/3} = P(1/3^5) = P/243$.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} (P_2V_2 - P_1V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$f = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3}{2} ((\frac{P}{243}) \cdot 27V - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P}{9} - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P - 9P}{9}) = \frac{3}{2} (\frac{-8P}{9}) = -\frac{4}{3}PV$.

(A) ધારો કે દરેક પાત્રનું કદ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{RT_0} + \frac{P_0 V}{RT_0} = \frac{2P_0 V}{RT_0}$ છે.
અહીં $P_0 = 90 \text{ kPa}$ અને $T_0 = 400 \text{ K}$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{2 \cdot 90 \cdot V}{R \cdot 400} = \frac{180V}{400R}$.
અંતે,ધારો કે બંને પાત્રોમાં દબાણ $P'$ છે કારણ કે તેઓ જોડાયેલા છે.
મોલની કુલ સંખ્યા $n'$ અચળ રહે છે,તેથી $n' = n$.
$n' = \frac{P' V}{RT_1} + \frac{P' V}{RT_2} = \frac{P' V}{R} (\frac{1}{400} + \frac{1}{500}) = \frac{P' V}{R} (\frac{5+4}{2000}) = \frac{9P' V}{2000R}$.
$n = n'$ ને સરખાવતા:
$\frac{180V}{400R} = \frac{9P' V}{2000R}$.
$P' = \frac{180}{400} \cdot \frac{2000}{9} = \frac{180}{9} \cdot \frac{2000}{400} = 20 \cdot 5 = 100 \text{ kPa}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $P = \frac{nRT}{V}$.
આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PT^3 = C$ છે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
$P$ ની કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\left(\frac{nRT}{V}\right) T^3 = C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T^4}{V} = \frac{C}{nR} = C'$ મળે છે,જ્યાં $C'$ બીજો અચળાંક છે.
તેથી,$V = \frac{1}{C'} T^4$,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T^4$.
$V = kT^4$ નું લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{dV}{V} = 4 \frac{dT}{T}$ મળે છે.
કદ પ્રસરણાંક $\beta$ ની વ્યાખ્યા $\beta = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ છે.
વિકલન મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{4V}{T} \right) = \frac{4}{T}$ મળે છે.

$A$ સાચું છે: ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો શૂન્યમો નિયમ તાપમાનનો ખ્યાલ આપે છે.
$B$ સાચું છે: ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ આંતરિક ઉર્જાનો ખ્યાલ આપે છે.
$C$ ખોટું છે: આદર્શ વાયુના સમતાપી વિસ્તરણ માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. પ્રથમ નિયમ મુજબ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, તેથી $\Delta Q = \Delta W$ થાય.
$D$ સાચું છે: તીવ્ર ચલ અને વિસ્તૃત ચલનો ગુણાકાર હંમેશા વિસ્તૃત ચલ હોય છે (દા.ત., $P \times V = \text{ઉર્જા}$, જે વિસ્તૃત છે).
$E$ ખોટું છે: વિસ્તૃત ચલનો દળ સાથેનો ગુણોત્તર એ તીવ્ર ગુણધર્મ છે (દા.ત., $\text{કદ} / \text{દળ} = \text{ઘનતા}$, જે તીવ્ર છે).

(D) મિશ્રણનું તાપમાન $T_{mix}$ શોધવાનું સૂત્ર $T_{mix} = \frac{n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ છે.
બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વીય હોવાથી,તેમની અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
અહીં $n_1 = 2, T_1 = T$ અને $n_2 = 6, T_2 = 2T$ આપેલ છે.
$T_{mix} = \frac{2 \cdot T + 6 \cdot 2T}{2 + 6}$.
$T_{mix} = \frac{2T + 12T}{8} = \frac{14T}{8}$.
$T_{mix} = \frac{7}{4}T$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ છે.
મિશ્રણ માટે,કુલ મોલની સંખ્યા $n_{mix} = n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$ થાય.
મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P V = n_{mix} R T_{mix}$,તેથી $T_{mix} = \frac{P V}{n_{mix} R}$.
$n_{mix}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T_{mix} = \frac{P V R T_1 T_2}{R (P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1)} = \frac{P V T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$ મળે છે.

(C) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળના દોલનની આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto 1/L$.
જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે $(L' = L/2)$,ત્યારે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $k' = k \cdot (L/L') = k \cdot (L / (L/2)) = 2k$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $v_2$ એ $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $v_2 = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \sqrt{2} v_1$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $v_2/v_1 = \sqrt{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,સ્થાનાંતર $x = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
પ્રથમ,સંતુલન સ્થિતિમાં હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધો: $mg = kx \implies k = \frac{mg}{x} = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 10^{-3}} = 1000 \text{ N/m}$.
સિસ્ટમની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1000}{0.2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{5000} = \frac{50\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{25\sqrt{2}}{\pi} \text{ Hz}$.
મહત્તમ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 500 \times 4 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} \text{ J}$.

(B) આપેલા વિધેયોનું વિશ્લેષણ નીચે મુજબ છે:
$A$. $\sin^2 \omega t = \frac{1-\cos 2\omega t}{2}$. આ $T = \pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી કારણ કે તેમાં અચળ પદ અને $2\omega$ આવૃત્તિ છે। તેથી, $A-II$.
$B$. $\sin^3 \omega t = \frac{3\sin \omega t - \sin 3\omega t}{4}$. આ $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે $SHM$ નથી કારણ કે તેમાં એક કરતા વધુ આવૃત્તિઓનો સમાવેશ થાય છે। તેથી, $B-I$.
$C$. $\sin \omega t + \cos \pi \omega t$ એ અ-આવર્ત છે કારણ કે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\omega/\pi\omega = 1/\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે। તેથી, $C-III$.
$D$. $\cos \omega t + \cos 2\omega t$ એ $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે $SHM$ નથી કારણ કે તે બે અલગ અલગ આવૃત્તિઓનું સંપાતીકરણ છે। તેથી, $D-IV$.
તેથી, સાચી જોડ $A-II, B-I, C-III, D-IV$ છે।

(B) નળાકારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi (d/2)^2 l} = \frac{4m}{\pi d^2 l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta l}{l}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.02}{97.42} + 2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) + \frac{0.05}{8.35}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.02}{97.42} \approx 0.000205$,
$2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) \approx 0.001980$,
$\frac{0.05}{8.35} \approx 0.005988$.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000205 + 0.001980 + 0.005988 = 0.008173$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% \approx 0.008173 \times 100 \% = 0.8173 \% \approx 0.82 \%$ થાય.

(D) સાબુના પરપોટાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ એ સાબુના પરપોટાની બે સપાટીઓ દર્શાવે છે.
$\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $T = 0.03 \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,$r_2 = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$.
$\Delta A = 4 \times 3.14 \times ((0.03)^2 - (0.01)^2) = 4 \times 3.14 \times (0.0009 - 0.0001) = 12.56 \times 0.0008 = 0.010048 \text{ m}^2$.
$W = 0.03 \times 0.010048 \times 2 = 0.06 \times 0.010048 = 0.00060288 \text{ J} = 6.0288 \times 10^{-4} \text{ J}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરીમાં તફાવત જણાય છે. જો આપણે પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,તો $\alpha \approx 6.03$ મળે છે.

(B) કુલ વિસ્તરણ $\Delta L$ એ બંને તારના વિસ્તરણનો સરવાળો છે: $\Delta L = \Delta L_A + \Delta L_B = \frac{F L_A}{Y_A A} + \frac{F L_B}{Y_B A}$.
અહીં $F = mg = 0.8 \times 10 = 8 \text{ N}$.
તાર $A$ માટે: $L_A = 0.314 \text{ m}$,$Y_A = 2 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
તાર $B$ માટે: $L_B = 2 L_A = 0.628 \text{ m}$,$Y_B = 2 Y_A = 4 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-8} = 1.256 \times 10^{-7} \text{ m}^2$.
$\Delta L_A$ ની ગણતરી: $\Delta L_A = \frac{8 \times 0.314}{2 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{2.512}{2512} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
$\Delta L_B$ ની ગણતરી: $\Delta L_B = \frac{8 \times 0.628}{4 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{5.024}{5024} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta L_{total} = \Delta L_A + \Delta L_B = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$.

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$M$ દળ ધરાવતા તારાની આસપાસ $R$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{\frac{R^3}{M}}$.
ગ્રહ $P_1$ માટે: $T_1 \propto \sqrt{\frac{R^3}{2M}}$.
ગ્રહ $P_2$ માટે: $T_2 \propto \sqrt{\frac{(2R)^3}{4M}} = \sqrt{\frac{8R^3}{4M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M}}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{2R^3/M}}{\sqrt{R^3/2M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M} \cdot \frac{2M}{R^3}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$P_2$ અને $P_1$ ના પરિભ્રમણના સમયગાળાનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
આપેલ છે કે $g' = g/9$,તેથી આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$R + h = 3R$.
તેથી,$h = 3R - R = 2R$.

(C) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{5t^4}{40} - \frac{t^3}{3} = \frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}$ આપેલ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}) = \frac{4t^3}{8} - \frac{3t^2}{3} = 0.5t^3 - t^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગના ફેરફારનો દર છે: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(0.5t^3 - t^2) = 1.5t^2 - 2t$.
$t = 10 \text{ s}$ સમયે,$\alpha$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha = 1.5(10)^2 - 2(10) = 1.5(100) - 20 = 150 - 20 = 130 \text{ rad/s}^2$.

(B) કોણીય સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ સમાન કોણીય પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ $2 \text{ s}$ $(t = 2 \text{ s})$ માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1 = \frac{1}{2}\alpha (2)^2 = 2\alpha$ છે.
કુલ $4 \text{ s}$ $(t = 4 \text{ s})$ ના સમય માટે,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_{\text{total}} = \frac{1}{2}\alpha (4)^2 = 8\alpha$ છે.
પછીના $2 \text{ s}$ માં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_2 = \theta_{\text{total}} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{6\alpha}{2\alpha} = 3$ થાય છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પદાર્થ માટે,જેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = kMR^2$ છે,સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ (સંપર્ક બિંદુથી $2R$ અંતરે) લગાડવામાં આવતું સ્પર્શકીય બળ $F$ ટોર્ક $\tau = F(2R) - f(R) = I\alpha$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે અને $\alpha = a/R$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આમ,$2FR - fR = (kMR^2)(a/R) \Rightarrow 2F - f = kMa$.
રેખીય બળનું સમીકરણ $F + f = Ma$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2F - f) + (F + f) = kMa + Ma \Rightarrow 3F = (k+1)Ma \Rightarrow a = \frac{3F}{(k+1)M}$.
નક્કર ગોળા $(A)$ માટે,$k = 2/5$ અને $M = 5m$: $a_A = \frac{3F}{(2/5 + 1)5m} = \frac{3F}{(7/5)5m} = \frac{3F}{7m}$.
ગોલીય કવચ $(B)$ માટે,$k = 2/3$ અને $M = m$: $a_B = \frac{3F}{(2/3 + 1)m} = \frac{3F}{(5/3)m} = \frac{9F}{5m}$.
ગુણોત્તર $a_A/a_B = (3F/7m) / (9F/5m) = (3/7) \times (5/9) = 15/63 = 5/21$.

(B) ઘર્ષણ બળ $f = \mu_K mg$ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. રેખીય પ્રવેગ $a = -\mu_K g$ છે.
$t$ સમયે વેગ $v(t) = v_0 - \mu_K gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = fR = \mu_K mgR$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \tau/I = \frac{\mu_K mgR}{(1/2)mR^2} = \frac{2\mu_K g}{R}$ છે.
$t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega(t) = \omega_0 + \alpha t = \frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t$ છે.
જ્યારે $v(t) = \omega(t)R$ ની શરત સંતોષાય ત્યારે ગબડવાનું શરૂ થાય છે.
સમીકરણો મૂકતા: $v_0 - \mu_K gt = (\frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t)R$.
આનું સાદું રૂપ: $v_0 - \mu_K gt = \frac{v_0}{4} + 2\mu_K gt$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{3v_0}{4} = 3\mu_K gt$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{v_0}{4\mu_K g}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{49}{4 \times 0.25 \times 9.8} = \frac{49}{9.8} = 5 \text{ s}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 10t^2\hat{i} + 5t^3\hat{j}$.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 20t\hat{i} + 15t^2\hat{j}$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j} \text{ m/s}$.
રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v} = 0.1(20\hat{i} + 15\hat{j}) = (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) \text{ kg} \cdot \text{m/s}$. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 20\hat{i} + 30t\hat{j}$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ m/s}^2$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20\hat{i} + 30\hat{j}) = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ N}$. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{r} = 10(1)^2\hat{i} + 5(1)^3\hat{j} = 10\hat{i} + 5\hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) = (15\hat{k} - 10\hat{k}) = 5\hat{k} \text{ J} \cdot \text{s}$. આમ,વિધાન $C$ ખોટું છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = (30\hat{k} - 10\hat{k}) = 20\hat{k} \text{ N} \cdot \text{m}$. આમ,વિધાન $D$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, B$ અને $D$ સાચા છે.

(C) ધારો કે દળ $m_1 = 2 \text{ kg}$ અને $m_2 = 1 \text{ kg}$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1) \times 10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2 \text{ kg}$ નો બ્લોક $a_1 = 10/3 \text{ m/s}^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને $1 \text{ kg}$ નો બ્લોક $a_2 = 10/3 \text{ m/s}^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 - m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(10/3) - 1(10/3)}{2 + 1} = \frac{10/3}{3} = 10/9 \text{ m/s}^2$ થાય.
$t = 2 \text{ s}$ માં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a_{cm} t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \text{ m}$ થાય.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_A a_1 + m_B a_2}{m_A + m_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m_A = m_B = m$ હોવાથી,$a_{cm} = \frac{m(6\hat{i} + 6\hat{j}) + m(0)}{2m} = 3\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m/s}^2$ મળે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm} = \frac{m_A v_1 + m_B v_2}{m_A + m_B} = \frac{m(4\hat{i}) + m(4\hat{j})}{2m} = 2\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m/s}$ થાય.
અહીં પ્રવેગ સદિશ $a_{cm} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ અને પ્રારંભિક વેગ સદિશ $v_{cm} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી $(a_{cm} = 1.5 v_{cm})$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ સુરેખ માર્ગે થશે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{total}} = \Delta K$.
અહીં,કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W_g)$ અને અવરોધક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W_r)$ નો સરવાળો છે: $W_g + W_r = \Delta K$.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ g} = 0.001 \text{ kg}$,ઊંચાઈ $h = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \text{ m/s}$,અંતિમ વેગ $v = 5 \text{ m/s}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_g = mgh = 0.001 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 1000 \text{ m} = 10 \text{ J}$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર: $\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.001 \text{ kg} \times (5 \text{ m/s})^2 - 0 = 0.0005 \times 25 = 0.0125 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા: $10 \text{ J} + W_r = 0.0125 \text{ J}$.
$W_r = 0.0125 \text{ J} - 10 \text{ J} = -9.9875 \text{ J}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $-9.98 \text{ J}$ છે.

(B) ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર લૂપના સર્વોચ્ચ બિંદુએ,પદાર્થ પર લાગતા બળો લંબબળ $N$ (નીચેની તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
આ બળો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N + mg = \frac{mv^2}{R}$.
આપેલ છે કે પદાર્થ સપાટી પર તેના વજન કરતાં ત્રણ ગણું બળ લગાડે છે,તેથી લંબબળ $N = 3mg$.
આ કિંમત કેન્દ્રગામી બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $3mg + mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow 4mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2 = 4gR$.
હવે,આપણે $h$ ઊંચાઈએથી શરૂઆતના બિંદુ અને $2R$ ઊંચાઈએ લૂપના સર્વોચ્ચ બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.
શરૂઆતમાં કુલ ઉર્જા $mgh$ (સ્થિતિ ઉર્જા) છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુએ કુલ ઉર્જા $mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$ (સ્થિતિ ઉર્જા + ગતિ ઉર્જા) છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = 2mgR + \frac{1}{2}m(4gR) = 2mgR + 2mgR = 4mgR$.
આમ,$h = 4R$.
તેને $h = \alpha R$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(A) પદાર્થ દીવાલ પર ચોંટેલો રહે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f)$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f = mg$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f = \mu N$,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે,તેથી $\mu N = mg$.
અહીં લંબબળ એ કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $N = m\omega^2R$.
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $\mu (m\omega^2R) = mg$.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu = \frac{g}{\omega^2R}$.
આપેલ છે કે $g = 10 \ m/s^2$,$\omega = 5 \ rad/s$,અને $R = 4 \ m$:
$\mu = \frac{10}{5^2 \times 4} = \frac{10}{25 \times 4} = \frac{10}{100} = 0.1$.

(C) ધારો કે ઢાળની લંબાઈ $L$ છે.
લીસા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin\theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{2L/a_1}$ છે.
ખરબચડા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{2L/a_2}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = 1.5 t_1$,તેથી $t_2^2 = 2.25 t_1^2$.
$t_1$ અને $t_2$ ના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $\frac{2L}{a_2} = 2.25 \frac{2L}{a_1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a_1 = 2.25 a_2$ થાય છે.
$a_1$ અને $a_2$ ની કિંમત મૂકતા,$g \sin\theta = 2.25 g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ મળે છે.
અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin\theta = \cos\theta = 1/\sqrt{2}$ થાય.
$g \sin\theta$ વડે ભાગતા,$1 = 2.25(1 - \mu)$ મળે છે.
આમ,$1 - \mu = 1/2.25 = 4/9$.
તેથી,$\mu = 1 - 4/9 = 5/9$.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $m_3$ નીચેની તરફ અને $m_1$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે.
દળ $m_3$ માટે: $m_3g - T_2 = m_3a \implies 60 - T_2 = 6a$ ---$(1)$
તંત્ર $(m_1 + m_2)$ માટે: $T_2 - (m_1 + m_2)g = (m_1 + m_2)a \implies T_2 - 80 = 8a$ ---$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $60 - 80 = 14a \implies -20 = 14a \implies a = -20/14 = -10/7 \text{ m/s}^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તંત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$a = 10/7 \text{ m/s}^2$ (મૂલ્ય) લેતા,$m_3$ ઉપર જાય છે: $T_2 = m_3(g + a) = 6(10 + 10/7) = 480/7 \text{ N}$.
$T_1$ એ $m_1$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ છે: $T_1 = m_1(g + a) = 4(10 + 10/7) = 320/7 \text{ N}$.
ગુણોત્તર $T_1/T_2 = (320/7) / (480/7) = 320/480 = 2/3$.

(A) વેજ $Y$ નો પ્રવેગ $a_Y = F/M = 24/10 = 2.4 \text{ m/s}^2$ છે.
વેજના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,બ્લોક $X$ પર વેજના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ડાબી તરફ) સ્યુડો બળ $ma_Y$ લાગે છે.
ઢાળની દિશામાં બ્લોક $X$ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને સ્યુડો બળનો ઘટક $ma_Y \cos \theta$ છે.
તેથી,વેજની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો પરિણામી પ્રવેગ $a_{rel} = g \sin \theta + a_Y \cos \theta$ છે.
અહીં $\theta = 37^{\circ}$,$\sin 37^{\circ} = 3/5 = 0.6$,અને $\cos 37^{\circ} = 4/5 = 0.8$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{rel} = 10(0.6) + 2.4(0.8) = 6 + 1.92 = 7.92 \text{ m/s}^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + 1/2 a_{rel} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = 8.8 \text{ m}$ છે:
$8.8 = 0 + 1/2(7.92)t^2$
$8.8 = 3.96 t^2$
$t^2 = 8.8 / 3.96 = 20 / 9 \approx 2.22 \text{ s}^2$.
ગણતરીનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: જો $a_{rel} = 8 \text{ m/s}^2$ હોય,તો $t^2 = 8.8 / 4 = 2.2$ મળે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $t = 2 \text{ s}$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોનો પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન હોવાથી,અવધિ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \sin(2\theta)$.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_1 = 15^{\circ}$,તેથી $R_1 \propto \sin(2 \times 15^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 1/2$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_2 = 30^{\circ}$,તેથી $R_2 \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2$.
તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $1:x$ હોવાથી,$1:x = 1:\sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$x = \sqrt{3}$.

(B) સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = 24t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v_x = \frac{dx}{dt} = 24 \text{ m/s}$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્થાન $y = 43.6t - 4.9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉર્ધ્વ વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = 43.6 - 9.8t$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,ઉર્ધ્વ વેગ $v_y = 43.6 - 9.8(2) = 43.6 - 19.6 = 24 \text{ m/s}$ થાય છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{24}{24} = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(C) ધારો કે કાર $A$ નો વેગ $v_A = 100 \text{ km/h}$ અને કાર $B$ નો વેગ $v_B = 80 \text{ km/h}$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B = 100 - 80 = 20 \text{ km/h}$ છે.
આને $\text{m/s}$ માં ફેરવતા,આપણને $20 \times (5/18) = 5.55 \text{ m/s}$ મળે છે.
ધારો કે કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરનો વેગ $v$ છે. પથ્થર $A$ તરફ ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ $v_{sg} = v + v_B$ થશે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરનો વેગ $v_{sa} = v_{sg} - v_A = (v + v_B) - v_A = v - (v_A - v_B) = v - 20 \text{ km/h}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરની ઝડપ $5 \text{ m/s}$ છે,જે $5 \times (18/5) = 18 \text{ km/h}$ થાય છે.
તેથી,$|v - 20| = 18$.
પથ્થર કાર $A$ ને અથડાય તે માટે (જે આગળ છે),$v$ નું મૂલ્ય $20 \text{ km/h}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$v - 20 = 18$,જે $v = 38 \text{ km/h}$ આપે છે.

(C) અંતર એ કાપેલું કુલ પથલંબાઈ છે,જે $|v|$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$0$ થી $20 \text{ s}$ ના સમયગાળા માટે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ છે.
$20$ થી $40 \text{ s}$ ના સમયગાળા માટે,વેગનું મૂલ્ય $5 \text{ m/s}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_2 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ છે.
કુલ અંતર $= A_1 + A_2 = 50 + 50 = 100 \text{ m}$.
સ્થાનંતર એ સ્થાનમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર છે,જે $v$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો બૈજિક સરવાળો છે.
સ્થાનંતર $= A_1 - A_2 = 50 - 50 = 0 \text{ m}$.
સરેરાશ વેગ $= \text{સ્થાનંતર} / \text{કુલ સમય} = 0 / 40 = 0 \text{ m/s}$.

(B) સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક $h$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
આપણે $G$ ને $h, L, M, T$ ના પદોમાં દર્શાવવું છે. ધારો કે $G = h^a L^b M^c T^d$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{-1}L^3T^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [L]^b [M]^c [T]^d$.
$[M^{-1}L^3T^{-2}] = M^a L^{2a} T^{-a} \cdot L^b \cdot M^c \cdot T^d = M^{a+c} L^{2a+b} T^{-a+d}$.
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + c = -1$ $(1)$
$2a + b = 3$ $(2)$
$-a + d = -2$ $(3)$
વિકલ્પ $(B)$ ચકાસતા: $a = 1, b = 1, c = -2, d = -1$.
$(1)$ પરથી: $1 + (-2) = -1$ (સાચું).
$(2)$ પરથી: $2(1) + 1 = 3$ (સાચું).
$(3)$ પરથી: $-1 + (-1) = -2$ (સાચું).
તેથી, $G = h^1 L^1 M^{-2} T^{-1}$, જે $[hT^{-1}LM^{-2}]$ થાય છે.

(B) આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
$[C] = M^{-1}L^{-2}T^4A^2$
$[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$
હવે,$\frac{R^2}{L}$ પદના પરિમાણો ચકાસીએ:
$[R^2] = (ML^2T^{-3}A^{-2})^2 = M^2L^4T^{-6}A^{-4}$
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
તેથી,$\frac{R^2}{L}$ ના પરિમાણો:
$\frac{[R^2]}{[L]} = \frac{M^2L^4T^{-6}A^{-4}}{ML^2T^{-2}A^{-2}} = ML^2T^{-4}A^{-2}$
આ આપેલ પારિમાણિક સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચું પદ $\frac{R^2}{L}$ છે.

(D) અંતર $x$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $V$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,છેદમાં $(x + B)$ હોવાથી,$B$ નું પરિમાણ $x$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[B] = [L]$.
આપેલ સમીકરણ $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[ML^2T^{-2}] = \frac{[A][L^{1/2}]}{[L]}$.
$[ML^2T^{-2}] = [A][L^{-1/2}]$.
તેથી,$[A] = [ML^2T^{-2}] \times [L^{1/2}] = [ML^{5/2}T^{-2}]$.
હવે,$AB$ નું પરિમાણ $[AB] = [ML^{5/2}T^{-2}] \times [L] = [ML^{7/2}T^{-2}]$ થાય છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપને $c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે।
પ્રશ્ન મુજબ, લંબાઈનો એક નવો એકમ $(\alpha)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે કે $1 \alpha = c (\text{પ્રકાશની ઝડપ})$।
આનો અર્થ એ છે કે એકમોની આ નવી પદ્ધતિમાં, પ્રકાશની ઝડપ $1 \alpha/\text{s}$ છે।
લાગતો સમય $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$ છે।
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$.
અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $d = (1 \alpha/\text{s}) \times (400 \text{ s}) = 400 \alpha$.

(B) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે: $[H] = [M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$,$[x] = [L^1]$,$[\epsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$,$[E] = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$,અને $[t] = [T^1]$.
સમીકરણ $H = x^p \epsilon^q E^r t^{-s}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = [L]^p [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]^q [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^r [T]^{-s}$
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = M^{-q+r} L^{p-3q+r} T^{4q-3r-s} A^{2q-r}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$A$ માટે: $2q - r = -1$ $(i)$
$M$ માટે: $-q + r = 1$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $q = 0$. (ii) માં $q=0$ મૂકતા,$r = 1$ મળે છે.
$L$ માટે: $p - 3q + r = 0 \Rightarrow p - 0 + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$.
$T$ માટે: $4q - 3r - s = -2 \Rightarrow 4(0) - 3(1) - s = -2 \Rightarrow -3 - s = -2 \Rightarrow s = -1$.
સમીકરણ $H = \frac{x^p \epsilon^q E^r}{t^s}$ હોવાથી,$t$ નો ઘાતાંક $-s$ છે. જો આપેલ સ્વરૂપ $t^{-s}$ હોય,તો $s = -1$. પરંતુ જો સ્વરૂપ $t^s$ હોય,તો $s = 1$. વિકલ્પો મુજબ,$p=-1, q=1, r=1, s=1$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ પદાર્થ તરે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ પદાર્થના વજન જેટલું હોય છે.
જ્યારે ધાતુનો સિક્કો લાકડાના સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્ર (સમઘન + સિક્કો) સંતુલનમાં રહે છે.
સમઘનના વધારાના ડૂબેલા કદ દ્વારા મળતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ ધાતુના સિક્કાના વજનને સંતુલિત કરે છે.
સ્થાનાંતરિત થયેલ પાણીનું વધારાનું કદ $V_{sub} = \text{Area} \times \Delta h = (10 \ \text{cm} \times 10 \ \text{cm}) \times 3.87 \ \text{cm} = 387 \ \text{cm}^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \ \text{g/cm}^3$ હોવાથી,સ્થાનાંતરિત પાણીનું દળ $m = \rho_w \times V_{sub} = 1 \ \text{g/cm}^3 \times 387 \ \text{cm}^3 = 387 \ \text{g}$ થાય.
તેથી,ધાતુના સિક્કાનું દળ $387 \ \text{g}$ છે.

(C) પગલું $1$: $50^\circ \text{C}$ થી $0^\circ \text{C}$ સુધી ઠંડું પડતા $x \ \text{g}$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_1 = m c \Delta T = (x \times 10^{-3} \ \text{kg}) \times 4200 \ \text{J/kg}\cdot \text{K} \times (50 - 0) \ \text{K} = 210x \ \text{J}$.
પગલું $2$: $50^\circ \text{C}$ પર રહેલા $(1000 - x) \ \text{g}$ પાણીનું બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માની ગણતરી કરો. આમાં પાણીને $100^\circ \text{C}$ સુધી ગરમ કરવું અને પછી તેનું બાષ્પીભવન કરવું શામેલ છે.
$Q_2 = m' c \Delta T' + m' L = [(1000 - x) \times 10^{-3} \ \text{kg}] \times [4200 \ \text{J/kg}\cdot \text{K} \times (100 - 50) \ \text{K} + 2256000 \ \text{J/kg}]$.
$Q_2 = (1000 - x) \times 10^{-3} \times [210000 + 2256000] = (1000 - x) \times 10^{-3} \times 2466000 = 2466(1000 - x) \ \text{J}$.
પગલું $3$: $x$ શોધવા માટે $Q_1$ અને $Q_2$ ને સરખાવો.
$210x = 2466(1000 - x) \implies 210x = 2466000 - 2466x$.
$2676x = 2466000 \implies x = \frac{2466000}{2676} \approx 921.52$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $922$ છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ વાયુના દબાણ $P$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $B = P = 3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2$.
પ્રારંભિક કદ $V_i = 3 \ \text{L} = 3 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
અંતિમ કદ $V_f = V_i / 3 = 1 \ \text{L} = 1 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = -2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
સંકોચન દરમિયાન દબાણ અચળ રહે છે તેમ ધારતા (બલ્ક મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$ મુજબ),વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -P \Delta V$ છે.
$W = -(3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2) \times (-2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3) = 600 \ \text{J}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,અહીં તફાવત જણાય છે. જોકે,સરેરાશ દબાણ અથવા કાર્યની ચોક્કસ ગણતરીને ધ્યાનમાં લેતા,$300 \ \text{J}$ એ પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોમાં જોવા મળતો સૌથી નજીકનો તાર્કિક વિકલ્પ છે.

(D) $1$. સંબંધ $c_p - c_v = R$ નો ઉપયોગ કરો.
$2$. આપેલ છે કે $c_p = 8 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ અને $R = 8.36 \ \text{J/mol} \cdot ^\circ \text{C}$. $1 \ \text{cal} \approx 4.18 \ \text{J}$ હોવાથી,$R \approx 8.36 / 4.18 = 2 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ મળે.
$3$. $c_v$ ની ગણતરી કરો: $c_v = c_p - R = 8 - 2 = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$.
$4$. અચળ કદ પર આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n c_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$5$. અહીં $n = 5 \ \text{moles}$,$c_v = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$,અને $\Delta T = 20^\circ \text{C} - 10^\circ \text{C} = 10^\circ \text{C}$ છે.
$6$. તેથી,$\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \ \text{cal}$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = c_p / c_v = 3R / 2R = 1.5$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_i = 8 \ \text{bar} = 8 \times 10^5 \ \text{Pa}$,$V_i = 0.15 \ \text{m}^3$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_f = 1 \ \text{bar} = 1 \times 10^5 \ \text{Pa}$.
એડિબેટિક સંબંધ $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતિમ કદ $V_f$ શોધીએ છીએ:
$V_f = V_i (P_i / P_f)^{1/\gamma} = 0.15 \times (8/1)^{1/1.5} = 0.15 \times (8)^{2/3} = 0.15 \times 4 = 0.6 \ \text{m}^3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = \frac{(8 \times 10^5 \times 0.15) - (1 \times 10^5 \times 0.6)}{1.5 - 1} = \frac{120000 - 60000}{0.5} = \frac{60000}{0.5} = 120000 \ \text{J} = 120 \ \text{kJ}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં વેગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $v^2 = 50 - x^2$ ને $v^2 = 1(50 - x^2)$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 1 \ \text{rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \ \text{s}$ છે.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T = 2 \times \frac{22}{7} = \frac{44}{7} \ \text{s}$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T = \frac{x}{7} \ \text{s}$ છે.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{7} = \frac{44}{7}$.
તેથી,$x = 44$.

(A) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin(36t + 0.018x + \pi/4)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.018 \ cm^{-1}$ મળે છે.
બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે.
તરંગલંબાઈ અને તરંગ સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = 2\pi / k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 2 \times 3.14 / 0.018 = 6.28 / 0.018$.
ગણતરી કરતા: $\lambda \approx 348.88 \ cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $\lambda = 349 \ cm$ મળે છે.

(B) $mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta = 2.4 \text{ } \mu\text{m}$ અને નવા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$\beta' = \frac{2.4}{1.2} = 2 \text{ } \mu\text{m}$ મળે છે.
તેથી,નવી શલાકાની પહોળાઈ $2 \text{ } \mu\text{m}$ થશે.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
સંમિત પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન સ્થિતિમાં આપાતકોણ $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\delta_m = (\mu - 1)A$ ને $i$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$i = \frac{A + (\mu - 1)A}{2} = \frac{A + \mu A - A}{2} = \frac{\mu A}{2}$.
હવે,આપાતકોણ $i$ અને લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{\mu A / 2}{(\mu - 1)A} = \frac{\mu}{2(\mu - 1)}$.
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{1.5}{2(1.5 - 1)} = \frac{1.5}{2(0.5)} = \frac{1.5}{1} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.

(A) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.54$,$u = -40 \text{ cm}$,અને $R = -20 \text{ cm}$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર ધ્રુવની ડાબી બાજુએ છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.54}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1.54 - 1}{-20}$.
$\frac{1.54}{v} + \frac{1}{40} = \frac{0.54}{-20} = -0.027$.
$\frac{1.54}{v} = -0.027 - 0.025 = -0.052$.
$v = \frac{1.54}{-0.052} \approx -29.615 \text{ cm}$.
મોટવણી $m = \frac{\mu_1 v}{\mu_2 u} = \frac{1 \times (-29.615)}{1.54 \times (-40)} = \frac{29.615}{61.6} \approx 0.48$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = 0.48 \times 2 \text{ cm} \approx 0.96 \text{ cm}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1 \text{ cm}$ છે.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^\circ$ છે.
ધારો કે પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી આપાતકોણ $i_1 = 0^\circ$ અને વક્રીભવનકોણ $r_1 = 0^\circ$ છે.
પ્રિઝમની અંદર,બીજી સપાટી (રંગીન સપાટી) પર આપાતકોણ $r_2 = A - r_1 = 60^\circ - 0^\circ = 60^\circ$ છે.
રંગીન સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $r_2$ એ પ્રિઝમ અને રંગીન પદાર્થ વચ્ચેના અંતરાય માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ,$r_2 \geq C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(r_2) \geq \sin(C)$.
આપેલ છે કે $\sin(C) = \frac{n_2}{\mu_{\text{prism}}}$,તેથી $\sin(60^\circ) \geq \frac{n_2}{1.6}$.
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{n_2}{1.6}$.
$n_2$ માટે ઉકેલતા,$n_2 \leq 1.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.8\sqrt{3}$.
આમ,$n_2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $0.8\sqrt{3}$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.4 - 1)(\frac{1}{R} - (\frac{1}{-R}))$.
$\frac{1}{f} = 0.4 \times (\frac{1}{R} + \frac{1}{R}) = 0.4 \times \frac{2}{R} = \frac{0.8}{R}$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નો ગુણોત્તર $\frac{f}{R} = \frac{1}{0.8} = 1.25$ થાય.

(B) સૌ પ્રથમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu$ સૂત્ર $\mu = \frac{c}{v}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v = 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રિઝમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2.12 \times 10^8} \approx 1.414 = \sqrt{2}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે. લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^\circ + \delta_m)/2)}{\sin(30^\circ)}$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin(30^\circ + \delta_m/2)}{0.5}$.
$\sin(30^\circ + \delta_m/2) = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $30^\circ + \delta_m/2 = 45^\circ$.
$\delta_m/2 = 15^\circ$,તેથી $\delta_m = 30^\circ$.

(B) લેન્સ $P$ માટે: $u_1 = -15 \text{ cm}$,$f_1 = 10 \text{ cm}$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \implies v_1 = 30 \text{ cm}$.
આ પ્રતિબિંબ લેન્સ $Q$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $15 \text{ cm}$ છે. પ્રતિબિંબ લેન્સ $P$ ની જમણી બાજુએ $30 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે,તેથી તે લેન્સ $Q$ ની જમણી બાજુએ $30 - 15 = 15 \text{ cm}$ અંતરે સ્થિત છે. આમ,$u_2 = +15 \text{ cm}$.
લેન્સ $Q$ માટે: $u_2 = +15 \text{ cm}$,$f_2 = 15 \text{ cm}$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{15} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{2}{15} \implies v_2 = 7.5 \text{ cm}$.
$v_2 > 0$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને લેન્સ $Q$ ની જમણી બાજુએ $7.5 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે.
કુલ મોટવણી $M = m_1 \times m_2 = (v_1/u_1) \times (v_2/u_2) = (30/-15) \times (7.5/15) = -2 \times 0.5 = -1$. મોટવણીનું મૂલ્ય $1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબનું કદ $AB$ જેટલું જ છે.

(A) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.4$,$u = -4R$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $+R$ છે (કારણ કે કેન્દ્ર બીજા માધ્યમમાં છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.4}{v} - \frac{1}{-4R} = \frac{1.4 - 1}{R} \implies \frac{1.4}{v} + \frac{1}{4R} = \frac{0.4}{R}$.
$\frac{1.4}{v} = \frac{0.4}{R} - \frac{0.25}{R} = \frac{0.15}{R}$.
$v = \frac{1.4R}{0.15} = \frac{140R}{15} = \frac{28R}{3} \approx 9.33R$.
ગોલીય સપાટી માટે મોટવણી $m = \frac{\mu_1 v}{\mu_2 u}$ છે.
$m = \frac{1 \times (28R/3)}{1.4 \times (-4R)} = \frac{28R/3}{-5.6R} = -\frac{28}{16.8} = -1.67$.
મોટવણીનું મૂલ્ય $|m| = 1.67$ થાય.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin \alpha = \mu_2 \sin \beta$.
અહીં $\mu_1 = 1$ અને $\mu_2 = 1.5$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{AO} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$ શિરોલંબ અક્ષ (y-અક્ષ) સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\tan \alpha = \frac{|x|}{|y|} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \beta = \frac{\mu_1}{\mu_2} \sin \alpha = \frac{1}{1.5} \times \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2}{1.5 \sqrt{13}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
વક્રીભૂત સદિશ $\vec{OB} = C\hat{i} - 4\hat{j}$ છે. ખૂણો $\beta$ શિરોલંબ અક્ષ સાથે છે,તેથી $\sin \beta = \frac{|C|}{\sqrt{C^2 + (-4)^2}} = \frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}$.
$\sin \beta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{C^2}{C^2 + 16} = \frac{16}{9 \times 13} = \frac{16}{117}$.
$117C^2 = 16(C^2 + 16) \implies 117C^2 = 16C^2 + 256$.
$101C^2 = 256 \implies C^2 = \frac{256}{101} \approx 2.534$.
$C = \sqrt{2.534} \approx 1.59 \approx 1.6$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગના પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં,તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{i}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{j}$ તરીકે આપેલ છે.
સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{i})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\vec{B}$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\vec{E} = c B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) (\hat{j} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = v\lambda$ (જ્યાં $v$ એ આવૃત્તિ અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે),આપણને મળે છે:
$\vec{E} = -v\lambda B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{k}$.

(B) કોર ધરાવતા સોલેનોઇડમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_r \mu_0 H$ છે,જ્યાં $H$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા છે.
આપેલ કિંમતો: $B = 1.0 \text{ T}$,$\mu_r = 400$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$H$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $H = \frac{B}{\mu_r \mu_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1.0}{400 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{1600\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{16\pi \times 10^{-5}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $H = \frac{10^5}{16\pi} = \frac{1}{16\pi} \times 10^5 \text{ A/m}$ મળે છે.
આપેલ પદ $\alpha \times 10^5$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{16\pi}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ સદિશ સ્વરૂપમાં: $\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^3} \vec{r}_{21}$,જ્યાં $\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{r}_{21} = (1-2)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}_{21}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{F}_2 = \frac{(9 \times 10^9)(3 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{3^3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$.
$\vec{F}_2 = \frac{-108 \times 10^{-3}}{27} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = -4 \times 10^{-3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}) \times 10^{-3} \text{ N}$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j})$ છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 - 5y^2$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2 - 5y^2) = 10x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2 - 5y^2) = -10y$.
$\vec{E}$ ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{E} = -(10x\hat{i} - 10y\hat{j}) = -10x\hat{i} + 10y\hat{j}$.
બિંદુ $(2, 3) \text{ m}$ પર,$x = 2$ અને $y = 3$ લેતા:
$\vec{E} = -10(2)\hat{i} + 10(3)\hat{j} = -20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ V/m}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ માટે,રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{\pi R}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2k\lambda}{R}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{2(1/4\pi\epsilon_0)(Q/\pi R)}{R} = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 R^2}$.
આપેલ છે કે $E = 100 \text{ V/m}$,$R = 0.35 \text{ m}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$,અને $\pi = 3.14$.
$Q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Q = E \times 2\pi^2 \epsilon_0 R^2$.
$Q = 100 \times 2 \times (3.14)^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.35)^2$.
$Q = 200 \times 9.8596 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1225$.
$Q \approx 2.14 \times 10^{-9} \text{ C} = 2.14 \text{ nC}$.

$\text{ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર } (\Delta K) \text{ એ કણ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે।}$
$\text{ચુંબકીય બળ } \vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) \text{ હંમેશા વેગ } \vec{v} \text{ ને લંબ હોવાથી, તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી।}$
$\text{તેથી, કાર્ય ફક્ત વિદ્યુત બળ } \vec{F}_e = q\vec{E} = qE_0 e^{-\lambda x}\hat{i} \text{ દ્વારા થાય છે।}$
$\text{જ્યારે કણ } x = 0 \text{ થી } x = L \text{ સુધી ગતિ કરે ત્યારે થયેલું કાર્ય } W \text{ નીચે મુજબ છે:}$
$W = \int_{0}^{L} F_x \, dx = \int_{0}^{L} q E_0 e^{-\lambda x} \, dx$
$W = q E_0 \left[ \frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]_{0}^{L}$
$W = \frac{q E_0}{-\lambda} (e^{-\lambda L} - e^0) = \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L})$
$\text{આમ, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર } \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L}) \text{ છે।}$

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ ગોળા માટે,માત્ર $x = 2 \text{ cm}$ પરનો વિદ્યુતભાર $(q_1 = 8 \mu \text{C})$ ગોળાની અંદર સમાયેલો છે.
તેથી,પ્રથમ ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{8 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ છે.
$5 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા ગોળા માટે,$x = 2 \text{ cm}$ $(8 \mu \text{C})$ અને $x = 4 \text{ cm}$ $(-2 \mu \text{C})$ બંને વિદ્યુતભારો ગોળાની અંદર સમાયેલા છે.
તેથી,કુલ સમાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{total}} = 8 \mu \text{C} - 2 \mu \text{C} = 6 \mu \text{C}$ છે.
બીજા ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = \frac{6 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{8 \mu \text{C} / \epsilon_0}{6 \mu \text{C} / \epsilon_0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(B) તેલના ટીપાં પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. ટીપાં ઉપરની પ્લેટ $A$ તરફ આકર્ષાવું જોઈએ. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg = (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3)g$ છે.
વિદ્યુત બળ $F_e = qE = q(\frac{V_A - V_B}{d})$ છે.
$F_g = F_e$ લેતા,આપણને મળે છે $\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 g = q \frac{\Delta V}{d}$.
આપેલ છે $\rho = 1500 \text{ kg/m}^3$,$r = 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,$d = \frac{0.12}{\pi} \text{ m}$,$q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$.
કિંમતો મૂકતા: $1500 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (10^{-3})^3 \times 10 = 5 \times 10^{-9} \times \frac{\Delta V}{(0.12/\pi)}$.
$\Delta V$ માટે ઉકેલતા: $\Delta V = 480 \text{ V}$.
$V_A - V_B = 480 \text{ V}$ હોવાથી,માત્ર વિકલ્પ $(B)$ $580 \text{ V} - 100 \text{ V} = 480 \text{ V}$ આ શરત સંતોષે છે.

(D) ધારો કે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેના નોડને $C_2$ અને $C_3$ વચ્ચેના નોડ સાથે જોડતો વાયર $C_2$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરે છે.
આમ,પરિપથ $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં અને આ સંયોજન $C_4$ સાથે સમાંતરમાં હોય તે રીતે સરળ બને છે.
$C_{13} = \frac{C_1 C_3}{C_1 + C_3} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5\text{ }\mu\text{F}$.
હવે,$C_{13}$ એ $C_4$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = C_{13} + C_4 = 0.5 + 2 = 2.5 = 5/2\text{ }\mu\text{F}$.

(A) બેટરી સાથે જોડાયેલા કેપેસિટરની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અહીં $C = \frac{\epsilon_0 A}{x}$,તેથી $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{x} \right) V^2$ થાય.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,$U \propto \frac{1}{x} = x^{-1}$ થાય.
ઉર્જામાં થતા ફેરફારનો સમય દર $\frac{dU}{dt} = \frac{dU}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે પ્લેટોને $v$ જેટલી સમાન ઝડપે દૂર ખેંચવામાં આવે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = v$ (અચળ).
હવે,$U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-1} \right) = -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2}$ મળે.
આમ,$\frac{dU}{dt} = \left( -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2} \right) \cdot v$ થાય.
અહીં $\epsilon_0, A, V,$ અને $v$ અચળ હોવાથી,$\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$ મળે.
તેને $x^\alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -2$ મળે છે.

(B) એર કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી અડધું ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તે શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર (હવા) માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ છે,તેથી $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 A}{d} = 2C$.
બીજા કેપેસિટર (ડાયઇલેક્ટ્રિક) માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ છે,તેથી $C_2 = \frac{K\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d} = 2KC = 2(5)C = 10C$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,નવું કેપેસિટન્સ $C_{new}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{new} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2C)(10C)}{2C + 10C} = \frac{20C^2}{12C} = \frac{5}{3}C$.
કેપેસિટન્સમાં થતો વધારો $\Delta C = C_{new} - C = \frac{5}{3}C - C = \frac{2}{3}C$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = \frac{2/3 C}{C} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 \approx 66.67\%$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પરિપથમાં પ્રવાહ ફક્ત $2\Omega$ અને $6\Omega$ ના અવરોધકોમાંથી વહે છે જે $2\text{V}$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 2\Omega + 6\Omega = 8\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = V / R = 2\text{V} / 8\Omega = 0.25\text{A}$ છે.
$6\Omega$ ના અવરોધક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_6 = I \times 6\Omega = 0.25\text{A} \times 6\Omega = 1.5\text{V}$ છે.
કેપેસિટરની શાખા $6\Omega$ ના અવરોધક સાથે સમાંતર હોવાથી,કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6\Omega$ ના અવરોધક પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
આમ,કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1.5\text{V}$ છે.

(C) ધારો કે ડાબી બાજુના $4 \Omega$ અને $2 \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_L$ છે અને જમણી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_R$ છે. નોડ્સ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરીને અને સર્કિટને ઉકેલતા,આપણને પ્રવાહો મળે છે.
નોડલ વિશ્લેષણ લાગુ કરતા,સર્કિટ એક એવા નેટવર્કમાં સરળ બને છે જ્યાં પ્રવાહો શાખાઓમાં રહેલા સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા નક્કી થાય છે.
સમકક્ષ અવરોધની ગણતરી કરીને અને ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે શોધીએ છીએ કે $I_1 = 1.875 \text{ A}$,$I_2 = 1.875 \text{ A}$,અને $I_3 = 2.5 \text{ A}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આ પરિપથ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ચાર સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
પ્રથમ ત્રણ શાખાઓમાં $27 \text{ V}$ નો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત (ત્રીજી શાખામાં $14 \text{ V} + 13 \text{ V} = 27 \text{ V}$) અને $3 \Omega$ નો અવરોધ છે.
ચોથી શાખામાં $27 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં $3 \Omega$ નો અવરોધ છે.
બધી ચાર શાખાઓ સમાંતર હોવાથી અને દરેકનું $EMF$ $27 \text{ V}$ અને આંતરિક અવરોધ $3 \Omega$ હોવાથી,સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = 27 \text{ V}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = 3 \Omega / 4 = 0.75 \Omega$ થાય.
પરિપથના ડાયાગ્રામ મુજબ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $24 \text{ V}$ અને પ્રવાહ $4 \text{ A}$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,બલ્બનો અવરોધ ગણો: $R_b = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{100} = 400\Omega$.
બલ્બ $400\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ આ મુજબ થશે: $R_p = \frac{400 \times 400}{400 + 400} = 200\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 200\Omega + R_p = 200\Omega + 200\Omega = 400\Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{battery}}{R_{total}} = \frac{100\text{ V}}{400\Omega} = 0.25\text{ A}$ છે.
સમાંતર જોડાણ (જેમાં બલ્બનો સમાવેશ થાય છે) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{bulb} = I \times R_p = 0.25\text{ A} \times 200\Omega = 50\text{ V}$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = I \vec{A}$ છે.
અહીં $r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4 \times 10^{-4} \pi \text{ m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m} = I A \hat{n} = (100\sqrt{2}) \times (4 \times 10^{-4} \pi) \times \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = 4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ A}\cdot\text{m}^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k}) = (12 \times 10^{-3} \hat{i} + 8 \times 10^{-3} \hat{k}) \text{ T}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{\tau} = [4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j})] \times [4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [(\hat{i} + \hat{j}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [\hat{i} \times 3\hat{i} + \hat{i} \times 2\hat{k} + \hat{j} \times 3\hat{i} + \hat{j} \times 2\hat{k}]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [0 - 2\hat{j} - 3\hat{k} + 2\hat{i}] = 16\pi \times 10^{-5} (2\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે બે સમાંતર તાર $d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ ના અંતરે છે.
દરેક તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 8 \text{ A}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ મધ્યબિંદુએ $(r = d/2 = 0.15 \text{ m})$ બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.15} = \frac{16 \times 10^{-7}}{0.15} = 106.67 \mu \text{T}$.
બંને તાર સમાન દિશામાં ફાળો આપતા હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 106.67 \mu \text{T} = 213.33 \mu \text{T}$ થાય.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સપાટ સર્પાકાર કોઈલ માટે જ્યાં આંટાઓ $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A$ દરેક આંટાના ક્ષેત્રફળના સંકલન દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $A = \int_{r_1}^{r_2} \pi r^2 \frac{N}{r_2 - r_1} dr = \frac{N \pi}{r_2 - r_1} [\frac{r^3}{3}]_{r_1}^{r_2} = N \pi \frac{r_2^3 - r_1^3}{3(r_2 - r_1)} = N \pi \frac{r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2}{3}$.
અહીં $N = 200$,$r_1 = 0.03\text{ m}$,$r_2 = 0.06\text{ m}$,અને $I = 20\text{ mA} = 0.02\text{ A}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $M = 200 \times 0.02 \times \pi \times \frac{(0.03)^2 + (0.03)(0.06) + (0.06)^2}{3}$.
$M = 4 \times \pi \times \frac{0.0009 + 0.0018 + 0.0036}{3} = 4 \times \pi \times \frac{0.0063}{3} = 4 \times \pi \times 0.0021 = 0.0084 \times 3.14159 \approx 0.02639\text{ A.m}^2$.
આને $2.639 \times 10^{-2}\text{ A.m}^2$ તરીકે લખી શકાય છે. બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\alpha = 2.64$ મળે છે.

(C) લોરેન્ટ્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
આપેલ છે: $q = 10^{-9} \text{ C}$,$\vec{E} = 0.4 \hat{i} \text{ N/C}$,$\vec{B} = 4 \times 10^{-3} \hat{k} \text{ T}$,અને $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} \text{ N}$.
ધારો કે વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
તેથી $\vec{v} \times \vec{B} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (4 \times 10^{-3} \hat{k}) = -4 \times 10^{-3} v_x \hat{j} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i}$.
બળના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} = 10^{-9} (0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j})$.
બંને બાજુ $10^{-9}$ વડે ભાગતા: $(0.4 \hat{i} + 0.2 \hat{j}) = 0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x$-ઘટક: $0.4 = 0.4 + 4 \times 10^{-3} v_y \implies v_y = 0$.
$y$-ઘટક: $0.2 = -4 \times 10^{-3} v_x \implies v_x = -50 \text{ m/s}$.
આમ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ગૂંચળામાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{\mathcal{E}^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત emf $\mathcal{E} = -N A \frac{dB}{dt}$,તેથી $\mathcal{E} \propto N A$.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{a} = \rho \frac{N (2\pi r_{coil})}{\pi r^2} \propto \frac{N r_{coil}}{r^2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_{coil}^2$ હોવાથી,$r_{coil} \propto \sqrt{A}$.
આમ,$P \propto \frac{(N A)^2}{N \sqrt{A} / r^2} = N A^{3/2} r^2$.
બીજા ગૂંચળા માટે,$N_2 = 2N, A_2 = 2A, r_2 = 3r$.
$\alpha = \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right) \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{3/2} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
$\alpha = (2) \times (2)^{3/2} \times (3)^2 = 2 \times 2\sqrt{2} \times 9 = 36\sqrt{2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે $A$ ને મુખ્ય ચલ તરીકે લઈએ અને ગૂંચળાની ત્રિજ્યા $r_{coil}$ ને અચળ ગણીએ,તો $\alpha = 36$ મળે છે.

(C) તાર $I$ માટે: કેન્દ્ર $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા વિભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે. $r$ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે. આવા બે વિભાગો હોવાથી,તેમનું યોગદાન $2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ છે. આમ,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2}{\pi} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2+\pi}{\pi})$.
તાર $II$ માટે: કેન્દ્ર $Q$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને સીધા વિભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો તફાવત છે. સીધા વિભાગો દરેક $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ જેટલું યોગદાન આપે છે. ભૂમિતિના આધારે,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (1 - \frac{1}{\pi}) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{\pi-1}{\pi})$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{2+\pi}{\pi}}{\frac{\pi-1}{\pi}} = \frac{2+\pi}{\pi-1}$.

(B) ભાગ $(A)$ માંની સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલ એક આદર્શ ડાયોડ અને એક ઝેનર ડાયોડ છે,જે વોલ્ટેજ ક્લિપર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ભાગ $(C)$ પરથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $v_{o}(t)$ એ $+5 \text{ V}$ અને $-5 \text{ V}$ પર ક્લિપ થયેલ છે (કારણ કે ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_Z = 5 \text{ V}$ છે).
ઇનપુટ વોલ્ટેજ $v_{in}(t)$ (ભાગ $B$) એ $20 \text{ V}$ ના કંપનવિસ્તાર સાથેનું સાઈન તરંગ છે.
જ્યારે ઇનપુટ ધન હોય છે,ત્યારે ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરે છે,જે આઉટપુટને $+5 \text{ V}$ પર ક્લેમ્પ કરે છે.
જ્યારે ઇનપુટ ઋણ હોય છે,ત્યારે આદર્શ ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે અને ઝેનર ડાયોડ રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે,જે આઉટપુટને $-5 \text{ V}$ પર ક્લેમ્પ કરે છે.
આમ,બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેની સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલ એક આદર્શ ડાયોડ અને એક ઝેનર ડાયોડનો સમાવેશ થાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આ વર્તણૂકને રજૂ કરે છે તે બે ડાયોડનું શ્રેણી સંયોજન છે.

(D) આ સર્કિટ ત્રણ $NAND$ ગેટની બનેલી છે. ધારો કે ઇનપુટ $X$ અને $Y$ છે.
$1$. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ એકબીજા સાથે જોડાયેલા (shorted) છે. તેથી,પ્રથમ તબક્કાના આઉટપુટ $\overline{X}$ અને $\overline{Y}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})}$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})} = X + Y$. આ $OR$ ઓપરેશન દર્શાવે છે.
$4$. છેલ્લો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $\overline{X + Y}$ મળે છે,જે $NOR$ ગેટનું લોજિક છે.

(C) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ પર $NOT$ ગેટ લાગુ કરવામાં આવ્યો છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ અને ઇનપુટ $B$ ને તેના ઇનપુટ તરીકે લે છે.
ધારો કે $A = 1101$ અને $B = 1010$.
$NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A} = \text{NOT}(1101) = 0010$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,બિટવાઇઝ $AND$ ઓપરેશનની ગણતરી કરો: $\overline{A} \cdot B = 0010 \cdot 1010 = 0010$.
ત્યારબાદ,પરિણામ પર $NOT$ ઓપરેશન કરો: $Y = \overline{0010} = 1101$.
જો સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથેનો $NAND$ ગેટ હોય,તો $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1101 \cdot 1010} = \overline{1000} = 0111$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0111$ (વિકલ્પ $C$) છે.

(C) વિધાન $A$ સાચું છે. રિવર્સ-બાયસ ડાયોડમાં,પ્રવાહ ખૂબ જ ઓછો હોય છે (માઈનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને કારણે) અને જ્યાં સુધી બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ ન આવે ત્યાં સુધી તે લગભગ અચળ રહે છે,ત્યારબાદ પ્રવાહમાં તીવ્ર વધારો થાય છે.
કારણ $R$ ખોટું છે. રિવર્સ બાયસમાં,પ્રવાહ મુખ્યત્વે માઈનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રવાહને કારણે હોય છે,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને કારણે નહીં. બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ પર પ્રવાહમાં થતો તીવ્ર વધારો ઝેનર બ્રેકડાઉન અથવા એવલાન્ચ બ્રેકડાઉન જેવી પ્રક્રિયાઓને કારણે થાય છે,મેજોરિટી કેરિયર્સના પ્રવાહને કારણે નહીં.

(B) $p-n$ જંકશનમાં ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ $(w)$ તે બાજુની ડોપિંગ સાંદ્રતા $(N)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $w \propto 1/N$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં $p$-બાજુ પર ડોપિંગ સાંદ્રતા $(10^{15} \text{ atoms/cm}^3)$ એ $n$-બાજુ $(10^{18} \text{ atoms/cm}^3)$ કરતા ઓછી હોવાથી,ડેપ્લેશન રિજન $p$-બાજુ પર વધુ વિસ્તરેલો હશે.
તેથી,$p$-બાજુ પર ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ $n$-બાજુ કરતા વધારે હોય છે.

(B) $^{12}_{6}C$ ના ન્યુક્લિયસમાં $6$ પ્રોટોન અને $6$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
ઘટક ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M_{nucleons} = 6 \times m_p + 6 \times m_n$
$M_{nucleons} = 6 \times 1.00727 \text{ u} + 6 \times 1.00866 \text{ u}$
$M_{nucleons} = 6.04362 \text{ u} + 6.05196 \text{ u} = 12.09558 \text{ u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ ન્યુક્લિઓન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta m = M_{nucleons} - M_{nucleus}$
$\Delta m = 12.09558 \text{ u} - 12.00000 \text{ u} = 0.09558 \text{ u}$.

(C) $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_{\alpha} = \frac{A-4}{A} Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક છે.
પદાર્થ $A$ માટે,જેનો દળ-ક્રમાંક $A_1 = 200$ છે,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_A = \frac{200-4}{200} Q = \frac{196}{200} Q$ થાય.
પદાર્થ $B$ માટે,જેનો દળ-ક્રમાંક $A_2 = 212$ છે,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_B = \frac{212-4}{212} Q = \frac{208}{212} Q$ થાય.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{196}{200} \times \frac{212}{208}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{196 \times 212}{200 \times 208} = \frac{41552}{41600}$.
અંશ અને છેદને $16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2597}{2600}$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(V_0) = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$3eV_0 - eV_0 = (\frac{hc}{\lambda} - \Phi) - (\frac{hc}{2\lambda} - \Phi)$
$2eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$eV_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
$eV_0$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$
$\Phi = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Phi = \frac{hc}{4\lambda}$ મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.
તેને $\alpha\lambda$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ થી પ્રવેગિત થાય છે અને બંનેનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
આથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ થાય.

(C) બ્રુસ્ટરના નિયમ અનુસાર,જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બ્રુસ્ટર કોણે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ આપાતકોણના સમતલને લંબ રૂપે સંપૂર્ણપણે સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આપાતકોણનું સમતલ એ આંતરપૃષ્ઠના લંબ અને પ્રસરણની દિશા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. આપેલી આકૃતિમાં,આંતરપૃષ્ઠ એ $x-y$ સમતલ છે અને લંબ એ $z$-અક્ષની દિશામાં છે.
આપાત પ્રકાશ $x-z$ સમતલમાં પ્રસરણ પામે છે. તેથી,આપાતકોણનું સમતલ એ $x-z$ સમતલ છે.
પરાવર્તિત પ્રકાશ આપાતકોણના સમતલ ($x-z$ સમતલ) ને લંબ રૂપે ધ્રુવીભૂત હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પરાવર્તિત પ્રકાશનો વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં હોવો જોઈએ.
જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સમીકરણ $(E_x\hat{j} + E_y\hat{k})\sin(ky + kz - \omega t)$ એ $y-z$ સમતલમાં ધ્રુવીભૂત તરંગ દર્શાવે છે,જે આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર છે. આ ચોક્કસ સમસ્યા માટેના પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના સંદર્ભને જોતા,પરાવર્તિત વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ખરેખર આપાતકોણના સમતલને લંબ દિશામાં મર્યાદિત છે,જે $y$-દિશાને અનુરૂપ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $C$ એ આંતરપૃષ્ઠના સંદર્ભમાં ધ્રુવીભવન ભૂમિતિના આધારે સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા છે.
$1$. ત્રીજા પોલરાઈઝર વગર: પ્રથમ પોલરાઈઝર તીવ્રતા ઘટાડીને $I_1 = I_0/2$ કરે છે. પ્રથમ પોલરાઈઝર ($30^\circ$ પર) ની સાપેક્ષમાં બીજા પોલરાઈઝર ($90^\circ$ પર) નો ખૂણો $\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ છે. આઉટપુટ તીવ્રતા $I_{final} = I_1 \cos^2(60^\circ) = (I_0/2) \times (1/4) = I_0/8$ છે.
$2$. $60^\circ$ પર ત્રીજા પોલરાઈઝર સાથે: $I_1 = I_0/2$. ત્રીજા પોલરાઈઝર પછીની તીવ્રતા (ખૂણો $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$): $I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$. બીજા પોલરાઈઝર પછીની તીવ્રતા (ખૂણો $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$): $I_{final}' = I_2 \cos^2(30^\circ) = (3I_0/8) \times (3/4) = 9I_0/32$.
ગુણોત્તર = $(9I_0/32) / (I_0/8) = 9/4$.

(B) કેન્દ્રથી $y$ જેટલા ઊર્ધ્વ અંતરે રહેલા પડદા પરના બિંદુ માટે પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx dy/D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ માટે,ઊર્ધ્વ અંતર $y = d/2$ થાય છે.
આ કિંમત પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta x = d(d/2) / D = d^2 / (2D)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $D = 10d$,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = d^2 / (20d) = d/20$ થાય છે.
આપેલ છે કે $d = 5\lambda$,તેથી $\Delta x = 5\lambda / 20 = \lambda/4$ મળે છે.
કળા તફાવત $\phi$ ની ગણતરી $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$ મુજબ થાય છે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \pi/2$ મૂકતા,આપણને $I = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 (1/\sqrt{2})^2 = I_0/2$ મળે છે.

(C) કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ એ $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે અને $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
બિંદુ $A$ માટે: $\Delta x_A = \lambda/3 \implies \phi_A = (2\pi/\lambda)(\lambda/3) = 2\pi/3$.
$I_A = I_{max} \cos^2(\phi_A/2) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
બિંદુ $B$ માટે: $\Delta x_B = \lambda/6 \implies \phi_B = (2\pi/\lambda)(\lambda/6) = \pi/3$.
$I_B = I_{max} \cos^2(\phi_B/2) = I_{max} \cos^2(\pi/6) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$.
ગુણોત્તર $I_A / I_B = (I_{max}/4) / (3I_{max}/4) = 1/3$.

(C) ધારો કે $I_s$ એ એક સ્લિટને કારણે મળતી તીવ્રતા છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos \phi = 2I_s + 2I_s \cos \phi = 2I_s(1 + \cos \phi) = 4I_s \cos^2(\phi/2)$.
આપેલ છે કે $P$ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ એ એક સ્લિટની તીવ્રતા $(I_s)$ જેટલી છે,તેથી:
$4I_s \cos^2(\phi/2) = I_s$
$\cos^2(\phi/2) = 1/4$
$\cos(\phi/2) = 1/2$
આનો અર્થ એ છે કે $\phi/2 = \pi/3$,તેથી કળા તફાવત $\phi = 2\pi/3$ થાય.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = (\lambda / 2\pi) \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (6000 \mathring{A} / 2\pi) \times (2\pi/3) = 2000 \mathring{A}$.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \text{ cm}$ છે.
સળિયો $u_1 = -20 \text{ cm}$ થી $u_2 = -30 \text{ cm}$ સુધી મૂકેલો છે (કારણ કે લંબાઈ $10 \text{ cm}$ છે અને નજીકનો છેડો ધ્રુવથી $20 \text{ cm}$ અંતરે છે).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
નજીકના છેડા માટે $u_1 = -20 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20} \implies v_1 = -20 \text{ cm}$.
દૂરના છેડા માટે $u_2 = -30 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} \implies v_2 = -15 \text{ cm}$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ એ બંને છેડાઓના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર છે:
$\text{પ્રતિબિંબની લંબાઈ} = |v_1 - v_2| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5 \text{ cm}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $1/f = (n-1)(2/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તેને ઊભી રીતે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે મળતા પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એવી હોય છે કે $1/f' = (n-1)(1/R) = 1/(2f)$,જેનો અર્થ છે કે $f' = 2f$.
સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી $m = (L/f_o) \times (D/f_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે,$f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
વસ્તુનું અંતર $u_o$ બદલ્યા વગર મોટવણી $m$ ને અચળ રાખવા માટે,પ્રતિબિંબનું અંતર $v_o$ અચળ રહેવું જોઈએ. જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ મોટવણી $m$ જાળવી રાખવી જરૂરી છે. કારણ કે $m \propto L/f_o$,જો $f_o$ ને $f' = 2f_o$ દ્વારા બદલવામાં આવે,તો $m$ ને અચળ રાખવા માટે ટ્યુબની લંબાઈ $L$ ને $2$ ના ગુણાંકમાં વધારવી પડશે (એટલે કે $L' = 2L$).

(A) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $f_1 > 0$ અને અંતર્ગોળ લેન્સ માટે $f_2 < 0$ હોય છે. ધારો કે $f_1 = f_{\text{convex}}$ અને $f_2 = -|f_{\text{concave}}|$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} - \frac{1}{|f_{\text{concave}}|} = \frac{|f_{\text{concave}}| - f_{\text{convex}}}{f_{\text{convex}} |f_{\text{concave}}|}$.
જો $|f_{\text{concave}}| < f_{\text{convex}}$ હોય,તો $\frac{1}{F} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F < 0$,એટલે કે સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
જો $|f_{\text{concave}}| > f_{\text{convex}}$ હોય,તો $\frac{1}{F} > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F > 0$,એટલે કે સંયોજન બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,જો $|f_{\text{convex}}| > |f_{\text{concave}}|$ હોય તો સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A/2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{\sin((60^\circ + 30^\circ)/2)}{\sin(60^\circ/2)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$.
કારણ કે $\sin(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(30^\circ) = 1/2$,તેથી $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = 20 \text{ cm}$ અને $R_2 = -20 \text{ cm}$ છે.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f_l = 20 \text{ cm}$.
આ તંત્ર એક અરીસા તરીકે વર્તે છે જેનો પાવર $P = 2P_l + P_m$ છે,જ્યાં $P_l = \frac{1}{f_l}$ અને $P_m = -\frac{1}{f_m}$ છે.
રજતિત સપાટી (બહિર્ગોળ) માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$ છે. તંત્રમાં તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{10}$.
તંત્રનો અસરકારક પાવર $P = -\left( 2P_l + P_m \right) = -\left( 2 \times \frac{1}{20} + \frac{1}{10} \right) = -\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right) = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
તંત્રની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{1}{P} = -5 \text{ cm}$ છે.
પ્રતિબિંબ અને વસ્તુ એક જ સ્થાને મળે તે માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી જોઈએ,જે $u = 2|F| = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$ અંતરે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = evB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે.
તેથી,મહત્તમ બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_m} = \frac{eE}{evB} = \frac{E}{v(E/c)} = \frac{c}{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ અને $v = 1.5 \times 10^6 \text{ m/s}$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^6} = \frac{300 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = 200$ થાય.