JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ઉર્જા $E = -\frac{GM_E m}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપવાની જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_f - E_i$ છે.
$\Delta E = \left( -\frac{GM_E m}{2(3R_E)} \right) - \left( -\frac{GM_E m}{2(1.5R_E)} \right)$
$\Delta E = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{1}{1.5} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{6R_E}$.
સંબંધ $g = \frac{GM_E}{R_E^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM_E = gR_E^2$ મળે છે.
આ કિંમતને $\Delta E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta E = \frac{gR_E^2 m}{6R_E} = \frac{1}{6} mgR_E$.
અહીં $m = 100 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $R_E = 6 \times 10^6 \ m$ આપેલ છે:
$\Delta E = \frac{1}{6} \times 100 \times 10 \times 6 \times 10^6 = 1000 \times 10^6 \ J$.
તેને $\alpha \times 10^6 \ J$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1000$ મળે છે.

(D) દોરી પર તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $T = 500 \ N$,$L_A = 2.5 \ m$,$L_B = 1.5 \ m$,$\mu_A = 2 \times 10^{-4} \ kg/m$,અને $\mu_B = 4 \times 10^{-4} \ kg/m$.
દોરી $A$ માં ઝડપ $v_A = \sqrt{500 / (2 \times 10^{-4})} = 500 \sqrt{2} \ m/s$ છે.
દોરી $B$ માં ઝડપ $v_B = \sqrt{500 / (4 \times 10^{-4})} = 500 \sqrt{0.5} \ m/s$ છે.
પલ્સને જોઈન્ટ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = L/v$ છે.
$t_1 = L_A / v_A$ અને $t_2 = L_B / v_B$.
તેથી,$t_1 / t_2 = (L_A/v_A) / (L_B/v_B) = (L_A/L_B) \times \sqrt{\mu_A/\mu_B} = (2.5/1.5) \times \sqrt{(2 \times 10^{-4}) / (4 \times 10^{-4})} = (5/3) \times \sqrt{0.5} = 1.666 \times 0.707 \approx 1.18$.

(B) આપેલ છે: $30^{\circ} C$ તાપમાને કુલ લંબાઈ $L = 120 \ cm$. બંને સળિયાની લંબાઈ સમાન હોવાથી,દરેક સળિયા માટે $\ell_0 = 60 \ cm$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 30^{\circ} C = 70^{\circ} C$.
એલ્યુમિનિયમ માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_A = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_S = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
સંયુક્ત સળિયાની અંતિમ લંબાઈ એ વ્યક્તિગત સળિયાઓની અંતિમ લંબાઈનો સરવાળો છે:
$\ell_{\text{final}} = \ell_0(1 + \alpha_A \Delta T) + \ell_0(1 + \alpha_S \Delta T)$
$\ell_{\text{final}} = \ell_0 [2 + (\alpha_A + \alpha_S) \Delta T]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (24 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (36 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + 0.00252] = 120 + 0.1512 = 120.1512 \ cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,લંબાઈ $120.15 \ cm$ મળે છે.

(B) એક દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,સળિયો બાકી રહેલી દોરીના આધાર બિંદુની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે. આ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા વજન $mg$ ને કારણે છે,જે આધાર બિંદુથી $l/2$ અંતરે છે.
$\tau = mg \cdot \frac{l}{2}$
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{3}$ એ સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષે જડત્વની આઘૂર્ણ છે:
$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2l}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a_c = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ દ્વારા મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg - T = m a_c$
$T = mg - m \left(\frac{3g}{4}\right)$
$T = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4}$

(D) પિચ (Pitch) એટલે એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં સ્ક્રૂ દ્વારા કાપેલું અંતર.
અહીં આપેલ છે કે $5$ પરિભ્રમણ = $2.5 \text{ mm}$.
તેથી,પિચ = $\frac{2.5 \text{ mm}}{5} = 0.5 \text{ mm}$.
સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Least Count} = \frac{\text{Pitch}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલના કુલ વિભાગો}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Least Count} = \frac{0.5 \text{ mm}}{100} = 0.005 \text{ mm}$.
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,આ $5 \times 10^{-3} \text{ mm}$ થાય છે.

(B) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $512$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 512r^3$ મળે,તેથી $r = \frac{R}{8}$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T(A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) = T(512 \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = \frac{R}{8}$ મૂકતા,$\Delta U = 4\pi T (512 \times (\frac{R}{8})^2 - R^2) = 4\pi T (8R^2 - R^2) = 28\pi T R^2$ મળે.
અહીં $D = 2 \text{ mm}$ આપેલ છે,તેથી $R = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ અને $T = 0.08 \text{ N/m}$.
$\Delta U = 28 \times 3.14159 \times 0.08 \times (10^{-3})^2 \approx 7.036 \times 10^{-6} \text{ J}$.
$\alpha \times 10^{-6} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha$ નું મૂલ્ય આશરે $7$ મળે છે.

(D) ધારો કે $T_1$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે.
પ્રથમ તાપમાન ફેરફાર $T_1$ થી $T_2$ માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_1 = L_0 \alpha (T_2 - T_1) = L_0 \alpha \Delta T$ છે.
$T_2$ તાપમાને પટ્ટીની લંબાઈ $L_2 = L_0 + \Delta L_1 = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ થાય.
બીજા તાપમાન ફેરફાર $T_2$ થી $T_3$ માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_2 = L_2 \alpha (T_3 - T_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_3 + T_1 = 2T_2$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $T_3 - T_2 = T_2 - T_1 = \Delta T$.
$\Delta L_2$ ના સમીકરણમાં $L_2$ અને $(T_3 - T_2)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta L_2 = [L_0(1 + \alpha \Delta T)] \alpha \Delta T = (L_0 \alpha \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)$.
કારણ કે $\Delta L_1 = L_0 \alpha \Delta T$,તેથી આપણને $\Delta L_2 = \Delta L_1(1 + \alpha \Delta T)$ મળે છે.

(B) માત્ર રોટેશનલ મોડ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ રોટેશનલ) છે. તેથી,$C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 1.2 = 24.9 \text{ J}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = P(A \Delta x)$.
અહીં $P = 10^5 \text{ Pa}$,$A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,અને $\Delta x = 25 \times 10^{-3} \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = 10^5 \times 4 \times 10^{-4} \times 25 \times 10^{-3} = 1 \text{ J}$.
કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W = 24.9 + 1 = 25.9 \text{ J}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$25 \text{ J}$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(B) જમણી બાજુનો ભાગ એડિઆબેટિક સંકોચન અનુભવે છે કારણ કે પિસ્ટન એડિઆબેટિક અને ઘર્ષણરહિત છે.
એડિઆબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.5 = 3/2$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P, V_1 = 9)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(P_2 = \frac{27}{8}P, V_2)$ છે.
પિસ્ટન ઘર્ષણરહિત હોવાથી,સંતુલન સમયે બંને બાજુનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ. તેથી,જમણી બાજુનું અંતિમ દબાણ પણ $\frac{27}{8}P$ થશે.
એડિઆબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P(9)^{3/2} = \frac{27}{8}P(V_2)^{3/2}$.
$(9)^{3/2} = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$27 = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$V_2^{3/2} = 8$.
$V_2 = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4 \text{ litres}$.

(B) આપેલ સંબંધ $P = P_o(1 + \frac{V_o^2}{V^2})^{-1} = \frac{P_o V^2}{V^2 + V_o^2}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$,તેથી $T = \frac{PV}{nR}$.
નમૂના $A$ માટે: $V_A = V_o$,તેથી $P_A = \frac{P_o V_o^2}{V_o^2 + V_o^2} = \frac{P_o}{2}$.
$T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{(P_o/2) V_o}{2R} = \frac{P_o V_o}{4R}$.
નમૂના $B$ માટે: $V_B = 3V_o$,તેથી $P_B = \frac{P_o (3V_o)^2}{(3V_o)^2 + V_o^2} = \frac{9P_o V_o^2}{10V_o^2} = \frac{9P_o}{10}$.
$T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{(9P_o/10) (3V_o)}{2R} = \frac{27 P_o V_o}{20R}$.
હવે,તફાવત $T_B - T_A = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{P_o V_o}{4R} = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{5 P_o V_o}{20R} = \frac{22 P_o V_o}{20R} = \frac{11 P_o V_o}{10R}$.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ અને અચળ કદ માટે $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R)\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,થયેલ કાર્ય $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = n(\frac{7}{2}R - \frac{5}{2}R)\Delta T = n(\frac{2}{2}R)\Delta T = nR \Delta T$ છે.
તેથી,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W$ નો ગુણોત્તર $\frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ થાય છે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$,આ કિંમત મૂકતા $\Delta U = \frac{nR}{\gamma - 1}(T_f - T_i)$ મળે છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે. અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_v = \frac{fR}{2}$ છે અને અચળ દબાણ પર $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ છે. તેથી,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે અને $f$ ના સંદર્ભમાં $\gamma$ ની વ્યાખ્યા એ વિધાન $I$ માં વ્યક્ત કરેલા સમીકરણને તારવવા માટેનો પાયાનો ગુણધર્મ છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{avg} = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે $KE_{avg}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,જો $H_2$ અને $O_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા સમાન હોય,તો તેમનું તાપમાન સમાન હોવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
$H_2$ $(2 \ g/mol)$ અને $O_2$ $(32 \ g/mol)$ ના મોલર દળ $M$ અલગ-અલગ હોવાથી,સમાન તાપમાને પણ તેમની $v_{rms}$ કિંમતો અલગ-અલગ હશે. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે $CO_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_1$ છે અને $O_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જ્યાં $n = n_1 + n_2$.
આપેલ છે: $P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$,$V = 8310 \text{ cm}^3 = 8.31 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$T = 300 \text{ K}$,$R = 8.31 \text{ J/mol.K}$.
કુલ મોલની ગણતરી $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT} = \frac{10^5 \times 8.31 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \text{ mol}$.
કુલ દળ $m = M_1 n_1 + M_2 n_2 = 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2 \text{ g}$ છે.
આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$1) n_1 + n_2 = 0.333$
$2) 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$n_2 = 0.333 - n_1$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$44 n_1 + 32(0.333 - n_1) = 13.2$
$44 n_1 + 10.656 - 32 n_1 = 13.2$
$12 n_1 = 2.544$
$n_1 = 0.212 \approx 0.21 \text{ mol}$.
$n_2 = 0.333 - 0.212 = 0.121 \approx 0.12 \text{ mol}$.
આમ,$CO_2$ અને $O_2$ ના મોલની સંખ્યા અનુક્રમે $0.21$ અને $0.12$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે.
શરૂઆતની સ્થિતિ $x = A$ પર,આપણી પાસે $A = A \cos(\omega t_1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t_1) = 1$,તેથી $t_1 = 0$.
સ્થિતિ $x = A/\sqrt{2}$ પર,આપણી પાસે $A/\sqrt{2} = A \cos(\omega t_2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\cos(\omega t_2) = 1/\sqrt{2}$ થાય છે.
આના પરથી $\omega t_2 = \pi/4$ મળે છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ $T = 5 \text{ sec}$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi/T = 2\pi/5 \text{ rad/sec}$ થાય.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(2\pi/5) t_2 = \pi/4$ મળે છે.
$t_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_2 = (5 \times \pi) / (4 \times 2\pi) = 5/8 \text{ sec}$ મળે છે.
$x = A$ થી $x = A/\sqrt{2}$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 5/8 - 0 = 5/8 \text{ sec}$ છે.

(C) તકતી ભૌતિક લોલક તરીકે દોલનો કરે છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પીવટ પોઈન્ટ સુધીનું અંતર છે.
ધાર $A$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પીવટ પોઈન્ટ $A$ સુધીનું અંતર $d = R$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.

(A) વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 50a \cos(50t + \frac{\pi}{3})$.
કણ સ્થિર થાય તે માટે,$v = 0$. તેથી,$\cos(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$. પ્રથમ ધન કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $50t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,જે $50t = \frac{\pi}{6}$ આપે છે,તેથી $t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = -2500a \sin(50t + \frac{\pi}{3})$.
શૂન્ય પ્રવેગ માટે,$a_{acc} = 0$. તેથી,$\sin(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$. પ્રથમ ધન કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $50t + \frac{\pi}{3} = \pi$,જે $50t = \frac{2\pi}{3}$ આપે છે,તેથી $t_2 = \frac{2\pi}{150} = \frac{\pi}{75} \text{ s}$.
તેથી,$t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$ અને $t_2 = \frac{\pi}{75} \text{ s}$ છે.

(D) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 5 \cos(200\pi t - \frac{\pi x}{150})$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{150} \text{ rad/cm}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{200\pi}{\pi/150} = 200 \times 150 = 30000 \text{ cm/s}$.
વેગને m/s માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગાકાર કરીશું: $v = \frac{30000}{100} = 300 \text{ m/s}$.

(B) પદ $\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે,જે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[ML^2 T^{-2}]$.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[L^3]$.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર = $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -1$,અને $c = -2$ મળે છે.
હવે,$2a - b + c$ નું મૂલ્ય ગણતા:
$2(1) - (-1) + (-2) = 2 + 1 - 2 = 1$.

(D) ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ ની ગણતરી $R = V/I$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
અહીં $V = 10 \text{ V}$ અને $I = 5 \text{ A}$ આપેલ છે,તેથી $R = 10 / 5 = 2 \text{ } \Omega$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ છે.
લઘુત્તમ માપન આપેલ છે: $\Delta V = 500 \text{ mV} = 0.5 \text{ V}$ અને $\Delta I = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta R = R \times (\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I})$
$\Delta R = 2 \times (\frac{0.5}{10} + \frac{0.2}{5})$
$\Delta R = 2 \times (0.05 + 0.04)$
$\Delta R = 2 \times (0.09) = 0.18 \text{ } \Omega$.

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = N A_2 v_2$.
અહીં,$A_1 = 30 \text{ cm}^2 = 3000 \text{ mm}^2$,$v_1 = 50 \text{ cm/s}$,$N = 10$,અને $A_2 = 15 \text{ mm}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3000 \text{ mm}^2 \times 50 \text{ cm/s} = 10 \times 15 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$150000 \text{ mm}^2 \cdot \text{cm/s} = 150 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$v_2 = \frac{150000}{150} \text{ cm/s} = 1000 \text{ cm/s}$.
$SI$ એકમોમાં રૂપાંતર કરતા: $v_2 = 1000 \text{ cm/s} = 10 \text{ m/s}$.

(B) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા હવાના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2 r^2 g (\rho_l - \rho_g)}{9 \eta}$.
હવાની ઘનતા $\rho_g$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય હોવાથી,આપણે $\rho_l = 2000 \text{ kg/m}^3$ લઈશું.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 2 \text{ mm} \implies r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$,$v = 0.5 \text{ cm/s} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m/s}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\eta = \frac{2 r^2 g \rho_l}{9 v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 10 \times 2000}{9 \times 0.5 \times 10^{-2}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 20000}{4.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.04}{0.045} \approx 0.888 \text{ Pa.s}$.
$1 \text{ Pa.s} = 10 \text{ Poise}$ હોવાથી,$\eta = 0.888 \times 10 = 8.88 \text{ Poise}$.

(D) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે. પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \text{ m/s}$ છે (ફુગ્ગા જેટલો જ).
જ્યારે પથ્થર જમીન પર અથડાય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -75 \text{ m}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g = -10 \text{ m/s}^2$:
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 5 \text{ s}$.
આ સમય દરમિયાન,ફુગ્ગો $10 \text{ m/s}$ ના અચળ વેગથી ઉપર જવાનું ચાલુ રાખે છે.
ફુગ્ગા દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ વધારાની ઊંચાઈ $h = v \times t = 10 \text{ m/s} \times 5 \text{ s} = 50 \text{ m}$ છે.
જ્યારે પથ્થર જમીન પર અથડાય ત્યારે ફુગ્ગાની કુલ ઊંચાઈ $75 \text{ m} + 50 \text{ m} = 125 \text{ m}$ થશે.

(B) પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,આપણે મૂળભૂત અચળાંકો $h$,$G$,અને $c$ ના આધારે પ્લાન્ક એકમો વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$1$. પ્લાન્ક લંબાઈ $(L)$ $l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $A-IV$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્લાન્ક સમય $(S)$ $t_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $B-II$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. પ્લાન્ક દળ $(M)$ $m_p = \sqrt{\frac{hc}{G}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $C-I$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. બાકી રહેલ વિકલ્પ $D$ એ $III$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-II, C-I, D-III$ છે.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,આપણે ઘનફળને વ્યાસના પદમાં $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{\pi}{6} D^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta D}{D}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વ્યાસના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 2\%$ છે.
તેથી,ઘનફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100) = 3 \times 2\% = 6\%$ થશે.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે।
સંયોજન દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R^3 = 8r^3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $R = 2r$.
આઠ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = 8 \times (4 \pi r^2 S) = 32 \pi r^2 S$ છે।
મોટા ટીપાંની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (2r)^2 S = 16 \pi r^2 S$ છે।
આ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી પૃષ્ઠ ઊર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 32 \pi r^2 S - 16 \pi r^2 S = 16 \pi r^2 S$ છે।

(B) પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $H$ માંથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો સમક્ષિતિજ વિસ્તાર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
ક્ષમતા $V = 528 \text{ dm}^3 = 0.528 \text{ m}^3$.
$V = \pi r^2 H$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$0.528 = \pi (0.4)^2 H$.
$H = \frac{0.528}{0.16 \pi} \approx 105 \text{ cm}$.
છિદ્રની ઊંડાઈ $h = 70 \text{ cm}$.
પાત્રના તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ $H - h = 105 - 70 = 35 \text{ cm}$.
પાત્ર $105 \text{ cm}$ ઊંચા બ્લોક પર હોવાથી,જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $35 \text{ cm}$ છે.
સમક્ષિતિજ વિસ્તાર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ સૂત્ર મુજબ,$R = 2\sqrt{70(35)} = 2\sqrt{2450} = 140\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 600 \text{ kg/m}^3$,ક્ષેત્રફળ $A_A = 1.0 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$,ક્ષેત્રફળ $A_B = 20 \text{ mm}^2$,વેગ $v_A = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$.
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_A v_A = A_B v_B$.
$100 \times 0.1 = 20 \times v_B \Rightarrow v_B = 0.5 \text{ m/s}$.
સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$.
દબાણનો તફાવત $P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 600 \times (0.5^2 - 0.1^2) = 300 \times (0.25 - 0.01) = 300 \times 0.24 = 72 \text{ Pa}$.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$\sigma$ એ વાયુની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે.
અહીં $v_t \propto r^2$ હોવાથી,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{r^2}$ મળે,જ્યાં $R$ એ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાને $n = 64$ સમાન નાના ટીપાંમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 64r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow \frac{R}{r} = 4$.
વેગના ગુણોત્તરમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (4)^2 = 16$.

(B) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો: $D = 0.08 \text{ cm}, \Delta D = 0.001 \text{ cm}, L = 150 \text{ cm}, \Delta L = 0.1 \text{ cm}, \Delta L_{ext} = 0.5 \text{ cm}, \Delta(\Delta L_{ext}) = 0.001 \text{ cm}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0.1}{150} + 2\left(\frac{0.001}{0.08}\right) + \frac{0.001}{0.5} = 0.000667 + 0.025 + 0.002 = 0.027667$.
$Y$ ની ગણતરી કરતા: $Y = \frac{4 \times 100 \times 150}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})} \approx 5.968 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
નિપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta Y = Y \times \frac{\Delta Y}{Y} = 5.968 \times 10^{11} \times 0.027667 \approx 1.65 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
$\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16.5$ મળે છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $\alpha = 1.65$ સાચો જવાબ છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ અને કદના વિકૃતિ $-\frac{\Delta V}{V}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ મળે છે.
અહીં $\Delta P = 6.3 \times 10^7 \text{ N/m}^2$ અને $B = 2.1 \times 10^9 \text{ N/m}^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{6.3 \times 10^7}{2.1 \times 10^9} = 3 \times 10^{-2} = 0.03$.
ટકાવારી ઘટાડો શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણાકાર કરો: $0.03 \times 100 = 3\%$.

(D) દોરીમાં થતું વિસ્તરણ $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
દોરી $A$ માટે,આધારિત કુલ દળ $M + 2M = 3M$ છે,તેથી તણાવ $F_A = 3Mg$.
દોરી $B$ માટે,આધારિત દળ $2M$ છે,તેથી તણાવ $F_B = 2Mg$.
આપેલ છે: $A_A = A_B = A$,$L_A/L_B = 2$,અને $Y_A/Y_B = 0.5$.
$A$ માં વિસ્તરણ $\Delta L_A = \frac{F_A L_A}{A Y_A} = \frac{3Mg L_A}{A Y_A}$ છે.
$B$ માં વિસ્તરણ $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A Y_B} = \frac{2Mg L_B}{A Y_B}$ છે.
વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \cdot \left( \frac{Y_B}{Y_A} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \cdot (2) \cdot \left( \frac{1}{0.5} \right) = 3 \cdot 2 = 6$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના ભૌમિતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો ત્રિજ્યા અને લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે તો પણ,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસને $\text{Stress} = \frac{F_{max}}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_{max} = \text{Stress} \times A$.
નીચેના તાર માટે:
$F_L = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.004 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 480 \text{ N}$.
નીચેના તાર દ્વારા આધારિત વજન $(m_{pan} + 10)g = 480 \text{ N}$ છે.
$(m_{pan} + 10) \times 10 = 480 \Rightarrow m_{pan} + 10 = 48 \Rightarrow m_{pan} = 38 \text{ kg}$.
ઉપરના તાર માટે:
$F_U = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.008 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 960 \text{ N}$.
ઉપરના તાર દ્વારા આધારિત વજન $(m_{pan} + 10 + 30)g = 960 \text{ N}$ છે.
$(m_{pan} + 40) \times 10 = 960 \Rightarrow m_{pan} + 40 = 96 \Rightarrow m_{pan} = 56 \text{ kg}$.
બંને તાર સુરક્ષિત રહે તે માટે,આપણે નાનું દળ પસંદ કરવું જોઈએ,જે $38 \text{ kg}$ છે.

(A) તારે લિફ્ટનું વજન અને પ્રવેગને કારણે લાગતું વધારાનું બળ સહન કરવું પડે છે. તારમાં તણાવ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રતિબળ $\sigma = 4 \times 10^8 \text{ N/m}^2$,દળ $m = 1600 \text{ kg}$,ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (4 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
તાર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T = \sigma \times A = (4 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 20096 \text{ N}$.
ગતિના સમીકરણ $T = m(g + a)$ નો ઉપયોગ કરતા,$20096 = 1600(10 + a)$.
બંને બાજુ $1600$ વડે ભાગતા,$10 + a = \frac{20096}{1600} = 12.56$.
તેથી,$a = 12.56 - 10 = 2.56 \text{ m/s}^2$.

(C) લંબાઈમાં થતા વધારાનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
તાર એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને તણાવ હેઠળ હોવાથી,બંને તાર પર લાગતું બળ $F$ સમાન છે.
આપેલ છે કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$\frac{L_A}{Y_A} = \frac{L_B}{Y_B} \Rightarrow \frac{L_B}{L_A} = \frac{Y_B}{Y_A}$.
યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{20}{11}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{11}{20}$ થાય.
તાર $A$ ની લંબાઈ $L_A = 2.2\text{ m}$ મૂકતા:
$L_B = L_A \times \frac{11}{20} = 2.2 \times \frac{11}{20} = \frac{24.2}{20} = 1.21\text{ m}$.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ છે.
અહીં,બળ $F$ એ ભાર $W$ જેટલું છે.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે એક બિંદુ પસંદ કરી શકીએ: $W = 60\text{ N}$ અને $\Delta l = 6 \times 10^{-4}\text{ m}$.
આપેલ કિંમતો છે: લંબાઈ $L = 1\text{ m}$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-5}\text{ m}^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{60 \times 1}{10^{-5} \times 6 \times 10^{-4}}$
$Y = \frac{60}{6 \times 10^{-9}}$
$Y = 10 \times 10^9 = 1.0 \times 10^{10}\text{ N/m}^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) અનંત અંતરેથી પૃથ્વીની સપાટી પર પડતા પદાર્થનો વેગ એ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલો હોય છે,$v_e = \sqrt{2gR}$.
અહીં $g = 9.8\text{ m/s}^2$ અને $R = 6400\text{ km} = 6.4 \times 10^6\text{ m}$ આપેલ છે.
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{125.44 \times 10^6} = 11.2 \times 10^3\text{ m/s} = 11.2\text{ km/s}$.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$m = 1\text{ kg}$ અને $v = 11.2 \times 10^3\text{ m/s}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 1 \times (11.2 \times 10^3)^2 = 0.5 \times 125.44 \times 10^6 = 62.72 \times 10^6\text{ J} = 6.27 \times 10^7\text{ J}$.

(B) ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $d = 16 \text{ km}$ ઊંડાઈથી $h = 16 \text{ km}$ ઊંચાઈ પર જઈ રહ્યા છીએ.
$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g = g_h - g_d = g(1 - \frac{2h}{R}) - g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta g = g(1 - \frac{2 \times 16}{6400}) - g(1 - \frac{16}{6400}) = g(1 - \frac{32}{6400} - 1 + \frac{16}{6400}) = g(-\frac{16}{6400}) = -\frac{g}{400}$.
ટકાવારી ફેરફાર $\alpha = |\frac{\Delta g}{g}| \times 100 = |-\frac{1}{400}| \times 100 = 0.25 \%$ થાય.
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $0.25$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_i = R_e$ છે. તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R_e}$ છે.
સપાટીથી $h = 2R_e$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_f = R_e + 2R_e = 3R_e$ છે. તેથી,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{3R_e}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R_e} - (-\frac{GMm}{R_e}) = GMm(\frac{1}{R_e} - \frac{1}{3R_e}) = GMm(\frac{2}{3R_e})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ હોવાથી,$GM = gR_e^2$ થાય.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = (gR_e^2)m(\frac{2}{3R_e}) = \frac{2}{3}mgR_e$ મળે છે.

(B) ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
નાના ભાગનું દળ $m_1 = \frac{M}{8}$. કારણ કે $\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{m_1}{\frac{4}{3}\pi r^3}$,તેથી $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{M/8}{\frac{4}{3}\pi r^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{8} \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
$I_1$ (ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા) $= \frac{2}{5}m_1r^2 = \frac{2}{5}(\frac{M}{8})(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{M R^2}{80}$.
મોટા ભાગનું દળ $m_2 = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$.
$I_2$ (તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા) $= \frac{m_2 R_D^2}{4}$,જ્યાં $R_D = 2R$.
$I_2 = \frac{(\frac{7M}{8})(2R)^2}{4} = \frac{(\frac{7M}{8})(4R^2)}{4} = \frac{7M R^2}{8}$.
ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{7M R^2 / 8}{M R^2 / 80} = \frac{7}{8} \times 80 = 70$.

(D) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = \frac{v_0}{R}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = kmR^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(kmR^2)(\frac{v_0}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2(1+k)$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સ્થિતિઊર્જા $U_f = mgh$ છે.
$K_i = U_f$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_0^2(1+k) = mgh$.
આમ,$h = \frac{v_0^2(1+k)}{2g}$.
આપેલ છે કે $h = \frac{7v_0^2}{10g}$,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v_0^2(1+k)}{2g} = \frac{7v_0^2}{10g} \Rightarrow 1+k = \frac{14}{10} = 1.4 \Rightarrow k = 0.4$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે,તેથી $k = 0.4$.
તેથી,તે વસ્તુ નક્કર ગોળો છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 1200\text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi\text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi\text{ rad/s}^2$.
નક્કર ગોળાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 5 \times (0.04\text{ m})^2 = 2 \times 0.0016 = 0.0032\text{ kg m}^2$.
લાગુ પાડેલ ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.0032 \times 4\pi = 0.0128\pi\text{ Nm}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 40\pi(10) + \frac{1}{2}(-4\pi)(10)^2 = 400\pi - 200\pi = 200\pi\text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$.

(A) ધારો કે મધ્યબિંદુ $p$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. $2 \text{ kg}$ અને $3 \text{ kg}$ ના દળ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \times 10 \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m}$ છે.
તેથી,$2 \text{ kg}$ નું દળ $(-5\sqrt{3}, 0)$ પર અને $3 \text{ kg}$ નું દળ $(5\sqrt{3}, 0)$ પર છે.
$15 \text{ kg}$ નું દળ $(0, 10 \cos(60^\circ)) = (0, 5)$ પર છે.
$X_{cm} = \frac{2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3}) + 15(0)}{2 + 3 + 15} = \frac{5\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{2(0) + 3(0) + 15(5)}{2 + 3 + 15} = \frac{75}{20} = 3.75$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$x$-યામ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને રેતીનું અવરોધક બળ $(F_{avg})$ છે.
દડાનું કુલ સ્થાનાંતર $H + d$ છે,જ્યાં $H = 10 \text{ m}$ અને $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય + રેતી દ્વારા થયેલું કાર્ય = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર
$mg(H + d) - F_{avg} \times d = 0$
$F_{avg} = \frac{mg(H + d)}{d}$
કિંમતો મૂકતા: $F_{avg} = \frac{2 \times 10 \times (10 + 0.1)}{0.1} = \frac{20 \times 10.1}{0.1} = 200 \times 10.1 = 2020 \text{ N}$.

(C) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
આપેલ છે કે $v = 2x^2$,$x = 0$ આગળ,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 2(0)^2 = 0 \text{ m/s}$.
$x = 5 \text{ m}$ આગળ,અંતિમ વેગ $v_f = 2(5)^2 = 2(25) = 50 \text{ m/s}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times ((50 \text{ m/s})^2 - (0 \text{ m/s})^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 2500 = 1250 \text{ J}$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$6 \text{ kg}$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો (બંને $6 \text{ kg}$ અને $2 \text{ kg}$ દળ માટે) અને $2 \text{ kg}$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારાના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 6 \text{ kg}$ અને $m_2 = 2 \text{ kg}$. જ્યારે $6 \text{ kg}$ દળ $h = 6 \text{ m}$ નીચે પડે છે,ત્યારે $2 \text{ kg}$ દળ $h = 6 \text{ m}$ ઉપર જાય છે.
$m_1$ ની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $m_1 g h = 6 \times 10 \times 6 = 360 \text{ J}$.
$m_2$ ની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $m_2 g h = 2 \times 10 \times 6 = 120 \text{ J}$.
તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(6 + 2)v^2 = 4v^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$.
$360 = 120 + 4v^2$.
$240 = 4v^2$.
$v^2 = 60$.
$v = \sqrt{60} \approx 7.746 \text{ m/s}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$,બળ $\vec{F} = (5\hat{i} + 10\hat{j}) \text{ N}$,સમય $t = 2 \text{ s}$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{5\hat{i} + 10\hat{j}}{0.1} = (50\hat{i} + 100\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(2)^2 = \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(4) = 2(50\hat{i} + 100\hat{j}) = (100\hat{i} + 200\hat{j}) \text{ m}$.
આને આપેલ સ્થાન $(2x\hat{i} + 5y\hat{j}) \text{ m}$ સાથે સરખાવતા:
$2x = 100 \Rightarrow x = 50$.
$5y = 200 \Rightarrow y = 40$.
તેથી,ગુણોત્તર $x : y = 50 : 40 = 5 : 4$ થાય.

(A) દળ $30^\circ$ ના ખૂણે ઢળતા સમતલ પર છે.
રચના અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,બ્લોકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ શૂન્ય છે.
બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f = mg \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = 1 \times 10 \times \sin(30^\circ) = 1 \times 10 \times 0.5 = 5 \text{ N}$.
રચના $v = 4 \text{ m/s}$ ના અચળ વેગથી $t = 2 \text{ s}$ સમય માટે ગતિ કરે છે.
ગતિની દિશામાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s = v \times t = 4 \times 2 = 8 \text{ m}$ છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલ સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે. ઘર્ષણ બળ ઢળતા સમતલ પર લાગે છે અને સ્થાનાંતર પણ તે જ દિશામાં છે,તેથી કાર્ય $W = f \times s = 5 \times 8 = 40 \text{ J}$ થાય.

(B) બ્લોક $P$ (દળ $m_P = 2 \text{ kg}$) માટે,સમઘનના ફ્રેમમાં લાગતું આભાસી બળ $F_p = m_P a = 2 \times (g/2) = g = 10 \text{ N}$ છે. બ્લોક સ્થિર હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T = 10 \text{ N}$ છે.
બ્લોક $Q$ (દળ $m_Q = 1.5 \text{ kg}$) માટે,લાગતા બળો:
$1$. શિરોલંબ: વજન $m_Q g = 1.5 \times 10 = 15 \text{ N}$ નીચેની તરફ લાગે છે અને ઘર્ષણ બળ $f$ ઉપરની તરફ લાગે છે. બ્લોક સ્થિર હોવાથી,$f = 15 \text{ N}$.
$2$. સમક્ષિતિજ: આભાસી બળ $m_Q a = 1.5 \times 5 = 7.5 \text{ N}$ બ્લોક પર લાગે છે,જે તેને બાજુની સપાટી પર દબાવે છે. તેથી,લંબબળ $N = 7.5 \text{ N}$.
$f = \mu N$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\mu = f/N = 15 / 7.5 = 2$. જો આપણે તણાવ $T$ ને શિરોલંબ સંતુલનમાં ધ્યાનમાં લઈએ,તો $T + f = m_Q g \implies 10 + f = 15 \implies f = 5 \text{ N}$. તેથી $\mu = f/N = 5/7.5 = 0.67$.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r$ છે. લઘુચાપ $AB$ ની લંબાઈ $\frac{1}{4}(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}$ છે. ગુરુચાપ $AB$ ની લંબાઈ $2\pi r - \frac{\pi r}{2} = \frac{3\pi r}{2}$ છે.
લઘુચાપનો અવરોધ $R_1 = \lambda \cdot \frac{\pi r}{2}$ છે.
ગુરુચાપનો અવરોધ $R_2 = \lambda \cdot \frac{3\pi r}{2}$ છે.
બે ત્રિજ્યાવર્તી તાર $OA$ અને $OB$ દરેકનો અવરોધ $R_3 = \lambda r$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે: લઘુચાપ $(R_1)$,ગુરુચાપ $(R_2)$,અને $A-O-B$ માર્ગ $(2\lambda r)$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{2\lambda r} = \frac{2}{\lambda \pi r} + \frac{2}{3\lambda \pi r} + \frac{1}{2\lambda r}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{\lambda r} [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{8}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{16 + 3\pi}{6\pi}]$.
$R_{eq} = \frac{6\pi \lambda r}{3\pi + 16}$.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
વાયુના અણુ માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2}kT$ છે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 5.31 \times 10^{-26} \ kg$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$,અને $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\sqrt{3 \times 5.31 \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} = \sqrt{6587.34 \times 10^{-49}} \approx 2.566 \times 10^{-23}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.566 \times 10^{-23}} \approx 2.58 \times 10^{-11} \ m = 25.8 \times 10^{-12} \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 26$.

(B) મેક્સવેલના ચાર સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્ર માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dv$. જે $C-IV$ સાથે સુસંગત છે.
$2$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a} = 0$.
$3$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a}$. જે $A-II$ સાથે સુસંગત છે.
$4$. એમ્પિયર-મેક્સવેલ નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(I + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt})$. જે $B-III$ સાથે સુસંગત છે.
$5$. એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ (સ્થિર પ્રવાહ માટે): $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. જે $D-I$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે,ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચલન વગરના વિક્ષેપન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 0$.
પ્રિઝમને વિચલન વગરના વિક્ષેપન માટે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમને વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવવા જોઈએ,તેથી $(\mu_{1} - 1)A_{1} + (\mu_{2} - 1)A_{2} = 0$.
મૂલ્ય લેતા,આપણી પાસે $(\mu_{1} - 1)A_{1} = -(\mu_{2} - 1)A_{2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.72 - 1) \times 5^{\circ} = -(1.9 - 1) \times A_{2}$.
$0.72 \times 5^{\circ} = -0.9 \times A_{2}$.
ઋણ નિશાની બીજા પ્રિઝમની ગોઠવણી સૂચવે છે. ખૂણા $A_{2}$ નું મૂલ્ય:
$A_{2} = \frac{0.72 \times 5^{\circ}}{0.9} = \frac{3.6^{\circ}}{0.9} = 4^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,આંટાની સંખ્યા $N = 10^4$,વોલ્ટેજ $V = 10 \text{ V}$,અવરોધ $R = 10 \ \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = V/R = 10/10 = 1 \text{ A}$.
આપેલ ક્ષણે,પ્રવાહ $I = I_0/e = 1/e \text{ A}$.
લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n = N/\ell$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
ઉર્જા ઘનતા $E_d$ નું સૂત્ર $E_d = \frac{B^2}{2 \mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2 \mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ છે.
$E_d = \frac{1}{2} \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (10^4)^2 \times (1/e)^2 = 2 \pi \times 10^{-7} \times 10^8 \times (1/e^2) = 20 \pi \times (1/e^2) \text{ J/m}^3$.
$\alpha \pi \times (1/e^2)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 20$ મળે છે.

(B) એક ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
અહીં,$\mu_{1} = 1.0$ (હવા),$\mu_{2} = 1.5$ (કાચ),$R = +50 \ cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી),અને $u = -\infty$ (સમાંતર કિરણપુંજ).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.5 - 1.0}{50}$
$\frac{1.5}{v} - 0 = \frac{0.5}{50}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{100}$
$v = 150 \ cm$
આ અંતર $v$ ગોલીય સપાટીના ધ્રુવથી માપવામાં આવે છે.
પ્રશ્નમાં વક્રતા કેન્દ્રથી $x$ અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે. વક્રતા કેન્દ્ર ધ્રુવથી $R = 50 \ cm$ અંતરે હોવાથી,કેન્દ્રથી અંતર:
$x = v - R = 150 \ cm - 50 \ cm = 100 \ cm$.

(D) સમતલ તરંગ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4.5 \times 10^{14} \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 3 \times 10^6 \text{ rad/m}$ મળે છે.
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{4.5 \times 10^{14}}{3 \times 10^6} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = 2$ છે.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમ માટે,સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1$ છે. વક્રીભવનાંક અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (સાપેક્ષ પરમિટિવિટી) $\varepsilon_r$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \sqrt{\varepsilon_r}$ છે.
તેથી,$\varepsilon_r = n^2 = 2^2 = 4$ થાય.

(B) $C_1$ (વિષમઘડી) ને કારણે $C_2$ ના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણી તરફ હોય છે,અને $C_3$ (સમઘડી) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ડાબી તરફ હોય છે. ગૂંચળા સમાન હોવાથી અને $C_2$ મધ્યમાં હોવાથી,$C_2$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $C_1$ એ $C_2$ તરફ ગતિ કરે,તો $C_1$ થી $C_2$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે (જમણી તરફ). આનો વિરોધ કરવા માટે,$C_2$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ડાબી તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે (સમઘડી).
જો $C_3$ એ $C_2$ થી દૂર જાય,તો $C_3$ થી $C_2$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે (ડાબી તરફ). આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,$C_2$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ડાબી તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે (સમઘડી).
આમ,જો $C_1$ એ $C_2$ તરફ ગતિ કરે અને $C_3$ એ $C_2$ થી દૂર જાય,તો ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $C_2$ માં સમઘડી પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.

(C) જ્યારે લોલક ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ ($qE$ સમક્ષિતિજ દિશામાં) ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ આ બે બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ બળો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net}$ નું મૂલ્ય $F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ આ પરિણામી બળને સંતુલિત કરે છે જેથી ગોળો સ્થિર રહે.
તેથી,તણાવ $T = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 10x\hat{i} + 5y\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પરનું સ્થિતિમાન $V_0$ છે અને $(10, 20)$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P$ છે.
$V_P - V_0 = -\int_{(0,0)}^{(10,20)} (10x\hat{i} + 5y\hat{j}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j})$.
$500 - V_0 = -\int_{0}^{10} 10x \ dx - \int_{0}^{20} 5y \ dy$.
$500 - V_0 = -[5x^2]_0^{10} - [\frac{5y^2}{2}]_0^{20}$.
$500 - V_0 = -[5(100) - 0] - [\frac{5(400)}{2} - 0]$.
$500 - V_0 = -500 - 1000$.
$500 - V_0 = -1500$.
$V_0 = 500 + 1500 = 2000 \ V$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $ A = 60^{\circ} $ છે.
જ્યારે નિર્ગમન કિરણ સપાટી પરથી ઘસાઈને નીકળે,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $ e = 90^{\circ} $ થાય.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $ \mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e) $.
કિંમતો મૂકતા: $ \sqrt{2} \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(90^{\circ}) = 1 $.
$ \sin(r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
તેથી,$ r_2 = 45^{\circ} $.
સંબંધ $ A = r_1 + r_2 $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ મળે છે:
$ r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ} $.

(A) જગ્યા વગરના સંયુક્ત લેન્સ માટે: સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \ cm$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$F = -20 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = -10 \ cm$ સાથે,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{-10} = -\frac{3}{20}$ મળે છે,તેથી $v_1 = -\frac{20}{3} \ cm$. મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3}$.
$d = 1 \ cm$ થી અલગ પડેલા લેન્સ માટે: પ્રથમ લેન્સ (બહિર્ગોળ) $v'$ અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે જ્યાં $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{10} \implies v' = 10 \ cm$. મોટવણી $m_{1}' = \frac{v'}{u} = \frac{10}{-10} = -1$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતર્ગોળ લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u' = v' - d = 10 - 1 = 9 \ cm$ છે. તે લેન્સની પાછળ હોવાથી,$u' = +9 \ cm$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v''} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v''} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{36} \implies v'' = -\frac{36}{5} \ cm$. મોટવણી $m_{2}' = \frac{v''}{u'} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5}$. કુલ મોટવણી $m_2 = m_{1}' \times m_{2}' = (-1) \times (-4/5) = 4/5$. અંતે,$\left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \left|\frac{2/3}{4/5}\right| = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$.

(C) દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ નીપજોના દળ અને પ્રારંભિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\Delta m = (4 \times 4.002 \ amu) - 15.348 \ amu = 16.008 \ amu - 15.348 \ amu = 0.66 \ amu$.
દળ ક્ષતિને $kg$ માં ફેરવતા: $\Delta m = 0.66 \times 1.66 \times 10^{-27} \ kg = 1.0956 \times 10^{-27} \ kg$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \Delta m c^2 = 1.0956 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 = 1.0956 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} = 9.8604 \times 10^{-11} \ J$.
$E = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $\nu = E / h = (9.8604 \times 10^{-11}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.494 \times 10^{23} \ Hz$.
$kHz$ માં ફેરવતા: $\nu = 1.494 \times 10^{23} / 10^3 = 1.494 \times 10^{20} \ kHz$.

(D) $LED$ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે તે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $P$ પરનું પોટેન્શિયલ ઊંચું $(1)$ અને બિંદુ $Q$ પરનું પોટેન્શિયલ નીચું $(0)$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ છે અને બીજા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ છે.
$P$ પરનું આઉટપુટ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $P = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.
$P = 1$ માટે, આપણે $A+B = 1$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
$Q$ પરનું આઉટપુટ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $Q = \overline{C+D}$.
$Q = 0$ માટે, આપણે $\overline{C+D} = 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $C+D = 1$, એટલે કે $C$ અથવા $D$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 0100: A=0, B=1, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$B) 0011: A=0, B=0, C=1, D=1 \implies P=0, Q=0$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$C) 1000: A=1, B=0, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$D) 1101: A=1, B=1, C=0, D=1 \implies P=1, Q=0$ ($LED$ પ્રકાશિત થશે).
આમ, સાચું સંયોજન $1101$ છે.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,નલ પોઈન્ટ $40 \text{ cm}$ પર છે,તેથી $l = 40 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_{1} = \frac{2}{3}R_{2} \quad ... (1)$
જ્યારે $16 \ \Omega$ નો અવરોધ $R_{2}$ ને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{2}' = \frac{R_{2} \times 16}{R_{2} + 16}$ થાય છે.
નવો નલ પોઈન્ટ $50 \text{ cm}$ પર છે,તેથી $l = 50 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}'} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_{1} = R_{2}' = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3}R_{2} = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16}$
$\frac{1}{3} = \frac{8}{R_{2} + 16} \implies R_{2} + 16 = 24 \implies R_{2} = 8 \ \Omega$.
$R_{2} = 8 \ \Omega$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$R_{1} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ \Omega$.

(D) જ્યારે સળિયો ટર્મિનલ વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = Bvl$ થાય છે.
સળિયો $R$ અવરોધ ધરાવતા બંધ પરિપથનો ભાગ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{Bvl}{R}$ થાય છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = ilB = (\frac{Bvl}{R})lB = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$ છે,જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ટર્મિનલ વેગ પર,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ એ ચુંબકીય બળ $F_m$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$mg = F_m = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{mgR}{B^{2}l^{2}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{0} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}}$ છે.
સંમિતિના આધારે,$90^{\circ}$ અને $270^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો (બંને $+Q$) એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બાકીના વિદ્યુતભારો $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ પર છે.
ખાસ કરીને,$30^{\circ}$ અને $210^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $+Q$ છે,અને $150^{\circ}$ અને $330^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $-Q$ અને $+Q$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોનું વિભાજન કર્યા પછી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકના અંતર $(r)$ પર,$\alpha$-કણની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
અહીં $K.E._i = 7.9 \text{ MeV} = 7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$P.E._i = 0$,$K.E._f = 0$,અને $P.E._f = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$ છે.
$7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.9 \times 10^6} = 2.88 \times 10^{-14} \text{ m}$
ન્યુક્લિયસનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 2.88 \times 10^{-14} = 5.76 \times 10^{-14} \text{ m}$ થાય.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ માટે,સામાન્ય ગોઠવણમાં મોટવણી $m$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$m = \left( \frac{L}{f_0} \right) \times \left( \frac{D}{f_e} \right)$
જ્યાં $L$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે,$f_0$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે,$f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે,અને $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે $(D = 25 \ cm)$.
આપેલ છે: $L = 32 \ cm$,$f_0 = 2 \ cm$,$f_e = 4 \ cm$,$D = 25 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \left( \frac{32}{2} \right) \times \left( \frac{25}{4} \right)$
$m = 16 \times 6.25$
$m = 100$

(B) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ છે.
તેથી,મધ્યના $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $1 + 2 = 3 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $2 + 4 = 6 \ \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \ \Omega$ થાય.
આંતરિક અવરોધ $r = 1 \ \Omega$ ને ગણતા પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{AB} + r = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ થાય.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9}{3} = 3 \text{ A}$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = i^2 R_{AB} t$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $t = 60 \text{ s}$.
$H = (3)^2 \times 2 \times 60 = 9 \times 2 \times 60 = 1080 \text{ J}$.

(B) બે બહિર્ગોળ લેન્સ ધરાવતા બીમ એક્સપાન્ડર (કિરણપુંજ વિસ્તારક) માટે, મોટવણી $M$ એ આઉટપુટ કિરણપુંજના વ્યાસ અને ઇનપુટ કિરણપુંજના વ્યાસના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે બંને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર જેટલી પણ હોય છે:
$M = \frac{D_{out}}{D_{in}} = \frac{f_2}{f_1}$
આપેલ છે:
ઇનપુટ વ્યાસ $D_{in} = 2 \ mm$
આઉટપુટ વ્યાસ $D_{out} = 14 \ mm$
પ્રથમ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 40 \ mm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{14}{2} = \frac{f_2}{40}$
$7 = \frac{f_2}{40}$
$f_2 = 7 \times 40 = 280 \ mm$
આમ, બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $280 \ mm$ છે.

(C) બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{ext}} = \Delta U = U_f - U_i$
$W_{\text{ext}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
આપેલ છે:
$q_1 = 10^{-8} \text{ C}$,$q_2 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r_i = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$
$r_f = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (10^{-8} \times 2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-14}) \times \left( \frac{2-1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = 18 \times 10^{-5} \times \frac{1}{6} = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
$W_{\text{ext}} = 30 \times 10^{-6} \text{ J}$

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NOR$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે.
$P = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Q = \overline{B+B} = \overline{B}$
આ ત્રીજા $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે,તેથી આઉટપુટ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \overline{P+Q} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$
આ $R$ એ અંતિમ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે:
$S = \overline{R+R} = \overline{R} = \overline{A \cdot B}$
અંતિમ આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ હોવાથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.10 \ T$,$l = 1 \ m$,$v = 1.5 \ m/s$,અને $R = 2 \ \Omega$.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B = I l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે.
સળિયાને અચળ ઝડપે ખસેડવા માટે,બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ ચુંબકીય બળ $F_B$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$F_{ext} = F_B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{ext} = \frac{(0.1)^2 \times (1)^2 \times 1.5}{2} = \frac{0.01 \times 1 \times 1.5}{2} = \frac{0.015}{2} = 0.0075 \ N$.
$F_{ext} = 7.5 \times 10^{-3} \ N$.

(A) નજીકના અભિગમનું અંતર $r_0$ એ અંતર છે જ્યાં આલ્ફા કણની ગતિ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિર વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
નજીકના અભિગમના અંતરે,અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = 0$ થાય છે.
$K_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આપેલ છે:
$K_i = 7.7 \text{ MeV} = 7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
$Z = 79$ (સોના માટે)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
કિંમતો મૂકતા:
$7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})}{r_0}$
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 79 \times 2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.7 \times 10^6}$
$r_0 \approx 2.95 \times 10^{-14} \text{ m}$

(A) આપેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું સમીકરણ $E = 60 \sin(3 \times 10^{15} t) + \sin(12 \times 10^{15} t)$ છે.
આ બે પ્રકાશ તરંગો દર્શાવે છે જેની કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 3 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E_{ph} = \hbar \omega = \frac{h \omega}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઘટક $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ માટે:
$E_{ph} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 12 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \text{ J}$.
$E_{ph} \approx 1.265 \times 10^{-18} \text{ J}$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(\text{eV})$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $E_{ph} = \frac{1.265 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 7.9 \text{ eV}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E_{ph} - \phi_0$.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.8 \text{ eV}$.
$K_{max} = 7.9 \text{ eV} - 2.8 \text{ eV} = 5.1 \text{ eV}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પારદર્શક શીટ મૂકવામાં આવે ત્યારે મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$.
આપેલ કિંમતો છે: $d = 0.1 \ cm$,$D = 50 \ cm$,$\Delta x = 0.2 \ cm$,અને $\mu = 1.5$.
$t$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $t = \frac{\Delta x \cdot d}{D(\mu - 1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{0.2 \times 0.1}{50(1.5 - 1)}$.
$t = \frac{0.02}{50 \times 0.5} = \frac{0.02}{25}$.
$t = 0.0008 \ cm = 8 \times 10^{-4} \ cm$.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 69 \text{ V/m}$, $k = 0.6 \times 10^3 \text{ rad/m}$, અને $\omega = 1.8 \times 10^{11} \text{ rad/s}$ છે.
તરંગ $+x$ દિશામાં $(\hat{i})$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$ દિશામાં $(\hat{j})$ છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$ દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ કારણ કે $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E}) = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_y \hat{j}) = \frac{E_y}{c} \hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{69}{3 \times 10^8} = 23 \times 10^{-8} = 2.3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ફેઝ (કળા) વિદ્યુતક્ષેત્ર જેવો જ હોય છે, તેથી $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t) = 2.3 \times 10^{-7} \sin[0.6 \times 10^3 x - 1.8 \times 10^{11} t] \text{ T}$ થાય.

(A) શૂન્યાવકાશ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = d/3$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્રને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક હવાવાળો ભાગ જેની જાડાઈ $d - t = 2d/3$ છે અને બીજો ડાયલેક્ટ્રિક વાળો ભાગ જેની જાડાઈ $t = d/3$ છે.
હવાવાળા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ થાય.
ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/3} = 3K \frac{\epsilon_0 A}{d} = 3KC$ થાય.
આ બંને કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{3}{2} C) (3KC)}{\frac{3}{2} C + 3KC} = \frac{\frac{9}{2} KC^2}{\frac{3}{2} C (1 + 2K)} = \frac{3KC}{2K + 1}$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષ પર ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{B} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય છે,તેથી $\vec{F}_{B} = 0$ મળે છે.
કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_{g} = m\vec{g}$ છે જે નીચેની તરફ લાગે છે.
તેથી,પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = m\vec{g}$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m\vec{a} = m\vec{g}$,જે દર્શાવે છે કે $\vec{a} = \vec{g}$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $a = g$ થશે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I$ એ સૂત્ર $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતનો પાવર છે.
જ્યારે ડિટેક્ટરને $L$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન ગોળાકાર સપાટી પર બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતથી અંતર $r$ અચળ રહે છે $(r = L)$.
કારણ કે આઈસોટ્રોપિક બિંદુવત સ્ત્રોત માટે તીવ્રતા $I$ માત્ર અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,તેથી નવા સ્થાને તીવ્રતા પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_o$ જેટલી જ રહેશે.
તેથી,નવા સ્થાને માપવામાં આવેલી તીવ્રતા $I_o$ છે.

(C) બંને $LED$ પ્રકાશિત થાય તે માટે,તેમની સાથે જોડાયેલા ગેટ્સનું આઉટપુટ હાઈ $(1)$ હોવું જોઈએ.
સર્કિટ ડાયાગ્રામનું વિશ્લેષણ:
$1$. $LED-1$ એ $OR$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ છે. $LED-1$ પ્રકાશિત થાય તે માટે $Y_1 = 1$ હોવું જોઈએ.
$2$. $LED-2$ એ અંતિમ $AND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ છે. આ $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(Y_1)$ અને ઇનપુટ $A$ છે. આકૃતિ મુજબ,મધ્યના $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $Y_1$ અને $C$ છે,તેથી $Y_{middle} = (A + B) \cdot C$. અંતિમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $Y_{middle}$ અને $A$ છે. તેથી,$Y_{LED2} = ((A + B) \cdot C) \cdot A$.
$3$. $LED-1$ પ્રકાશિત થવા માટે,$A + B = 1$ હોવું જોઈએ.
$4$. $LED-2$ પ્રકાશિત થવા માટે,$(A + B) \cdot C \cdot A = 1$ હોવું જોઈએ. આ માટે $A=1, C=1$ અને $(A+B)=1$ હોવું જરૂરી છે. $A=1$ હોવાથી,$B$ ની કિંમત ગમે તે હોય,$(A+B)=1$ ની શરત સંતોષાય છે.
$5$. વિકલ્પો તપાસતા:
- $A=1, B=0, C=1$ માટે: $Y_{LED1} = 1+0 = 1$ (પ્રકાશિત થશે),$Y_{LED2} = (1+0) \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (પ્રકાશિત થશે).
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે: $LED$ નો મહત્તમ પાવર $P_{max} = 2 \text{ mW}$,ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in} = 5 \text{ V}$,અવરોધ $R = 1 \text{ k}\Omega$,અને $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_R = 0.5 \text{ mA}$.
$1$. $LED$ ની આજુબાજુનો વોલ્ટેજ $(V_{LED})$ એ અવરોધ $R$ ની આજુબાજુના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે કારણ કે તે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$V_{LED} = I_R \times R = 0.5 \text{ mA} \times 1 \text{ k}\Omega = 0.5 \text{ V}$.
$2$. $LED$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_{LED} = \frac{P_{max}}{V_{LED}} = \frac{2 \text{ mW}}{0.5 \text{ V}} = 4 \text{ mA}$.
$3$. શ્રેણી અવરોધ $R_S$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_S = I_{LED} + I_R = 4 \text{ mA} + 0.5 \text{ mA} = 4.5 \text{ mA}$.
$4$. $R_S$ ની આજુબાજુનો વોલ્ટેજ $V_{R_S} = V_{in} - V_{LED} = 5 \text{ V} - 0.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$.
$5$. લઘુત્તમ અવરોધ $R_S = \frac{V_{R_S}}{I_S} = \frac{4.5 \text{ V}}{4.5 \text{ mA}} = 1 \text{ k}\Omega$.

(C) આ સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $A'$ છે. તેથી,$A' = \overline{A}$.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A'$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $X = A' + B = \overline{A} + B$ છે.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ $A'$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $Z = A' \cdot B = \overline{A} \cdot B$ છે.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $X$ અને $Z$ છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X + Z} = \overline{(\overline{A} + B) + (\overline{A} \cdot B)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{\overline{A} + B + \overline{A} \cdot B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$.
$(A=1, B=1)$ માટે: $Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
$(A=0, B=1)$ માટે: $Y = 0 \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ મળે છે. નીચેનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે ($NOT$ ગેટ/ઇન્વર્ઝન બબલને કારણે),જેનું આઉટપુટ $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ મળે છે. અંતિમ $OR$ ગેટ આ બંનેને જોડીને $Y = Y_1 + Y_2 = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$ આપે છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A(B + \bar{B}) = A(1) = A$.
તેથી,આઉટપુટ વેવફોર્મ $Y$ એ ઇનપુટ વેવફોર્મ $A$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$A$ માટેનું વેવફોર્મ $t=0$ થી $1$ સુધી $0$ છે,$t=1$ થી $2$ સુધી $1$ છે,અને $t=2$ થી $3$ સુધી $1$ છે. વિકલ્પ $D$ આ વર્તણૂક સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 83$ અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 209 - 83 = 126$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\Delta m = [Z m_p + N m_n - M_{nucleus}]$.
$\Delta m = [83 \times 1.007825 + 126 \times 1.008665 - 208.980388] \text{ u}$.
$\Delta m = [83.649475 + 127.09179 - 208.980388] \text{ u} = 1.760877 \text{ u}$.
કુલ બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 1.760877 \times 931 \approx 1639.376 \text{ MeV}$ છે.
ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $\frac{BE}{A} = \frac{1639.376}{209} \approx 7.84 \text{ MeV}$ થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $2 \times X(A=3) + Y(A=4) \to Z(A=10)$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા $= (2 \times 3 \times 5.6 \text{ MeV}) + (4 \times 7.4 \text{ MeV}) = 33.6 \text{ MeV} + 29.6 \text{ MeV} = 63.2 \text{ MeV}$.
નિપજની કુલ બંધન ઉર્જા $= 10 \times 6.1 \text{ MeV} = 61.0 \text{ MeV}$.
પ્રક્રિયામાં ઉર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_{\text{product}} - E_{\text{reactants}} = 61.0 \text{ MeV} - 63.2 \text{ MeV} = -2.2 \text{ MeV}$.
આ પ્રક્રિયામાં સંકળાયેલ ઉર્જાના ફેરફારનું મૂલ્ય $2.2 \text{ MeV}$ છે.
તેથી,$\Delta Mc^2 = 2.2 \text{ MeV}$.

(B) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $2 \times ^{2}_{1}H \to ^{4}_{2}He$.
એક $^{2}_{1}H$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $= 2 \times 1.1 \text{ MeV} = 2.2 \text{ MeV}$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા $= 2 \times 2.2 \text{ MeV} = 4.4 \text{ MeV}$.
એક $^{4}_{2}He$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $= 4 \times 7.2 \text{ MeV} = 28.8 \text{ MeV}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $= \text{નીપજની બંધન ઉર્જા} - \text{પ્રક્રિયકોની બંધન ઉર્જા}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $= 28.8 \text{ MeV} - 4.4 \text{ MeV} = 24.4 \text{ MeV}$.

(C) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3h}{\pi}$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{\pi}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 6$ મૂકતા: $E_6 = -\frac{13.6}{6^2} = -\frac{13.6}{36}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $E_6 \approx -0.377 \text{ eV}$,જે આશરે $-0.38 \text{ eV}$ થાય છે.

(D) રધરફોર્ડના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણનના પ્રયોગમાં,આલ્ફા-કણો ધન વીજભારિત હોય છે અને જ્યારે તેઓ સોનાના ન્યુક્લિયસની નજીક આવે છે ત્યારે તેઓ પ્રબળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
પરમાણુનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી હોવાથી,મોટાભાગના આલ્ફા-કણો વિચલિત થયા વિના પસાર થઈ જાય છે.
માત્ર થોડા જ આલ્ફા-કણો પાછા ફેંકાય છે કારણ કે તેઓ ભારે અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ સાથે લગભગ સીધી અથડામણ (head-on collision) અનુભવે છે.
પરમાણુના કુલ કદની સરખામણીમાં ન્યુક્લિયસનું કદ ખૂબ જ નાનું હોવાથી,આવી અથડામણની સંભાવના અત્યંત ઓછી હોય છે.
આમ,પાછા ફેંકાવવાની ઘટના મુખ્યત્વે ન્યુક્લિયસ સાથેની સીધી અથડામણને કારણે થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_i / r_f = n_i^2 / n_f^2 = 16 / 4 = 4$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n_i / n_f = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n_i = 2n_f$.
સૌથી સરળ સંક્રમણ માટે,આપણે $n_f = 2$ અને $n_i = 4$ લઈએ છીએ.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$
$1/\lambda = R(1/2^2 - 1/4^2) = R(1/4 - 1/16) = R(3/16)$.
$R = 1.0973 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા:
$1/\lambda = 1.0973 \times 10^7 \times (3/16) \approx 0.20574 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
$\lambda = 1 / (0.20574 \times 10^7) \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$.

(D) બામર શ્રેણી $n_f = 2$ ને અનુરૂપ છે.
$1$લી રેખા $n_i = 3$ ને અનુરૂપ છે,અને $2$જી રેખા $n_i = 4$ ને અનુરૂપ છે.
વેગમાન $p = E/c = (h\nu)/c = h/\lambda$.
જેহেতু $1/\lambda = R(1/2^2 - 1/n_i^2)$,તેથી $p \propto (1/4 - 1/n_i^2)$.
$1$લી રેખા માટે,$p_1 \propto (1/4 - 1/9) = 5/36$.
$2$જી રેખા માટે,$p_2 \propto (1/4 - 1/16) = 3/16$.
ગુણોત્તર $p_1/p_2 = (5/36) / (3/16) = (5/36) \times (16/3) = (5 \times 4) / (9 \times 3) = 20/27$.
આમ,$\alpha = 20$ અને $\beta = 27$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda}$ અચળ રહે છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ તે ધાતુ માટે વધુ હોય છે જેનું કાર્યવિધેય (work function) $\phi$ ઓછું હોય.
કાર્યવિધેય $\phi = h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે (આલેખનો $x$-અંતઃખંડ).
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે,$X_1$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સૌથી ઓછી $(\nu_0 = 1.0 \times 10^{14} \text{ Hz})$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કાર્યવિધેય સૌથી ઓછું છે.
તેથી,નિશ્ચિત આપાત તરંગલંબાઈ માટે,ધાતુ $X_1$ સૌથી વધુ મહત્તમ ગતિઊર્જા ધરાવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરશે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-2E_0\hat{i}) = 2eE_0\hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{2eE_0}{m}$ છે.
સમય $t$ પર ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v(t) = v_0 + at = v_0 + \left(\frac{2eE_0}{m}\right)t = v_0 \left[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}\right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ છે.
$v(t)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{m v_0 [1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]} = \frac{\lambda_0}{[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]}$ મળે છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331 \times 10^{-9}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{331 \times 10^{-9}} = 0.06 \times 10^{-17} \text{ J} = 6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા છે.
મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $K_{max} = eV_s = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 = 0.32 \times 10^{-19} \text{ J}$ છે.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi = E - K_{max} = 6 \times 10^{-19} - 0.32 \times 10^{-19} = 5.68 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આને $\alpha \times 10^{-19} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5.68$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉર્જા અને વેગમાન બંને ધરાવે છે,અને તેઓ જે સપાટી પર અથડાય છે તેના પર વિકિરણ દબાણ (radiation pressure) ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સાથે કોઈ દળ સંકળાયેલું નથી,જે સાચું છે કારણ કે ફોટોન દળવિહીન હોય છે.
જોકે,વિકિરણ દબાણનું કારણ વેગમાનનું સ્થાનાંતરણ છે,દળની હાજરી નથી.
આમ,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે,પરંતુ $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) મુક્ત અવકાશમાં,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = h/mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનો વેગ $20\%$ ઘટે છે.
તેથી,નવો વેગ $v' = v - 0.20v = 0.8v$ થાય છે.
માધ્યમમાં નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = h/mv'$ છે.
$v' = 0.8v$ મૂકતા,આપણને $\lambda = h/(m \times 0.8v) = (1/0.8) \times (h/mv)$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda_0 = h/mv$,તેથી $\lambda = (1/0.8) \times \lambda_0 = 1.25 \lambda_0$ થાય છે.
આને $\alpha\lambda_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1.25$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(1)$
$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- $(2)$
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 2\lambda_2$,આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi$ --- $(3)$
હવે,સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$K_2 - 2K_1 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi)$
$K_2 - 2K_1 = \phi$
તેથી,કાર્ય વિધેય $\phi = K_2 - 2K_1$ થાય.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = y_n/D$,તેથી $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = nD\lambda/a$ થાય છે.
$1^{st}$ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,સ્થાન $y_1 = D\lambda/a$ છે.
$3^{rd}$ ન્યૂનતમ $(n=3)$ માટે,સ્થાન $y_3 = 3D\lambda/a$ છે.
$1^{st}$ અને $3^{rd}$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું રેખીય અંતર $|y_3 - y_1| = 3D\lambda/a - D\lambda/a = 2D\lambda/a$ થાય છે.

(B) ટેલિસ્કોપની કોણીય રિઝોલ્યુશન ક્ષમતાનું સૂત્ર $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{R}$ છે.
આપેલ છે:
$\theta = 5 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-7} = 1.22 \times \frac{500 \times 10^{-9}}{R}$
$R$ ને કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-7}}$
$R = 1.22 \times 100 \times 10^{-2}$
$R = 1.22 \text{ m}$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$R = 1.22 \times 100 \text{ cm} = 122 \text{ cm}$.